2020高考数学(理科)二轮总复习保分专题3 数列课时跟踪检测(八)

第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研
专题三 数 列
第一讲 等差数列与等比数列 课时跟踪检测(八) 等差数列与等比数列
一、选择题
1．(2019·开封市高三定位考试)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋S 3＝0，则公比q ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
解析：选A 解法一：因为a 2＋S 3＝0，所以a 1＋2a 1q ＋a 1q 2＝0.因为a 1≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，所以q ＝－1，故选A ．
解法二：因为a 2＋S 3＝0，所以a 2＋a 2
q ＋a 2＋a 2q ＝0，因为a 2≠0，所以(q ＋
1)2＝0，所以q ＝－1，故选A ．
2．(2019·惠州市一调)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝1,2a 3，a 5,3a 4成等差数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )
A ．2n －1
B ．2n －1－1
C ．2n －1
D ．2n
解析：选A 解法一：设数列{a n }的公比为q (q >0)， ∵2a 5＝2a 3＋3a 4，
∴2a 3q 2＝2a 3＋3a 3q ，∴2q 2＝2＋3q ，∴q ＝2或q ＝－1
2(舍去)， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q
＝2n －1.故选A ．
解法二：当n ＝1时，21－1－1＝0≠a 1,21＝2≠a 1，排除B 、D ；若S n ＝2n －1，
则S 2＝22－1＝2，得到a 2＝2－1＝1，这时a 1＝a 2＝a 3＝a 4＝a 5＝1，不满足2a 3，a 5,3a 4成等差数列，排除C ，故选A ．
3．(2019·广东百校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1≠0，S 2＝a 4，则a 5
S 3
＝( )
A ．1
B ．23
C ．53
D ．79
解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2＝a 4，得2a 1＋d ＝a 1＋3d ，所以a 1＝2d ，所以a 5S 3＝a 1＋4d 3a 1＋3d ＝6d 9d ＝2
3
.
4．(2019·福建省福州市华侨中学期中)已知{a n }是等差数列，a 1＝9，S 5＝S 9，那么使其前n 项和S n 最大的n 是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选B 因为a 1>0，S 5＝S 9，所以公差小于零，数列{a n }的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为n ＝7，故n ＝7时，S n 最大．
5．(2019·四川省泸州市一诊)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )
A ．1.5尺
B ．2.5尺
C ．3.5尺
D ．4.5尺
解析：选B 设各节气日影长为等差数列{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)
2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题意知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4
＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1，所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5，即芒种日影长为2.5
尺，故选B．
6．(2019·湖南省邵阳市高三大联考)已知数列{a n}满足a1＝1，a n>0，a n＋1－a n＝1，那么使a n<32成立的n的最大值为()
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B因为数列{a n}是首项和公差均为1的等差数列，所以a n＝n，所以a n＝n2，所以使a n<32成立的n的最大值为5.
二、填空题
7．已知等差数列{a n}中，a n≠0，若n≥2且a n－1＋a n＋1－a2n＝0，S2n－1＝38，则n等于________．
解析：∵{a n}是等差数列，∴2a n＝a n－1＋a n＋1，又∵a n－1＋a n＋1－a2n＝0，∴2a n －a2n＝0，即a n(2－a n)＝0.∵a n≠0，∴a n＝2，∴S2n－1＝(2n－1)a n＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.
答案：10
8．(2019·武汉市部分学校高三调研测试)等比数列{a n}中，若a2＝－2，a6＝－6，则a4＝________.
解析：解法一：设公比为q，由题意可得a6＝a2q6－2，即－6＝(－2)q4，得q4＝3，得q2＝3或q2＝－3(舍去)，故a4＝a2q2＝(－2)×3＝－2 3.
解法二：设公比为q，由题意可得a24＝a2a6＝(－2)×(－6)＝12，故a4＝23＝q2>0，所以a4＝23不合题意，舍去，故a4＝－2 3.
或a4＝－2 3.又a4
a2
答案：－2 3
9．(2019·长春市高三第一次质量监测)各项均为正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.
解析：解法一：设数列{a n}的公比为q(q>0且q≠1)，由题意可得
⎩⎪⎨⎪
⎧
S 6＝a 1(1－q 6)1－q
＝30 ①，
S 9＝a 1
(1－q 9
)1－q
＝70 ②，
①÷②，得
1－q 61－q
9
＝1＋q 31＋q 3＋q
6＝3
7，又由q >0，得
q 3
＝2，再由S 3S 6＝a 1(1－q 3)
1－q a 1(1－q 6)1－q
＝11＋q 3＝13
，得S 3＝1
3S 6＝10. 解法二：由题意可得(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，即(30－S 3)2＝40S 3，S 23－100S 3＋900＝0，
解得S 3＝10或S 3＝90.又数列{a n }的各
项均为正数，所以S 3<S 6，S 3＝90(舍去)，故S 3＝10.
答案：10 三、解答题
10．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝2
5.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3
5. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤
2n ＋3
5<2，b n ＝1；
当n ＝4,5时，2<2n ＋3
5<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋3
5<4，b n ＝3；
当n ＝9,10时，4<2n ＋3
5<5，b n ＝4.
所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
11．(2019·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)∵S n ＝2n ＋1－2，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－2＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n . 又a 1＝2＝21，∴a n ＝2n .
(2)由(1)知，b n ＝a n S n ＝2·4n －2n ＋1，
∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2(41＋42＋43＋…＋4n )－(22＋23＋…＋2n ＋
1)＝
2×4(1－4n )1－4－4(1－2n )1－2
＝23·4n ＋1－2n ＋2＋43.
12．(2019·河南十所名校联考)已知数列{a n }满足a 1＝－32，a n ＋1a n ＋4a n ＋1＋4＝0.
(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫1a n ＋2是等差数列；
(2)若b n ＝(a n ＋2)·(a n ＋1＋2)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由a n ＋1a n ＋4a n ＋1＋4＝0，得a n ＋1＝－4a n ＋4
. ∵
1a n ＋1＋2－1a n ＋2
＝
1－4a n ＋4
＋2－1a n ＋2＝a n ＋42(a n ＋2)－1a n ＋2＝12＋1
a n ＋2－
1a n ＋2
＝12， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1a n ＋2是等差数列． (2)由(1)知等差数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1a n ＋2的首项为1a 1＋2＝2，公差为1
2，
∴
1a n ＋2＝2＋(n －1)×12＝n ＋32，所以a n ＋2＝2
n ＋3
，
∴b n ＝(a n ＋2)·(a n ＋1＋2)＝
4(n ＋3)(n ＋4)＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n ＋3－1n ＋4.
∴S n ＝4×14－15＋15－16＋…＋1n ＋3－1n ＋4＝4×14－1n ＋4＝n
n ＋4
.。