2016年高考数学圆锥曲线

圆锥曲线专题训练

1、已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →

＝－12，，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2

＝8y B ．x 2

＝4y C ．y 2

＝8x

D ．y 2

＝4x [答案] C

[解析] 由题意，设抛物线方程为y 2

＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p

2

，代入抛物线方程

得y 2－2pmy －p 2

＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋

y 1y 2＝m 2

y 1y 2＋pm 2

(y 1＋y 2)＋p 2

4

＋y 1y 2＝－3

4

p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .

2、设直线l 与抛物线

相交于A ，B 两点，与圆

相切于点

M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）

（B ）

（C ）

（D ）

答案D

解析：显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为

.设

，则

，相减得

.由于，所以，即.圆

心为，由

得，所以，即点M 必在直线上.将

代入得

.因为点M 在

圆

上，所以

.又

（由于斜率不存在，故

，所以不取等号），所以

.选D.

【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.

【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可

得，中点必在直线上，由此可确定中点的纵坐标的范围，利用这个范围即可得到

r的取值范围.

3设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两

点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该

双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）

A、 B、 C、

D【答案】A

4.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM

为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）

A． B． C． D．【答案】D

【解析】设双曲线方程为，如图所示，，

，过点作轴，垂足为，在中，，

，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即

，所以，故选D．

5、平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线

交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为【解析】设所在的直线方程为 ,则所在的直线方程为,

解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,

抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,

所以， . 所以， .

6.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一

个动点。若点到直线的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为

【解析】设，因为直线

平行于渐近线，所以点

到直

线的距离恒大于直线

与渐近线之间距离，因此c 的最大值为直线

与渐近线

之间距离，为

解答题

1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12

，一个焦点与抛物线y 2

＝4x 的焦点重合，直

线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2

a

2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若

不是，说明理由．

[解析] (1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2

＝3，所以椭圆C 的

标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2

4＋y 2

3＝1，y ＝kx ＋m .

得(3＋4k 2)x 2

＋

8mkx ＋4(m 2

－3)＝0， 由Δ＝(8mk )2

－16(3＋4k 2

)(m 2

－3)>0得m 2

<3＋4k 2

. ∵x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2

－3

3＋4k

2

，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2

＝

3m 2－4k

2

3＋4k

2

. 由k OA ·k OB ＝－b 2a 2＝－34得y 1y 2＝－34x 1x 2，即3m 2－4k 23＋4k 2＝－34·4m 2

－3

3＋4k 2

，化简得2m 2

－4k 2

＝3，满足Δ>0.由弦长公式得|AB |＝1＋k 2

|x 1－x 2|＝

1＋k 2

·48

4k 2－m 2

＋3

3＋4k

22

＝

24

1＋k

2

3＋4k 2

.又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝

|m |

1＋k 2

，所以S △AOB ＝12·d ·|AB |＝1

224

1＋k

2

3＋4k

2

·|m |

1＋k 2

＝1

2

24m

2

3＋4k

2＝3·2m

2

3＋4k

2＝3·3＋4k

2

3＋4k

2

＝3， 故面积为定值 3.

2、已知圆M ：x 2

＋(y －2)2

＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程；

(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →

＝－16，证：直线AB 恒过定点． [解析] (1)⊙O 的圆心M (0,2)，半径r ＝1，设动圆圆心P (x ，y )，由条件知|PM |－1等于

P 到l 的距离，∴|PM |等于P 到直线y ＝－2的距离，∴P 点轨迹是以M (0,2)为焦点，y ＝

－2为准线的抛物线．方程为x 2

＝8y . (2)设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 将直线AB 的方程代入到x 2

＝8y 中得x 2

－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b ，

又因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2

264

＝－8b ＋b 2

＝－16⇒b ＝4所以直线BC 恒过定点(0,4)．

3、已知抛物线C ：y 2

＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线

l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程； (2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，(ⅰ)证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标； (ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若

存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

[解析] (1)由题意知F (p 2，0)，设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t

4

，0)．

因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝|t －p

2

|，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)，由

p ＋2t

4

＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2

＝4x .

(2)(ⅰ)由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|FA |＝|FD |，得|x D －1|＝x ＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 0

2

.因为直线

l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b

y 0

＝0，

由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0，设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20

.当y 2

0≠4时，k AE