2017-2018学年四川省绵阳市高三(上)一诊数学试卷(理科)

2017-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.
（5分）设集合A={x€ Z| （x-4）（x+1）V O} , B={2, 3, 4}，则A H B=（）
A. （2, 4）
B. {2, 4}
C. {3}
D. {2, 3}
2. （5分）若x>y,且x+y=2，贝U下列不等式成立的是（）
A. x2v y2
B. —
C. x2> 1
D. y2v 1
x y
3. （5 分）已知向量；=（x- 1 , 2） , b = （x, 1）,且；// 匸，贝U | ；+匸| =（）
A.匚
B. 2
C. 2 匚
D. 3 匚
4. （5 分）若t血（a-牛）=2,则tan2 a（）
A.- 3
B. 3
C.二
D.
4 4
5. （5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超
过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
6. （5 分）已知命题p: ? x o€ R,使得e x0< 0:命题q: a, b € R,若|a- 1| =| b -2|，则a - b= - 1，下列命题为真命题的是（）
A. p
B. ?q
C. p V q
D. p A q
IT
7. （5 分）在厶ABC中，“C^”是“sinA=cos的”）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8. （5分）已知函数f （x）=sin? x+ ；cos? x （? >0）图象的最高点与相邻最低
点的距离是若将y=f （x）的图象向右平移'个单位得到y=g （x）的图象，
6
则函数y=g （x）图象的一条对称轴方程是（）
115
A. x=0
B.： -二
C. -二
D.厂一
9. （5分）已知0v a v b v 1,给出以下结论：
- - .
. ■；④ logj > log 」•则其中正确
丄
丄
2 3
2
3
的结论个数是（ ）
A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. （5分）已知x i 是函数f （x ） =x+1 - In （x+2）的零点，沁 是函数g （x ） =X
-2ax+4a+4的零点，且满足| x i - X 2I < 1,则实数a 的最小值是（ ）
A . 2-2 二
B . 1 - 2 二 C.- 2D. - 1
11. （5分）已知a , b , c € R,且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与 函数f （x ） =ax+bcosx+csinx 的图象都相切，贝U a+』"H c 的取值范围是（ ）
A . [ - 2, 2]
B. UW *E]C . - V'e V%] D . :
勺匚】
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（5分）已知变量x,y 满足约束条件r 亠®£-2，则z=2x+y 的最小值是 _________ .
、x>l
14 . （5分）已知偶函数f （x ）在［0, +x ）上单调递增，且f （2） =1，若f （2x+1） v 1,则x 的取值范围是 .
15. （5分）在厶ABC 中，AB=2, AC=4 cosA=，过点A 作AM 丄BC,垂足为M ,
Q 若点N 满足X 匕3二'I,贝U '*・■■■!= ___________ .
16. （5分）如果｛a n ｝的首项 a 1=2017,其前 n 项和 S n 满足 S h +S n -1=- n 2 （n € N* ,
n 》2）,贝U a 101= ____ .
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
12. （5分）若存在实数 中e 为自然对数的底
数）
A
. ｛：｝ B ［：*
x ,使得关于 x 的不等式匚「+x 2
- 2ax+a 2
^— （其
a 的取值集合为（ ）
［——,+x ）
10
成立，则实数 皿｝ D .
算步骤.
17. （12分）在厶ABC中，•-二工，D是边BC上一点，且辽m；, BD=2.
(1)求/ ADC的大小；
(2)若域凭蔦，求△ ABC的面积.
18. (12分)设公差大于0的等差数列｛a n｝的前n项和为已知S B=15，且a i,
a4, a i3成等比数列，记数列；的前n项和为T n.
(I)求T n；
(U)若对于任意的n € N*, tT n< a n+11恒成立，求实数t的取值范围.
19. (12 分)若函数f (x) =Asin( ? x+©) (A>0，... . -一■■-—)的部分
2T 2
图象如图所示.
(I)设x€( 0，一)且 f ( a)=，求sin 2a 的值；
3 5
(II)若x€ ［，‘ ］且g (x) =2入f(x) +cos (4x-丄)的最大值为•’，求实
12 12 3 2
数入的值.
20. (12分)已知函数f (x) =ke x-x3+2 (k€ R)恰有三个极值点x i，X2，X3, 且X|V x2v x3.
(I)求k的取值范围：
(II)求f (X2)的取值范围.
21. (12分)已知函数f (x) =axlnx- x+l (a€ R),且f (x)>0.
(I)求a；
(II)求证：当，n€ N*时f 甘…--亠一v2ln2.
n2+l n2 + 2 n Z+3 4n Z
请考生在第22, 23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后
的方框涂黑.［选修4-4 :极坐标与参数方程］
22. (10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是「(a为参
|y=4+5sina
数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设^ ，■ • ■——，若l i，I2与曲线C分别交于异于原点的A，B
］ 6 2 3
两点，求△ AOB的面积.
［选修4-5：不等式选讲］
23. 已知函数f (x) =|2x- 1|+| 2x+3| .
(1)解不等式f (x)> 6;
(2)记f (x)的最小值是m，正实数a, b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小
值.
20仃-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)
1. (5分)设集合 A={x € Z| (x -4) (x+1)V O} , B={2, 3, 4}，则 A H B=( )
A . (2, 4) B. {2, 4} C. {3} D. {2, 3}
【解答】 解：集合 A={x € Z| (x-4) (x+1 )V 0}={x € Z| - 1v x v 4}={0, 1, 2, 3},
B={2, 3, 4}, 则 A H B={2, 3}, 故选：D
2. (5分)若x >y ,且x+y=2，贝U 下列不等式成立的是( )
A . x 2v y 2
B .「
C. x 2> 1 D . y 2v 1
K y
【解答】解x >y ,且x+y=2,
••• x>2 - x, ••• x> 1,
故x 2> 1正确， 故选：C
A .匚 B. 2
C. 2 二
D.
• x -仁2x , 解得x=- 1 ,
•- + = (-2 , 2) + (- 1 , 1) = (- 3 , 3), 第5页(共20页)
3. (5分)已知向量1= (x- 1 , 2),
■■= (x , 1),且 1 // ：■, 则 | ^ "| =( )
【解答】解：I 尸（x - 1 , 2),=
I| r + M 1「_「I' .I - = 3?,
故选：D
4. (5 分)若tanCCL^->2,则tan2 a==)
A.- 3
B. 3
C.二
D.
44
【解答】解：•••—= —可求tan a = 3,
4 1+tanCl
••• tan2 a= _「=「；=【
1-tan21-(-3)24
故选：D.
5. （5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超
过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
【解答】解：设该职工这个月实际用水为x立方米，
•••每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，
•••用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，
•••该职工这个月缴水费55元，
•••该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x- 10）X 5，•••由题意可列出一元一次方程式：30+ （x- 10）X 5=55，
解得：x=15，故选：C.
6. （5 分）已知命题p: ? xo€ R,使得e x0< 0:命题q: a，b € R,若|a- 1| =| b -2|，则a - b= - 1，下列命题为真命题的是（）
A. p
B. ?q
C. p V q
D. p A q
【解答】解：由指数函数的值域为（0，+x）可得：
命题p: ?勺€ R,使得e x0< 0为假命题，
若|a—1|=|b - 2|，贝U a- 1=b— 2 或a-仁-b+2
即a- b=- 1,或a+b=3,故命题q为假命题，
故?q为真命题；
p V q, p A q为假命题，
故选：B
7. (5 分)在厶ABC 中，“鈕”是“ sinA=cos的”)
2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解答】解：“C= ”“+B=》” “A= - B? sinA=cosB
2 2 2
反之sinA=cosB A+B=，或A= +B，“C=_”不一定成立,
2 2 2
TT
••• A+B= 是sinA=cosB成立的充分不必要条件，
2
故选：A.
8. (5分)已知函数f (x) =sin? x+ ；cos? x (? >0)图象的最高点与相邻最低点的距离是.=，若将y=f (x)的图象向右平移-个单位得到y=g (x)的图象，则函数y=g (x)图象的一条对称轴方程是( )
115
A. x=0
B.：-二
C.：-二
D.
Zoo
【解答】解：•••函数 f (x) =sin?x+ _；cos?x=2sin (®x ) (? >0)图象的最
3
高点与相邻最低点的距离是.广，
•设函数f (x)的周期为T,则(I ) 2+[2-( - 2) ]2= ( —) 2,解得：T=2,
• T=2=，解得：3 = n
co
• f (x) =2sin ( n + ),
3
1 1 IT
=f (x—一)=2sin[ n (x—一)+ ] =2sin ( n
• y=g (x)
6 6 3
•••当k=0时，函数y=g (x )图象的一条对称轴方程是：x=. 3
故选：C.
9. (5分)已知O v a v b v 1,给出以下结论: 丄 丄
①■ L .
1
匕 匚 一-、_门二.】④logj >log
2 3
T J 2
的结论个数是( )
A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【解答】解：由O v a v b v 1,知： 在①中，d )a >d )b >d )b ，故①正确；
2 2 3
丄 丄
丄 丄
在②中，当a- , b='时， -,
-，此时.，故②错误;
在③中，门：「n >log a >b ，故③正确；
- ----------------------------- 2 3 3
在④中，当 a=—，bp 时，log ^-^v log^=1 .故④错误. 故选：B.
10. (5分)已知x i 是函数f (x ) =x+1 - In (x+2)的零点，沁 是函数g (x ) =« -2ax+4a+4的零点，且满足| * - X 2| < 1，则实数a 的最小值是( A . 2-2 二 B . 1 - 2 二 C.- 2D. - 1
【解答】解I ： f'( x ) =1 - •当-2v x v- 1 时，f'(x )v 0,当 x >- 1 时，f'( x )> 0, •••当x=- 1时，f (x )取得最小值f (- 1) =0, •- f (x )只有唯一一个零点x=- 1,即X 1=- 1,
T |X 1 - x 2| W 1 , •- 2 w x 2 = 0,
• g (x )在［-2, 0］上有零点，
(1)若厶=4a 2 - 4 (4a+4) =0,即卩 a=2± 2 ':, 此时g (x )的零点为x=a, 显然当a=2 - 2「符合题意；
•令 n + =k n +
, k € 乙解得:
jJ .则其中正确
2 3
k €
Z ,
(2)若厶=4a2—4 (4a+4)>0,即a v2- 2 ~或a>2+2 匚，
①若g (x)在［-2, 0］上只有一个零点，则g (- 2) g (0)< 0, --a=- 1,
g(-2)>0
g(0)>0
②若g (x)在［-2, 0］上有两个零点，则出_2<a<Q
a< 2 -2 灵或a> 2+2^2
解得-K a v2 - 2
综上，a的最小值为-1.
故选：D.
11. (5分)已知a, b, c€ R,且满足b2+c?=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csi nx的图象都相切，贝U a+电.屮幻.•:c的取值范围是( ) A. ［- 2, 2］ B. ： PE “jG c. - Vc "扎］D. :: .■-::'
【解答】解：•••函数 f (x) =ax+bcosx+csinx, b2+c2=1,
••• f'(x) =a+ccosx- bsinx=a- sin (x- ©), 其中tan © =,
b
则 f (x)€ ［a- 1, a+1］,
若存在两条互相垂直的直线与函数 f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，
则存在k1, k2€ ［a- 1, a+1］，使k*2=- 1,
由( a- 1) (a+1) =a2- 1 >- 1 得：
a=0,
则a^^b+血c=应in ( ©+B),其中tan 0
故a+ 二=c€ ［-二，二］,
故选：B.
/ x \ 2 1
12. （5分）若存在实数x,使得关于x的不等式「_+x2- 2ax+a2< （其中e为自然对数的底数）成立，则实数a的取值集合为（）
A. {-,} B ［「）C {」} D.，心）
【解答】解：不等式 -'：-:+x2-2ax+a2w 1 ,
9 10
即为（x—a）2+ C - _）2< ——
3 3 10
表示点（x, 一）与（a,：）的距离的平方不超过,
3 3 10
即最大值为-•
10
由（a,卫）在直线I: y=-x上,
3 3
设与直线I平行且与y二一相切的直线的切点为（m, n）,
3
可得切线的斜率为1 e m J ,
3 3
解得m=0, n=,
3
切点为（0, 1）,由切点到直线I的距离为直线I上的点
3
与曲线y=‘的距离的最小值，
3
可得（0-a）2+ （■—a）2二丄,
3 3 10
解得a=,
10
则a的取值集合为｛七｝.
故选：C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. （5分）已知变量x, y满足约束条件' s-3y<-2 ,则z=2x+y的最小值是3【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）. 由z=2x+y 得y= - 2x+z,
平移直线y=- 2x+z,
由图象可知当直线y= - 2x+z经过点A时，直线y= - 2x+z的截距最小，
此时z最小.
由/弓。

，解得A（1,1），
x-3y=-2
代入目标函数z=2x+y得z=2X 1+仁3.
即目标函数z=2x+y的最小值为3.
故答案为：3.
1
2
3
4
5
14. (5分)已知偶函数f (x)在［0, +x)上单调递增，且f (2) =1，若f (2x+1) v 1,则x的取值范围是(-：；，「).
2_ 2_----
【解答】解：根据题意，f (x)为偶函数，贝U( 2x+1) =f (| 2x+11 ), 又由f (x)在［0，+x)上单调递增，且f (2) =1，
则 f (2x+1)v 1? f (|2x+1| )v f (2) ? | 2x+1| v2，
解可得-v x v 1；
2 2
则x的取值范围是(-：'，1 )；
£厶
15. (5分)在厶ABC中，AB=2, AC=4 cosA=,过点A作AM丄BC,垂足为M ，若点
N满足订=3二I，贝贝- ■■.!=-厂.
3—
【解答】解：以M为原点，以BC所在的直线为x轴，以AM所在的直线为y轴, 建立如图所示的平面直角坐标系，
在厶厶ABC中，AB=2, AC=4, cosA=,
S
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2- 2AB?AC?co? BAC=*16 - 2X 2X 4X丄=18,
Q
--BC=3 r ,
由正弦定理可得 T =
sinZ ABC sinZ ： BAC
••• sin / ABC=
=乞；，
3V2
4
•/ AC < BC, ••• cos/ ABC=,
4
在 Rt A AMB 中，BM=AB?cosZ ABC=2X —二-，AM=AB?sin/ ABC=2X^^ =」, 4
2
4
2
•••点 N 满足 J=3.J , •••I HlN|=r J|= 1 1 ,
3 3
• A (0,字)，N (0,字)，B ( —¥, 0), • ：「= (0, 1 1 ) , -i =(——,-1 '),
6 2 3
■•.|=0+ 1 1 X(^—：-)=—,
6
3 9
故答案为：1
g
1
i
A
/
/ 、 \
_____________
B M
C
16. (5分)如果｛a n ｝的首项 a i =2017,其前 n 项和 S n 满足 S h +S n -1=-n 2 (n € N* , n 》2),贝U a i0i = 3935
.
【解答】解：：S n +S n -1=-n 2 (n 》2), • S+i +S n =- (n+1) 2
, • S n +1 — S n -1= - 2n — 1 , 即 a n +i +a n =- 2n - 1,
二 a n +2+a n +1= — 2n - 3, 故 a n +2 — a n = — 2 ( n >2),
T a i =2017,且 2a i +a 2=-4,
••• sinA =,,-、
a2= —4038,
由(a计a2+a3)+ (a i+a2)=—9,
a —a i=2016.
a101= (a101 —a99)+ (a99 —a97)+••+ (a3 —a1)+a1 =(—2)X
=—98+4033=3935. 故答案为：3935.
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （12 分）在厶ABC 中，D 是边BC 上一点，且", BD=2.
（1）求/ ADC的大小；
（2）若#△ ABC的面积.
【解答】解：（ABD中，由正弦定理- ,
sinZB sinZ.BAD
AD 2
6 3 6 6
- .. 一八
（2）由（1）知，/ BAD=Z BDA=—，故AB=BD=2
6
在厶ACD中，由余弦定理：AC?=AD2+CD2—2AD?CD?co M ADC,
即: .■- :: :: < > :,
整理得C庁+6CD- 40=0,
解得CD=- 10 （舍去），CD=4, • BC=BE+CD=42=6.
••• S ABR •…
丨丄 ■ - .
18. （12分）设公差大于0的等差数列｛》｝的前n 项和为S,已知S 3=15，且a i , a 4, a i3成等比数列，记数列
；的前n 项和为T n .
（I ）求 T n ；
（U ）若对于任意的n € N *, tT n < a n +11恒成立，求实数t 的取值范围.
【解答】解：（I ）设｛a n ｝的公差为d （d > 0）, 由S 3=15有3a 1+
|=15,化简得a 1+d=5,①…（2分）
又••• a 1, a 4, a 13成等比数列，
• a 42=a 1a 13,即（a 计3d ） 2=a 1 （a 计 12d ）,化简得 3d=2ai ,②…（4分） 联立①②解得a 1=3, d=2, •- a n =3+2 (n - 1) =2n+1.
••- (5 分)
••—. - -
a n a rti .1~(2n+l)(2n+3) ~2 V 2n+1 2n+3 八
• - ,
■
'
'■
.
:
H
.：
:/ I
：：■ ■:;
...(7 分)
又'> 6，当且仅当n=3时，等号成立, n
—」162, .(11 分) • t V 162.…(12 分)
19. （12分）若函数 f （x ） =Asin （? x+©） （A >0, 一；八.-一…—丄）的部分 图象如图所示.
（I ） 设 x €（ 0,二_）且 f （ a ）=，求 sin 2a 的值；
3 5
（II ） 若x €打一 -- ］且g （x ） =2入f （x ） +cos （4x -丄）的最大值为十，
求实
(n)V tT n V a n +11,即
tn
3(2门+3) <2n+12 ,
t<3(2n+12) (2n+3) n
3 (4n^+30n+36)
q
=12(n+—
) + 90, n
…(9分)
数入的值.
【解答】解：（I ）由图得，A=2. ••- （1 分）
，解得 T=n,
4 1 3
12
4
于是由二兀，得CD =2…（2分）
T
,111 … ■:-，即二］二 ：_I ,
••• " 「一二 1 ■，即 |-.- '■ .，k € Z ，又「：
士 .
3
2
6 2
• " t I 一； -- Ti \—.
…（3 分）
由已知.. ---------- .一一，即皿；
， 6 5 6
5 因为「
「
「，所以.c ■" ■- . J ■ ，
3 6
6
2
'■ . ■ 1
■ I I 「：-（:-.-=三」1 2 一
••• （6 分）
（U ）由（I ）知，_■ >■ 1
- ■■ ■■- - .: : ■■:
=J - ' ■ 1 ■ ■ ■ - ■
6 3
=4 ' ■■-
- 1 ■■'：.
cos
-y+cos （2a^）sin =4+玷 =
=工丨门「.二: ■- ' ' ■ I，…（8 分）
••• x€，于是ow：”. jL w，,
L12 12 J z 6 3
••• ow二二二一T：< 1•…(9分)
6
①当&0时，当且仅当• —1=0时，g (x)取得最大值1,与已知不符.
6
②当0W冶1时，当且仅当…、、.；二飞入时，g (x)取得最大值2*+1,
6
由已知得2*+仁二解得入=.
2 2
③当A> 1时，当且仅当-、-：、、-——=1时，g (x)取得最大值4入-1，
6 由已知得4入-仁才，解得入二，矛盾.
综上所述，入=.…(12分)
2
20. (12分)已知函数f (x) =ke x-x3+2 (k€ R)恰有三个极值点x i，X2，X3，且X|V X2< X3.
(I)求k的取值范围：
(II)求f (X2)的取值范围.
【解答】解：(I) f (x) =ke X - 3X2. 由题知方程ke x- 3x2=0恰有三个实数根，
整理得._ [.…(1分)
e
令—丄，则一卫丄_二
e e
由g' (x)>0 解得0 v x v2，由g' (x)v 0 解得x>2 或x v0，
••• g (乂)在(0，2) 上单调递增，在(-X，0)，(2，+x)上单调递减.•••(3 分)
于是当x=0时，g (x)取得极小值g (0) =0,
当x=2时，g (x)取得极大值：••- (5分)
e
且当X——X时，g (x) —+X；当x—+x时，g (x) —0，
」1.1 _7 ■ . •• (6 分)
(U)由题意，f (x ) =ke" - 3/=0 的三个根为 X 1, x 2, x 3,且 X 1< X 2< X 3, 口 強2
2
八
--0v X 2 v 2,且！:_
/ , ••- (8 分)
令卩(x ) =-X 3+3x 2+2 (O v x v 2), 贝U u(x ) = - 3x 2 +6x= - 3x (x - 2),
当O v x v 2时，u 《x )> 0, 即卩讥乂)在(0, 2)单调递增，•••( 11分) ••• f (X 2)€( 2, 6).
••- (12分)
21. (12分)已知函数 f (x ) =axlnx- x+l (a € R ),且 f (x )>0. (I) 求 a ；
(II) 求证：当，n € N*时,
••一
' . v 2ln2.
n 2+l n 2+2 n Z +3 4n Z
【解答】解：(I) f (x )的定义域为(0, +x ). 若 a v 0, f (2) =2aln2- 1v 0,与已知矛盾.•••( 1 分)
若a=0,则f (x ) =- x+1，显然不满足在(0, +x)上f (x )> 0恒成立.•••(2 分) 若 a >0,对 f (x )求导可得 f (x ) =alnx+a - 1.
I F
I F
由f (x )> 0解得二「二，由f (x )v 0解得0v 「小二, ••• f (乂)在(0,
)上单调递减，在(「•，+x)上单调递增，
1-a
1-a
--f (X )min =「1. - ' =1 — a 「' . ''' ( 4 分)
•••要使f (x )> 0恒成立，则须使1 -
> 0成立，即「•
恒成立.
a
两边取对数得，1 ■<ln 〔，整理得lna+「- K0,即须此式成立.
a a a
令 g (a ) =lna+ - 1,贝U - •：二"
a a
显然当 0v a v 1 时，g' (a )v 0,当 a > 1 时，g' (a )>0, 于是函数g (&)在(0, 1)上单调递减，在(1, +x)单调递增，
--g ( a) min =g ( 1 ) =0,
:'
.,
・
I '■
:,
…(9分)
即当且仅当a=1时，f (X)min=f ( 1) =0, f (X)> 0恒成立，
••• a=1满足条件.
综上，a=1.…(6分)
(U)由(I)知x> 1 时，xlnx-x+1 >0，即lnx>-二-恒成立.
x
2 2 2i
令N*),即二_^，
n n n +1 n +1
即' ，…(8分)
n +1
同理，——'.111■- ■■■■：，
n+2
■ ii1 - ■- - - " ■：：：，…，
n z+3
-1
1' ' I广I ■：-_：，•••( 10分)
4n
将上式左右相加得：
——4-ln(4 n2) -In n2
n +1 n +2 n +3 4n
dn2
= —=ln4. =21 n2 •••( 12 分)
n
请考生在第22, 23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后
的方框涂黑.［选修4-4 :极坐标与参数方程］
xOy中，曲线C的参数方程是'■' 一
22. （10分）在直角坐标系（a为参
（y=4+5sin a
数），以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设•：T- '1，若11, 12与曲线C分别交于异于原点的A，B
1 6 z 3
两点，求△ AOB的面积.
【解答】解：（1）v曲线C的参数方程是（X=3+5c?sCl（a为参数），
y=4+5sin 口
•••将C的参数方程化为普通方程为（x- 3）2+ （y-4）2=25,
即x'+y2- 6x —8y=0. …（2 分）
C的极坐标方程为p =6cos-H8sin 0 ••- （4分）
（2）把代入p =6cos0sin 0得p产好3齿，
•■•「一_•—.…（6分）
把代入p =6cos0sin 0得p于彳+茲泪，
••• —y I：.…（8分）
S
AOB=；「二门严二一工［=；.+ .：〉'［二」:- =二—~^
（10 分）
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f (x) =| 2x- 1|+| 2x+3| .
(1)解不等式f (x)> 6;
(2)记f (x)的最小值是m，正实数a, b满足2ab+a+2b=m,求a+2b的最小值. 【解答】解: (1)当XW三时，f (x) =- 2 -4x,
由 f (x)> 6 解得x<- 2,综合得x<- 2，•••(2 分)
当专八厂丄时，f (x) =4,显然f (x)> 6不成立，•••(3分)
£w
当X》1 时，f (x) =4x+2,
2
由f (x)> 6，解得x> 1,综合得x> 1, ••- (4分)
所以 f (x)> 6 的解集是(-X,- 2] U [1, +x). •••(5 分)
(2) f (x) =| 2x- 1|+| 2x+3| > | (2x- 1)-( 2x+3) | =4,
即f (x)的最小值m=4. •••(7分)
••• a?2b w ••- (8 分)
由2ab+a+2b=4可得4-( a+2b)w '
2
解得a+2b》；r-;
••• a+2b的最小值为⑺-'••••（10分）
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