2016-2017学年湖北省黄冈市浠水实验高中高三(上)第三次月考数学试卷(文科)

2016-2017学年湖北省黄冈市浠水实验高中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）已知复数z=，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量，满足|﹣|=，•=1，则|+|=（）A．B．2 C． D．104．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））的切线过点（2，7），则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2﹣4＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣4＞0”B．命题“若x≠1，则x2≠1”的否命题是“x=1，则x2=1”C．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题6．（5分）“”是“sinθ﹣cosθ＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知△ABC中，，则cosA=（）A．B．C．D．8．（5分）设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（）A．f（1）与f（﹣1）B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）9．（5分）函数f（x）=log a|x|+1（0＜a＜1）的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．﹣111．（5分）△ABC中，AC=4，AB=2，若点G为△ABC的重心，则=（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）若函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+a在x∈[﹣，]的最大值为M，最小值为N，且M+N=1，则a的值是（）A．1 B．C．﹣1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）计算：（）+lg+lg70+=．14．（5分）已知α、β都是锐角，且，，则cosα=．15．（5分）设函数f（x）=x3+x，x∈R，若0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f （1﹣m）＞0恒成立．则实数m的取值范围是．16．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中（17）--（21）题必考题，（22），（23），题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知向量，，其中∠A，∠B为△ABC的内角，且．（Ⅰ）求tan（A+B）的值；（Ⅱ）若．18．（12分）已知是平面上的一组基底，（1）已知，，，且A，E，C三点共线，求实数λ的值；（2）若是夹角为60°的单位向量，，，当﹣3≤λ≤5时，求的最大值，最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．20．（12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？21．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）设m＞0，若函数g（x）=2xf（x）﹣x2+2x+m在上有两个零点，求实数m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ﹣4cosθ=0，直线l过点M（0，4）且斜率为﹣2．（1）求曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l的标准参数方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|2x﹣1|+ax+2．（I）当a=1时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2016-2017学年湖北省黄冈市浠水实验高中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2013•东至县一模）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A2．（5分）（2014•广东模拟）已知复数z=，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z===﹣i，∴=+i，∴在复平面内对应的点为．∴在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．3．（5分）（2016秋•浠水县校级月考）已知向量，满足|﹣|=，•=1，则|+|=（）A．B．2 C． D．10【解答】解：由已知得|﹣|2=（﹣）2=2+2﹣2•=2+2﹣2=6，即2+2=8，即有|+|2=（+）2=2+2+2•=8+2=10，即．故选C．4．（5分）（2015秋•兰州校级期末）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f （1））的切线过点（2，7），则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为f′（x）=3ax2+1，图象在点（1，f（1））的切线斜率为3a+1，切点为（1，a+2），由切线经过（2，7），可得=3a+1，解得a=1．故选：A．5．（5分）（2015•凯里市校级模拟）下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2﹣4＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣4＞0”B．命题“若x≠1，则x2≠1”的否命题是“x=1，则x2=1”C．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题【解答】解：A．命题“∃x∈R，使得x2﹣4＜0”的否定应为“∀x∈R，均有x2﹣4≥0”；B．根据否命题的定义知该选项正确；C．存在四边相等的四边形不一定为正方形，可以为空间四边形，所以该命题为真命题；D．若cosx=cosy得不到x=y，x=2π﹣y也可以，所以该命题为假命题，∴它的逆否命题为假命题．故选B．6．（5分）（2016秋•浠水县校级月考）“”是“sinθ﹣cosθ＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若，则sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ＞0，是充分条件；若sinθ﹣cosθ＞0，推不出，不是必要条件，故选：A．7．（5分）（2017春•武穴市校级月考）已知△ABC中，，则cosA=（）A．B．C．D．【解答】解：已知△ABC中，，∴A是钝角，则cosA＜0，由，得cos2A=====，则cosA=﹣，故选：B8．（5分）（2014•湖南模拟）设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（）A．f（1）与f（﹣1）B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）【解答】解：由y=x•f′（x）的图象知，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴当x=﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x=2时，f（x）有极小值f（2）故选项为C9．（5分）（2015•潍坊模拟）函数f（x）=log a|x|+1（0＜a＜1）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数f（x）=log a|x|+1（0＜a＜1）是偶函数，图象关于y轴对称．当x＞0时，f（x）=log a x+1，是减函数．当x＜0时，f（x）=log a（﹣x ）+1，是增函数．再由图象过（1，1）、（﹣1，1）可得，应选A，故选A．10．（5分）（2015•山西三模）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．﹣1【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）∴双曲线的离心率为=+1．故选C．11．（5分）（2016秋•浠水县校级月考）△ABC中，AC=4，AB=2，若点G为△ABC 的重心，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABC中AC=4，AB=2∴||=4，||=2，∵G为△ABC的重心，∴=（+），=﹣，∴=（+）（﹣）=（2﹣2）=（16﹣4）=4故选：D．12．（5分）（2016秋•浠水县校级月考）若函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+a 在x∈[﹣，]的最大值为M，最小值为N，且M+N=1，则a的值是（）A．1 B．C．﹣1 D．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+a，，∴f′（x）=，﹣1＜x＜1．当x∈[﹣]时，f′（x）＜0，∴x∈[﹣]时，f（x）是减函数，∵在x∈[﹣，]的最大值为M，最小值为N，∴M=f（﹣）=ln（1+）﹣ln（1﹣）+a=ln﹣ln+a=ln3+a，N=f（）=ln（1﹣）﹣ln（1+）+a=ln﹣ln=﹣ln3+a，∵M+N=1，∴M+N=ln3+a﹣ln3+a=2a=1，解得a=．∴a的值是．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）（2016秋•浠水县校级月考）计算：（）+lg+lg70+=．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．14．（5分）（2016秋•浠水县校级月考）已知α、β都是锐角，且，，则cosα=．【解答】解：α、β都是锐角，且，，∴sin（α+β）=，cosβ=，∴cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=﹣×+×=；故答案为：15．（5分）（2015春•洛阳期末）设函数f（x）=x3+x，x∈R，若0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立．则实数m的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数；又f′（x）=3x2+1＞0，∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立⇔f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，∴msinθ＞m﹣1（0＜θ＜）恒成立⇔m（1﹣sinθ）＜1恒成立，由0＜θ＜知，0＜sinθ＜1，0＜1﹣sinθ＜1，＞1由m＜恒成立知：m≤1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．16．（5分）（2016春•衡阳县校级期末）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是[0，1）∪（2，+∞）．【解答】解：关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，等价于函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象可得：由图象可知实数k的取值范围是[0，1）∪（2，+∞）故答案为：[0，1）∪（2，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中（17）--（21）题必考题，（22），（23），题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•船营区校级模拟）已知向量，，其中∠A，∠B为△ABC的内角，且．（Ⅰ）求tan（A+B）的值；（Ⅱ）若．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，由可得cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣，故sin（A+B）=，故tan（A+B）==﹣3．（Ⅱ）∵，∴sinB=，∴sinA=sin[（A+B）﹣B]=sin（A+B）cosB﹣cos（A+B）sinB=．18．（12分）（2016秋•浠水县校级月考）已知是平面上的一组基底，（1）已知，，，且A，E，C三点共线，求实数λ的值；（2）若是夹角为60°的单位向量，，，当﹣3≤λ≤5时，求的最大值，最小值．【解答】解：（1），，∴=+=+（1+λ），又，且A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得=k，即，整理得，∵，是平面内两个不共线的非零向量，∴，解得；（2）∵，是夹角为600的单位向量，∴，∴；且在上是增函数，在上是减函数，∴λ=﹣时，取最大值是，λ=5时，•取得最小值是﹣52﹣3×5﹣=．19．（12分）（2015•湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．三棱锥F﹣AEC的体积：×==．20．（12分）（2010•陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解答】解：由题意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°，在△ADB中，有正弦定理得=∴DB===10又在△DBC中，∠DBC=60°DC2=DB2+BC2﹣2×DB×BC×cos60°=900∴DC=30∴救援船到达D点需要的时间为=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时．21．（12分）（2017春•武穴市校级月考）已知函数．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）设m＞0，若函数g（x）=2xf（x）﹣x2+2x+m在上有两个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由，得x=e．当0＜x＜e时，；当x＞e时，．所以函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减…（5分）（Ⅱ）g（x）=2ln x﹣x2+m，则g′（x）=﹣2x=．∵x∈[，e]，∴当g′（x）=0时，x=1；当＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜e时，g′（x）＜0．故g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m﹣1．又g（）=m﹣2﹣，g（e）=m+2﹣e2，g（e）﹣g（）=4﹣e2+＜0，则g（e）＜g（），∴g（x）在[，e]上的最小值是g（e）．…（8分）g（x）在[，e]上有两个零点的条件是：，解得1＜m≤2+，∴实数m的取值范围是（1，2+]．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•浠水县校级月考）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ﹣4cosθ=0，直线l 过点M（0，4）且斜率为﹣2．（1）求曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l的标准参数方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．（1）∵曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，【解答】解：∴曲线C的直角坐标方程为y2﹣4x=0，即y2=4x．设直线l的倾斜角为α，则tanα=﹣2，∴sinα=，cosα=﹣．∴直线l的标准参数方程为（t为参数）．（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2+5t+20=0，∴t1+t2=﹣5，t1t2=20．∴|AB|=|t1﹣t2|==3．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•浠水县校级月考）已知f（x）=|2x﹣1|+ax+2．（I）当a=1时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x+2，x≤时，f（x）≤4可化为1﹣2x+x+x≤4，解得：﹣1≤x≤，x＞时，f（x）≤4可化为2x﹣1+x+2≤4，解得：＜x≤1，综上，不等式的解集是{x|﹣1≤x≤1}；（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|+ax+2=，若函数f（x）有最小值，则，解得：﹣2≤a≤2．参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；sxs123；双曲线；wkl197822；刘老师；maths；wdnah；caoqz；刘长柏；qiss；zlzhan；whgcn；lincy；742048；zhwsd；zhczcb（排名不分先后）菁优网2017年7月11日。