苏教版高中数学必修4课件：第1章1.2-1.2.3诱导公式
苏教版必修4高中数学1.2.3《三角函数的诱导公式》ppt课件1
自学导引
设α是一个任意角,点P( x, y ) 为α的终边上的任一点，
r OP x 2 y 2 ,则 :
y
sin y , cos x , tan y
r
r
x
O
x
P（x，y）
自主探究
从任意角三角函数的定义中，我们可以看到 ， 三角函数的值与终边的位置相关。 终边相同的角的三角函数值是相同的，根据终 边相同的角的公式可以推出诱导公式一。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
求下列三角函数值
tan 19
3
3
1 tan( 31 ) 4
练习：求值
cos
13
3
sin
61
6
tan
20
3
解：cos Leabharlann 103
sin
59
6
tan
20
3
= co（s 2 -4 )+ sin( 10 ) tan( 2 6 )
第一章 三角函数
§ 1.2.3 三角函数的诱导公式
高中数学必修4·同步课件
学习要求
1．熟练任意角三角函数的定义以及各个象限中三 角函数值的符号相关问题
高中数学第一章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(1)课件1苏教版必修4
y
P(cos ,sin )
O x
4.若角 与角 的终边关于原点对称,则点P与 Q的关系___________ y P(cos ,sin ) 特别地,角 与角 的终边 关于原点对称,则: O
公式4: sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
与 与
的关 的关
若角 与角 的终边关于原点对称,则 系是_________;
学习新知:
1.相等的角的三角函数值相等;
终边相同的角的三角函数值相等. 公式1: sin( 2k ) sin
cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan (k Z ) (k Z ) (k Z )
三角函数的诱导公式
复习回顾:
1.在角α的终边上任取一点P(不与坐标原点重合),设 P(x,y),OP=r,则: P(x,y) y
sinα=
tanα=
y r y x
x cosα= r x cotα= y
r
α O x
2.若角 与角 的终边关于x轴对称,则 与 的关 系是_________; 若角 与角 的终边关于y轴对称,则 系是_________;
公式（四）
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα
sin(π + α) = -sinα
cos(π + α) = -cosα
tan(-α) = -tanα
tan(π + α) = tanα
函数名不变，符号看象限
例题讲解
111 (2)cos π 4
(3)tan(-1560 )
3.若角 与角 的终边关于y轴对称,则点P与 Q的关系___________
苏教版数学必修四同步讲义：1.2 1.2.3 第2课时 诱导公式五、六
第2课时 诱导公式五、六1.了解诱导公式五、六的导出过程．2.理解诱导公式五、六的结构特征．3.掌握六组诱导公式的灵活应用．1．诱导公式五、六2．诱导公式五、六的语言概括π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α.( ) (2)若α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α.( ) (3)sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α.( ) 解析：(1)错误．因为sin ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos α.所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α是错误的． (2)正确．诱导公式中的角α为任意角，在化简时先假定α为锐角． (3)正确．因为π4－α＋π4＋α＝π2，所以成立．★答案★：(1)× (2)√ (3)√ 2．已知sin α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝( ) A ．23B ．－23C ．53D ．－53解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝23. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α＝________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝13，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－223.所以tan α＝sin αcos α＝－2 2.★答案★：－2 24．若α＋β＝π2且sin α＝15，则cos β＝________．解析：因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝15. ★答案★：15利用诱导公式求值(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是________． (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，求cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值． 【解】 (1)sin 239°tan 149° ＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31°＝1－m 2. 故填1－m 2.(2)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12.若本例(2)题设不变，如何求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值呢？解：cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－12.已知三角函数值求其他三角函数值的解题策略(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．(2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数转化为同名的三角函数．1.(1)已知角α的终边经过点P (－4，3)，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值．(2)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P (a ，35)，求sin （π2＋α）＋2sin （π2－α）2cos （3π2－α）的值．解：(1)因为角α的终边经过点 P (－4，3)，所以tan α＝－34，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.(2)因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P (a ，35)，所以a 2＋925＝1(a ＜0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝(－32)×－4535＝2.利用诱导公式化简三角函数式化简：(1)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫－3π2－α＝________；(2)tan （3π－α）sin （π－α）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋sin （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos （2π＋α）.【解】 (1)原式＝ （－sin α）·cos α·cos α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－sin αcos 2αsin αcos α＝－cos α. 故填－cos α.(2)tan (3π－α)＝－tan α，sin (π－α)＝sin α， sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α，sin (2π－α)＝－sin α， cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α， cos (2π＋α)＝cos α， 所以，原式 ＝－tan αsin α（－cos α）＋－sin α（－sin α）－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这四套诱导公式，切记运用前两套公式不变名，而运用后两套公式必须变名．2.(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，求sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin （π＋α）的值．(2)化简：sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）.解：(1)原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·sin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13， 所以sin α＝－13.所以原式＝23.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin (π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.利用诱导公式证明三角恒等式求证：(1)sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2（π＋θ）；(2)tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）＝－tan α.【证明】 (1)右边＝ －2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ（－sin θ）－11－2sin 2θ＝2sin⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2sin⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2cos θsin θ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝（sin θ＋cos θ）2sin2θ－cos2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边．所以原等式成立．(2)左边＝sin（2π－α）cos（2π－α）·sin（－α）·cos（－α）cos（π－α）sin（π－α）＝－sin α·（－sin α）·cos αcos α·（－cos α）·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．所以原等式成立．利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左、右归一法：即证明左、右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同．3.求证：tan（π＋α）sin（－2π－α）cos（2π－α）sin⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝tan α.证明：左边＝tan α·sin（－α）·cos（－α）sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α·（－sin α）·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin2α－sin⎝⎛⎭⎫π2－αcos⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin2α－cos α·sin α＝sin αcos α＝tan α＝右边．1．诱导公式五、六(1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．2．诱导公式一～六(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． (2)这六组诱导公式可归纳为“k π2±α(k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【解】 (1)f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）＝（－sin α）·cos α·（－cos α）（－cos α）·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α， 所以sin α＝－15，又α是第三象限角， 所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－256.所以f (α)＝256.(3)因为－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12， 所以f (α)＝－12.(1)在解答过程中，若诱导公式把握不准，就会在处出现符号或三角函数名称的错误；若忽略角α是第三象限角，就会在处求解cos α的值时出现符号的错误；若对终边相同的角的三角函数值相等理解不够或不会转化，则在处会出现角的错误．(2)对于六组诱导公式，要从本质上理解、形式上记忆准确，理解“奇变偶不变，符号看象限”，即掌握好三角函数名称和符号．对于三角函数值的符号的准确判定，一定要记准在四个象限内的不同的三角函数值的符号，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，否则就会在求解时出现符号错误．1．若sin (3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析：选A ．因为sin (3π＋α)＝－sin α＝－12，所以sin α＝12.所以cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12. 2．给出的下列式子中：①cos 5π9＝sin 4π9；②sin(1＋π)＝sin 1；③tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝－tan π5；④cos ⎝⎛⎭⎫－6π7＝cos π7. 其中正确的是________(填序号即可)．解析：①cos5π9＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π18＝－sin π18；②sin(1＋π)＝－sin 1；③tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝－tan π5；④cos ⎝⎛⎭⎫－6π7＝cos ⎝⎛⎭⎫π7－π＝cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫－π7＋π＝－cos π7. ★答案★：③3．已知sin 110°＝a ，则cos 20°的值为________． 解析：因为sin 110°＝sin(90°＋20°)＝cos 20°， 所以cos 20°＝sin 110°＝a . ★答案★：a4．若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＞0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＞0，则角θ的终边位于第________象限． 解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝－cos θ＞0， 所以cos θ＜0，又cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＞0， 所以θ为第二象限的角． ★答案★：二[学生用书P86(单独成册)])[A 基础达标]1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x＝sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x .2．若cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝( ) A ．13B ．223C ．－13D ．－223解析：选A ．因为cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32，则tan (2 018π－α)＝( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．3或－ 3D ．33或－33解析：选B ．由cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32得sin α＝－32， 又0<α<3π2，所以π<α<3π2，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－322＝－12， tan α＝ 3.因为tan (2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－3，故选B ． 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A ．－13B ．13C ．－223D ．223解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选A ．f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C; ②sin(A ＋B )＝－sin C ；③sin B ＋C 2＝cos A 2. 解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A 2， 所以③是正确的．★答案★：③7．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2， 则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________．解析：因为－π＜α＜－π2， 所以－7π12＜5π12＋α＜－π12. 又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13＞0，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. ★答案★：－2238．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. ★答案★：9129．化简：sin （θ－5π）cos ⎝⎛⎭⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2 sin （－θ－4π）. 解：原式＝－sin （5π－θ）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ[－sin （4π＋θ）]＝－sin （π－θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ） ＝－sin θ（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ. 10．已知1＋tan （π＋α）1＋tan （2π－α）＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解：由已知，得1＋tan α1－tan α＝3＋22， 所以tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22. 所以cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23. [B 能力提升]1．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( ) A ．－32 B ．32C ．0D ．23 解析：选B ．设θ的终边上一点为P (x ，3x )(x ≠0)，则tan θ＝y x ＝3x x＝3. 因此sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θcos θ－sin θ ＝－31－tan θ＝－31－3＝32， 故选B ．2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2（2π－α）tan （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 解：由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35， 所以sin α＝－35， 再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45， 所以tan α＝±34， 所以原式＝－cos α（－cos α）·tan 2α（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝±34. 3．(选做题)已知sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，3cos(－α)＝－2·cos (π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．解：因为sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，所以sin α＝2sin β.① 因为3cos(－α)＝－2cos (π＋β)， 所以3cos α＝2cos β.②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)，所以cos 2α＝12，cos α＝±22.又0＜α＜π，所以α＝π4或α＝3π4. 当α＝π4时，β＝π6；当α＝3π4时，β＝5π6. 即α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.。
苏教版三角函数的诱导公式(一～四)
[解] (1)因为－660°＝－2×360°＋60°， 所以 sin(－660°)＝sin 60°＝ 23. (2)因为247π＝6π＋34π，所以 cos 274π＝cos 34π＝－ 22. (3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°) ＝2cos 60°－sin 90°＝2×12－1＝0.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)
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学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导出诱导公式一～四．(难点) 通过学习本节内容提升学生的数
2.掌握诱导公式一～四，会运用诱导 学运算核心素养.
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三、诱导公式(三) 终边关于 y 轴对称的角的诱导公式(公式三)： sin(π－α)＝ sin α ； cos(π－α)＝ －cos α ； tan(π－α)＝ －tan α .
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四、诱导公式(四) 终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)： sin(π＋α)＝ －sin α ； cos(π＋α)＝ －cos α ； tan(π＋α)＝ tan α .
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2．(1)sin－π3＝________；(2)cos 330°＝________； (3)tan 690°＝________.
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(1)－
3 2
3 (2) 2
(3)－
3 3
[(1)sin－π3＝－sinπ3＝－ 23.
(2)cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝ 23.
(2)cos34π＝cosπ－π4＝－cosπ4＝－ 22. (3)tan 1560°＝tan(4×360°＋120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°)
2018高中数学必修4课件：第1章1.2-1.2.3诱导公式 精品
1.2 任意角的三角函数 1．2.3 诱导公式
[情景导入] 设 0≤α≤π2，对于任意一个 0 到 2π 的角 β，以下四种情形中有且仅有一种成立．
(1)β＝α，当 β∈0，π2；(2)β＝π－α，当 β∈π2，π； (3)β＝π＋α，当 β∈π，32π；(4)β＝2π－α，当 β∈23π，2π.
二、诱导公式的应用
1．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是 一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握， 灵活变通．
2．利用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的 三角函数，在变换过程中，一定注意两点：函数名称是 否改变，三角函数值的符号是否变化．利用诱导公式化 简，求任意角的三角函数，基本程序为“负化正，大化 小，化到锐角为终了”．
又 cos(75°＋α)＝13＞0，α 为第三象限角，可知角 75° ＋α 为第四象限角，则有
sin(75 ° ＋ α) ＝ － 1－cos2（75°＋α） ＝ － 1－－132＝－2 3 2.
所以
cos(105
°
－
α)
＋
sin(α－105°)＝
－
1 3
＋
22 3
＝
2 2－1 3.
规律方法 1．解答本题的关键是发现 105°－α 与 75°＋α 之间的 关系，即(105°－α)＋(75°＋α)＝180°.这为应用诱导公式化 简本题找到入手之处． 2．使用平方关系出现开方运算时，需由角所在象限 来确定根号前的“±”号．而对于其他形式的公式就不必 考虑符号问题．
规律方法 1．(1)诱导公式一、二、三、四的形式各不相同，使 用时注意各个公式的符号，不能混淆． (2)诱导公式一～四的函数名称都不变，应注意区分 各组分式的符号变与不变．
高中数学第一章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(1)课件苏教版必修4
§1.2 任意角的三角函数
1.2.3 三角函数的诱导公式(一)
学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 思考1 答 诱导公式一
新知探究 点点落实
当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的三角函数值有什
答案
知识点二 思考
诱导公式二
如图，角－ α 的终边与单位圆的交点 P1(cos( － α) ， sin( － α)) 与点
P(cos α，sin α)有怎样的关系？
sin(－α)＝－sin α 答 关于x轴对称. 诱导公式二 cos(－α)＝cos α tan(－α)＝－tan α
答案
知识点三 思考
解析答案
5 π 2 ∴cos6π＋α－sin α－6 ＝－
3 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－5 3 ∴cos α＝5， 3π 4 ∵π<α<2π，∴ 2 <α<2π，∴sin α＝－5.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
诱导公式四
sin(π＋α)＝－sin α
cos(π＋α)＝－cos α 答 关于原点对称.
tan(π＋α)＝tan α
答案
思考2
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋
α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四 组公式的共同特点和规律吗？ 答
高中数学 1.2.3 三角函数的诱导公式配套课件2 苏教版
堂 双
案
基
设 计
过程，特别突出关于直线 y＝x 对称的两点的坐标关系，这
达 标
课 是理解和记忆公式的关键．另外要向学生讲清这组公式与诱
前
课
自 主
导公式一、二、三、四的区别，利用适当的训练题加以巩固
时 作
导
业
学 这几组诱导公式的关系及应用．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学 教
●教学流程设计
法
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ·数学 必修4
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ·数学 必修4
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
时 作 业
学
课 堂
cos(π2＋α)＝cos[π2－(－α)]＝sin(－α)＝－sin α.
教 师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教 学 教 法 分 析
教
学 方 案
π2＋α 型诱导公式(公式六)
设
计 课
sin(π2＋α)＝___c_o_s_α___；
前
自 主 导
cos(π2＋α)＝__－__s_i_n_α____.
堂
师
互
备
数学必修4课件第1章12123第一课时诱导公式(一～四)
sin(π－α)＝ sin α cos(π－α)＝－cos α tan(π－α)＝－tan α sin(π＋α)＝－sin α cos(π＋α)＝ －cos α
tan(π＋α)＝tan α
[点睛] α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等 于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值 的符号．
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝
tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos1169π＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝
3 2.
给角求值问题的解题策略 (1)利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角 函数值求解． (2)如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角 函数． (3)准确记忆特殊角的三角函数值．
[小试身手]
1．已知 cos(π＋θ)＝ 63，则 cos θ＝________.
答案：－
Байду номын сангаас
3 6
2．已知 tan α＝4，则 tan(π－α)＝________.
答案：－4 3．化简：cosα－πtasninαπ－＋2απtan2π－α＝________.
答案：－tan α
4．已知 sin(π＋α)＝35，且 α 是第四象限角，则 cos(α－2π)＝
＝ccooss1100°°·t·sainn23205°°＝tsainn 3405°°＝12.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的 目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没 有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采 用切化弦，有时也将弦化切．
高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4
∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状． 思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式 解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱 数学运算核心素养.
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(1)课件苏教版必修4
第八页，共25页。
[解] (1)原式＝－sin136π＝－sin(4π＋43π) ＝－sin43π＝－sin(π＋π3)＝sinπ3＝ 23. (2)cos(－945°)＝cos 945°＝cos(2×360°＋225°) ＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－ 22.
第十二页，共25页。
方法归纳 (1)所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能简 单，即项数尽可能少，次数尽可能低，三角函数种类尽可能 少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定求值． (2)在本题中，主要注意以下几点： ①利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函 数，其化简思路是化异角为同角． ②注意与其他数学知识的联系，如 1＝sin2α＋cos2α，有时 1 也换成 tanπ4. ③去绝对值时，一定要考察绝对值里面数的正负，不能盲目 去绝对值．
第十五页，共25页。
＝－ 1－（－13）2＝－2 32. ∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝2 3 2. 方法归纳 本题中角(α－75°)应看作一个整体，而(105°＋α)与(α－ 75°)之间要结合诱导公式找关系，我们常遇到的关系有 “互余”、“互补”等关系，两个角的和或差是 π 或 2π 的 整数倍，就可应用诱导公式转化．
给值求值问题(wèntí)
已知 cos(α－75°)＝－13，且 α 为第四象限角，求 sin(105°＋α)的值．
(链接教材 P23 练习 T17) [解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且 α 为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角， ∴sin(α－75°) ＝－ 1－cos2（α－75°）
高中数学苏教版必修4课件 第一章 三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式课件2
课堂练习
角度 函数 sin
— 60° 780° 660°
cos
tan
课堂练习
tan( - ) =
sin
=
cos( - ) =
sin( - 315°) =
tan( - 2130°) =
cos240°=
典型例题
例3
解： + 2 × 2π 1
注意
在公式一中有K∈Z，也就是说，K的取
值可以是正数，
也可以是负数（K=0无讨论价值）
典型例题
例1 解：- 690°= - 2 × 360°+ 30°
注意：负 数的三角 函数必须加 括号
典型例题
例2 解：- + （-3）×2π
课堂小结
由公式一可知，三角函数值有“ 周而复始”的变化规律，即角α 的终边每绕原点旋转一 周，函数值将重复出现。
想一想
？ ？ ？
（K
∈Z
）
你有什么发现？
三角函数的诱导公式
（K∈Z）
定义为
终边相同的角的同一三角函数的值相 等
想一想
利用公式一，可以把求任意角的三 角函数值，转化为求0到2π角的三角 函数值 公式一 有 什么作用
典型例题
例1
？
解：720°=0°+2×360° 0
典型例题
例2 解：1485°=45°+4×360°
第一章 三角函数
§1.2.3 三角函数的诱导公式
高中数学必修4· 同步课件
引入课题
复习回顾
通过前面的学习，我们掌握了三角函 数，以及终边相同的角的性质，下面
我们做简单复习
引入课题
终边相同的角
S={β|β=α+k·360°} 即 α=α+k·2π 三角函数
苏教版数学高一-必修4教师用书 1.2.3三角函数的诱导公式(1)
1．2.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一)(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能够推导公式一～四．(2)能够应用公式一～四解决一些三角函数求值、化简和证明问题．2．过程与方法(1)借助于单位圆，利用对称性，推导出公式一～四．(2)观察公式一～四的结构特征，将它们统一成一句话：函数名不变，符号看象限．(3)利用公式一～四的解题步骤为：负角→正角→0～2π角→锐角．(4)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题．3．情感、态度与价值观用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法．●重点难点重点：诱导公式的推导．难点：应用诱导公式进行化简、求值和证明．(教师用书独具)●教学建议(1)本课首先利用三角函数的定义及终边相同的角得出诱导公式一，然后利用单位圆推导出正弦、余弦函数中角α与角π±α，－α的终边的关系，进而推导出角α与角π±α，－α的正弦、余弦函数的关系，从而概括出诱导公式二、三、四．本课内容是后续推导诱导公式的理论依据，也是进一步学习三角函数的基础．(2)关于诱导公式的教学，建议教师在教学过程中：①对于诱导公式一的推导要结合三角函数线，利用数形结合的数学思想得出结论．②对于诱导公式二、三、四，教师在引导学生发现角之间的关系时，紧密联系角的对称，推导过程让学生完成．③通过练习使学生明确诱导公式的作用：把求任意角的三角函数值问题转化为0°～90°角的三角函数值问题．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出诱导公式一～四.⇒引导学生探究诱导公式一～四的特征，总结其规律：函数名不变，符号看象限.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式一～四解决给角求值问题的方法.⇒完成例2及其互动探究，从而解决给值求值问题，并总结诱导公式在该类型问题应用中注意的事项.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式化简三角函数式的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)2．掌握诱导公式一、二、三、四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)诱导公式一～四1．终边相同的角的三角函数值相等吗？【提示】根据三角函数的定义知：终边相同的角的三角函数值相等．2．若点P与点P′分别为角α，β的终边与单位圆的交点，并且P与P′关于x轴对称，那么sin α与sin β，cos α与cos β有何关系？【提示】sin β＝－sin α，cos β＝cos α.3．若角α的终边与角β的终边关于y轴对称，sin α与sin β，cos α与cos β有何关系？【提示】sin β＝sin α，cos β＝－cos α.1．终边相同的角的诱导公式(公式一)sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．2．终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.3．终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)sin(π－α)＝sin_α；cos(π－α)＝－cos_α；tan(π－α)＝－tan_α.4．终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)sin(π＋α)＝－sin_α；cos(π＋α)＝－cos_α；tan(π＋α)＝tan_α.给角求值计算：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.【思路探究】 利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数． 【自主解答】 (1)原式＝－sin(4π＋7π6)－cos(2π＋4π3)＝－sin(π＋π6)－cos(π＋π3)＝sin π6＋cos π3＝12＋12＝1.(2)原式＝1＋2sin (－70°＋360°)cos (70°＋360°)sin (180°＋70°)＋cos (70°＋2×360°)＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝(sin 70°－cos 70°)2cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：求下列各式的值： (1)sin 4π3·cos 19π6·tan 21π4；(2)cos(－2 640°)＋sin 1 665°.【解】 (1)原式＝sin 4π3·cos(2π＋7π6)·tan(4π＋5π4)＝sin4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin(π＋π3)·cos(π＋π6)·tan(π＋π4)＝(－sin π3)·(－cos π6)·tan π4＝(－32)·(－32)·1 ＝34. (2)原式＝cos ＋sin(225°＋4×360°)＝cos 240°＋sin 225° ＝cos(180°＋60°)＋sin(180°＋45°) ＝－cos 60°－sin 45°＝－1＋22.给值求值(1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)＝________.(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．【思路探究】 (1)先由cos(α＋β)＝－1，可求出α＋β，再代入sin(α＋β)中利用诱导公式求解．(2)由于α＋125°＝180°＋(α－55°)，故求sin(α＋125°)可转化为求－sin(α－55°)，利用平方关系由cos(α－55°)可求得sin(α－55°)的值．【自主解答】 (1)由cos(α＋β)＝－1得， α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2k π＋π＋β(k ∈Z )， ∴sin(α＋2β)＝sin(2k π＋π＋β) ＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13.【答案】 －13(2)∵cos(α－55°)＝－13＜0，且α为第四象限角， ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin ＝－sin(α－55°)＝223.1．先找出所求角和已知角之间的关系，把所求角的三角函数化为已知角的三角函数求解．2．该类问题需先用诱导公式转化，再用同角基本关系式求解，因此当用到平方关系时确定符号非常关键，符号不确定时还要分类讨论．本例(2)中条件不变，如何求cos(α＋125°)＋tan(α－55°)的值？ 【解】 cos(α＋125°)＝cos ＝－cos(α－55°)＝13，tan(α－55°)＝sin (α－55°)cos (α－55°)＝22，∴cos(α＋125°)＋tan(α－55°) ＝13＋2 2.利用诱导公式化简三角函数式化简：(1)sin (α＋2π)cos (α＋π)tan (α＋99π)cos (π＋α)sin (3π＋α)sin (α－π)；(2)sin (n π＋α)cos (n π＋α)(n ∈Z )． 【思路探究】 解答本类题的关键是熟练应用诱导公式，应注意含参数时有时需对参数加以讨论．【自主解答】 (1)sin (α＋2π)cos (α＋π)tan (α＋99π)cos (π＋α)sin (3π＋α)sin (α－π)＝sin α(－cos α)tan α(－cos α)(－sin α)(－sin α)＝1cos α.(2)当n 为奇数时， 设n ＝2k ＋1，k ∈Z ，则sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α，当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈Z ，则sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α，∴sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝tan α.1．三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． 2．含有k π＋α的三角函数式的化简：用诱导公式进行化简，碰到k π＋α的形式时，常对k 分奇数、偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．化简：cos (θ＋4π)cos 2(θ＋π)sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ).【解】cos (θ＋4π)cos 2(θ＋π)sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ)＝cos θcos 2θsin 2(θ＋π)sin θsin (π＋θ)cos 2θ＝cos θsin 2(θ＋π)sin θsin (π＋θ)＝－cos θsin 2θsin θsin θ＝＝－cos θ.转化与化归思想(14分)设f (θ)＝2cos 3(2π－θ)＋sin 2(π＋θ)＋cos (－θ)－32＋2cos 2(π－θ)－cos (π＋θ)，求f (π3)的值．【思路点拨】 先将f (θ)的式子化简，再把θ＝π3代入求值．【规范解答】 ∵f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ3分＝2cos3θ－cos2θ＋cos θ－22＋2cos2θ＋cos θ6分＝2(cos3θ－1)－cos θ(cos θ－1)2cos2θ＋cos θ＋29分＝(cos θ－1)(2cos2θ＋cos θ＋2) 2cos2θ＋cos θ＋2＝cos θ－1，12分∴f(π3)＝cos π3－1＝－12.14分1．本题先由诱导公式将函数式化简，将函数式的角度统一，然后利用sin2θ＋cos2θ＝1，统一函数名称，这样就可以避免因为公式交错使用导致混乱．2．在计算、化简、证明三角函数式时，常采用化繁为简、化异为同、化切为弦、“1”的代换、整体代换等方法，这些都体现了三角函数问题中转化与化归的思想．1．明确各诱导公式的作用诱导公式 作用公式一 将角转化为0～2π求值公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三 将负角转化为正角求值 公式四将角转化为0～π2求值2.诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.1．cos(－π3)＝________.【解析】 cos(－π3)＝cos π3＝12.【答案】 122．已知sin(π＋θ)<0，cos(π－θ)<0，则角θ的终边在第________象限． 【解析】 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ<0， ∴sin θ>0，∵cos(π－θ)＝－cos θ<0，∴cos θ>0， ∴θ为第一象限角． 【答案】 一3．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值等于________． 【解析】 原式＝(12)2＋(22)2＋2×(－12)＋(－22)2＝14.【答案】 144．已知cos α＝14，求sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α的值．【解】 sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α＝sin α(－cos α)cos αtan α＝－cos α＝－14.一、填空题1．已知sin(π＋α)＝45且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________.【解析】 sin(π＋α)＝－sin α＝45，sin α＝－45，cos(α－2π)＝cos α＝35.【答案】 352．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为________． 【解析】 原式＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 【答案】 23．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________.【解析】 sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－513.【答案】 －5134．若cos 100°＝k ，则tan 80°的值为________．【解析】 cos 80°＝－cos 100°＝－k ，且k ＜0.于是sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，从而tan 80°＝－1－k 2k. 【答案】 －1－k 2k5．若f (sin x )＝cos 17x ，则f (12)的值为________．【解析】 由sin x ＝12得x ＝π6＋2k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋2k π，k ∈Z .当x ＝π6＋2k π时，f (12)＝cos ＝cos 5π6＝－32；当x ＝5π6＋2k π时，f (12)＝cos ＝cos π6＝32.【答案】 －32或326．化简sin (n π＋α)cos (n π－α)cos[(n ＋1)π－α]的结果为________．【解析】 当n 为偶数时，原式＝sin αcos αcos (π－α)＝sin αcos α－cos α＝－sin α，当n 为奇数时，原式＝(－sin α)(－cos α)cos α＝sin α. 【答案】 (－1)n ＋1sin α(n ∈Z )7．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.【解析】 由cos(α＋β)＝－1知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.【答案】 －28．(2013·盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________．【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310. 【答案】 310 二、解答题9．(2013·扬州高一检测)求值：sin 2840°＋cos 540°＋tan 225°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)．【解】 原式＝2＋cos(360°＋180°)＋tan(180°＋45°)－2－sin(180°＋30°)＝sin 2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos 2150°＋sin 30°＝(32)2－1＋1－(－32)2＋12＝12. 10．(1)已知cos(π＋α)＝－12，且3π2<α<2π，求sin(2π－α)的值； (2)已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求 2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)的值． 【解】 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12. ∵3π2<α<2π，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. ∴sin(2π－α)＝－sin α＝32. (2)∵sin(α＋π)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. ∵sin αcos α<0，∴cos α>0，∴cos α＝1－sin 2 α＝35. ∵tan α＝sin αcos α＝－43， ∴2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝－2sin (π－α)＋3tan (π－α)4cos (π－α)＝－2sin α－3tan α－4cos α＝(－2)×(－45)－3×(－43)－4×35＝－73. 11．化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)· cos (k π＋θ)(k ∈Z )． 【解】 当k 为奇数时，不妨设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin (2n π＋π－θ)·cos (2n π＋π＋θ)＝sin θ·cos θsin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1； 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈N ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)sin (－θ)·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1. 总之，sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)＝－1.(教师用书独具)设tan(α＋87π)＝a . 求证：sin (157π＋α)＋3cos (α－137π)sin (20π7－α)－cos (α＋227π)＝a ＋3a ＋1. 【思路探究】 本题主要考查诱导公式，从已知角的关系入手，将所求各角用α＋87π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求角．【自主解答】 左边＝sin[π＋(87π＋α)]＋3cos[(α＋8π7)－3π]sin[4π－(α＋87π)]－cos[2π＋(α＋8π7)] ＝－sin (α＋8π7)－3cos (α＋8π7)－sin (α＋8π7)－cos (α＋8π7) ＝tan (α＋87π)＋3tan (α＋87π)＋1＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴等式成立．对于利用诱导公式证明三角恒等式的问题，解题的关键在于公式的灵活运用，思路在于如何配角，如何分配角之间的关系，其中要特别注意函数名称与正负号的正确判断．证明：tan (2π－θ)·sin (－2π－θ)·cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ)＝tan θ.【证明】 左边＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)cos (π－θ)sin (π＋θ)＝－tan θ·(－sin θ)·cos θ－cos θ·(－sin θ)＝tan θ＝右边． ∴原等式成立．。
苏教版高中数学必修四课件1.2.3《三角函数的诱导公式》
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（公式一）
（公式二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
P(x,y) Mx
sin( ) sin
cos( ) cos （公式四）
tan( ) tan
sin( 2k ) sin (k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
（公式三）
（公式四）
这四组公式都叫做三角函数的诱导公式
（三）例题
例1：求下列三角函数值：
50
sin 5
4
sin330
tan(1560 )
思
设 是一个锐角,
则
(
, )
的角可以表示为
考
则
2
( ,
3
)
2
的角可以表示为
则 ( 1 ,0) 的角可以表示为
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
§1.2.3三角函数的诱导公式
（第一课时）
（一）复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150？
y
150
O
30
想到150的三角函数值与 30
角的三角函数值可能存在一定 x 的关系
为了使讨论具有一般性，我们来
研究任意角 的三角函数值的求
法.
（二）新课讲授
2
y
o
x
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题型 2 利用诱导公式化简三角函数式 [典例 2] 已知 f(α)＝
3π sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋ 2
cos（－π－α）sin（－π－α） (1)化简 f(α)；
.
3π 1 (2)若 α 是第三象限角， 且 cosα－ 2 ＝ ， 求 f(α)的值． 5
π π 7．诱导公式五：sin2－α＝cos α，cos2－α＝sin α． π π 8． 诱导公式六： sin2＋α＝cos α， cos2＋α＝－sin α．
A＋B cosC A＋B sinC 2， 9． 在△ABC 中， sin ＝_____ cos ＝_____ 2． 2 2
二、诱导公式的应用 1．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是 一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握， 灵活变通．
2．利用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的 三角函数，在变换过程中，一定注意两点：函数名称是 否改变，三角函数值的符号是否变化．利用诱导公式化 简，求任意角的三角函数，基本程序为“负化正，大化 小，化到锐角为终了” ．
思考：π－α，π＋α，2π－α 的三角函数值与 α 的三 角函数值有怎样的关系呢？ [学习目标] 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱 导公式，并理解诱导公式的结构特征． 2.能运用诱导公 式进行正确函数式的化简求值．
1．诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝ cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z. 2．诱导公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α． 3．诱导公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α．
解： (1)f(α)＝ ＝
3π sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋ 2
cos（－π－α）sin（－π－α）
（－sin α）· cos α·（－cos α） ＝－cos α. （－cos α）· sin α
3π 1 (2)因为 cos α－ 2 ＝－sin α，所以 sin α＝－ . 5
2．诱导公式五、六与前面四组公式在形式上有区别， 应用时应改变其函数名称，并注意符号的变与不变．
[变式训练] 化简：
π 11 sin（2π－α）cos（π＋α）cos2＋αcos 2 π－α 9π . cos（π－α）sin（3π－α）sin（－π－α）sin 2 ＋α
3．诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的 两个角的三角函数之间的关系． 这六组诱导公式可归纳为“k· 90°±α(k∈Z)”的三 角函数值与 α 的三角函数值之间的关系．当 k 为偶数时 得角 α 的同名三角函数值，当 k 为奇数时得角 α 的异名 三角函数值，然后在前面加上一个把角 α 看成锐角时原 三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象 限”．
题型 1 利用诱导公式求值 1 [典例 1] 已知 cos(75°＋α)＝ ，其中 α 为第三象限 3 角．求 cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值． 解： cos(105°－α)＝cos[180°－ (75°＋α)]＝－cos(75° 1 ＋α)＝－ . 3
sin(α － 105° ) ＝－ sin(105 °－ α) ＝－ sin[180°－ (75°＋ α)]＝－sin(75°＋α)． 1 又 cos(75°＋α)＝ ＞0，α 为第三象限角，可知角 75° 3 ＋α 为第四象限角，则有
又因 α 是第三象限角， 所以 cos α＝－
1 2 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－ －5 ＝－ 5
6，
2 因此 f(α)＝－cos α＝ 6. 5
规律方法 1．(1)诱导公式一、二、三、四的形式各不相同，使 用时注意各个公式的符号，不能混淆． (2)诱导公式一～四的函数名称都不变，应注意区分 各组分式的符号变与不变．
一、诱导公式的理解记忆 1．α＋k· 2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值等于 α 的同名三角函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时的原 函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
π 2．诱导公式五、六反映的是角 ±α 与 α 的三角函数 2 π 值之间的关系. ±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的 2 余弦(正弦)函数值，前面加一个把 α 看成锐角时原函数值 的符号，简记为“函数名改变，符号看象限”或“正变 余，余变正，符号看象限” ．
sin(75 ° ＋ α) ＝ －
1 2 2 2 1－ －3 ＝－ . 3
1－cos2（75°＋α） ＝ －
1 2 2 所 以 cos(105 ° － α) ＋ sin(α － 105 ° ) ＝ － ＋ ＝ 3 3 2 2－1 . 3
规律方法 1． 解答本题的关键是发现 105°－α 与 75°＋α 之间的 关系， 即(105°－α)＋(75°＋α)＝180°.这为应用诱导公式化 简本题找到入手之处． 2．使用平方关系出现开方运算时，需由角所在象限 来确定根号前的“±”号．而对于其他形式的公式就不必
π αcos α－cos2－α
－sin α ＝ ＝－tan α. cos α （－cos α）sin α·sin α·cos α
sin2αcos α·sin α
题型 3 证明三角恒等式 [典例 3] 求证： tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α） ＝－tan α. 3π 3π sinα＋ 2 cosα＋ 2 tan（－α）· sin（－α）· cos（－α） 证明：左边＝ π π sin2π－2－αcos2π－2－α
所以原等式成立．
sin2α
规律方法 利用诱导公式证明等式问题， 关键在于对公式的灵活 运用，主要思路是利用诱导公式化同角后，利用同角三角 函数关系进行化简证明，可从左边推得右边，也可从右边 推得左边．
[变式训练] 已知 A，B，C 为△ABC 的三个内角， 求证： B＋C A (1)sin ＝cos ； 2 2 A＋B 3π＋C (2)tan ＝－tan . 4 4
证明：因为 A，B，C 为△ABC 的三个内角，所以 A ＋B＋C＝π.
π A B＋C A (1)sin ＝sin 2－ 2 ＝cos ； 2 2 A＋B π－ C π－ C (2)tan ＝ tan ＝ － tan π－ ＝－ 4 4 4
3π ＋ C tan . 4
4．诱导公式四：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－ cos α，tan(π＋α)＝tan α． 5．诱导公式一～四可以概括为：α＋k· 2π(k∈Z)，－ α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上 一个把 α 看成锐角时原函数值的符号． π 6．α 与 －α 的终边关于直线 y＝x 对称． 2
（－tan α）· （－sin α）· cos α ＝ π π sin－2－αcos－2－α sin2α ＝ π π ＝ －sin2－αcos2－α －cos α·sin α sin α ＝－ ＝－tan α＝右边． cos α
解：原式＝
π （－sin α）（－cos α）（－sin α）cos5π＋2－α π （－cos α）sin（π－α）[－sin（π＋α）]sin4π＋2＋α
＝ －sin
2
π ＝ （－cos α）sin α[－（－sin α）]sin2＋α
考虑符号问题．
3．已知一个角的某个三角函数值，求这个角的其他 三角函数值．若给定具体数值，但未指定角 α 所在象限， 就需要进行分类讨论．
[变式训练] 已知 sin(α－360°)－cos(180°－α)＝ m，求 sin(180°＋α)· cos(180°－α)的值． 解：因为 sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m， 所以 sin α＋cos α＝m. 故 sin(180°＋α)· cos(180°－α)＝(－sin α)· (－cos α)＝ （sin α＋cos α）2－1 m2－1 sin αcos α＝ ＝ . 2 2
第1章
三角函数
1.2 任意角的三角函数 1．2.3 诱导公式
π [情景导入] 设 0≤α≤ ， 对于任意一个 0 到 2π 的角 2 β，以下四种情形中有且仅有一种成立．
π π (1)β＝α，当 β∈0，2；(2)β＝π－α，当 β∈2，π； 2 3 (3)β＝π＋α，当 β∈π，2π；(4)β＝2π－α，当 β∈3π，2π.