人教版高中数学选修4-5课件：2.1比较法

ab
ab 2
>0,
a a b （ ）， a b b 2 a b 所以当a=b时,显然有 =1; a－ b a 2 （ ） b 当a>b>0时,
a － b 2
a a b 1, ＞ 0; 当b>a>0时, b＞ 2 a ab 0 ＜＜ 1 , ＜ 0 , b 2
a－ b a a0 由指数函数的单调性,有 （） 2 ＞ （） = 1 ， b b 综上可知,对任意a>0,b>0,都有aabb≥ a b ab 2 .
式的不等式证明.其证明的一般步骤:作商→变形(化
简)→判断商值与1的大小关系→结论.
【归纳,则a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
2.作差法的步骤 作差→变形→判断符号(与0比较大小)→结论.
3.作商法的依据 若a>0,b>0,则 a >1⇔a>b; a =1⇔a=b; a <1⇔a<b.
2.已知a>b>c,证明:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. 【证明】因为a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-bc2)
+(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(ca)=(a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c). 因为a>b>c,所以a-c>0,a-b>0,b-c>0,所以(a-c)(ab)(b-c)>0,即a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.
【延伸探究】 1.典例中的条件不变,试证明:abba≤
【证明】因为abba>0,
所以
ab
ab 2
>0,
ab .
ab 2
b － a a － b b － a a abb a 2 2 2 a b （ ） ， a b时,显然有 所以当a=b =1; b ab 2 b－ a
颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分
别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位: 元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的 总费用(单位:元)是( )
A.ax+by+cz C.ay+bz+cx
B.az+by+cx D.ay+bx+cz
【解析】选B.由x<y<z,a<b<c,所以ax+by+cz(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,故
b b b 4.作商比较法适用证明的不等式的特点
适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等 式或某些不同底数对数值的大小比较.
类型一
作差比较法
【典例】已知a,b∈R,求证:a2+b2+1≥ab+a+b. 【解题探究】典例中作差后,如何与0比较大小? 提示:化为几个完全平方式的和,然后与0比较大小.
1 【证明】因为a2+b2-ab-a-b+1= [(a-b)2+(a-1)2+ 2 (b-1)2]≥0,当且仅当a=b=1时取等号,所以
a2+b2+1≥ab+a+b.
【方法技巧】作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目
的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多
第二讲
证明不等式的基本方法
一 比 较 法
【自主预习】 比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两
种.
(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明______; a-b>0 要证明 a<b,只要证明______.这种证明不等式的方法,叫做作 a-b<0 差比较法. (2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明
少.
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可
以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.
(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的
符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式,
当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法 判断符号.
【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉 刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间
2.设a,b∈R且a+|b|<0,则下列结论中正确的是( A.a-b>0 B.a2+b2<0
)
C.a2-b2<0
D.a+b<0
【解析】选D.由a+|b|<0,知a<-|b|≤0, 所以a+b<b-|b|≤0,即a+b<0.故选D.
3.若a∈R且a≠1,则a2+1与2a的大小关系是_________. 【解析】因为a∈R且a≠1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,
ax+by+cz>az+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)
+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx<ay+bx+cz;
az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y) +b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,
故az+by+cx<ay+bz+cx,所以最低费用为az+by+cx.
即a2+1>2a.
答案:a2+1>2a
【知识探究】 探究点 比较法证明不等式
1.作差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么?
提示:作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式 的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为 一个数(或式子)与0的大小关系.
2.作商比较法主要适用类型是什么? 提示:作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形
a >1;要证明b>a,只要证明_____.这种证明不等式的方 b b ＞ 1 法,叫做作商比较法. a
【即时小测】 1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是
(
A.a>b>-b>-a C.a>-b>b>-a B.a>-b>-a>b D.a>b>-a>-b
)
【解析】选C.由a+b>0,b<0,得a>-b>0,于是a>-b>b>-a.
类型二
作商比较法
【典例】设a>0,b>0,求证:aabb≥
ab .
ab 2
【解题探究】由指数函数的性质可知a,b满足什么条
件时ab>1? 提示:若0<a<1,则b<0时,ab>1;若a>1,则b>0时,ab>1.
【证明】因为aabb>0,
a b 所以 ab a － b b － a 2 2