[初二数学]用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律

[初二数学]用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律

用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规

律

例 1 观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则=m（用含n的代数式表示）。

n时2=n时3=n时

=

1

=

n时

4

=

m

m11 =

=

5

m8

=

m

14

（1）（2）（3）（4）

【观察与思考】题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），……序数n（自变量）每增大1，对

应的函数值m 就增大3。因此，它们就应当成一次函数关系。这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。

设b kn m +=，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：

从中解得

23+=∴n m

解：应填23+n

例2 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线)//(a b b 把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。若用剪刀在虚线b a ,之间把绳子再剪)2(-n 次（剪刀的方向与a 平行），这样一共剪n 次时绳子的段数是（ ）

A 、14+n

B 、24+n

C 、34+n

D 、54+n

b k +=5 b k +=28 3=k 2=b

（1） （2）

（3）

【观察与思考】我们先找出图1，2，3，4中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。

序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。设为b kn y +=，由（1，1），（2，5）得：

解得 a

a b b k +=1 b k +=25 4=k 3-=b

即3

y。

4-

=n

本题要求的是“剪n次”，实际上是序号1+n所对

应的图，其中绳子的段数应为1

+

=n

n

-

y。

=

3

4

)1

(4+

解：应选A。

【说明】对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪n刀则是第1+n个图，二者不应弄混。

当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数n”与绳子段数y之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），

（3，13）…仍借助于待定系数法求出函数关系

式1

y,最后的结果是一样的.

4+

=n

例3 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的

某一个正六边形按同样的方式进行分割,…，则

第n个图形中，其有个六边形。

……

（1）（2）（3）

【观察与思考】图形序号n与图形中正六边形的

个数m满足（1，1），（2，4），（3，7），n每

增大1，m就增大3，

可知m是n的一次函数，用待定系数法（略）求得

m

=n

2

3-

解：)2

n。

3(-

由函数思想和待定系数法,将那些可用一次函

数表示的变化规律问题用统一而程序化的方式

解决,对