车辆动力学不确定性分析的概率密度演化方法

宣读人：雷浩LEI Hao
导师：陈潇凯CHEN Xiaokai
北京理工大学Beijing Institute of Technology
目录Content
1. 概率密度演化方法
（Probability Density Evolution Method, PDEM）2. PDEM的数值算法
（The Numerical Algorithm for PDEM）
3. 算例（Study case）
4. 结论（Conclusion）
1. 概率密度演化方法（PDEM ）
概率守恒原理：在保守随机系统的状态演化过程中概率守恒。

The Principle of Conservation of Probability : If the random factors involved in a stochastic system are retained, the probability will be preserved in the evolution process of the system.
(),0
t
D p t d Dt
Ω=⎰
Y y y
广义概率密度演化方程（The Generalized Density Evolution Equation, GDEE ）
(),,0t D
p t d d Dt θ
Ω⨯Ω=⎰Z z z Θθθ(),,t =Y G Y Θ()00
t =Y Y ()()
,t t =Z H Θ一般的随机动力学系统：
A general stochastic dynamical system:
其响应：
The response:
由概率守恒原理（According to The
Principle of Conservation of Probability ）：
()
()
()1
,,,,,0
m
j j j
p t p t Z t t
z =∂∂+=∂∂∑Z Z z z ΘΘθθθ()
()
()
,,,,,0
p z t p z t Z t t
z
∂∂+=∂∂Z Z ΘΘθθθ()
,,0
z p z t →±∞
=Z Θθ()()()
0,,t t p z t z z p δ==-Z ΘΘθθ()(),,,p t p t d =⎰Z Z z z θθ
GDEE ：As m=1:
初始条件(Initial condition)：
边界条件(Boundary condition)：
PDF of the response )：
2. PDEM 的数值算法（The Numerical Algorithm for PDEM ）
概率空间选点与赋得概率确定
确定性动力学系统求解
求解广义概率密度演化
方程
累计求和
1. 取一系列代表性离散点θq = (θq,1, θq,2, …, θq,s )T , q = 1, 2, …, n sel ，求得各点的赋得概率。

(Select a set of representative points in the
distribution domain, and determine the assigned probability of each point. )
()q
q V P p d =⎰θθ
Θ 2. 对选定的代表点，求解确定性动力学方程，获取响应的时间导数信息，
Z j
θq ,t ,j =1,2,…,m (Solve the deterministic dynamics equation to
obtain time rate of the responses. )
2. PDEM 的数值算法（The Numerical Algorithm for PDEM ）
概率空间选点与赋得概率确定
确定性动力学系统求解
求解广义概率密度演化
方程
累计求和
4. 将第3步求得的各代表点的联合概率密度函数求和，即得到响应的概率分布。

(Sum up the joint probability density function got in Sept 3, and then we obtain the numerical ()()
1,,,sel
n q q p t p t ==∑Z Z z z θΘ3. 将第2步求得的Z j
θq ,t 代入GDEE ，采用有限差分法求解该偏微分方程，可得到其数值解。

(Take Z j
θq ,t obtained in Step 2into the GDEE, and then solve the partial differential equation ()()()2222
22,+11,,1,11122
j k k k j k k j k
k k j k p r a ra p r a p r a ra p +-=-+-++
()01
01
01/r
p A F p A x H ∆=
--3. 算例（Case Study ）
某油气弹簧悬架二自由度模型：
The 2 degree-of-freedom model of the
suspension used a hydro-pneumatic spring:
()()()()()012120112001
1011201120+
1/1/s r u t r p A M z c z z p A z z H p A M z k z z c z z p A z z H ⎧
=--⎪--⎡⎤⎪⎣
⎦⎨
⎪=----+⎪--⎡⎤⎣⎦⎩
()()()
000022z t f z t G uw t ππ=-+
参数名称/单位符号数值变异系数
路面不平度系数/m3G
01×10-7-
下截止频率/Hz f
00.01-
车速/km·h-1u70-
簧载质量/kg M
s 317.5-
非簧载质量/kg M
u
45.4-
静平衡位置气体压强/MPa p
1.5-
主活塞横截面积/m2A
12×10-3-
气体初始折算高度/m H
0.20.08减振器阻尼系数/N·s·m-1c15000.08
轮胎垂向刚度刚度/N·mm-1k
t 1920.08
表1 悬架动力学仿真参数取值表
(a) t = 1.0s (d) t =3.0s
(b) t = 1.5s
(c) t = 2.0s
两种差分格式与Monte Carlo 方法得到的概率密度曲线对比。

LW 格式不能保证解的非负性。

TVD 格式相比LW 格式精度有所降低。

The LW scheme cannot ensure the non-negativity.
The calculation accuracy of TVD
scheme is lower than
Mean comparison STD comparison
两种差分格式的概率密度演化方法的均值响应曲线，都很好地与Monte Carlo方法的均值曲线吻合，具有很好的计算精度。

LW格式得到的标准差响应曲线也基本与Monte Carlo方法吻合，具有较好的精度；TVD格式得到的标准差响应与Monte Carlo方法误差较大，平均绝对误差约为0.011m/s2，最大误差为0.026m/s2。

The mean response curves of the two difference schemes are both well matched with the mean curve of the Monte Carlo method and have good calculation accuracy.
The STD response curve obtained by LW scheme is also almost consistent with the Monte Carlo method, but the curve obtained by TVD scheme has an apparent error with the Monte Carlo method. The average absolute error is 0.011m/s2, and the maximum error is 0.026m/s2.
概率密度曲面和等概率密度线随时间的变化（t=1.5~2s）The PDF surface and the contour varying with time (t=1.5~2s)
Thanks for listening!。