中考数学复习尺规作图专题

考点20 尺规作图

一、尺规作图

1．尺规作图的定义

在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．

2．五种基本作图

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作一个角的平分线；

（4）作一条线段的垂直平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线．

3．根据基本作图作三角形

（1）已知三角形的三边，求作三角形；

（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；

（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；

（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；

（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．

4．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；

（2）作三角形的内切圆．

5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．

6．作图题的一般步骤

（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.

二、尺规作图的方法

1．尺规作图的关键

（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；

（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．

2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．

考向一基本作图

1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．

2．基本作图有五种：

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作一个角的平分线；

（4）作一条线段的垂直平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线．

典例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于1

2

AB）为半径作弧，

两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是

A．AD=BD B．BD=CD

C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC

【答案】D

【解析】∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°，

∵∠ACB=90°，∴CD=BD，

∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED，∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．典例2如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．

（1）尺规作图：

①在AN上取一点C，使BC=BA；

②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．

【解析】（1）①以B点为圆心，BA长为半径画弧交AN于C点；

如图，点C即为所求作；

②利用基本作图作BD平分∠MBC；如图，BD即为所求作；

（2）先利用等腰三角形的性质得∠A=∠BCA，再利用角平分线的定义得到∠MBD=∠CBD，然后根据三角形外角性质可得∠MBD=∠A，最后利用平行线的判定得到结论．

∵AB=AC，∴∠A=∠BCA，

∵BD平分∠MBC，∴∠MBD=∠CBD，

∵∠MBC=∠A+∠BCA，

即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，

∴∠MBD=∠A，∴BD∥AN．

1．根据下图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的

A．角平分线B．中线

C．高线D．都有可能

2．（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；

（2）∠ADC的度数．

考向二复杂作图

利用五种基本作图作较复杂图形．

典例2如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．

（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论．

①作射线AC；

②连接AB，BC，BD，线段BD与射线AC相交于点O；

③在线段AC上作一条线段CF，使CF=AC–BD．

（2）观察（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依据是__________．

【答案】见解析．

【解析】（1）①如图所示，射线AC即为所求；②如图所示，线段AB，BC，BD即为所求；

③如图所示，线段CF即为所求；

（2）根据两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC．

故答案为：两点之间，线段最短．

3．作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连接B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）

1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是

A．用尺规作一条线段等于已知线段

B．用尺规作一个角等于已知角

C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角

D．不能确定

2．下列作图属于尺规作图的是

A．画线段MN=3 cm

B．用量角器画出∠AOB的平分线

C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线

D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α

3．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．