第5讲四边形最值问题-尖子班

【例1】（1）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．6B ．32C ．3D ．62（2）如图所示，在Rt △ABC 中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 上的点，则DE+EF+FD 的最小值为.（3）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =120°,∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ，在直线BC ，DE 上分别找一点M ,N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为.四边形最值问题模块一两点之间，线段最短【例1】（1）如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝120°，点M 、N 、P 分别为线段AB 、AD 、BD 上的任意一点，则PM ＋PN 的最小值为________.（2）以边长为2的正方形的中心O 为端点，引用两条垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，则线段AB 的最小值为.（3）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 最小的值是（）.A.2B.3C.4D.5（4）如图在∆ABC 中，AB=3,AC=4,BC=5,P 是BC 边上的一动点,PE 垂直于AB 于E 点,PF 垂直于AC 于点F,M 是EF 的中点,则AM 的最小值为.模块二点到直线的距离，垂线段最短【例1】（1）如图,正方形ABCD 中,AB=8,O 为AB 的中点,P 为正方形ABCD 外一点,且AP ⊥CP,则线段的OP 最大值为.（2）如图，已知菱形ABCD 中，BC=10，∠BCD=60°两顶点B 、D 分别在平面直角坐标系的y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接OA ，则OA 的长的最小值是.【巩固】如图，正方形ABCD 中，E 、F 是AD 上两个动点，且AE DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，求DH的最小值．模块三三角形三边关系，两边之和>第三边>两边之差最值问题：OA 与OB 共用顶点O ，固定OA 将OB 绕点O 旋转过程中的，会出现AB 的最大值与最小值，如图．【例1】（1）如图所示，ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，BC a =，CA b =，问：当ACB∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？DCBA （2）已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB的两侧．①如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；②当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应APB ∠的大小．【例2】如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是________________；（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．费马点与旋转☞考点说明：到三个定点的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题结论：（1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA PB PC ++，当点P 为费马点时，距离之和最小．特殊三角形中：(2)．三内角皆小于120°的三角形，分别以AB ,BC ,CA 为边，向三角形外侧做正三角形1ABC 1ACB ,1BCA ,然后连接1AA ,1BB ,1CC ,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的费马点．(3)．若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．(4)当ABC ∆为等边三角形时,此时内心与费马点重合下面简单说明如何找点P 使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费尔马问题．解析：如图1，把APC ∆绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP =PP ′，P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++=PP ′+PB +P ′C ′．点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长，所以当B 、P 、P ′、C ′四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小．这时∠BPA =180°-∠APP ′=180°-60°=120°，∠APC =∠A P ′C ′=180°-∠AP ′P =180°-60°=120°，∠BPC =360°-∠BPA -∠APC =360°-120°-120°=120°因此，当ABC ∆的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【例1】阅读下列材料对于任意的ABC ∆，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点．①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时，点P 既为费马点.解决问题：(1)如图，ABC∆、ACE∆，∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB、AC为边向外作等边ABD连接CD、BE交于点P，证明：点P为ABC++=∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD ∆的费马点．(即证明120APB BPC APC++>++(2)如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC(3)若30BC=，直接写出PA PB PC++的最小值AB=，4ABC∠=︒，3【例2】小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为________；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．图1图2图3【例3】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．⑴求证：AMB ENB∆∆≌⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．【巩固】A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，现在要设立P 、Q 两个交通枢纽，并建设公路连接AP 、BP 、PQ 、QC 、QD ，使个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？【例4】（1）已知：ABC ∆中，120A ∠︒≥，P 是不与A 重合的定点，求证PA PB PC AB AC ++>+．P CBA（2）如图所示，在四边形ABCD中，AB BC∠=︒，P为四边形ABCD内部一点，ABC=,60++≥．∠=︒，证明：PA PD PC BD120APDAP DBC【题1】如图，∠MON=90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动，当正方.形的边长为2时，OD的最大值为CE=，点M、N在对角线AC 上运动，且2周长的最小值．MN=，连接BM、EN．求四边形BMNE【题4】如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60︒，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF=2，连接BD，当∆BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系。

【题5】设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，L的最大值是__________.APBC【题6】（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,则PB的值为_________；（2）如图，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．Page 11of11【题7】(1)如图1，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD ∆中，120BCD ∠< ，分别以BC 、CD 和BD 为边在BCD ∆外部作等边ABC ∆、等边CDE ∆和等边BDF ∆，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①AD BE CF ==；②BEC ADC ∠=∠；③60DPE EPC CPA ∠=∠=∠= ；（2）如图2，在（2）的条件下，求证：PB PC PD BE ++=．图1图2。