阶段知能检测(7)—立体几何 shi

单元检测﹙七﹚——立体几何一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,3)，且k a＋b与2a－b垂直，则k的值为()A.125B．1 C.75D．2【解析】k a＋b＝(k－1，k,3)，2a－b＝(3,2，－3)，由题意，得(k－1)×3＋k×2＋3×(－3)＝0，解得k＝12 5.【答案】 A2．某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．的是()【解析】由正视图知，俯视图不可能是圆与内接四边形，C不正确．【答案】 C3．直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A．4 B. 3 C．2 3 D．2【解析】由正视图和俯视图知，直三棱柱的侧视图是长为3，宽为2的长方形，故侧视图的面积为2 3.【答案】 C4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若n⊥α，n⊥β，则α∥β【解析】A错，两平面也可相交；B错，不符合面面平行的判定定理的条件，需两平面内有两条相交直线互相平行；C错，直线n不一定在平面α外；D由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确．【答案】 D5．如图所示，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为() A．1 B．2 C．3 D．4【解析】AB⊥BD，面ABD⊥面BCD，且交线为BD，则AB⊥面BCD，则面ABC⊥面BCD，同理CD⊥面ABD，则面ACD⊥面ABD，因此共有3对互相垂直的平面．【答案】 C6．(2012·茂名调研)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1上的动点，则直线ON，AM的位置关系是()A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【解析】 如图所示，取BC 、AD 的中点E 、F ，分别连结B 1E ，EF ，F A 1，则ON ⊂平面A 1FEB 1.∵AM ⊥A 1F ，AM ⊥A 1B 1，∴AM ⊥平面A 1FEB 1，∴AM ⊥ON .【答案】 C7．如图六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°【解析】 ∵PB 在底面射影为AB ，AB 与AD 不垂直，∴PB 与AD 不垂直，排除A.又BD ⊥AB ，BD ⊥P A ，∴BD ⊥面P AB .但BD 不在面PBC 内，排除B.∵BD ∥AE ，∴BD ∥面P AE ，∴BC 与面P AE 不平行，排除C.又∵PD 与面ABC 所成角为∠PDA ，AD ＝2AB ＝P A ，∴∠PDA ＝45°.【答案】 D8．如图所示，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC内部【解析】 由已知易推出平面ABC 1⊥平面ABC ，故C 1在底面上的射影H 在两平面交线AB 上．【答案】 A二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________．【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，且设正方体的棱长为1，∵DB 1⊥平面ACD 1，∴取平面ACD 1的法向量n ＝DB 1→＝(1,1,1)， 又BB 1→＝DD 1→＝(0,0,1)， 若设BB 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DD 1〉|＝|n ·DD 1→||n |·|DD 1→|＝33，∴cos θ＝1－sin 2θ＝63. 【答案】 6310．(2011·广东高考改编)如图所示，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________．【解析】 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V ＝3×3×3＝9 3.【答案】 9 311．已知直线l ，m ，平面α，β且l ⊥α，m ⊂β，给出四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中真命题的个数是________．【解析】 命题①，由l ⊥α，α∥β得l ⊥β，∴l ⊥m ，故①对．命题②，l ⊥mD /⇒l ⊥β，则l ⊥mD /⇒α∥β，故命题②错误．命题③，当α⊥β时，l 与m 也可能相交或异面，故③错误．命题④，由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，∴α⊥β，故④正确．【答案】 212．(2011·辽宁高考)三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P —ABC 的体积等于________．【解析】 ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A 为三棱锥P —ABC 的高，且P A ＝3，∵底面ABC 为正三角形且边长为2，∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P —ABC ＝13×3×3＝ 3.【答案】 313．如图所示，过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是________【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD 的法向量n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求的二面角的大小是45°.【答案】 45°14．如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .【解析】 由已知得B 1D ⊥平面AC 1，又CF ⊂平面AC 1，∴B 1D ⊥CF ，故若CF ⊥平面B 1DF ，则必有CF ⊥DF .设AF ＝x (0＜x ＜3a )，则CF 2＝x 2＋4a 2，DF 2＝a 2＋(3a －x )2，又CD 2＝a 2＋9a 2＝10a 2，∴10a 2＝x 2＋4a 2＋a 2＋(3a －x )2，解得x ＝a 或2a .【答案】 a 或2a三、解答题(本大题共6小题，满分80分．解答时需写出文字说明、证明过程和演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD 垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD＝4(单位：cm)，E 为P A 的中点．(1)证明：DE ∥平面PBC ；(2)证明：DE ⊥平面P AB .【证明】 (1)如图所示，设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，则EF ∥AB ，DC ∥AB ，∴EF ∥DC ，且EF ＝DC ＝12AB ，故四边形CDEF 为平行四边形，可得DE ∥CF ，DE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，故DE ∥平面PBC .(2)PD 垂直于底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥PD ，又AB ⊥AD ，PD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面P AD ，ED ⊂平面P AD ，故ED ⊥AB ，又PD ＝AD ，E 为P A 中点，故ED ⊥P A .P A ∩AB ＝A ，∴DE ⊥平面P AB .16．(本小题满分13分)(2012·湛江质检)如图所示，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；【解】 (1)证明 连结OC .∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD .∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝ 3.又AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2.∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .又AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD .(2)以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)，E (12，32，0)，BA→＝(－1,0,1)，CD →＝(－1，－3，0)．∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA→||CD →|＝24. ∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.17．(本小题满分13分)(2011·课标全国卷)如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：P A ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A —PB —C 的余弦值．【解】 (1)证明 因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD .从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD .又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD .所以BD ⊥平面P AD ，故P A ⊥BD .(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D —xyz .则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0,0,1)．AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1,0,0)．设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·PB →＝0.即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0. 因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·BC →＝0. 可取m ＝(0，－1，－3)．cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277. 故二面角A —PB —C 的余弦值为－277.18．(本小题满分14分)(2012·佛山模拟)如图，P A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)求三棱锥E —P AD 的体积；(2)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF .【解】 (1)∵V E —P AD ＝V P —ADE ，又P A ＝1，S △ADE ＝12AD ·AB ＝32，∴V E －P AB ＝13P A ·S △ADE ＝13×1×32＝36.(2)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC ，又EF ⊄平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(3)证明 ∵P A ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥P A ，又BE ⊥AB ，AB ∩P A ＝A ，∴BE ⊥平面P AB .又AF ⊂平面P AB ，∴AF ⊥BE .又P A ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，∴PB ⊥AF ，又∵PB ∩BE ＝B ，∴AF ⊥平面PBE .∵PE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥PE .19．(本小题满分14分)(2011·江西高考)如图，在△ABC中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′—PBCD 的体积最大时，求P A 的长．(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .【解】 (1)令P A ＝x (0＜x ＜2)，则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x .因为A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故A ′P ⊥平面PBCD .∴V A ′—PBCD ＝13Sh ＝16(2－x )·(2＋x )x ＝16(4x －x 3)．令f (x )＝16(4x －x 3)，由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233. 当x ∈(0，233)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(233，2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以当x ＝233时，f (x )取得最大值．故当V A ′—PBCD 最大时，P A ＝233.(2)证明 设F 为A ′B 的中点，如图所示，连结PF ，FE ，则有EF 綊12BC ，PD 綊12BC .所以EF 綊PD .所以四边形EFPD 为平行四边形．所以DE ∥PF .又A ′P ＝PB ，所以PF ⊥A ′B ，故DE ⊥A ′B .20．(本小题满分14分)(2011·湖南高考)如图，在圆锥PO中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面P AC ；(2)求二面角B —P A —C 的余弦值．【解】 (1)证明 如图所示，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0，2)，D (－12，12，0)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面POD 的一个法向量，由n 1·OD →＝0，n 1·OP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＝0，2z 1＝0. 所以z 1＝0，x 1＝y 1.取y 1＝1，得n 1＝(1,1,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AC 的一个法向量，由n 2·P A →＝0，n 2·PC →＝0， 得⎩⎨⎧－x 2－2z 2＝0，y 2－2z 2＝0.所以x 2＝－2z 2，y 2＝2z 2，取z 2＝1， 得n 2＝(－2，2，1)．因为n 1·n 2＝(1,1,0)·(－2，2，1)＝0，所以n 1⊥n 2. 从而平面POD ⊥平面P AC .(2)因为y 轴⊥平面P AB ，所以平面P AB 的一个法向量为n 3＝(0,1,0)． 由(1)知，平面P AC 的一个法向量为n 2＝(－2，2，1)． 设向量n 2和n 3的夹角为θ，则cos θ＝n 2·n 3|n 2|·|n 3|＝25＝105. 由图可知，二面角B —P A —C 的平面角与θ相等．所以二面角B —P A —C 的余弦值为105.。