整式基本概念(含答案)
整式的基本概念与运算
括号前面是加 号或乘号时， 去掉括号，括 号内的各项不
变
括号前面是减 号时，去掉括 号，括号内各
项都变号
括号前面是除 号时，去掉括 号，把括号内 各项乘以除数
的倒数
括号在乘方运 算中，先进行 乘方运算，再
去括号
确定未知数： 明确需要解 决的问题， 并确定未知 数。
列出方程： 根据问题描 述，列出整 式方程。
XX,a click to unlimited possibilities
01 整 式 的 定 义 与 分 类 02 整 式 的 加 减 运 算 03 整 式 的 乘 法 运 算 04 整 式 的 除 法 运 算 05 整 式 的 幂 运 算 06 整 式 的 混 合 运 算
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等运算符号和括号组成的代数式
除法运算的注意事项：注意结果的符号，以及余数的次数不能高于除数的次数
除法运算的应用：在代数、几何等领域有广泛的应用
幂的定义：一个数的n次方表示该数与自身相乘n次 幂的性质：a的0次方等于1，a的负数次方等于a的倒数的正数次方，幂的乘法满足结合律和分配律
幂的乘法：同底 数幂相乘时，指 数相加
幂的除法：同底 数幂相除时，指 数相减
添加标题
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举例：2x^3y与3xy^2相乘得到 6x^4y^3。
运算性质：单项式乘以单项式的 运算是整式运算中的基本运算之 一，掌握其运算法则对于后续学 习多项式乘法、除法等具有重要 意义。
定义：将单项式中 的每一个字母因数 与多项式中的每一 项相乘，得到新的 多项式
举例：如(a+b+c) 乘以x得到 ax+bx+cx
注意事项：注意 符号的运算，负 负得正
7.整式的概念
整式的概念知识总结归纳一. 提出问题：有了用字母表示数之后，就出现了形形色色的代数式。
为了便于研究，我们往往把代数式分成类，然后归类去讨论它的特征和运算。
二. 梳理知识：1. 单项式：因为它分母中含有字母，所以也就不是整式，故判断单项式的方法主要从两个角度出发，一是看运算中是否只含乘除法运算；二是看分母中含不含字母。
特别要注意的是，单独的一个数或一个字母也是单项式。
如－8，a，y也都是单项式。
在单项式中，有两个重要概念：（1）系数：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数。
12单项式ab的系数是1，但省略不写，单项式－xy3的系数是－1，只保留一个“－”号，1字省略不写（2）次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如232，y的指数是3，所以5x2y3的次数就是5，同样48单项式ab的次数是2学习单项式应注意的几点：单项式是初一代数中一个重要的基本概念，同学们在学习这一概念时，应注意以下几点。
1.式。
特别要强调的是：单独的一个数或一个字母也是单项式，如m，x，－2，0等都是单项式。
2.1或－1时，1通常省略不写。
如：mn2，－x3y4的系数分别是1与－1，而不是没有系数。
有的单项式含有多个字母，有时为了需要，往往把其中一个或几个字母作为主要字母，这时单项式中的数字因数和其它字母因数都被称为这个单项式的系数。
例如：单项式3mx2y，一般情况下，其系数是3，若以x2y为主要字母，则系数就是3m；若以y为主要字母，则其系数就是3mx2。
4b3c2的字母a，b，c的指数的和是4＋3＋2＝94b3c2是一个九次单项式。
单独一个非零的数，例如：3，－7都叫做零次单项式。
因数零与任何一个或几个字母的乘积还是零，所以可以把零看作与任何一个或几个字母的乘积，故零也可以看成是次数不能确定的单项式。
4. 2b3c，对于字母a，b，c来讲是六次单项式；对于字母a来讲是二次单项式；对于字母b来讲是三次单项式；对于字母c来讲是一次单项式。
七年级整式知识点总结归纳
七年级整式知识点总结归纳整式是代数学中非常重要的一种形式，是由一些常数和变量以及运算符号组成的多项式。
它是整体式子的表示，可以表示出一些非常重要的代数关系，是许多数学问题的关键。
在七年级的数学知识点中，整式的概念和应用非常重要，下面将对七年级整式进行总结归纳。
一、整式的基本概念整式是由常数、变量及其系数，以及加、减、乘、幂运算组成的多项式。
它有以下几个基本要素：1. 项：整式中加、减的单元就是项，由变量及其次数和常数乘积组成。
2. 单项式：只含有一个项的整式，也就是kx^n这样的式子，其中k是常数，x是变量，n是整数。
3. 多项式：由若干个单项式相加或相减得到的式子，也就是整数加减的组合。
4. 次数：整式中所有单项式中次数最高的那个就是整式的次数，只有多项式才有次数。
二、整式的基本性质整式有以下几个基本性质：1. 加法交换律和结合律：整式加法满足交换律和结合律，也就是说，不管多项式中各项的顺序如何，整式的值都一样。
2. 乘法交换律和结合律：整式乘法满足交换律和结合律，也就是说，不管整式中各项的顺序如何，整式的值都一样。
3. 同类项的加减：同类项指的是变量相同且次数相同的单项式，可以通过合并同类项来简化整式。
4. 因式分解：整式可以通过因式分解来化简，使得整式的阶数降低，计算更加简便。
三、整式的应用整式在数学中有很多重要应用，如下：1. 代数方程的解：代数方程可以通过变形将其变为整式形式，从而求解。
2. 几何问题的解：整式可以表示几何实体的属性，如面积、体积等，从而解决几何问题。
3. 理论分析：整式可以表示出很多复杂的代数关系，对理论的分析和研究提供了基础。
四、整式的乘法公式整式的乘法也有一些非常实用的公式，如下：1. (a+b)^2=a^2+2ab+b^22. (a-b)^2=a^2-2ab+b^23. (a+b)(a-b)=a^2-b^24. (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^35. (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^36. a^2-b^2=(a+b)(a-b)以上这些公式，在解决代数问题的时候会非常有用。
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
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练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
整式基本概念(含答案)
一、【原章基原观念】★☆▲之阳早格格创做1、单项式战多项式统称整式.①单项式：由数取字母的积或者字母取字母的积所组成的代数式称为单项式.单独一个数或者一个字母也是单项式，如a ，5.·单项式的系数：单式项里的数字果数喊搞单项式的系数.·单项式的次数：单项式中所有字母的指数的战喊搞单项式的次数.②多项式:几个单项式的战喊搞多项式.其中，每个单项式喊搞多项式的项，没有含字母的项喊搞常数项.·多项式的次数：多项式里次数最下项的次数，喊搞多项式的次数.·多项式的命名：一个多项式含有几项，便喊几项式.所以咱们便根据多项式的项数战次数去命名一个多项式.如：3n4－2n2＋1是一个四次三项式.2、共类项——必须共时具备的二个条件（缺一没有成）：①所含的字母相共；②相共字母的指数也相共.·合并共类项，便是把多项式中的共类项合并成一项. 要领：把共类项的系数相加，而字母战字母的指数没有变.3、去括号规则规则1.括号前里是“+”号,把括号战它前里的“+”号去掉,括号里各项皆没有变标记；规则2.括号前里是“－”号,把括号战它前里的“－”号去掉,括号里各项皆变标记.▲去括号规则的依据本质是乘法调配律.〖注意1〗要注意括号前里的标记,它是去括号后括号内各项是可变号的依据.〖注意2〗去括号时应将括号前的标记连共括号所有去掉.〖注意3〗括号前里是“－”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变标记,没有克没有及只改变括号内第一项或者前几项的标记,而记记改变其余的标记.若括号前是数字果数时,可使用乘法调配律先将数取括号内的各项分别相乘再去括号,免得爆收过失.〖注意4〗逢到多层括号普遍由里到中,逐层去括号,也可由中到里.数“－”的个数.4、整式的加减整式的加减的历程便是去括号战合并共类项.如逢到括号，则先去括号，再合并共类项，合并到最简式为止.5、原单元需要注意的几个问题①整式（既单项式战多项式）中，分母一律没有克没有及含有字母.②π没有是字母，而是一个数字，③多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起去，才搞举止估计.④去括号时，要特地注意括号前里的果数.。
数学整式的概念
数学整式的概念全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学整式是代数学中的一种基本概念，是由数字、变量和运算符组成的代数表达式。
整式是由一项或多项代数式通过加法和减法运算得到的。
整式在代数中有着非常重要的作用，它能够描述和求解各种与未知数有关的问题，解决代数方程和不等式，推导出各种数学公式和定理等。
整式也是数学中许多其他概念的基础，如多项式、多项式函数、二次函数等等。
整式可以分为一元整式和多元整式两种。
一元整式是指只含有一个变量的整式，如3x² - 2x + 5；多元整式是指含有两个或两个以上变量的整式，如3x²y + 2xy + 5。
整式的计算可以通过多种方法进行，如合并同类项、分解、因式分解等。
整式的运算规则和性质也有很多，如整式的加法和减法可以使用分配律，整式的乘法可以使用交换律、结合律和分配律等。
在实际生活和科学研究中，整式也有着广泛的应用。
比如在物理学中，运动学方程中使用的时间、速度、加速度等参数通常用整式来表示；在经济学中，成本、收益、利润等经济指标也可以用整式来描述；在工程技术中，电路分析、结构设计、信号处理等问题也常常用整式来建模和求解。
数学整式是代数学中的基本概念，它是由数字、变量和运算符组成的代数表达式，可以描述和求解各种与未知数有关的问题，是代数学研究的基础和核心内容之一。
整式的研究不仅有助于提高学生的数学素养和逻辑思维能力，也对推动数学领域的发展和实际应用具有重要意义。
第二篇示例：数学整式是数学中一种基本的代数表达式形式，通常由数字、变量、运算符号和幂指数的组合构成。
整式是数的各种形式的代数和。
整式中的变量可以是任意事先给定的数。
整式是代数式的一种，代数式是有字母的数学表达式，即用字母表示变量，用数表示常数。
整式是一种数学概念，广泛应用于数学的各个领域。
在代数学中，整式是代数式的简化形式，整式中包含了代数运算的各种规则，是数学计算和推理的基础。
通过学习整式的概念和性质，可以更深入地理解数学表达式的结构和计算方法，为解决数学问题提供了重要的思维工具。
第二讲_整式
3 针对训练 2 1: 计算( 2x) ÷ x的结果正确的是(
)
( A) 8x2 ( B) 6x2 ( C) 8x3 ( D) 6x3 解析: 原式= 8x3÷ x= 8x2, 故选 A. 针对训练 2 2: ( 2011 年成都)下列计算正确的是( ( A) x+x=x2 ( B) x· x= 2x
• 例1，下列各式子中，是单项式的有___①、 ②、④、⑦ • ___________（填序号
多项式的项数与次数
• • • （1）多项式的次数不是所有项的次数的和，而是它的最高次项次数； （2）多项式的每一项都包含它前面的符号； （3）再强调一次， “π”当作数字，而不是字母
• （4）一个多项式的次数最高项的次数是几，就说这个多项式是几次多 项式。 • （5）.在多项式中，每个单项式都是这个多项式的项，每一项都有系 数，但对整个多项式来说，没有系数的概念，只有次数的概念。
• 【例1】若单项式-5x3ym的次数是9，求m 的值. • 【思路点拨】根据单项式次数的定义得到 关于m的一元一次方程，解方程得m的值. • 【自主解答】根据题意，得m+3=9, • 解得m=6.
• 3.(2010· 肇庆中考)观察下列单项式：a,2a2,4a3,-8a4, • 16a5,…按此规律第n个单项式是_____.(n 是正整数) • 【解析】由题意知第n项的系数为(1)n+12n-1, • 第n项a的次数为n, • 所以第n个单项式是(-1)n+12n-1an. • 答案：(-1)n+12n-1an
同类项
1，同类项的判定与合并同类项的法则： 例1 判断下列各式是否是同类项？
(1)2a b 与2 x y
2 3
2 3
第3讲 整 式
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2.检查一个多项式分解是否彻底时，要注意以下几个方面：（1）每 一个多项式都不能再分解；（2）重因式的乘积写成幂的形式；（3）不能
含有多重括号.
另外，注意书写最后结果时，单项式要写在多项式的前面.可以用整 式乘法来检验因式分解的结果是否正确.
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B．(－2a)2＝－2a2
D．－2(a－1)＝－2a－1
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(3)题均从四个方面考查整式的运算，解答此题需要逐项检验． 【解答】(1)B (2)C (3)A
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【点拨】(1)题考查幂的四种运算，正确掌握运算法则是关键；(2)、
(1)(2010·红河自治州)如果3x2n－1ym与－5xmy3是同类项，则m和
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考查平方差公式和完全平方公式的特征．
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【点拨】(1)、(4)、(5)考查分解因式的一般步骤及检验；(2)、(3)
【解答】(1)D (2)C (3)D (4)2(2a＋1)(2a－1) (5)－3(x－y)2 方法总结 1.当多项式是二项式，且该二项式又可看作某两项平方的差时，可用
n的取值是(
)
A．3和－2
C．3和2
B．－3和2
D．－3和－2
(2)(2011·北京)已知a2＋2ab＋b2＝0，求代数式a(a＋4b)－(a＋ 2b)(a－2b)的值．
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【点拨】(1)题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意 2n－1＝m， m＝3， 得 解得 m＝3， n＝2. (2)①括号前是负号，去括号时要注意改变符号．如－(a －4b )应 2 2 2 2 等于－a ＋4b ，不能化成－a －4b . ②利用整体代入求值的方法求代数式的值，体现了整体思想．
专题03整式(精讲)
攻略4式子中出现除法时，写成分数的形式，如 ．
攻略5单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式．
攻略6字母的指数是1时，指数省略不写，如y的指数是1而不是0．
攻略7多项式的每一项都包括它前面的符号．
攻略8多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数．
由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度＝乙的长度，
∴（a﹣x﹣2）+（a﹣y﹣3）＝a，
a﹣x﹣2+a﹣y﹣3＝a，
a+a﹣a＝x+y+2+3，
a＝x+y+5，
∴乙的长度为：（x+y+5）m．
故选：A．
3．（2022春•桓台县期末）某商品每次降价20%，连续两次降价后的价格为m元，则原价为（ ）
A．（x+y+5）mB．（x﹣y+5）mC．（2x+y﹣5）mD．（x+2y﹣5）m
【答案】解：设乙的长度为am，
∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差xm，乙、丙的长度相差ym，
∴甲的长度为：（a﹣x）m；丙的长度为：（a﹣y）m，
∴甲与乙重叠的部分长度为：（a﹣x﹣2）m；乙与丙重叠的部分长度为：（a﹣y﹣3）m，
（4）若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
攻略1数字与字母或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”；
攻略2数字因数是1或–1时，“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；
整式 辅导资料(含答案).
整式学习本节先复习单项式的系数和次数、多项式的项等概念，为学习同类项的概念及合并同类项法则做好准备.主要包括 单项式的系数和次数,多项式的项和每项的系数.一单项式、多项式的概念及它们各自对应的系数，项这是本节的重点；【典例引路】中例2，【当堂检测】中第2题，【课时作业】中第3题。
二.正确的判断所给代数式的系数或项这是本节的难点;【典例引路】中例2，【当堂检测】中第3题，【课时作业】中第10题。
三．易错题目单项式的次数,多项式的次数是同学们易错的地方. 【典例引路】中例2，【基础练习】中第2题,【当堂检测】中第4题，【课时作业】中第9题。
知识点击一:单项式的概念及其次数与系数（1）单项式的定义：像 1.5V ，28n π，h r 231π等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式．注：①单独一个数与一个字母也是单项式．②形如21＋x 形式的代数式不是单项式．（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．注：单独一个数的次数是0次．（3）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．注：①单个字母的系数为1；②单项式的系数包括符号．知识点击二:多项式的概念及其项数与次数（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．注：①多项式概念中的和指代数和，即省略了加号的和的形式．②多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（3）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．知识点击三:整式的概念单项式和多项式统称为整式．区别是否整式：关键：分母中是否含有字母.针对性练习:一、判断题．（对的打“∨”，错的打“×”）1．x是单项式．（）2．6不是单项式．（）3．m的系数是0，次数也是0．（）【解答】1．∨ 2．× 3．× 4．∨类型之一:应用创新型例1.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．3月12日是植树节，七年级一班和二班的同学参加了植树活动，一班种了a棵树，二班种的比一班的2倍多b棵，这两个班一共种了多少棵树？【解答】(2a+b+a) 棵, 是整式.类型之二:明辨是非型例2 判断下列各说法是否正确，错误的改正过来；（1）单项式的系数是，次数是2次．（）（2）单项式的次数是1次．（）（3）任何两个单项式的和是多项式．（）（4）是单项式．（）（5）不是单项式．（）（6）的系数是，次数是1次．（）（7）没有系数．（）（8）多项式是一次二项式．（）（9）是二次三项式．解：（1）错．的系数是－，次数是3次．（2）错．单项式的次数是3次．（3）错．任何两个单项式的和不一定是单项式；（4）错．是多项式．（5）错．是单项式．（6）对（7）错．的系数是1．（8）错．多项式是三次二项式．（9）对说明：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，如 的次数是次．任何两个单项式的和不一定是多项式，如单项1与单项式的和为 ，而 为单项式． 可写成 ，因此多项式 是二次三项式．1.下列代数式分别有几项？每一项的系数分别是多少？2x －3y 4a 2－4ab +b 2 －31x 2y +2y －x 【解答】 2x －3y 有2项，每一项的系数分别是2，－3；4a 2－4ab +b 2有3项，每一项的系数分别是：4,－4,1. －31x 2y +2y －x 有3项，每一项的系数分别是－31，2，－1. 2．若－2a m ＋2b 4是7次单项式，则m ＝_______；【解析】:m+2+4=7,m=1;3．多项式x 2－3x －4共有_____项，次数是________．【解析】3,2;4．x 2yz 的系数是________，次数是________．【解析】1, 4.5．如果单项式－2x 2y n 与单项式a 4b 的次数相同，则n=________．【解析】3.6．写出系数为5，含有x 、y 、z •三个字母且次数为4•的所有单项式，•它们分别是_______．【解析】5xy 3，5x 2y 2，5x 3y1.代数式ab －mn －81πn 2+1是哪几项的和？每项的系数分别是什么？ 【解析】式子中数与字母的积为一项，如ab ，－mn ，每一项应包含它前面的符号.单独一个数或一个字母也是一项，字母前的数字因数是它的系数，如ab 的系数是1，－mn 的系数是－1，－81πn 2的系数是－81π，因为π是常数. 【解答】ab －mn －81πn 2+1分别是ab ，－mn ，－81πn 2，1四项的和， 每项的系数分别是1，－1，－81π，1. 2.下列代数式中，哪些是整式？单项式？多项式？ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，π，2y x －，12－x x 【解析】整式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，2y x －; 单项式: －5; 多项式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，2y x －; 3.求下列各单项式的系数及次数：73xy ，－ab 2c 【解析】73xy 的系数及次数:73,2; －ab 2c 的系数及次数:－1,4; 4.说出下列多项式为几次几项式？ －31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 【解析】－31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 5.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．①ab 两数的积除以ab 两数的和；②ab 两数的积的一半的平方；【解析】:①ab÷(a+b)=b a ab +;（2）(ab 21)2=2241b a ;例1、将多项式3+6x 2y －2xy －5x 3y 2－4x 4y 先按字母x 升幂排列，再按x 降幂排列。
整式基本概念讲解与练习及单元测试题
整式基本概念讲解与练习一．单项式：数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式。
练习：判断下列各代数式哪些是单项式？(1) ； (2)a bc； (3)b2； (4)－5a b2； (5)y； (6)－xy2； (7)－5。
单项式系数和次数：单项式系数：单项式中的数字因数单项式次数：单项式中的各字母指数之和判断下列各代数式是否是单项式。
如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
练习：1、判断下列各代数式是否是单项式。
如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数①x＋1；② ；③πr2；④－a2b。
2、下面各题的判断是否正确？①－7xy2的系数是7；②－x2y3与x3没有系数；③－a b3c2的次数是0＋3＋2；④－a3的系数是－1；⑤－32x2y3的次数是7；⑥ πr2h的系数是 1二、多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中，不含字母的项，叫做常数项.例如，多项式有三项，它们是，－2x，5。
其中5是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式是一个二次三项式。
练习：1、指出下列多项式的项和次数：(1)3x－1＋3x2； (2)4x3＋2x－2y2。
2、指出下列多项式是几次几项式。
(1)x3－x＋1； (2)x3－2x2y2＋3y2。
3、判断：①多项式a3－a2ｂ＋a b2－b3的项为a3、a2ｂ、a b2、b3，次数为12；②多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1。
4、已知代数式3x n－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。
三、多项式的升(降)幂排列：把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x3＋5x2＋3x－1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。
练习：1、把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列2、把多项式a3－b3－3a2b＋3a b2重新排列。
整式基本概念及加减运算.题库教师版
整式的加减板块一 代数式、单项式、多项式代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时，应注意以下几点：（1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （2） 字母与字母相乘时可以省略乘号；（3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式；（4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起来；（5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.单项式： 像2-a ，2r π，213-x y ，-abc ，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-.单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式212-ab c ，它的指数为1214++=，是四次单项式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把47叫做单项式247x y 的系数.同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27319-+x x 是多项式.多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式： 单项式和多项式统称为整式.【例1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？⑴21+x ⑵23ab ⑶0 ⑷10⨯n a ⑸+=+a b b a ⑹32> ⑺2πS R = ⑻347+= ⑼π 【考点】代数式的概念 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】⑴、⑵、⑶、⑷、⑼是代数式，其它的不是代数式.首先根据代数式定义可知，代数式是用基本的运算符号连接而成的式子，单独的数字或字母也是代数式；其次代数式当中不含有等号或不等号.【答案】⑴、⑵、⑶、⑷、⑼是代数式，其它的不是代数式.【例2】 a ，b ，c 都是有理数，试说出下列式子的意义：① 0a b +=； ② 0abc >； ③ 0ab ≠； ④ 1ab =-；⑤ 2||0a b +=； ⑥ ()()()0a b b c c a ---=； ⑦ 22a b +；⑧ ()2a b + 【考点】代数式的概念 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】注意本题中都不是代数式，只是用字母来表达的式子，通过这道题目，我们想对上节课的有关知识进行回顾.同时让学生慢慢接触、感受用字母来表达数学含义．①0a b += ，a b ，互为相反数； ②0abc > ，a b c ，，中负数的个数为偶数个； ③0ab ≠，则说明,a b 均不为0； ④1ab =- ，,a b 互为负倒数； ⑤2||0a b += ，,a b 均等于0； ⑥a b c ，，中至少有两个相等； ⑦ a 与b 的平方和； ⑧a 与b 和的平方．【答案】见解析【例3】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？① 21x + ② 23ab ③ 0 ④ 10n a ⨯ ⑤ a b b a +=+ ⑥ 32> ⑦ 2S R π= ⑧ 347+= ⑨ π 【考点】代数式的概念 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】①、②、③、④、⑨是代数式，其它的不是代数式.首先根据代数式定义可知，代数式是用基本的运算符号连接而成的式子，单独的数字或字母也是代数式；其次代数式当中不含有等号或不等号.【答案】①、②、③、④、⑨是代数式，其它的不是代数式【例4】 讲下列代数式分别填入相应的括号内：222221112113232333a x ab x x m n mn n x b x y x-+-+-+-+，，，，，，， 单项式（ ）； 多项式（ ）； 二项式（ ）； 二次多项式（ ）； 整式（ ） 【考点】整式的相关概念 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】【解析】单项式有21123ab ，多项式有22123233x x x m n mn n -+-+-，，二项式有223x x x -+，二次多项式有2x x +整式有2221112322333x ab x x m n mn n -+-+-，，，，【答案】单项式有21123ab ，多项式有22123233x x x m n mn n -+-+-，，二项式有223x x x -+，二次多项式有2x x +整式有2221112322333x ab x x m n mn n -+-+-，，，，【例5】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.223xy ；-a ；a bc ；32+mn ；572t ；233-a b c ；2；-x π【考点】整式的相关概念 【难度】1星 【题型】解答【关键词】【解析】223xy ，-a ，572t ，233-a b c ，2，-xπ是单项式.223xy 的系数是23，次数是3；-a 的系数是1-，次数是1；572t 的系数是52，次数是7； 233-a b c 的系数是3-，次数是6；2是单项式，次数是0，系数2；-x π的系数为1-π，次数为1.【答案】见解析【例6】 下列代数式中那些是单项式？指出这些单项式的系数和次数：2341523133x xya b x abc x --+，，，，，【考点】整式的相关概念 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】单项式有23423xya b abc -，， 2342a b 的系数和次数分别是47，；3xy -的系数和次数分别是123-，；abc 的系数和次数分别是13， 【答案】见解析【巩固】 写出一个系数是2004，且只含x 、y 两个字母的三次单项式是 . 【考点】整式的相关概念 【难度】1星【题型】填空【关键词】2004年，内江中考【解析】开放性题目，答案不惟一，22004xy 或22004x y 【答案】22004xy【例7】 写出下面式子的同类项：⑴256x y ⑵11π2-c a ⑶72xy z ⑷π【考点】同类项 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】本题为开放性题目，答案不惟一，特别注意⑷，π为常数，所以它的同类项为任何常数. 【答案】见解析【例8】 下列各对单项式中不是同类项的是（ ）A ．4234x y -与()224x y - B ．4328x y 与3415y x -C ．215a b 与20.02abD ．43-与34- 【考点】同类项 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】【解析】A 和B 是同类项，D 也是同类项，所以选择C 【答案】C【例9】 单项式113+--a b a x y 与23x y 是同类项，求-a b 的值.【考点】同类项 【难度】1星 【题型】解答【关键词】2005年，湖北省，荆州中考【解析】根据题意可知2+=a b ，11-=a ，所以2=a ，0=b ，2-=a b 【答案】2【例10】 已知33mn a b 和33ab -是同类项，且229A mx xy y =-+，223B x nxy y =-+，求(){}232A B A B A --+-⎡⎤⎣⎦的值【考点】同类项 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】由题意得：(){}232A B A B A A B --+-=-⎡⎤⎣⎦ ()()222293mx xy y x nxy y =-+--+()()239m x n xy =---因为33mn a b 和33ab -是同类项所以1333m n==，，即39m n ==，，将m n ，的值代入上式原式0=【答案】0【巩固】 已知关于x y ，的单项式333n x y +和214m y x --是同类项，则m = ，n = 【考点】同类项 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】【解析】根据同类项的定义，得34213n m +=-=，，即21m n ==， 【答案】21m n ==，【巩固】 若3-m m ma b 与n nab 是同类项，求2003()-n m 的值. 【考点】同类项 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】根据题意可知1=m ，3-=m n ，2=n ，所以20032003()(21)1-=-=n m 【答案】1【巩固】 若12223559+--m m n a b与2a b 是同类项，求m ，n 的值.【考点】同类项【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】根据题意有1223+=m ，22155-=m n ，可得0=m ，52=-n【答案】0=m ，52=-n【巩固】 设m 和n 均不为零，233x y 和2235m n x y ++-是同类项，则322332233395369m m n mn n m m n mn n -++=+-+【考点】同类项 【难度】1星 【题型】填空【关键词】第10届，华罗庚金杯【解析】由222m n ++=，得2n m =-，代入原式，原式5597= 【答案】5597【巩固】 若25x a b 与30.9ya b 是同类项，求x ，y 的值. 【考点】同类项 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】根据同类项定义可知：3=x ，2=y ，所以3=±x ，2=±y 【答案】3=±x ，2=±y【巩固】 若4413a b x y z 和827a c x y -是同类项，求a b c ++的值．【考点】同类项 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】据同类项的定义可得：48240a a c b =-==，，，即2101a c b a b c ==-=++=，，，．【答案】1【例11】 同时都含有a b c ，，，且系数为1的7次单项式共有（ ）个A ．4B ．12C ．15D ．25【考点】整式的相关概念 【难度】4星 【题型】选择 【关键词】【解析】设m n p a b c 为所求单项式，m n p ，，都是正整数，且由7m n p ++=可知：当1m =时，1234554321n p ==，，，，，，，，，，有5个 当2m =时，12344321n p ==，，，，，，，，有4个 当3m =时，123321n p ==，，，，，，有3个 当4m =时，1221n p ==，，，，有2个 当5m =时，1n p ==，有1个 所以共有15个【答案】15【例12】 填空：若单项式()122nn x y --是关于x y ，的三次单项式，则n = 【考点】整式的相关概念【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】由题意，得213n +-=，得0n =或2，当2n =时，系数20n -=，不符合题意；当0n =时适合题意，所以0n =【答案】0【例13】 含字母x 和y ，且系数为1的四次单项式是 【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】显然，含有x 和y 的单项式中，x 和y 的指数和为4，所以所求单项式为3223x y x y xy ，， 【答案】3223x y x y xy ，，【例14】 将多项式223421-+-x y xy x y 按x 的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项.【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】解答【关键词】人大附中练习【解析】223421-+-x y xy x y 按x 的降幂排列为：322241+--x y x y xy ，是四次四项式，系数最小项为24-xy . 【答案】322241+--x y x y xy ，是四次四项式，系数最小项为24-xy【巩固】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式.⑴424215+-x x ； ⑵2+a ab b ； ⑶33332++-a ab b a b ； ⑷+x y x. 【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】⑴424215+-x x ，是多项式，是四次三项式；⑶33332++-a ab b a b 是多项式，是四次四项式.⑵、⑷有字母在分母上，故不是多项式.【答案】见解析【例15】 若多项式4332531x ax x x bx x -+----不含x 的奇次项，求a b +的值 【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】这多项式的奇次项是333ax x bx x -+--，，，，由题意得1030a b -+=--=，，得13a b ==-，，所以2a b +=-【答案】2-【例16】 若多项式()22532mx y n y +--是关于x y ，的四次二项式，求222m mn n -+的值【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】由题意24m +=且30n -=，得23m n =±=，，当23m n ==，时，2221m mn n -+=；当2m =-，3n = 时，22225m mn n -+=【答案】25【巩固】 当m 取什么值时，2123(2)3-+-m m x y xy 是五次二项式？ 【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】由题意得213-=m ，且20+≠m .所以2=m .当2=m 时，2123(2)3-+-m m x y xy 是五次二项式.【答案】2【例17】 设m n ，表示正整数，多项式4m n m n x y ++-是几次几项式 【考点】整式的相关概念 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】注意到4m n +是常数项，所以当m n ≥时，多项式是m 次三项式；当m n <时，多项式是n 次三项式 【答案】所以当m n ≥时，多项式是m 次三项式；当m n <时，多项式是n 次三项式【例18】 一个多项式按x 的降幂排列，前几项如下：1098273234...x x y x y x y -+-+试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？ 【考点】整式的相关概念 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】观察发现，各项的系数按123 4...+-+-，，，的规律出现，并且每项的次数都是10，可知第7项及最后一项分别是467x y 和1011y ，这个多项式是10次十一项式【答案】10次十一项式【例19】 已知()727012721...x a a x a x a x -=++++对任意x 的值都成立，求下列各式的值：⑴0127...a a a a ++++；⑵1357a a a a +++【考点】整式的相关概念 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】⑴上式是关于x 的恒等式，可以将1x =代入，得 0127...1a a a a ++++= ⑵将1x =-代入等式得()70127...32187a a a a -+--=-=-上面两式相减得()135722188a a a a +++= 即13571094a a a a +++=【答案】1094【例20】 试分别用两种不同的标准对下列多项式进行分类：22223221x x ax bxy cy ab b a x x -++++---，，， 【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】多项式可以按它们的项数、次数进行分类，也可以观察它们的字母、各项的系数不同等进行分类，这是开放性题，答案不唯一，如：按项数分：二项式232x x -；三项式2221ax bxy cy x x ++--，；四项式2ab b a ++- 按次数分：二次多项式223221x x ab b a x x -++---，，；三次多项式22ax bxy cy ++ 按所含字母个数分：含有一个字母的多项式22321x x x x ---，；含有两个字母的多项式2ab b a ++-；含有五个字母的多项式22ax bxy cy ++按系数的正负情况分：各项系数都是正数的多项式22ax bxy cy ++；含有负数系数的多项式 223221x x ab b a x x -++---，，【答案】见解析【例21】 如左图，计算四边形AECF 的面积．D【考点】整式的综合运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】四边形AECF 的面积为：()()111176365326226222245134236422a b b b a b a a b b b a ab ab ab ab ab ab⋅-+⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅=----=【答案】132a【例22】 如右图，用含有x 的代数式表示糟型钢材的体积．2【考点】整式的综合运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】槽型钢材的体积为：()()()()22323232232727627271242271035V x x x x x x x x x x x x x x x x=⋅⋅+-⋅⋅+=+-+=+--=+【答案】321035x x +【巩固】 如图所示，用x 的代数式表示零件的体积．2x【考点】整式的综合运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】321525x x +. 【答案】321525x x +【巩固】如图，一块直径为a b+的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩下钢板的面积．（φ表示圆的直径）【考点】整式的综合运算【难度】3星【题型】解答【关键词】ab．【解析】钢板的面积为：π2ab【答案】π2【巩固】边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积．2aa2aa【考点】整式的综合运算【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】22a【答案】22a板块二整式加减合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变.【例23】按要求将下列多项式添上括号：将多项式22-+-中含有字母的项放在前面带有负号的括号x xy y944内；【考点】整式的相关概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】原式()22=--+944x xy y【答案】()22944x xy y --+【例24】 将多项式2212222a b ab a b -+-++中二次项放在前面带正号的括号内，一次项放在前面带有负号的括号内 【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式()()2212222a b ab a b =--+-++ 【答案】()()2212222a b ab a b --+-++【例25】 若232+m m n a b 与39a b 的和仍是一个单项式，求m 、n 的值. 【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2003年，山东烟台中考【解析】根据题意可知，232+m m n a b 与39a b 是同类项，所以3=m ，1=n .【答案】3=m ，1=n .【巩固】 两个三次多项式相加，和是（ ）A ．六次多项式 A ．三次多项式 A ．不超过三次的多项式 A ．不超过三次的整式 【考点】整式的相关概念 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】合并同类项后，结果的次数不可能超过三次，但可能低于三次，且结果可能是多项式，也有可能是单项式，所以选D【答案】D【例26】 去括号，在合并同类项：()()322224310x x x x x -+--+-【考点】去（添）括号 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式32232x x x =-++ 【答案】32232x x x -++【巩固】 化简：2222----x x x x 【考点】整式的加减 【难度】2星【题型】解答 【关键词】【解析】原式22(1111)4=----=-x x 【答案】24x -【例27】 化简：3223225115225363363--+-+++a b a b ab a b ab ba【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式322322512513511(5)()(23)63363632=++-++-++-=+++a b a b ab a b a b ab【答案】3223511632a b a b ab +++【例28】 化简：1110.50.20.3+++--+-n n n n n x x x x x 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式11(10.2)(0.510.3)0.80.2++=-+-+-=+n n n n x x x x 【答案】10.80.2n n x x ++【巩固】 化简：2235()()2()3()()+-+-+++-+x y y x y x x y x y 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式223325()()2()3()()()3()2()=+-+-+++-+=-+++++x y x y x y x y x y x y x y x y 【答案】223325()()2()3()()()3()2()=+-+-+++-+=-+++++x y x y x y x y x y x y x y x y【例29】 化简：222()()6()11()---+---a b b a b a a b 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2222()()6()11()8()10()=-+-+---=---a b a b a b a b a b a b 【答案】2222()()6()11()8()10()=-+-+---=---a b a b a b a b a b a b【巩固】 化简：222()3()2()-----a b a b b a【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2222()3()2()4()=-----=--a b a b a b a b【答案】2222()3()2()4()=-----=--a b a b a b a b【例30】 若323951=--A a b b ，233782=-++B a b b .求：⑴2+A B ；⑵3-B A 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答【关键词】三帆单元测试【解析】⑴32323322(951)(782)+=--+-++A B a b b a b b 322331872=--a b a b b⑵23332333(782)(951)-=-++---B A a b b a b b 23323219297=--++a b a b b【答案】⑴322331872=--a b a b b ；⑵23323219297=--++a b a b b【巩固】 求23336--a b a b 与322673-+a a b b 的和 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】23332323(36)(673)42=--+-+=-+a b a b a a b b a b b【答案】23332323(36)(673)42=--+-+=-+a b a b a a b b a b b【巩固】 若22253=--A x xy y ，22234=+-B x xy y ，且230--=A B C ，求C . 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】由230--=A B C 得：222222232(253)3(234)2196=-=---+-=--+C A B x xy y x xy y x xy y 【答案】222222232(253)3(234)2196=-=---+-=--+C A B x xy y x xy y x xy y【例31】 已知21A a a =++，21B a a =-+，求()2A B A A B ----⎡⎤⎣⎦ 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】先将原式化简，得()3A B -，并求得2A B a -=，所以原式326a a =⨯= 【答案】326a a =⨯=【例32】 化简：22374(3)⎡⎤---+⎣⎦x x x x 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式222223741233122312⎡⎤⎡⎤=--++=-++=--⎣⎦⎣⎦x x x x x x x x x ，由内向外逐层去括号 【答案】222223741233122312⎡⎤⎡⎤=--++=-++=--⎣⎦⎣⎦x x x x x x x x x【巩固】 化简：2222222243{3[24(2)]}--+--+-xy x y x y xy xy x y x y xy 【考点】整式的加减 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】(法1)：(由内向外逐层去括号)原式2222222243[3(242)]=--+--+-xy x y x y xy xy x y x y xy2222222222243(33)43639xy x y x y xy x y xy x y x y xy xy x y =--++=---=- (法2)：(由外向内进行)原式22222222433[24(2)]=---+-+-xy x y x y xy xy x y x y xy2222222222223624(2)510239=-+-+-=-+-=-xy x y xy x y x y xy xy x y x y xy xy x y 【答案】2239xy x y -【例33】 第一个多项式是2222-+x xy y ，第二个多项式是第一个多项式的2倍少3 ，第三个多项式是前两个多项式的和，求这三个多项式的和. 【考点】整式的加减 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】设=A 2222-+x xy y ，则第二个多项式为23-A ，第三个多项式是(23)+-A A .所以这三个多项式的和为：(23)[(23)]+-++-A A A A 232366=+-++-=-A A A A A 22226(22)6612126=-+-=-+-x xy y x xy y 【答案】22612126x xy y -+-【巩固】 已知多项式A 与223x x +-相加得2233x x --+，求多项式A 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】根据题意()()22223323356A x x x x x x =--+-+-=--+【答案】2356x x --+【例34】 已知两个多项式的和为2321x x -+，差是245x x +-，求这两个多项式【关键词】【解析】设这两个多项式分别为A B ，，则2232145A B x x A B x x ⎧+=-+⎪⎨-=+-⎪⎩，解得222233A x x B x x ⎧=+-⎪⎨=-+⎪⎩【答案】222233A x x B x x ⎧=+-⎪⎨=-+⎪⎩【巩固】 求比多项式22523--+a a ab b 少25-a ab 的多项式.【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】设这个多项式为A ，222(523)(5)=--+--A a a ab b a ab 222a ab b =--+【答案】222a ab b =--+【例35】 从一个多项式减去10211-+ab bc ，由于误认为加上这个式子，结果得到的答案是33-bc ab .求出正确的答案. 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】设原多项式为A ，由题意得：(10211)33+-+=-A ab bc bc ab ，故33(10211)13511=---+=-+-A bc ab ab bc ab bc ，所以正确的答案(13511)(10211)23722=-+---+=-+-ab bc ab bc ab bc【答案】(13511)(10211)23722=-+---+=-+-ab bc ab bc ab bc【例36】 有这样一道题：“已知222223=+-A a b c ，22232=--B a b c ，22223=+-C c a b ，当1=a ，2=b ，3=c 时，求-+A B C 的值”．有一个学生指出，题目中给出的2=b ，3=c 是多余的．他的说法有没有道理？为什么？ 【考点】整式的加减 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】2222222222(223)(32)(23)-+=+----++-=A B C a b c a b c c a b a ，其与2=b ，3=c 无关，所以他的说法是有道理的.从中体会先化简后带入求值的必要性和简便性.【答案】2222222222(223)(32)(23)-+=+----++-=A B C a b c a b c c a b a【巩固】 若2347=++-A x y xy x ，233=+-B x y xy x ，且3-A B 与x 无关，求y 与3-A B 的值.【关键词】【解析】223(347)3(33)5107-=++--+-=-+-A B x y xy x x y xy x xy x3-A B 与x 无关，所以51075(2)7-+-=---xy x x y 中20-=y ，即2=y ，此时37-=-A B【答案】37-=-A B【例37】 已知2351+=-+A B x x ，2235-=-+-A C x x .当2=x 时，求+B C 的值. 【考点】整式的加减 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】22()()(351)(235)+=+--=-+--+-B C A B A C x x x x 2235123536=-++-+=-+x x x x x 当2=x 时，原式363260=-+=-⨯+=x .【答案】0【例38】 已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16，求2x =时，代数式423ax cx ++的值 【考点】整式的加减 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】由题意可得：当2x =时，4323ax bx cx dx ++++的值为20 所以4322222320a b c d ++++= 因为当2x =-时，原式的值为16，所以 4322222316a b c d -+-+=两式相加可得：()42222336a c ++=即4222318a c ++=所以当2x =时，代数式423ax cx ++的值为18【答案】18【巩固】 已知当2x =时，代数式32ax bx -+的值是1-，求当2x =-时，这个代数式的值 【考点】整式的加减 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】由题意可得8221a b -+=-，即823a b -=-，当2x =-时，原式()()822822325a b a b =-++=--+=--+=【答案】5【巩固】 设22232=-+-+A x xy y x y ，22462=-+-B x xy y y ，若23(5)0-++=x a y ，且2-=B A a ，求A 的值.【考点】整式的加减 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】由23(5)0-++=x a y ，得3=x a ，5=-y22222(462)2(232)25=-=-+---+-+=-a B A x xy y y x xy y x y x y ，故235(5)=⨯-⨯-a a即得：5=-a ，所以当315==-x a ，5=-y 时，22232255=-+-+=A x xy y x y【答案】255【例39】 先化简，再求值：若3=-a ，4=b ，17=-c ，求{}222278(2)⎡⎤--+-⎣⎦a bc a cb bca ab a bc 的值. 【考点】整式的加减【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】注意第一步先将原式中的字母按a 、b 、c 的顺序排好，这也是一个小窍门原式{}2222278(2)2⎡⎤=--+-=-+⎣⎦a bc a bc a bc ab a bc a bc ab ，将3=-a ，4=b ，17=-c 代入求值可得原式127=-【答案】127-【例40】 先化简，在求值：()222352x x x x x ⎡⎤-----⎣⎦，其中223x = 【考点】整式的加减【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】先化简，原式6x =-，当223x =时，原式86163=-⨯=-【答案】16-【例41】 化简求值：()()()()22522322x y x y x y y x -+-----，其中314x y ==， 【考点】整式的加减 【难度】2星【题型】解答 【关键词】【解析】将()2x y -看成整体，合并同类项，原式()()24222x y x y =---，当314x y ==，时，122x y -=-，所以原式2=【答案】2【例42】 化简求值：()()3235122ab b a ab b a -+---⎡⎤⎣⎦，其中253a b ab +=-=-， 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】先化简，原式()3235122252ab b a ab b a ab a b =-+-++=-++，当325ab a b =-+=-，时，原式19=- 【答案】19-【巩固】 若1=-a ，2=-b ，3=-c 计算：⑴118(2)(8)9++---+--n n n n n a a a a a⑵2222225[3(2)(7)]-----+a b a b ab a c ab a c【考点】整式的加减 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】注重强调先化简，再求值⑴原式11111828982989+++++=+---=+---=-n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a若1=-a ，则原式119(1)9(1)++=-=---n n n n a a ， 当n 为偶数时，119(1)9(1)1910++=-=---=+=n n n n a a 当n 为奇数时，119(1)9(1)1910++=-=---=--=-n n n n a a⑵原式222222222225[327]5[35]25=--++-=-+=-a b a b ab a c ab a c a b a b ab a b ab1=-a ，2=-b ，所以原式222(1)(2)5(1)(2)16=⨯-⨯--⨯-⨯-=【答案】见解析【例43】 已知2(2)50++++=a a b ，求222232(2)4⎡⎤-----⎣⎦a b a b ab a b a ab . 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2004年，山西中考【解析】由题意可得：2=-a ，3=-b ，2222232(2)4422⎡⎤-----=+=⎣⎦a b a b ab a b a ab ab a 【答案】22【巩固】 已知a 、b 、c 满足：⑴()253220++-=a b ；⑵2113-++a b c x y 是7次单项式；求多项式()22222234⎡⎤------⎣⎦a b a b abc a c a b a c abc 的值． 【考点】整式的加减 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】由()253220++-=a b ，非负数的性质得30+=a ，20-=b ，则3=-a ，2=b .代入⑵中，2(3)1213--++cx y为7次单项式，所以()23127--+++=c ，可得1=-c ， 化简原式22222234=-+--+-a b a b abc a c a b a c abc 2233=+-abc a c a b当3=-a ，2=b ，1=-c 时，原式()()()()()2232133133275=-⨯⨯-+⨯-⨯--⨯-⨯=-【答案】75-【例44】 对任意实数x ，试比较下列每组多项式的值的大小：2452x x -+与2352x x -- 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】因为()()22245235240x x x x x -+---=+>，所以22452352x x x x -+>-- 【答案】>【例45】 比较大小：2521x x --与2532x x -+ 【考点】整式的加减 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】因为()()225215323x x x x x ----+=-，当3x >时，22521532x x x x -->-+；当3x =时，可知22521532x x x x --=-+；当3x <时，22521532x x x x --<-+【答案】<【例46】 应用整式知识解答下列各题：⑴任意写出一个三位数，然后把这个三位数的百位数和个位数交换位置，得到另一个三位数，求证：这两个三位数的差总能被99整除⑵一个三位数，将它的各位数字分别按从大到小和从小到大的顺序重新排列，把所得到的两个三位数相减，若差等于原来的三位数，则称这个三位数为“克隆数”。
1.2 整式
4．如果 a－3b＝－3，那么代数式 5－a＋3b 的值是( D ) A．0 B．2 C．5 D．8
5．如果代数式 4y2－2y＋5 的值为 7，那么代数式 2y2－y＋1 的值等于( A．2 B．3 C．－2 D．4
A )
6．若 m2－n2＝6，且 m－n＝3，则 m＋n＝2.
7．化简：(x＋3) 2－(x－1)(x－2)． 9x＋7
4.(2010·日照中考)由m(a+b+c)=ma+mb+mc，可得：(a+b)(a2 －ab+b2)=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即(a+b)(a2－ ab+b2)=a3+b3． ① 我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( (A)(x+4y)(x2－4xy+16y2)=x3+64y3 (B)(2x+y)(4x2－2xy+y2)=8x3+y3 (C)(a+1)(a2＋a+1)=a3+1 )
)
(D)②④⑤
(C)③④⑤
【解析】选B.③(a+b)2=a2+2ab+b2，⑤3x2-4x≠-x.
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.xa=4,xb=3,则xa-2b=_____.
【解析】xa-2b=xa÷x2b=xa÷(xb)2=4÷32=
4 答案： 9
4 . 9
7.(2010·青岛中考)如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图
【答案】D
4．(2010· 昆明)下列各式运算中，正确的是( A．(a＋b)2＝a2＋b2 C．a3· a4＝a12 B. －32＝3 3 6 D．( )2＝ 2(a≠0) a a )
初一寒假 第3讲 整式的概念
初一寒假 第三讲 整式（一）知识点1、代数式：（1）用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
（2）注意：单独的一个数或字母也是代数式。
2、整式：单项式和多项式统称为整式3、单项式：（1）单项式：像2a -，2πr ，213x y -，abc -，237x yz ，…，这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式。
（2）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和。
（3）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数。
4、多项式：（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
（2）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项。
（3）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
（4）多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.5、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。
（二）例题类型一、整式例1、下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有（）A．3个B．4个C．6个D．7个类型二、单项式与多项式例2、下列关于单项式﹣的说法中，正确的是（）A．系数是﹣，次数是2 B．系数是，次数是2C．系数是﹣3，次数是3 D．系数是﹣，次数是3例3、多项式1+2xy﹣3xy2的次数为（）A．1 B．2 C．3 D．5例4、观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…（1）按此规律写出第9个单项式；（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？例5、多项式x5y2+2x4y3﹣3x2y2﹣4xy是（）A．按x的升幂排列B．按x的降幂排列C．按y的升幂排列D．按y的降幂排列类型三、同类项例6、按某种标准把多项式进行分类时，3x3﹣4和a2b+ab2+1属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类（）A．abc﹣1 B．x2﹣2 C．3x2+2xy4D．m2+2mn+n2例7、已知关于x的多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3和x2，则（）A．m=﹣5，n=﹣1 B．m=5，n=1 C．m=﹣5，n=1 D．m=5，n=﹣1（三）练习题基础题1、下列代数式：（1）﹣mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+中，整式有（）A．3个B．4个C．6个D．7个2、下列各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有（）A．3个B．4个C．6个D．7个3、如果单项式2a n b2c是六次单项式，那么n的值取（）A．6 B．5 C．4 D．34、一组按规律排列的式子：a2，，，，…，则第2016个式子是（）A．B．C．D．5、代数式3x2y﹣4x3y2﹣5xy3﹣1按x的升幂排列，正确的是（）A．﹣4x3y2+3x2y﹣5xy3﹣1 B．﹣5xy3+3x2y﹣4x3y2﹣1C．﹣1+3x2y﹣4x3y2﹣5xy3 D．﹣1﹣5xy3+3x2y﹣4x3y26、下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab7、若﹣x3y a与x b y是同类项，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、已知单项式﹣2x2y的系数和次数分别是a，b．（1）求a b﹣ab的值；（2）若|m|+m=0，求|b﹣m|﹣|a+m|的值．9、观察下列各式：﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…（1）写出第2014个和2015个单项式；（2）写出第n个单项式．10、若关于x、y的多项式x2y﹣（a﹣4）x2+（8b﹣a+2）xy+3x﹣2y﹣7不含二次项，则a101•（﹣b）100的值为多少？11、已知多项式（3﹣b）x5+x a+x﹣6是关于x的二次三项式，求a2﹣b2的值．12、已知﹣4xy n+1与是同类项，求2m+n的值．13、将多项式2a3+a2b﹣b3﹣5ab2按字母b的降幂排列是（）A．2a3﹣b3﹣5ab2+a2b B．a2b﹣b3﹣5ab2+2a3C．﹣b3﹣5ab2+a2b+2a3D．﹣b3+a2b﹣5ab2+2a314、m，n都是正数，多项式x m+x n+3x m+n的次数是（）A．2m+2n B．m或nC．m+n D．m，n中的较大数15、若2x2m y3与﹣5xy2n是同类项，则|m﹣n|的值是（）A．0 B．1 C．7 D．﹣1提高题1．观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是．2．如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为．3．下列式子：x2+2，+4，0，，，中，整式有个．4．代数式﹣的系数是．5．已知：A=ax2+x﹣1，B=3x2﹣2x+1（a为常数）①若A与B的和中不含x2项，则a=；②在①的基础上化简：B﹣2A．6．已知﹣5x3y|a|﹣（a﹣4）x﹣6是关于x、y的七次三项式，求a2﹣2a+1的值．7．请你做评委：在一堂数学活动课上，同在一合作学习小组的小明、小丁、小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受：小明说：“绝对值不大于4的整数有7个．”小丁说：“若|a|=3，|b|=2，则a+b的值为5或1．”小彭说：“单项式的系数是﹣2，多项式﹣2x+x2y+y3是三次三项式．”你觉得他们的说法正确吗？如不正确，请帮他们修正，写出正确的说法．8．已知多项式（2mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x），是否存在m，使此多项式与x无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值．9．对于多项式（n﹣1）x m+2﹣3x2+2x（其中m是大于﹣2的整数）．（1）若n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，求m的值；（2）若该多项式是关于x的二次单项式，求m，n的值；（3）若该多项式是关于x的二次二项式，则m，n要满足什么条件？10．已知单项式是同类项，求代数式2x﹣7y的值．11．如果﹣a|m﹣3|b与是同类项，且m、n互为负倒数．求：n﹣mn﹣m的值．12、已知关于x、y的多项式mx2+4xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣4y合并后不含有二次项，求n﹣m的值．13、如果单项式5mx a y与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求（1）（7a﹣22）2013的值；（2）若5mx a y﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2014的值．（四）答案例题答案：例1、【解答】解：根据整式的概念可知，整式有：（1）mn；（2）m；（3）；（5）2m+1；（6）；（8）x2+2x+．共6个．故选C．例2、【解答】解：单项式﹣的系数是：﹣，次数是3．故选D．例3、【解答】解：多项式1+2xy﹣3xy2的次数为3，故选C例4、【解答】解：（1）∵当n=1时，xy，当n=2时，﹣2x2y，当n=3时，4x3y，当n=4时，﹣8x4y，当n=5时，16x5y，∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y．（2）∴n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为n﹣1，∴当n为奇数时的单项式为2n﹣1x n y，该单项式为（﹣1）n+12n﹣1x n y它的系数是（﹣1）n+12n﹣1，次数是n+1．例5、【解答】解：按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，常数项应放在最前面．多项式x5y2+2x4y3﹣3x2y2﹣4xy中，x的指数依次5、4、2、1；因此A不正确；y的指数依次是2、3、2、1，因此C、D不正确．故选B．例6、【解答】解：3x3﹣4和a2b+ab2+1属于同一类，都是3次多项式，A、abc﹣1是3次多项式，故本选项正确；B、x2﹣2是2次多项式，故本选项错误；C、3x2+2xy4是5次多项式，故本选项错误；D、m2+2mn+n2是2次多项式，故本选项错误．故选A．例7、【解答】解：因为多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3和x2．所以含x3和x2的单项式的系数应为0，即m+5=0，n﹣1=0，求得m=﹣5，n=1．故选C．基础题答案：1、【解答】解：整式的有：（1）﹣mn，（2）m，（3），（5）2m+1，（6），（8）x2+2x+，故选：C．2、【解答】解：整式有﹣mn，m，8，x2+2x+6，，，故选C3、【解答】解：∵单项式2a n b2c是六次单项式，∴n+2+1=6，解得：n=3，故n的值取3．故选：D．4、【解答】解：∵一组按规律排列的式子：a2，，，，…，∴第2016个式子是：，故选C．5、【解答】解：3x2y﹣4x3y2﹣5xy3﹣1的项是3x2y、﹣4x3y2、﹣5xy3、﹣1，按x的升幂排列为﹣1﹣5xy3+3x2y﹣4x3y2，故D正确；故选：D．6、【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．故选A．7、【解答】解：∵﹣x3y a与x b y是同类项，∴a=1，b=3，则a+b=1+3=4．故选C．8、【解答】解：由题意，得a=﹣2，b=2+1=3．a b﹣ab=（﹣2）3﹣（﹣2）×3=﹣8+8=0；（2）由|m|+m=0，得m≤0．m≤﹣2时，|b﹣m|﹣|a+m|=b﹣m﹣（a﹣m）=b﹣a=3﹣（﹣2）=5；﹣2＜m≤0时，|b﹣m|﹣|a+m|=b﹣m﹣（m﹣a）=﹣2m+b+a=﹣2m+1．9、【解答】解：（1）由﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…可得第n项的表达式为（﹣1）n，所以第2014个单项式为，第2015个单项式为﹣．（2）由单项式的特点可得第n个单项式为（﹣1）n．10、【解答】解：∵不含二次项，∴a﹣4=0，8b﹣a+2=0，∴a=4，b=，∴a101•（﹣b）100=a100•a•b100=（ab）100•a=×4=4．11、【解答】解：由题意可知：关于x的多项式不能有5次项，且最高次数项为2，∴3﹣b=0，a=2，∴a=2，b=3，∴a2﹣b2=﹣512、【解答】解：由题意得：m=1，n+1=4，解得：m=1，n=3．∴2m+n=5．13、【解答】解：将多项式2a3+a2b﹣b3﹣5ab2按字母b的降幂排列为﹣b3﹣5ab2+a2b+2a3，故选C．14、【解答】解：∵m，n都是正数，∴m+n＞m，m+n＞n，∴m+n最大，∴多项式x m+x n+3x m+n的次数是m+n，故选C15、【解答】解：∵2x2m y3与﹣5xy2n是同类项，∴2m=1，2n=3，解得：m=，n=，∴|m﹣n|=|﹣|=1．故选：B．提高题答案：1．【解答】解：系数依次为1，3，5，7，9，11，…2n﹣1；x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，可见三个单项式一个循环，故可得第2013个单项式的系数为4025；∵=671，∴第2013个单项式指数为2，故可得第2013个单项式是4025x2．故答案为：4025x2．2．【解答】解：∵每一个式子的第二项是2n﹣1x+n，∴第10行第2项的值为29x+10=1034，解得x=2，故答案为2．3．【解答】解：整式有：x2+2，0，，共3个，故答案为3．4．【解答】解：根据单项式系数的定义，单项式的系数为﹣π3．5．【解答】解：①A+B=ax2+x﹣1+3x2﹣2x+1=（a+3）x2﹣x∵A与B的和中不含x2项，∴a+3=0，解得a=﹣3．②B﹣2A=3x2﹣2x+1﹣2×（﹣3x2+x﹣1）=3x2﹣2x+1+6x2﹣2x+2=9x2﹣4x+3．6．【解答】解：∵﹣5x3y|a|﹣（a﹣4）x﹣6是关于x、y的七次三项式，∴3+|a|=7，a﹣4≠0，解得：a=﹣4，故a2﹣2a+1=（a﹣1）2=25．7．【解答】解：小明的说法不正确，理由是绝对值不大于4的整数有9个，故小明说法错误；小丁说法错误，理由是|a|=3，|b|=2，得a=3或a=﹣3，b=2或b=﹣2，a+b=±5或a+b=±1，故小丁说法错误；小鹏说的单项式错误，理由是单项式的系数是﹣，小鹏说的多项式正确．8．【解答】解：（2mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）=2mx2﹣x2+3x+1﹣5x2+4y2﹣3x=（2m﹣1﹣5）x2+4y2+1=（2m﹣6）x2+4y2+1，当2m﹣6=0，即m=3时，此多项式为4y2+1，与x无关．因此存在m，使多项式（2mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x），与x无关，m的值为3．9．【解答】解：（1）当n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，故原式=x m+2﹣3x2+2x，m+2=3，解得：m=1，故m的值为：1；（2）若该多项式是关于x的二次单项式，则m+2=1，n﹣1=﹣2，解得：m=﹣1，n=﹣1；（3）若该多项式是关于x的二次二项式，①n﹣1=0，m为任意实数．则m，n要满足的条件是：n=1，m为任意实数；②当m=﹣1时，n≠﹣1，③m=0时，n≠4．10．【解答】解：由同类项定义得：2x﹣1=5，得x=3，2y=4，得y=2，把x=3，y=2代入2x﹣7y得：2x﹣7y=2×3﹣7×2=﹣8．11．【解答】解：∵﹣a|m﹣3|b与是同类项，∴|m﹣3|=1，|4n|=1，解得：m=4或2，n=，又∵m、n互为负倒数，∴m=4，n=﹣∴n﹣mn﹣m=﹣﹣（﹣1）﹣4=．12、【解答】解：mx2+4xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣4y=（m﹣3）x2+（4+2n）xy﹣x﹣4y，∵合并后不含二次项，∴m﹣3=0，4+2n=0，∴m=3，n=﹣2，∴n﹣m=﹣2﹣3=﹣5．13、【解答】解：（1）由单项式5mx a y与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项，得a=2a﹣3，解得a=3，（7a﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）2013=﹣1；（2）由5mx a y﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，得5m﹣5n=0，解得m=n，（5m﹣5n）2014=02014=0．11。
第6讲 整式的基本概念 --尖子班
第6讲整式的概念⎧⎪⎨⎪⎩字母表示数整式的概念整式同类项 知识点1：字母表示数字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示．2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．3.出现除式时，用分数表示．4.结果含加减运算的，单位前加“（）”．5.系数是带分数时，带分数要化成假分数．【典例】1.2015年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a 元的服装以（45a ﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（ ）A. 将原价降低20元之后，再打8折B. 将原价打8折之后，再降低20元C. 将原价降低20元之后，再打2折D. 将原价打2折之后，再降低20元【解析】解：代数式45a ﹣20的意义是比a 的80%少20元． 故选B【方法总结】根据四则运算法则，代数式（4a﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题5中即先对原价打八折再降低20元。
【随堂练习】1．（2018•永州）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B 两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（）A．商贩A的单价大于商贩B的单价B．商贩A的单价等于商贩B的单价C．商版A的单价小于商贩B的单价D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关【解答】解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0∴0.5b﹣0.5a＜0，∴a＞b．故选：A．2．（2017秋•罗山县期中）每家乐超市出售一种商品，其原价a元，现有三种调价方案：（1）先提价20%，再降价20%；（2）先降价20%，再提价20%；（3）先提价15%，再降价15%．问这三种方案调价结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？【解答】解：由题意可得，（1）中调价结果是：a（1+20%）（1﹣20%）=0.96a，（2）中的调价结果是：a（1﹣20%）（1+20%）=0.96a，（3）中的调价结果是：a（1+15%）（1﹣15%）=0.9775a，由上可得，三种方案调价结果不一样，最后是不是都没恢复原价．知识点2整式1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个多项式叫做几项式；次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．3.单项式和多形式统称为整式【典例】【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个【解析】解：a，b，c的指数分别为：1、1、5；1、2、4；1、3、3；1、4、2；1、5、1；2、1、4；2、2、3；2、3、2；2、4、1；3、1、3；3、2、2；3、3、1；4、1、2；4、2、1；5、1、1；共15种情况，故选C【方法总结】单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果．2.下列说法正确的是（ ）A ．﹣a 是单项式，它的系数为1B ．3x +3xy ﹣3y 2+5是一个多项式C ．多项式x 2﹣2xy+y 2是单项式x 2、2xy 、y 2的和D ．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3【解析】解：A 、﹣a 是单项式，它的系数为﹣1，故选项错误；B 、3x +3xy ﹣3y 2+5有字母在分母上，故不是一个多项式，故选项错误；C 、多项式x 2﹣2xy+y 2是单项式x 2、﹣2xy 、y 2的和，故选项错误；D 、如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3是正确的． 故选D ．【方法总结】１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号，所以单项式前面有“―”时，系数应为负．２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．3.对于多项式2x 2+25x 3+x −13，按x 的升幂排列正确的是（ ） A ．−13+x +2x 2+25x 3 B ．x +2x 2+25x 3−13C ．−13+25x 3+2x 2+xD ．25x 3+2x 2+x −13【解析】解：按x 的升幂排列为−13+x +2x 2+25x 3，故选A【方法总结】给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：1.列出每一项，系数要包含前面的符号；2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；3.最后将各项组合即可。
整式缺项知识点归纳总结
整式缺项知识点归纳总结整式缺项是指在整式中，某个或某些项缺失，例如若干项未被列出来，或是某些常数因数未展开等，缺项的整式需要通过填充缺项，使整个整式更为完整，以便于进一步的运算和分析。
整式缺项的知识点归纳总结如下：一、整式基本概念1. 整式的定义：整式是由数字、变量和运算符号组成的代数表达式，它是代数运算的基本单位。
2. 整式的构成：整式由若干项相加（减）构成，每一项又是由若干个变量的各次幂与各种数相乘再相加（减）构成。
3. 整式的分类：整式包括有理式、无理式、整式等，根据其中变量的指数情况，有单项式和多项式等。
二、整式的基本运算1. 整式的加法运算：对于同类项，可以进行系数相加运算；对于不同类项，可以按照项的类别分别相加。
2. 整式的减法运算：将减数改为负数，再按照加法运算规则进行运算。
3. 整式的乘法运算：使用分配律原则，逐一相乘，然后合并同类项。
4. 整式的除法运算：通过整式除以单项式或整式除以整式，可以得到商式和余式。
5. 整式的混合运算：包括加、减、乘、除等多种运算方式，作为基本运算的综合应用。
三、整式的常用公式与定理1. 整式的因式分解：通过提公因式或使用乘法公式等方法，将整式分解成更简单的形式，以便于后续的运算和分析。
2. 整式的配方法：通过变形、配方法等将其转化成易于计算的形式，例如将多项式化为完全平方或差的平方等。
3. 整式的同解式的变形：通过代数恒等式的变形，使整式等价于另一种形式，以便于运算和分析。
4. 整式的分拆法则：通过将整式分解成多项式或分式的和，以便于计算和分析。
5. 整式的化简法则：通过使用代数运算规则，将整式转化成最简或最规范的形式，便于后续计算和分析。
综上所述，整式缺项是整式运算的重要环节之一，需要在熟练掌握整式基本知识、运算规则和常用公式的基础上，通过填充缺项，使整个整式更为完整，以便于后续的整式运算和分析。
同时，整式的缺项问题也可以进一步引申到代数方程、代数不等式、函数图像等问题，因此整式缺项的学习对于代数学的发展和应用都具有重要的意义。
第5讲 整式的基本概念(解析版)
第5讲 整式的基本概念【学习目标】整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．【基础知识】一、整式的基本概念1、 单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式212ab c -，它的指数为1214++=，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式223xy（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如：27319x x -+是多项式．（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面 的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列． 3、整式：单项式和多项式统称整式． 二：合并同类项 1、同类项的概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．【考点剖析】考点一：整式的基本概念例1．在代数式221135()63x x y m n a +-+，，，0，269y y ++中，整式共有（ ）个A 、5B 、6C 、7D 、8【难度】★【答案】B【解析】1()3x m n x a +和分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都 是整式，故本题中的整式共6个．【总结】本题主要考查整式的概念．例2．找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．223xy ，a -，a bc ，32mn +，572t ，233a b c -，2，x π-． 【难度】★【答案】以上代数式是单项式的有：223xy ，a -，572t ，233a b c -，2，xπ-．223xy 的系数为23，次数为3； a -的系数为-1，次数为1；572t ，系数为52，次数为7；233a b c -，系数为-3，次数为6；2，系数为2，次数为0； xπ-，系数1π-，次数为1．【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．例3．写出下列多项式的次数及最高次项的系数．（1）；（2）413xyx y π+--． 【难度】★【答案】（1）此多项式的次数是3次，最高次项的系数为34；（2）此多项式的次数是2次，最高次项的系数是43π-．【解析】这是一道基础题目，考查的是多项式的系数和次数的概念．例4．解答题：（1）把多项式323562a a a -+-按a 的降幂排列； （2）把多项式按y 的升幂排列；（3）求多项式223252x xy y --+的各项系数之和．【难度】★【答案】（1）325632a a a -++-；（2）3223543x x y xy y -+-+；（3）．【解析】（1）（2）升降幂的概念的考查，（3）多项式223252x xy y --+的各项系数分别为3，，，2，这四个数字之和为．【总结】本题一方面考查多项式的排列，另一方面考查多项式中每一项的系数．例5．多项式44222315352y x x y xy x y -+--是几次几项式？【难度】★★ 【答案】五次五项式【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是235x y -，是五次单项式，故此多项式 的次数为五次，共五项，所以是五次五项式． 【总结】本题主要考查几次几项式的概念．例6．多项式2262n n x x +--+是三次三项式，求代数式221n n -+的值．【难度】★★ 【答案】0或4．【解析】多项式2262n n x x +--+是二次三项式，则分两种情况： （1）当23n +=时，1n =，所以2211210n n -+=-+=；（2）当23n -=时，1n =-，所以2221(11)4n n -+=--=．【总结】本题一方面考查了几次几项式的概念，另外由于没有说最高次项是哪一项，因此要分类讨论．例7．多项式21231365m x y xy x +-+--是六次四项式，单项式352n m x y z -的次数与这个多项式次数相同，求m n ，的值． 【难度】★★【答案】31m n ==，．【解析】由题意知多项式是六次四项式，则可得：2163m m ++==，；又单项式的次数与 多项式的次数相同，所以可得3516n m +-+=，所以1n =．【总结】本题主要考查多项式的次数与单项式的次数，注意两个概念的不同之处．例8．设自然数m n 、满足1m n ≤<，求多项式222n m m n m n x y xy ++-的次数？【难度】★★ 【答案】2或者是n ．【解析】（1）当n ≤2时，次数为2；（2）当n >2时，次数为n ．【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．例9．请各写出一个符合条件的整式：（1）系数是1-，次数是3的单项式； （2）系数是3，次数是1的单项式； （3）常数项为的二次三项式． 【难度】★★【答案】（1）3x -；（2）3x ；（3）22x x +-．【解析】这是一道开放性的题目，主要考查的是整式、单项式和多项式的基础概念，答案不唯一．考点二：合并同类项例1．下列各组单项式中属于同类项的是：①22m n 和22a b ；②312x y -和3yx ；③6xyz 和6xy ；④20.2x y 和20.2xy ；⑤xy 和yx -；⑥12-和2．【难度】★ 【答案】②⑤⑥【解析】①③两个单项式所含字母不相同；④相同字母的次数不相同．【总结】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关．例2．合并下列同类项：（1）2215232x x x x -+-+-； （2）333332m n m n --+；（3）．【难度】★【答案】（1）211232x x --+；（2）332m n -+；（3）25037a a m --． 【解析】（1）原式222111(3)(2)(5)2322x x x x x x =-+--++=--+；（2）原式333333(3)22m m n n m n =-+-+=+（）-；（3）原式．师生总结1、单项式学习中主要注意哪几个方面？2、多项式学习中主要注意哪几个方面？【总结】本题主要考查合并同类项的概念，合并时只需要将同类项的系数相加减即可．例3．单项式449m x y -与223n x y 是同类项，求23m n +的值．【难度】★ 【答案】7【解析】由题意，可得：，解得：，所以12323272m n +=⨯+⨯=．【总结】本题主要考查同类项的概念．例4．合并下列同类项（1）2222210.120.150.12x y x y y x yx +-+； （2）122121342n n n n n x y x y y x y x +++---；（3）．【难度】★★【答案】（1）； （2）4n n x y -； （3）21.4a b ab --． 【解析】（1）原式2222222221(0.12)0.150.10.620.150.12x y yx x y y x x y x y xy =++-=+-； （2）原式121212(32)44n n n n n n n x y x y x y x y x y +++=---=-；（3）原式222(0.8 3.2)(65) 1.4a b a b ab ab a b ab =-++-+=--．【总结】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可．例5．单项式313a b a b x y +--与23x y 是同类项，求a b -的值．【难度】★★【答案】32【解析】由题意，可得：，解得：，所以713442a b -=-=． 【总结】本题主要考查同类项的概念．例6．如果322279m x y x y --+是五次多项式，求m 的值．【难度】★★ 【答案】6【解析】由题意得3256m m -+==，． 【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【过关检测】一、单选题1．（2020·上海七年级期末）单项式324x y -的系数与次数依次是（ ） A ．4，5 B ．－4，5C ．4，6D ．－4，6【答案】B【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而分析即可．【详解】解：单项式324x y -的系数与次数依次是-4和5， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键． 2．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）代数式；0；32x y ；12m ；732-a b；a -；2762--x x 中，单项式有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】直接利用单项式定义分析得出答案． 【详解】解：代数式；0；32x y ；12m ；732-a b；a -；2762--x x 中， 多项式为：；2762--x x ； 分式为：12m ；732-a b； 单项式有：0，32x y ，a -，共3个． 故选C ．【点睛】本题考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题的关键．3．（2020·上海市进才中学北校七年级月考）在1，a ，+a b ，，22x y xy +，32>，1x x+，325+=中，整式共有（ ） A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C【分析】根据整式的定义即可得出答案．【详解】解：根据整式的定义1，a ，+a b ，，22x y xy +这些都是整式 故选：C ．【点睛】本题考查整式的定义，属于基础题型．4．（2020·上海市进才中学北校七年级月考）多项式2244327x y x y x -+-的项数和次数分别是（ ） A ．4，9 B ．4，6C ．3，9D ．3，10【答案】B【分析】根据项数和次数的定义即可求解．【详解】解：多项式2244327x y x y x -+-的项数是4，次数是6， 故答案为：B ．【点睛】本题考查多项式的项数和次数，掌握多项式项数和次数的定义是解题的关键． 5．（2020·上海七年级期末）下列各组中的两个单项式，属于同类项的是（ ） A ．2a 与a B ．2a 与2bC ．2a b 与2abD ．0.2ab -与12ba 【答案】D【分析】根据同类项的概念，一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可进行求解． 【详解】解：A 、a 2与a ，所含字母相同，相同字母的指数不同，不是同类项； B 、2a 与2b ，所含字母不同，不是同类项；C 、2a b 与2ab ，所含字母相同，相同字母的指数不同，不是同类项；D 、0.2ab -与12ba ，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项； 故选：D ．【点睛】本题考查了同类项的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 6．（2020·上海文来实验学校）下列乘法中，不是同类项的是（ ） A ．8与18B ．xy 与12xy -C ．3x 与5yD ．42y x 与2412x y -【答案】C【分析】根据同类项可直接进行排除选项． 【详解】A 、8与18是同类项，故不符合题意；B 、xy 与12xy -是同类项，故不符合题意； C 、3x 与5y 不是同类项，因为不含有相同的字母，故符合题意； D 、42y x 与2412x y -是同类项，故不符合题意； 故选C ．【点睛】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的概念是解题的关键． 二、填空题7．（2021·上海七年级期末）多项式32324x x x -+-的二次项系数是________________． 【答案】-1【分析】先找出多项式中的二次项，根据系数的定义即可得出结论． 【详解】解：多项式32324x x x -+-的二次项为，其系数为-1 故答案为：-1．【点睛】此题考查的是求多项式中某项的系数，掌握多项式中的项的定义和系数的定义是解题关键． 8．（2020·上海七年级期末）将多项式23365x x x --+按字母x 降幂排列，结果为________． 【答案】32365x x x +--【分析】按x 的指数从大到小排列即可．【详解】解：将多项式23365x x x --+按字母x 降幂排列，结果为32365x x x +-- 故答案为：32365x x x +--．【点睛】此题考查的是将多项式降幂排列，掌握降幂的定义是解题关键．9．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）单项式27π2-x y的系数是______，次数是______．【答案】7π2-3 【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．【详解】解：单项式27π2-x y的系数是：7π2-，次数是：3．故答案为：7π2-，3． 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，还要注意π不是字母．10．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）多项式是_______次多项式，常数项是_______． 【答案】三 1-【分析】根据多项式的定义即可得．【详解】多项式是三次多项式，常数项是1-， 故答案为：三、1-．【点睛】本题考查了多项式，掌握理解多项式的概念是解题关键．11．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）观察下列各单项式：按此规律写出第n 个单项式是_________（n 为正整数）【答案】21nx n + 【分析】根据题意，找出单项式的规律即可． 【详解】解：因为，所以第n 个单项式是21nx n +（n 为正整数） ，故答案为：21nx n +．【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．12．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）写出一个只含字母x 的二次三项式，如果它的二次项系数为2，常数项和一次项系数互为相反数，那么这个二次三项式可以为_________（只需写出一种情况） 【答案】2233x x -+（答案不唯一）【分析】根据二次三项式和多项式的系数、次数、常数项的有关概念，只含字母x 及相反数的概念，即可得出答案．【详解】解：∵这个只含字母x 的二次三项式常数项和一次项系数互为相反数， ∴常数项可以是3，则一次项系数为-3， ∵它的二次项系数为2，∴这个二次三项式可以是：2233x x -+．故答案为2233x x -+（答案不唯一）【点睛】本题考查了多项式及相反数．关键是能根据多项式的系数、次数、常数项的有关概念写出多项式．13．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）单项式23x y-的系数是_______ ，次数是_______．【答案】13-3 【分析】根据单项式的系数与次数的定义即可得．【详解】单项式23x y-的系数是13-，次数是213+=，故答案为：13-，3． 【点睛】本题考查了单项式的系数与次数，熟记定义是解题关键．14．（2020·上海市进才中学北校七年级月考）把多项式按字母y 的降幂排列是__________． 【答案】42325232xy y x y x -++++【分析】根据题意，先计算多项式的每个项中字母y 的指数，再将每个项按字母y 指数的降幂重新排列即可．【详解】将多项式按字母y 的降幂排列：42325232xy y x y x -++++ 故答案为：42325232xy y x y x -++++．【点睛】本题考查多项式的降幂排列，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 15．（2021·上海七年级期末）如果单项式24m a bc 为7次单项式，那么m 的值为_____． 【答案】4【分析】根据单项式次数的定义，算出m 的值． 【详解】解：∵单项式24m a bc 的次数为7， ∴，解得4m =． 故答案是：4．【点睛】本题考查单项式的次数，解题的关键是掌握单项式次数的定义． 16．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）多项式的次数是__________． 【答案】3【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．【详解】解：多项式的次数是1+2=3次．故答案为：3．【点睛】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．17．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级月考）若3k 541a b-ab +353是五次多项式，则k=________． 【答案】4【分析】根据多项式次数的定义列方程即可求得k 的值． 【详解】解：3k 541a b-ab +353是五次多项式， 15k ∴+=，解得：4k =，故答案为：4．【点睛】本题考查了多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．18．（2021·上海七年级期末）计算：________________．【答案】23a b【分析】根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，即可求出结论．【详解】解：=23a b故答案为：23a b ．【点睛】此题考查的是整式的加法，掌握合并同类项法则是解题关键．19．（2020·上海七年级期末）已知单项式和单项式325m a b -是同类项，那么3n m -=__________．【答案】-2【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n ，m 的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：根据题意得：，解得：，则3n m -=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查同类项，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，且相同字母的指数相同．20．（2021·上海七年级期末）已知单项式33m x y 与单项式25n x y 的和仍然是单项式，那么m n +=________________．【答案】5【分析】根据题意可知：单项式33m x y 与单项式25n x y 是同类项，然后根据同类项的定义即可求出m 和n ，从而求出结论．【详解】解：∵单项式33m x y 与单项式25n x y 的和仍然是单项式，∴单项式33m x y 与单项式25n x y 是同类项，∴m=2，n=3∴m n +=5故答案为：5．【点睛】此题考查的是求同类项的指数中的参数，掌握合并同类项法则和同类项的定义是解题关键．三、解答题21．（2020·上海七年级月考）已知多项式23324212553x y x y xy x ++-- （1）把这个多项式按x 的降幕重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．【答案】（1）43223215253x x y x y xy -+++-；（2）5，xy ，13- 【分析】（1）按x 的降幂排列：即按照x 的指数由高到低进行排列即可得到答案；（2）由多项式中的最高次项的次数是多项式的次数，结合二次项及常数项的概念可得答案．【详解】解：（1）按x 的降幂排列是：43223215253x x y x y xy -+++- （2）由最高次项为：32232,25x y x y ，所以多项式的次数是5， 它的二次项是xy ，常数项是13-. 【点睛】本题考查的是多项式的降幂排列，多项式的二次项，常数项，掌握以上知识是解题的关键．22．（2020·上海市南汇第四中学七年级月考）已知多项式23324212553x y x y xy x ++-- （1）把这个多项式按x 的降幂重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．【答案】（1）43223215253x x y x y xy -+++-；（2）该多项式的次数是5，它的二次项是xy ，常数项是13- 【分析】（1）将多项式按x 的降幂重新排列即可．（2）多项式次数最高的项的次数即为该多项式的次数，再写出它的二次项和常数项即可．【详解】（1）按x 降幂排列为：43223215253x x y x y xy -+++-． （2）该多项式的次数是5，它的二次项是xy ，常数项是13-． 【点睛】本题主要考查多项式的次数的概念，熟记多项式的次数的概念是解题关键．23．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）计算：22222344x xy y xy y x -++--．【答案】223x xy y +-【分析】通过合并同类项，即可完成计算．【详解】原式22=3x xy y +-．【点睛】本题考查了合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项的性质，从而完成求解． 24．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）单项式2n 1m 13x y -+与单项式n 125x y +的和仍是单项式，求这两个单项式的和．【答案】328x y【分析】根据题意，可知2n 1m 13x y -+与单项式n 125x y +为同类项，列方程可求出m ，n 的值，然后求出两个单项式的和即可．【详解】解：由题意得，，解得：，则．【点睛】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是根据题意判断两个单项式为同类项，求出m ，n 的值．。
整式基本概念(二)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是同类项？问题2：合并同类项法则是什么？问题3：去括号法则是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：什么是同类项？答：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．问题2：合并同类项法则是什么？答：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变．问题3：去括号法则是什么？答：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．整式基本概念（二）（人教版）一、单选题(共11道，每道9分)1.下列各组代数式中，不是同类项的是( )A.与B.与C.和D.与解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类项的定义2.下列各项中，合并同类项正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：合并同类项3.去括号正确的是( )A. B.C. D.解题思路：试题难度：三颗星知识点：去括号法则4.若单项式与是同类项，则的值为( )A.32B.3C.6D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类项的定义5.若单项式与是同类项，则的值为( )A.81B.-64C.64D.-81答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类项的定义6.若单项式与的和仍是单项式，则的值为( )A.21B.-21C.29D.-29答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类项的定义7.若多项式是五次二项式，则的值为( )A.4B.±2C.-2D.2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：多项式的项数8.如果是关于的二次三项式，那么应满足的条件是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：多项式的次数与项数9.已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，那么的值为( )A.13B.-5C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：单项式的次数10.如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都( )A.不小于6B.等于6C.不大于6D.小于6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：多项式的次数11.若将看作一个因式，则合并的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：合并同类项。
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一、【本章基本概念】★☆▲
1、单项式和多项式统称整式。
①单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式称为单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5。
·单项式的系数：单式项里的数字因数叫做单项式的系数。
·单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
②多项式:几个单项式的和叫做多项式。
其中，每个单项式叫做多
项式的项，不含字母的项叫做常数项。
·多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做多项式的次数。
·多项式的命名：一个多项式含有几项，就叫几项式。
所以我们就根据多项式的项数和次数来命名一个多项式。
如：3n4－2n2＋1是一个四次三项式。
2、同类项——必须同时具备的两个条件（缺一不可）：
①所含的字母相同；
②相同字母的指数也相同。
·合并同类项，就是把多项式中的同类项合并成一项。
方法：把同类项的系数相加，而字母和字母的指数不变。
3、去括号法则
法则1.括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去
掉,
括号里各项都 不变 符号；
法则2.括号前面是“－”号,把括号和它前面的“－”号
去掉,
括号里各项都 变 符号。
▲去括号法则的依据实际是 乘法分配律 。
〖注意1〗要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
〖注意2〗去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
〖注意3〗括号前面是“－”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号. 若括号前是数字因数时,可运用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号,以免发生错误.
〖注意4〗遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数“－”的个数.
4、整式的加减
整式的加减的过程就是 去括号和合并同类项 。
如遇到括号，则先 去括号 ，再 合并同类项 ，合并到 最简式 为止。
5、本单元需要注意的几个问题
①整式（既单项式和多项式）中，分母一律不能含有字母。
②π不是字母，而是一个数字，
③多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
④去括号时，要特别注意括号前面的因数。