[初二数学]用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律
用代数式表示变化规律
探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法： 它们是：Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；Ⅱ、以函数思想为指导的方法；Ⅲ、以直接计算为指导的方法。
一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”—— 一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”； “分类归纳型”；“递推归纳型 ”。
1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。
例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。
①② ③【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：……① ②③0014⨯+⨯ 1424⨯+⨯ 2434⨯+⨯ ……第n 个: )1(44-+n n解:应选48-n.例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时, 共需要摆 根火柴棒. ………下面一层…上面一层...下面两层…上面一层…上面一层…下面三层…下面n 层…上面一层10根10根10根【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:…(1) (2 (3) (4) (10)涂色三角形 1 321=+6321=++104321=+++…归纳概括: 5510...321=+++的个数:165355=⨯解:应填165 .【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。
用待定系数法确定解析式的步骤：①设函数表达式为：y=kx 或 y=kx+b②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程(组)③解方程或组，求出待定的系数的值。
④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。
注意; 正比例函数y=kx只要有一个条件就可以。
而一次函数y=kx+b 需要有两个条件。
初中数学知识点解析：构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、一些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2(2x+7)+1有无数多个解，那么a、b 的值分别是多少?解：原方程整理得(a-4)∵此方程有无数多解，∴a-4=0且分别解得a=42、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4、20，18，5x，-6y的平均数是1、求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
求抽象函数表达式常见五种方法
求抽象函数表达式常见五种方法1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x .2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x .5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x参考答案：例1：解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u -=+=--∴2()1xf x x -=-例2：解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)例3．解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++例4.解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
待定系数法在解题中的灵活运用
待定系数法在解题中的灵活运用待定系数法英文名称为undetermined coefficients 它是一种求未知数的方法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
如果我们的学生能掌握这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都很有帮助。
下面就让我们一起体会一下：待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用我们在解不等式时，若给定，求或或等等这些都是比较容易完成的题目，可以直接利用我们数学中的，则有这不等式的基本性质就可以完成，但我们对于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，例如：例：已知且，求的取值范围。
这个题目，我们首先想到的是把不能直接去求解和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可以了。
但是，就这个求和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。
这时我们就要想想是否有别的方法可以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。
我们可以保持和范围的完整性，能不能把分解成与的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的则把这个问题解决了。
初中数学冀教八年级下21.3 用待定系数法确定一次函数表达式
• 设、 代、 求、写
• 对于是实际问题时所求的结果还得考虑自变量的取値范围。
o
A
B'
x 则 y=kx+4
∴ 0=3k+4， ∴k= - 4
∴
y=
-
4 3
x+4
3
• 总结：用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：先设函 数的一般形式( ) ，再求系数( )与( )。即根据题意列出关 于未知数（ ）与（）的方程或方程组，求出这两个未知系数 （ ）与（）再将它们代入y=kx+b中，从而得到所求结果。
• 分析：已知y是x的一次函数，它的表达式必有 y=kx+b(k≠0）的形式，问题就归结为求k和b的值。
• 当x＝10时，y=10；当x=50时y=18。分别将它们代入关 系式y=kx+b，进而求得k和b的值。
• 解：设所求的函数表达式是y=kx+b（k≠0）
• 可得方程组：
•
10k+b=10
•
50k+b=18
变式2：已知一次函数y=kx+b 的图象 与y=2x平行且过点(2,-1).求这个一次 函数的表达式． 解：∵ y=kx+b 的图象与y=2x平行.
∴ k=2 ∴ y=2x-b
∵ y=2x+b 的图象过点（2，-1）.
∴ -1=2×2 - b 解得 b=-5
∴这个一次函数的表达式为y=2x-5
变式3：已知一次函数的图象经过点(-1,1) 与（1，－5）.求当X=5时的函数值．
解：
∵当x=1时，y=1，当x=2时，y=3.
∴ k+b=1 解得 k=2
2k+b=3
初二数学函数知识点总结
初二数学《函数》知识点总结（一）平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x 轴y 轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。
3、已知点求出其坐标的方法：由该点分别向x 轴y 轴作垂线，垂足在x 轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y 轴上的坐标是该点的纵坐标。
4、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＞0；第二象限：（-，+） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＞0；第三象限：（-， -） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＜0；第四象限：（+，-） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＜0；5、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。
两坐标轴的点不属于任何象限。
6、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
8、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a)第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)9、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。
点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x10、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -=Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-11、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点则：M=(212x x + , 212y y +) 12、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）；将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）；将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。
数学人教版八年级下册待定系数法求函数解析式
19.2.2 一次函数解析式的求法陇西县文峰初级中学张永强教学目标：（一）知识与能力1.了解一个条件确定一个正比例函数，两个条件确定一个一次函数。
2.会用待定系数法求出一次函数和正比例函数表达式,利用数形结合思想解决相关问题。
（二）过程与方法：1.复习一次函数做图像的方法，引出由图像来确定关系式，进而确定一次函数表达式的问题，体现了数形结合的思想。
2.通过例题讲解，根据函数的图像与函数关系式的关系，明确求一次函数表达式的方法。
（三）情感态度与价值观1.通过探究，引出一次函数表达式，培养学生的逆向思维。
2.学会求一次函数及其他函数表达式的一般方法。
教学重难点：重点：会用待定系数法确定一次函数表达式;难点：能够根据一次函数图像或者其他一些情境，熟练灵活地利用待定系数法确定函数的表达式。
教学方法：以问题的解决为中心，设计、展开各教学环节，构建“以问题研究和学生活动”为中心的课堂学习环境，通过在教师指导下学生的自主探究、合作交流，形成自己的观点和方法。
学法指导：让学生在回顾已学内容的基础上通过“数”与“形”的相互转化来确定一次函数的表达式。
在练习的过程中相互交流来加以巩固。
教学过程：一、回顾导入1.计算过点（1,3）的正比例函数解析式。
2.画出直线y=2x-2的函数图像，回答下列问题：（1）图像经过_____象限，y随x的增大而____；（2）它是由y=2x向__平移__得到的；（3）图像与两坐标轴的交点坐标是____，____；（4）图像与两坐标轴围成三角形的面积是______.二、新课讲授认真阅读课本第93至94页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程.例题4：已知一次函数的图象经过点(3,5)与（-4，-9）.求这个一次函数的解析式．•四、巩固练习1、若一次函数平行与y=-2x，且经过点（1，5），则函数解析式为________.2、已知一次函数当x=1时，y=2，且它的图像与y轴交点的纵坐标是-5，那么该函数的解析式为______.3．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k、b的值分别为_______4.根据上表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，求p的值。
八年级数学待定系数法确定函数解析式
y
o -1
1
x
1 b
解之，得
∴ 其函数解析式为
k 1 b 1
y=x+1
3.如图所示，一次函数图像与y轴交于点A且点A(0,4)，与 正比例函数y=-2x交于点B，点B的横坐标为-1，确定其 函数解析式. 解：设函数解析式为y=kx+b， ∵点B在函数y=-2x图像上 y ∴把x=-1代入 y=-2x中， 得 y=2 故B（-1，2) 4 A 又∵点A（0,4），B（-1，2）在 B 一次函数图像上， ∴把x=0，y=4，x=-1，y=2代入 y=kx+b， -1o 得 4b
得 -2=6+b 解之，得 b=-8 ∴其解析式为 y=2x-8
二.k,b均未知时
1.已知一次函数其图像过点A(2,1)和B （1,5），试确定其解析式.
解：设其解析式为y=kx+b ∵其直线过点A(2,1)和B（1,5） ∴把x=2，y=1，x=1，y=5，代入 y=kx+b， 得
解之，得
1 2 k b
5k b
∴这个函数解析式为 y=-4x+9
பைடு நூலகம்
k 4 b9
练习2. 已知点A（-4,0）,B（0,5）,C（m，-5） 在同一直线上，求m
练习1. 已知直线过点（-1,0）和（1,-4）,求其 解析式.
2. 一次函数图像如图所示，确 定其函数解析式 解：设其解析式为y=kx+b 由图可知：其直线过点 （1,0）和点（0，-1） ∴把x=1，y=0，x=0，y=-1 代入 y=kx+b， 0k b 得
用待定系数法确定一次函数的解析式
一. k已知或者b已知时
一次函数的待定系数法,一设二代三解四写
一、概述在数学学科中，一次函数是最基本的函数之一，也是学生在初中阶段就开始学习的内容。
待定系数法是解一次函数方程的一种常用方法，通过设定代数式的待定系数，从而解得方程的未知数，通过此方法可以简化计算过程，提高解题效率。
二、一次函数的表达式一次函数的一般表达式为：y = ax + b，其中a和b分别代表函数的系数，x为自变量，y为因变量。
在实际问题中，常常遇到一次函数方程的解的问题，这时可以利用待定系数法进行求解。
三、待定系数法的具体步骤1. 根据一次函数的一般表达式y = ax + b，对于已知的方程式或条件进行列式2. 设定代表未知系数的变量，如设a为待定系数3. 根据方程式或条件列出代数式，并将待定系数代入4. 通过方程式或条件解方程，得到未知系数的值5. 将未知系数的值代入一次函数的一般表达式，得到最终的解四、一设二代三解四写的步骤一设：假设一次函数的表达式为y = ax + b，其中a和b为待定系数二代：根据已知的方程式或条件，列出代数式并将待定系数代入三解：通过解方程得到待定系数的值四写：将待定系数的值代入一次函数的一般表达式，得到最终的解五、待定系数法的实际应用待定系数法不仅可以应用于一次函数的解题中，在物理学、化学等领域也有广泛的应用。
例如在物理学中，通过已知的实验数据可以列出方程式，通过待定系数法可以求出物理方程中的未知参数，从而得到实际的物理意义。
在化学中，化学平衡方程式的平衡常数也可以通过待定系数法进行求解，从而得到化学反应的平衡状态。
六、总结待定系数法作为一种通用的解决问题的方法，在数学以及其它学科的应用中都有着重要的地位。
通过对待定系数法的理解和应用，可以帮助我们更好地解决实际问题，提高问题解决的效率和准确性。
待定系数法也是数学学科中求解问题的重要方法之一，对培养学生的逻辑思维和解题能力具有重要意义。
希望通过学习和实践，更好地掌握待定系数法这一重要的求解方法。
待定系数法是解一次函数方程的一种重要方法，通过设定待定系数，并按照设一代二求三写的步骤逐步求解，可以简化问题，提高解题效率。
冀教版数学八年级下册2用待定系数法确定一次函数解析式课件
解：∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
∴b=2
根据公式，S
b2
y 2
2k
k 1 解得k=1或-1.
O
x
故此一次函数的表达式为y=x+2或y=-x+2.
解得
k2 10 b2 25
∴y=-10x+25
（3）当甲、乙两根蜡烛的高度相等时，求燃烧的时间。
由题意得-15x+30=-10x+25 解得x=1
答：当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度 相等。
旅客乘车按规定可携带一定重量的行李，如果超过规定则需购行李 票，设行李费y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图 所示。
把x=2时，y=4，x=0时，y=2分别代入，
得： 2k+b=4， 0k+b=2，
解方程组得 k=1， b=2.
∴这个一次函数的表达式为 y=x+2.
已知一次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，-2）， 且当x=2时，y=2，求函数的表达式
解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）.
由题意得 b=-2
2k1 b1 0 ∴ b1 30
∴y=-15x+30
解得
k1 15 b1 30
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为
y k2x b（2 k2 0）
由图可知，函数的图像过点2.5，0），（0，25)
2.5k2 b2 0 ∴ b2 25
∴2=-2×0+b,
∴b=2,
∴直线l的解析式为y=-2x+2.
已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴
八年级数学下册第二十一章一次函数.3用待定系数法确定一次函数表达式
用待定系数法确定一次函数表达式本节课的教学内容为用待定系数法求一次函数解析式，是冀教版八年级数学下册第十九章的教学内容。
下面我从教材分析、教法、学法、教学过程五个方面，谈谈我对这一节课教学的处理情况。
教材分析一次函数这部分内容是在学生学习了变量与函数、一次函数的概念等基础上，继续对某些特殊的变量关系的考察和认识。
从知识衔接的角度看，有着承上启下的作用，符合学生的认知规律。
确定一次函数解析式，关键在于确定出一次函数y=kx+b中的k、b的值，用待定系数法确定一次函数解析式，不仅要求学生能正确地确定出解析式，还重在让学生对一次函数式与函数图象、函数式中的变量与函数图象上点的坐标之间关系的理解，将数与形联系起来，形成数形结合的思想意识。
为后面学习反比例函数、二次函数打下基础。
教学策略（教法）回顾已学知识：求一次函数解析式的四个基本步骤：“一设、二列、三解、四还原”，即“设出一般式y=kx+b，由题设中给定条件写出关于k、b的方程（组），由方程（组）解出k、b，写出一次函数式。
数学思想方法小结：从形到数：一次函数图象→选取满足条件的两点（x1，y1），（x2，y2）→解出函数解析式（y=kx+b）数学思想方法：数形结合教学过程1.教学目标⑴了解待定系数法的思维方式与特点。
⑵会根据所给信息用待定系数法求一次函数解析式，发展解决问题的能力。
⑶进一步体验并初步形成“数形结合”的思想方法。
2.教学重点、难点⑴教学重点：用待定系数法求一次函数解析式；⑵教学难点：解决抽象的函数问题。
⑶教学关键：熟练应用二元一次方程组解一次函数中的待定系数。
流程知识回顾，引入问题情景用待定系数法求一次函数解析式的步骤：基本步骤：设、列、解、写⑴设：设一般式y=kx+b⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）⑶解：解出k、b；⑷写：写出一次函数式2．探索新知：一.利用点的坐标求函数的解析式例1.如果y+1与x成正比例，且x＝1时，y＝3写出y与x之间的函数关系式.变式练习：已知一次函数的图象经过点(3,5)与（4，9），求这个一次函数的解析式．将两个点的坐标代入所设函数式，列出k、b的方程组，求出k、b，写出函数解析式。
冀教版八年级数学下册213用待定系数法确定一次函数表达式课件
5 【中考·苏州】若点A(m，n)在一次函数y＝3x＋b的
图像上，且3m－n＞2，则b的取值范围为( D )
A．b＞2
B．b＞－2
C．b＜2
D．b＜－2
知2－练
6 一次函数y＝－2x＋m的图像经过点P(－2，3)，
且与x轴，y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积
是( B)
1 A. 2
1 B. 4
C．4
1 课堂讲解 用待定系数法求正比例函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式
用关系式法求一次函数表达式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
通过直接列式可以求一次函数表达式. 当然，还 有其他的方法求一次函数表达式. 本节将探究用待定 系数的方法来求一次函数的表达式.
知1－讲
知识点 1 用待定系数法求正比例函数表达式
解：(1)设y＋2＝k(x－1)(k≠0)，把x＝3，y＝4代入， 得4＋2＝k(3－1)，解得k＝3. 则y与x之间的函数表达式是y＋2＝3(x－1)， 即y＝3x－5.
(2)当y＝1时，3x－5＝1，解得x＝2.
知3－练
7 根据下列条件，分别确定y关于x的函数表达式.
(1)y与x成正比例，且当x＝9时，y＝16；
课桌，它们是否配套？为什么？ （来自教材）
知2－练
解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，将(40.0，75.0)
和(37.0，70.2)分别代入，
得 40.0k b 75.0, 解得 k 1.6,
37.0k b 70.2.
b 11.
所以y＝1.6x＋11.
(2)配套．理由：当x＝42.0时，y＝1.6×42.0＋11＝
【冀教版】八年级数学下册：21.3 用待定系数法确定一次函数的表达式教案
21.3 用待定系数法确定一次函数的表达式1．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点)2．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)一、情境导入已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？二、合作探究探究点：用待定系数法求一次函数解析式【类型一】已知两点确定一次函数解析式已知一次函数图象经过点A(3，5)和点B(－4，－9)．(1)求此一次函数的解析式；(2)若点C(m，2)是该函数图象上一点，求C点坐标．解析：(1)将点A(3，5)和点B(－4，－9)分别代入一次函数y＝kx＋b(k≠0)，列出关于k、b的二元一次方程组，通过解方程组求得k、b的值；(2)将点C的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m的值．解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧5＝3k＋b，－9＝－4k＋b，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝2，b＝－1，∴一次函数的解析式为y＝2x－1；(2)∵点C(m，2)在y＝2x－1上，∴2＝2m－1，∴m＝32，∴点C的坐标为(32，2)．方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．【类型二】由函数图象确定一次函数解析式如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．解析：先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．解：∵OA＝OB，A点的坐标为(2，0)，∴点B的坐标为(0，－2)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k＋b＝0，b＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝1，b＝－2，∴一次函数的解析式为y＝x－2.方法总结：本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．【类型三】 由三角形的面积确定一次函数解析式如图，点B 的坐标为(－2，0)，AB 垂直x 轴于点B ，交直线l 于点A ，如果△ABO 的面积为3，求直线l 的解析式．解析：△AOB 面积等于OB 与AB 乘积的一半．根据OB 与已知面积求出AB 的长，确定出A 点坐标．设直线l 解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入求出k 的值，即可确定出直线l 的解析式．解：∵点B 的坐标为(－2，0)＝2.∵S △AOB ＝12OB ·AB ＝3，∴12×2×AB ∴AB ＝3，即A (－2，－3)．设直线l 的解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入得－3＝－2k ，即k ＝32，则直线l 的解析式为y ＝32x .方法总结：解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标．【类型四】 利用图形变换确定一次函数解析式已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点(1，2)，且其图象可由正比例函数y ＝kx 向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．解析：根据题设得到关于k ，b 的方程组，然后求出k 的值即可．解：把(1，2)代入y ＝kx ＋b 得k ＋b ＝2.∵y ＝kx 向下平移4个单位得到y ＝kx ＋b ，∴b ＝－4，∴k －4＝2，解得k ＝6.∴一次函数的解析式为y ＝6x －4.方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)的图象为直线，当直线平移时k 不变，当向上平移m 个单位，则平移后直线的解析式为y ＝kx ＋b ＋m .【类型五】 由实际问题确定一次函数解析式已知水银体温计的读数y (℃)与水银柱的长度x (cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．(1)求y 关于x 的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围)； (2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm ，求此时体温计的读数． 解析：(1)设y 关于x 的函数关系式为y＝kx ＋b ，由统计表的数据建立方程组求出k ，b 即可；(2)当x ＝6.2时，代入(1)的解析式就可以求出y 的值．解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧35.0＝4.2k ＋b ，40.0＝8.2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.25，b ＝29.75，∴y ＝1.25x ＋29.75.∴y 关于x 的函数关系式为y ＝1.25x ＋29.75；(2)当x ＝6.2时，y ＝1.25×6.2＋29.75＝37.5.答：此时体温计的读数为37.5℃.方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【类型六】 与确定函数解析式有关的综合性问题如图，A 、B 是分别在x 轴上位于原点左右侧的点，点P (2，m )在第一象限内，直线P A 交y 轴于点C (0，2)，直线PB 交y 轴于点D ，S △AOP ＝12.(1)求点A 的坐标及m 的值； (2)求直线AP 的解析式；(3)若S △BOP ＝S △DOP ，求直线BD 的解析式．解析：(1)S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，根据三角形面积公式得到12×OA ×2＋12×2×2＝12，可计算出OA ＝10，则A 点坐标为(－10，0)，然后再利用S △AOP ＝12×10×m ＝12求出m ；(2)已知A 点和C 点坐标，可利用待定系数法确定直线AP 的解析式；(3)利用三角形面积公式由S △BOP ＝S △DOP 得PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，则可确定B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(0，245)，然后利用待定系数法确定直线BD 的解析式．解：(1)∵S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，∴12×OA ×2＋12×2×2＝12，∴OA ＝10，∴A点坐标为(－10，0)．∵S △AOP ＝12×10×m ＝12，∴m ＝125；(2)设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A (－10，0)，C (0，2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－10k ＋b ＝0，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝2，∴直线AP 的解析式为y ＝15x ＋2；(3)∵S △BOP ＝S △DOP ，∴PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，∴B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，245.设直线BD 的解析式为y ＝k ′x ＋b ′，把B (4，0)，D ⎝⎛⎭⎫0，245代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ′＋b ′＝0，b ′＝245，解得⎩⎨⎧k ′＝－65，b ′＝245，∴直线BD 的解析式为y ＝－65x ＋245.三、板书设计1．待定系数法的定义2．用待定系数法求一次函数解析式教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长．。
八年级数学下册第二十一章《用待定系数法确定一次函数表达式》教学建议素材(新版)冀教版
八年级数学下册第二十一章一次函数素材：用待定系数法确定一次函数表达式根据实际问题的意义写出函数表达式，学生在第二十章就已熟悉，故本节应突出解决用待定系数法求一次函数的表达式。
为此建议：1．首先提出“已知一次函数图像上两点的坐标，能否求出该一次函数表达式”这样的问题，请学生思考。
此时，会有部分同学做出与小惠相同的解答。
2．待定系数法是难点，对于思维受阻的学生最好分步引导：①既然是一次函数？其表达式应具备什么形式？②既然已知图像上两点坐标，它们是否应满足表达式(或与表达式y＝kx＋b有何联系)？③k与b可通过什么方法求出？3．对于例题的处理，可先让学生独立思考，写出答案，教师要规范学生的解题过程和格式。
渗透一次函数与二元一次方程组的关系。
4．总结求一次函数表达式的方法，应通过合作交流，由师生共同完成。
其中，“确认其为一次函数”的方法应从本课时的操作实践中归纳出：①已知条件明确；②图像是直线；③由表格的规律概括出问题的意义；④由表格描点，获得“图像是直线”。
重难点重点：用待定系数法求一次函数的表达式。
难点：待定系数法。
在第二十章我们已经学习了根据实际问题的意义写出函数表达式，本节突出解决用待定系数法求一次函数的表达式。
首先向学生提出问题，有问题引出讨论，最后得出求一次函数表达式的方法：待定系数法。
待定系数法是难点要分步引导。
教学目标知识与技能能依照不同情境选择确定一次函数表达式的方法；会用解二元一次方程组的方法求y=kx＋b中的待定系数k与b。
过程与方法经历由图像或实际问题的意义确定一次函数表达式的过程。
情感态度价值观通过本节的学习，加强图像与关系式，即“形”与“数”的联系。
初二数学常用的几种经典解题方法
初⼆数学常⽤的⼏种经典解题⽅法 在解题活动中，掌握解题⽅法⽐解决问题更为重要。
初⼆数学有哪⼏种经典常⽤的解题⽅法呢?接下来是店铺为⼤家带来的关于初⼆数学常⽤的⼏种经典解题⽅法，希望会对⼤家有所帮助。
初⼆数学常⽤的⼏种经典解题⽅法 1、配⽅法。
所谓配⽅，就是把⼀个解析式利⽤恒等变形的⽅法，把其中的某些项配成⼀个或⼏个多项式正整数次幂的和形式。
通过配⽅解决数学问题的⽅法叫配⽅法。
其中，⽤的最多的是配成完全平⽅式。
配⽅法是数学中⼀种重要的恒等变形的⽅法，它的应⽤⼗分⾮常⼴泛，在因式分解、化简根式、解⽅程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等⽅⾯都经常⽤到它。
2、因式分解法因式分解，就是把⼀个多项式化成⼏个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的⼀个有⼒⼯具、⼀种数学⽅法在代数、⼏何、三⾓等的解题中起着重要的作⽤。
因式分解的⽅法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、⼗字相乘法等外，还有如利⽤拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是初中数学中⼀个⾮常重要⽽且应⽤⼗分⼴泛的解题⽅法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在⼀个⽐较复杂的数学式⼦中，⽤新的变元去代替原式的⼀个部分或改造原来的式⼦，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅⽤来判定根的性质，⽽且作为⼀种解题⽅法，在代数式变形，解⽅程(组)，解不等式，研究函数乃⾄⼏何、三⾓运算中都有⾮常⼴泛的应⽤。
韦达定理除了已知⼀元⼆次⽅程的⼀个根，求另⼀根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应⽤外，还可以求根的对称函数，计论⼆次⽅程根的符号，解对称⽅程组，以及解⼀些有关⼆次曲线的问题等，都有⾮常⼴泛的应⽤。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，⽽后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从⽽解答数学问题，这种解题⽅法称为待定系数法。
冀教版八年级数学下册课件21.3 用待定系数法确定一次函数表达式
课堂小结
1. 设所求的一次函数 表达式为y=kx+b；
用待定系 数法确定 一次函数 的表达式
2. 根据已知条件列出 关于k、b的方程组；
3. 解方程，求出k、b; 4. 把求出的k，b代回 表达式即可.
1 . 解得 k= - 8 ， b = 3 3
因此所求一次函数的表达式为 y = -8 x + 1 .
3 3
做一做
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确 的是 A．k=2 B．k=3 C．b=2 （ D） D．b=3
y
3 x
O
2
二 利用待定系数法解决简单的实际问题
例2 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度. 水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉； 水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32 ℉.已
第二十一章 一次函数
21.3 用待定系数法确定一次函数 表达式
学习目标
1.理解待定系数法的意义. 2.会用待定系数法求一次函数的表达式.（重点、难点）
问题引入
确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 一个
确定一次函数的表达式呢？
两个
一 待定系数法
合作探究
如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1），Q（1，1）
｛k + b = 1.
解这个方程组，得
k· 0 + b = -1， k=2，
｛b=-1.
所以，这个一次函数的表达式为y = 2x- 1.
知识要点
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模 型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而
求出函数表达式的方法称为待定系数法.
典例精析
例1. 已知一次函数的图象经过点A(-1，3)，B(2，-5)， 求这个函数的表达式. 设y=kx+b，由于A，B两点都在这个 解： 函数的图象上. -k + b = 3， 因此 2k + b = -5.
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[初二数学]用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律
用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规
律
例 1 观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则=m（用含n的代数式表示）。
n时2=n时3=n时
=
1
=
n时
4
=
m
m11 =
=
5
m8
=
m
14
（1）（2）（3）（4）
【观察与思考】题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），……序数n（自变量）每增大1，对
应的函数值m 就增大3。
因此，它们就应当成一次函数关系。
这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。
设b kn m +=，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：
从中解得
23+=∴n m
解：应填23+n
例2 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线)//(a b b 把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。
若用剪刀在虚线b a ,之间把绳子再剪)2(-n 次（剪刀的方向与a 平行），这样一共剪n 次时绳子的段数是（ ）
A 、14+n
B 、24+n
C 、34+n
D 、54+n
b k +=5 b k +=28 3=k 2=b
（1） （2）
（3）
【观察与思考】我们先找出图1，2，3，4中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。
序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。
设为b kn y +=，由（1，1），（2，5）得：
解得 a
a b b k +=1 b k +=25 4=k 3-=b
即3
y。
4-
=n
本题要求的是“剪n次”，实际上是序号1+n所对
应的图，其中绳子的段数应为1
+
=n
n
-
y。
=
3
4
)1
(4+
解：应选A。
【说明】对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪n刀则是第1+n个图，二者不应弄混。
当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数n”与绳子段数y之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），
（3，13）…仍借助于待定系数法求出函数关系
式1
y,最后的结果是一样的.
4+
=n
例3 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的
某一个正六边形按同样的方式进行分割,…，则
第n个图形中，其有个六边形。
……
（1）（2）（3）
【观察与思考】图形序号n与图形中正六边形的
个数m满足（1，1），（2，4），（3，7），n每
增大1，m就增大3，
可知m是n的一次函数，用待定系数法（略）求得
m
=n
2
3-
解：)2
n。
3(-
由函数思想和待定系数法,将那些可用一次函
数表示的变化规律问题用统一而程序化的方式
解决,对。