基于组合权重的模糊数学法对水质的评价

ｍ一∑ ｈ ｉ＼
ｆ ０
ｉ ＝ １
： １ ／
（ ２ ． ５ ）
２ ． ３ 组合 权重 的确定
设待求组合权重值为 ， 设 ＝ （ 叫 ， Ｗ 。 ， …， Ｗ ） Ｔ ， 为使组合权重的数值与超标加权法 所得权重值 和熵值法所得权重值 ２ 均尽可能接近， 结合数学中的离差平方和最小原理， 分别求出 Ｗ 与 、 ｚ 两者的差的平方和， 再将两个平方和相加， 能使其取得最小值的 即为所求的组合权重值， 优化模型如公式 （ ２ － ６ ） 所示 ：
将权重矩阵 与隶属度矩阵 Ｒ按 （ ３ — １ ０ ） 进行矩阵乘法运算， 求得评价水质所属类别 Ｊ
归一化 公 式为 ：
ｍａ ｘ｛ ａ ｉ ｊ ｝ — — ａ ｉ ｊ
ｒ ｉ ｊ＝ — — — — — — － —
７ Ｊ
ａ ｘ ｌ ａ ｉ ｊ ． ￣一 ｎ ｌ ａｉ ｊ ）
（ ２ － ３ ）
２ ） 定义熵． 对于归一化之后的矩阵 Ｒ＝（ ｒ ｉ ｊ ） × ， 第ｉ 个指标的熵 为 ：
数 学 的 实 践 与 认 识
４ ５ 卷
阵， 为一对 称矩 阵， ｇ为一次 方项 的系数构 成 的矩 阵．根据 （ ２ － ６ ） ， 本文 中所求 组合权 重 各 个 数值 的和为 １ ， 所以 Ａ Ｔ＝（ １ ， １ ， … ， １ ） ， ｂ ＝１ ． ２ ． ５ 隶 属度矩 阵 Ｒ 的确 定
８
其中 （ ２ － ７ ）中的 为 （ ２ － ６ ） 中所求 的组 合权 重值 构 成 的列 向量， 即 Ｘ：（ Ｗ ｌ ， ｗ ２ ， …，
ｗ ） Ｔ ． 将 （ ２ － ６ ） 的最优解模型表示为 （ ２ — ７ ） 的矩阵形式， 其 中 Ｇ为二次方项的系数构成的矩
１ １ ０
１ ０ ８
数 学 的 实 践 与 认 识
４ ５ 卷
水体 污染 的程度 以及水 质 的分 级都属 于模 糊概念 ， 且描述水 环境 质量 的变堵 和评价 指标 彼此 之 间存 在着 一定 的相关性 ， 需要 将这 些模糊 的概 念量化 ， 以数据 的形式 反映 出来 ［ １ １ ］ ， 而 模糊 数学 法是 一 种针对 由多种模 糊 因素所 影 响的 事物 或现象 进行 洋价 的 定量研 究 多属性 事
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即为单 因子 指数法 确 定的指 标 ｉ 的权 重． ２ ． ２ 采 用熵 值 法计算 各评价 指标 权重 运 用熵值 法求 各评 价指 标 的权 重值 计算 过程分 ３步 【 ２ ２ ］ ： １ ） 原始 数据矩 阵 归一化 ． 设评 价体 系有 ｎ个 评价对 象 、每个 评价 对象包 含 ｍ 个评 价指 标， 该指 标体 系原始 数据构 成 的矩 阵为 Ａ ＝ （ ａ ｉ ｊ ｎ× ｍ， 对其 归一 化后得 到 Ｒ ＝ （ ｒ ｉ ｊ ） ｎ× ｍ．
＾ 一 惫 ∑（ ｆ ｉ ｊ ・ Ｉ ｎ ｆ ｏ ）
其 中 ＝ｒ ｉ ｊ ／∑ ｒ ｉ ｊ ＝１ ／ Ｉ ｎ ｎ ， 当 ＝ ０ ， 令 局 ・ ｌ ｎ ｆ ／ ｊ ＝０ （ ２ － ４ ）
３ ） 定义熵权． 定义了第 ｉ 个指标的熵之后， 就可根据的熵值计算它的熵权 ：
叫ｔ：
２ ） 计算单 项指 标的权 重 为进行 模糊 运算 ， 对各 项指 标 的权重 值进 行 归一化 运算 得 出各评 价 指标 的权重 ， 计算 按
公式 （ ２ － ２ ） 进 行
：
善 ： —
∑导 ∑
（ ２ － ２ ）
１ ６ 期
袁永强， 等： 基于组合权重的模糊数学法对水质的评价
２ ． １ 采 用超标 加权法 计算指 标权 重
１ ） 计算单项指标权重值 ［ ２ １ ］ 根据分指数超标情况进行加权， 超标越多， 权重越大， 由公式
（ ２ － １ ） 算 出单项指 标 的权 重值
＝
／
（ ２ － １ ）
其 中： 为指 标 ｉ 的实测 浓度值 ； ＆ 为 指标 ｉ 的各级 水质 标准 的算术 平均值 ； 为指标 ｉ 的单 项的权 重值 ．
、
以评价 结果极 易产 生误差 ；主成份 分析法 和 因子 分析 法可 以筛选 出影 响水 质的 主要 因子， 但
对 水质 类别 的判 断是通过 一个 范 围来确定 ， 精度 不高 ；理想 区间法 在对 求某 一监测 断面 的到 各 级水 质的距 离 时， 综 合 了该监测 断面 所有 指标 的信 息， 只是未 给 出当属 于两个 水质 类别 的
隶属 度矩 阵是模糊 数学 法 中另一个重 要 的部分， 按 照 常用的隶 属度 函数 ［ ２ ４ ］ 来计 算各 项
指标的隶属度值， 函数表达式如 （ ２ － ９ ） 所示
式 中 代表 指 标 ｉ 的实测值 ， ， Ｊ代表 指标 ｉ 的第Ｊ级 水质 标准值 ． ２ ． ６ 模糊 矩阵 的复 合运算
ｍ ｉ ｎ Ｆ ＝ ∑ ∑（ 叫 ｉ 一 叫 （ ） ）
ｓ ． ｔ ． Ｗ １ ， Ｗ ｉ ＞０
２ ． ４ 优化模 型 求解方 法 将 （ ２ — ７ ）中的最优 解模 型转化 为矩 阵形 式， 并使 用Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 算子 法求解 ｉ ２ ａ ］ ，
（ ２ － ６ ）
物 的数学 工具 Ｉ １ ２ Ｊ ， 可以较好 地解决 水质 评价 中存在 的模糊 化的 问题． 使用模糊 数学法 需要确定权 重矩 阵和隶属 度矩 阵． 其 中权重 矩 阵的精确度 直接决定 了应
用模 糊数 学法 得到 评价 结果 的可 信度 ． 为提 高 指标权 重值 的精 确 度和 评价 结果 的客 观性 ， 现 在 的权重确 定方法 越来越 多地 倾 向于组合 方法 如杨 晓华 ［ １ ３ ］ 、陈娟 、崔东 红 ［ １ ５ ］ ． 本文 应用 数学 中的离差 平方 和最 小原 理， 建立 了确 定指 标组 合权 重 的优化 模型 ， 并结 合 熵权 法 【 ］ 和超 标加权 法两 种方法 得到 一个组 合权重 值， 应用 于模糊 数学 法进行 水质 评价 ．
第４ ５ 卷第 ｌ ６期
２ ０ １ ５年 ８月
＿ ’ ，’ ＇’ ＇’ ＇ ’， ’ｌ＇ 、
数学的实践与认识
Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ Ｉ Ｎ ＰＲＡＣＴＩ ＣＥ ＡＮＤ ＴＨＥＯＲＹ
Ｖ＿ ０ Ｉ ． ４ ５ ，Ｎｏ ． １ ６
Ａ ｕｇ． ，２０１ ５
＾ 工
。 。 … 。 。 …
水环境问题已经成为我们 日 常生活中关心的焦点之一， 它直接关系到我们的身体健康和 社 会发 展， 水环境 质量 已成 为限制 经济发 展 的重要 因素 ＿ １ Ｊ ＿ Ｅ ｖ ｅ ｒ ｔ Ｖ ｅ ｄ ｕ ｎ ｇ在 其著作 中提 出过 “ 没有计 算 ， 就 无从 管 理” ［ 】 的观念 ．水 质的管 理 也是 建立 在对 水 质的评 价基 础之 上 的． 水质 评价是合理利用和保护水资源的科学依据， 能为水环境治理提供指导性建议． 水质综合评价的信息量大， 情况也较为复杂， 如何有效地提取有用信息并能客观地对各
距 离值 相 同时的 判定标 准 ；层次分 析法 是一 种定性 和定量 相结 合 的决策方 法， 是 权重 确定方
法 中最 为成熟 的方 法， 但方 法的 主观性 较大 ， 适用 于精 度要求 较低 的水 质评价 ［ 加』 ．
收稿 日期： ２ ｏ １ ４ — ０ ７ — ０ ２ 资助项 目： 国家水体污染控制与治理科技重大专项 （ ２ ０ １ ２ Ｚ Ｘ ０ ７ ５ ０ ５ — ０ ０ ２ ） ； 省社科规划重点基金 （ Ｌ １ ３ ＡＪ Ｙ ０ ０ ８ ） 通 信 作 者
所确定 的权 重值， 得 到一个 组合权 重， 并将其 应用 于模糊数 学 法对水 质进行 评价．以 铁 岭 市环保 监 测站 所得 的辽 河流域 马仲 河 门脸 断 面 ２ ０ ０ ８年 一２ ０ １ ２年 五年 数据 为
基 础进 行实 例分 析， 选取 门脸 断面 中的溶解 氧 、 Ｃ ＯＤ、Ｂ Ｏ Ｄ、氨氮 、总磷 、石 油类 、 挥发 酚 ７项作 为评价 指标， 应用上 述模糊 数 学 法进 行水质 等 级分析， 得 到五 年 的水 质为 ： ２ ０ ０ ８ 、２ ０ ０ ９两年为 Ｖ 类水 质 ； ２ ０ １ １年水 质最 好， 达到 Ｉ 类 ；２ ０ １ ０年 为 Ｖ 类， ２ ０ １ ２年 为 Ｉ Ｖ 类水质． 并使用 主 成份分 析 法和 综合 指数 模 型两种 方 法进行 验 证， 结 果 表 明这种 模 型有 较 高 的精 度和 可 靠性． 所 以， 模型 也 可为其 它 的权 重确 定方 法在 求解权 重值 时提供 一 定参考． 关 键词： 权 重优化 模型； 模糊 数 学法； 水质 综合评价
程 ’ ｉ
。
基于组合权重的模糊数学法对水质的评价
袁 永 强， 付 佳， 程全 国
（ 沈阳大 学 区域污染环境生态修 复教 育部重点实验 室， 辽宁 沈阳 １ １ ０ ０ ４ ４ ）
摘
要：水质 综合评 价为水 环境 治理 提供指 导性建 议， 是水 环境 管理 的重要参 考． 而
水 质各个 指标权 重 的确定 一直是研 究 的重 点和 难 点． 运 用数 学方 法 中的离差平 方和 最小原 理， 建 立 一个确 定 指标 权 重 的优化 模 型， 结合 超标 加权 法和 熵值 法 两种方 法
１ 理论依据
在信 息论 中， 熵是 描述 系统 无序 程度 的 量除此 之外 ， 还 可 以度量 数据 所提 供 的有效 信 息 量．因此 ， 可 以用 熵来 确定权 重 ［ １ ７ ］ ．当评 价对象 在某 项指标 上 的值 相 差较 大时 ， 该 指标熵 值 较小 ， 说 明该 指标反 映 的信 息量 较大所 占权 重也 越大 ； 反 之， 说 明该指标提 供 的信 息量较 小， 该指 标的权 重也应 较小 ［ １ ８ ］ ． 熵 权法 求得 的每个 指标权 重会 独立地 反 映评价 指标体 系对评 价结果 产 生的影 响， 能够反 映 出指标 的变化 程度． 它 的计算是 基于 各指 标的 实测值， 使 用 时要 求 有一定 量 的数 据作 支撑， 否则 评价 结果 容 易出现 偏差 ［ １ ９ ］ ．超 标加权 法是 以水体 标准 水质 为基 准， 用 水体 各项 指 标 的 实测 值 与水体 水质 标准 的 比值来 表示 各指 标 的权重 ， 水 质指 标超 标越 严重， 则 该指 标分 配 的 权重越 大 【 ２ ｏ ］ ．