云南师范大学附属中学2020届高三上学期第三次月考数学(文)试题(扫描版)

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2020届云南师范大学附属中学高三上学期第三次高考适应性月考文科综合试题及答案解析

3．电网线路布局,往往受地形、聚落分布、工业布局、道路分布等因素影响,行政区划与电网线路布局无关,故选C。
4．该电网规划的实施,将山西煤炭资源转化为电力输出,可缓解能源供需地区不平衡的矛盾；变输煤为输电,加剧了山西大气污染,缓解了山西对外交通运输压力；增加煤的开采,煤炭采空区增多,地面沉降加剧,增加地质灾害。故选B。
20．过去远程手术控制的问题是时延,5G技术的出现为远程手术带来了质的飞跃,造福人类说明实践产生的新问题新要求推动人们进行新的探索和研究,发挥主观能动性创造有利于规律发挥积极作用的条件,①②观点正确；物质的根本属性是运动,运动是绝对的、永恒的观点,③错误；材料主旨没有强调量的积累,④不符合题意。故选A。
12．中国人民银行发行的该枚纪念币具有使用价值和价值,为中华人民共和国法定货币,②③正确；该纪念币的面额由国家决定,①说法错误；该枚纪念币的本质是一般等价物,④说法错误。故选B。
13．由图表可知,居民消费价格指数逐渐走高,而存款利率逐渐下降,这一情况下,相比较而言,储户存款的名义收入和实际收入不断减少,投资者会减少储蓄存款,而选择其他投资方式,有可能增加股票的需求量,从而促使股票价格上涨,①④符合题意；②说法错误,生活必需品的需求弹性小,故消费者对其消费量不会大幅减少；③恩格尔系数下降表明人民生活水平提高,与题意不符。故选A。
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答案
A
B
B
D
B
D
C
A
C
B
C
D
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云南师范大学附属中学2020届高三高考适应性月考(一)数学(文)试题

文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合(){}2,|A x y y x ==，(){}22,|1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．32. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:cos sin ixe x i x =+，根据该三角方程，计算1ie π+的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．i3.移动支付、商铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调在了100位学生，其中使用过移动支付或共享单年的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.84.已知x ，y 满足约束条件0,230,0,x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩的最小值为（）A．5 B．5CD5.函数()cos |ln |f x x x =-的零点个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（） A ．40 B ．60 C ．80 D ．1007.函数sin y x x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．8.如图，执行程序框图后，输出的结果是（）A ．140B ．204C ．245D ．3009.已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍；再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()||g x 的周期可以为（）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π10.若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点(),P m n ，并且在(),P m n 处具有公共切线，则实数a =（）A ．1e B ．2e C ．12e D ．32e11.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k (0k >，1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ， B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =22PA PB +的最小值为（）A ．36-B ．48-C ．D ．12.四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=︒，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（）A B C D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a r ，b r 为单位向量，且,3a b π<>=r r ，则|2|a b +=r r ．14.等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S = ．15.设1F ，2F 为椭圆C ：2214x y +=的两个焦点，M 为C 上一点，且122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为．16.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111A B C D 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_ ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某调研机构，对本地[]22, 50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值、中位数;(2)若在“低碳族”且年龄在[)30, 34，[)34, 38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.19. 如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF ，CF ，EF ，如图乙. （1）求证：BC ⊥平面DEC ；（2）求三棱锥E FBC -的体积.20. 已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()f x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A ，B 两点之间距离的最小值.21.已知抛物线E ：22y px =（0p >），过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）射线1l ：0θθ=（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，射线2l ：02πθθ=+（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于C ，D 两点，求AOCBODS S ∆∆的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||1|f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤，求实数a 的值. （2）当2a =时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBCAB 6-10: DBBBC 11、12：AB 二、填空题xOy14.15 15.1 16.4π 三、解答题17.解：（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04 + 280.08+ 320.16 + 360.44 +400.16+440.1+480.02 =35.9236x ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈，中位数为()0.50.040.080.160.113436---÷+=.（2）年龄段[30,34)，[34,38)的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=，因为0.16:0.444:11=，所以人数分别为8人，22人. 18.解：（1）由正弦定理及sin cos()6b A a B π=-，得sin sin sin cos()6B A A B π=-，由()0,A π∈，所以sin 0A ≠，则1sin cos()sin 622B B B B π=-=+，所以tan B = 又()0,B π∈，所以3B π=.（2）如图，由1sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r ，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，所以ABC ∆的面积的最大值为3.19.（1）证明：如图，∵DE EC ⊥，DE AE ⊥，∵DE ⊥平面ABCE ，又∵BC ⊂平面ABCE ， ∴DE BC ⊥，又∵BC EC ⊥，DE EC E =I ， ∴BC ⊥平面DEC（2）解：11123323E FBCF BCE BCE BCE V V S h S DE --∆∆==⋅=⋅=. 20.（1）证明：由题意知()ln xh x e x =-，所以()1'xh x e x=-，由xy e =单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减，所以()'h x 在()0,+∞上单调递增，又1'202h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()'110h e =->，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0h x =，当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，所以()h x 有唯一的极值点.（2）解：由()xf x e =，则()f x 在()0,1处的切线为1y x =+，又()ln g x x =，则()g x 在点()1,0处的切线为1y x =-.由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，即函数图象关于y x =对称，如图，故而A ，B 两点间的距离即为()0,1与()1,0之间的距离，所以A ，B.21.解：（1）因为直线过焦点，所以有2124y y p =-=-，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）由（1）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程有2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1111123y y k x my ==++，2222223y y k x my ==++，所以1113m k y =+，2213m k y =+，因此22222221212121211331111269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22121222122212122484269269416y y y y m y y mm m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅-2952m =+，所以当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 22.解：（1）由曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=；又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+. （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=， 12BOD S OB OD ∆=⋅222200001442cos 4sin cos 4sin 22ππθθθθ=⋅⋅+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22220008cos 4sin sin 4cos θθθθ=++，所以()()222220000995225cos 4sin sin 4cos 1616264AOC BOD S S θθθθ∆∆⎛⎫=++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04πθ=时，不等式取等号，所以AOC BOD S S ∆∆的最大值为22564.23.解：（1）由绝对值的几何意义知，()|||1|f x x a x =-+-表示在数轴上，动点x 到定点a 和1的距离之和，当且仅当2a =时，()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤，所以2a =.（2）当2a =时，()|2||1||21|1f x x x x x =-+-≥--+=恒成立，又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2nt =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤，所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为2(,log 3]-∞.。

云南师大附中2020届高考适应性月考卷(三)文数-答案

6．由余弦定理得
1 2
=
16
+
b2
− (5 8b
−
b)2
，∴b
=
3 2
， S△ABC
=
1 2
ab
sin
C
=
33 2
，故选
C．
7．
y
=
sin
ω
x(ω
>
0)
的图象向左平移
π 3
个单位长度后得
y
=
sin
ω
x
+
ωπ 3

，因为图象关于
y
轴
对称，∴ ω π 3
=
π 2
+
kπ
，
k
∈Z
，∴ω
=
3 2
11．∵△NAO ∽△MAF
，∴ | |
ON MF
| |
=
| |
OA | AF |
=
c
a −
a
，又∵△BOH
∽ △BFM
，∴ | OH | FM
| |
=
| |
BO | BF |
= a ， | ON |= 2 | OH | ， a = 2a ，∴c = 3a ，离心率 e = c = 3 ，故选 A．
=
an
1 an+1
=
(2n
1 − 1)(2n
+ 1)
=
1 2
1 2n −1
−
1 2n + 1
，
所以 Tn
=
1 2
1 −
1 3
+
1 3
−
1 5

2020届云南师范大学附属中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2020届云南师范大学附属中学高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|2A x x =∈Z ，{}2|20B x x x =->，则A B =（）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{}1D ．{}0,1,2【答案】B【解析】对集合A 和集合B 分别进行化简，然后进行交集运算，得到答案. 【详解】集合{}{}|22,1,0,1,2A x Z x=∈=--，集合{}220{|0B x x x x x =-=<或2}x >，所以{}2,1A B ⋂=--，故选B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2．已知i 为虚数单位，复数21iz =+，则||z =（）A B ．2C D ．【答案】A 【解析】对复数21z i=+进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】复数()()()2121111i z i i i i -===-++-，∴z =，故选A ．【点睛】本题考查复数的运算，求复数的模长，属于简单题.3．已知2a =，1b =，()1a a b ⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角为（）A ．23π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【解析】根据()1a a b ⋅-=，得到1a b ⋅=，再根据向量的夹角公式，得到答案. 【详解】因为()1a a b ⋅-=，所以()2a ab a a b ⋅-=-⋅21a b =-⋅=，所以得到1a b ⋅=，记向量a 与向量b 的夹角为θ，且2a =，1b =，所以2cos 2a b a bθ⋅==⋅，而[]0,θπ∈ 所以π4θ=，故选：C ．【点睛】本题考查向量的计算，通过向量夹角公式求向量的夹角，属于简单题.4．73x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，5x 的系数为（） A ．189 B ．63C ．21D ．7【答案】C【解析】利用二项式定理，得到73x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项，整理后令x 的指数为5，解出r 的值，然后得到答案. 【详解】由二项式定理可知73x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为7721773C 3C rr r r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，要求5x 的系数则令725r -=，解得1r =，5x 的系数为173C 21⋅=，故选C ．【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，属于简单题.5．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3C π=，4a =，5b c +=，则ABC ∆的面积为（）A ．B ．32C ．D 【答案】D【解析】根据余弦定理表示出cos C ，代入已知条件，得到b 的值，然后根据三角形面积公式得到答案. 【详解】由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，因为5b c +=，所以有5c b =-，而3C π=，4a =所以得()22165128b b b+--=，解得32b =，所以1sin 22ABCSab C ==，故选D ．【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题.6．直线0x y a ++=与圆222430x y x y +-++=有两个不同交点的一个必要不充分条件是（）A ．23a -<<B ．13a -<<C ．20a -<<D ．0<<3a【答案】A【解析】根据题意得到圆心()1,2-，半径r =得到关于a 的不等式，解出a 的取值范围，再找其必要不充分条件，即a 的取值范围是其子集，从而得到答案. 【详解】圆的标准方程为()()22122x y -++=，圆心()1,2-，半径r =因为直线0x y a ++=与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离d =<所以12a -<，解得13a -<<，要求求其必要不充分条件，即()1,3-为其真子集，故选A ．【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的范围，必要不充分条件，属于简单题. 7．函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移3π个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ω的一个可能取值是（）A ．2B ．32C ．23D ．12【答案】B【解析】先表示出平移后的解析式，πsin 3y x ωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后根据关于y 轴对称，表示出其对称轴，从而得到ω的表达式，根据选项，得到答案. 【详解】sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π3个单位长度后得πsin 3y x ωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称，所以可得πππ32k ω=+，k Z ∈，所以332k ω=+，k Z ∈，故选B ．【点睛】本题考查三角函数的平移，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，属于简单题.8．执行如图所示的程序框图，若120.5a =，140.9b =，5log 0.3c =，则输出的数是（）A ．120.5 B ．140.9C ．5log 0.3D ．112450.50.9log 0.3++【答案】B【解析】读懂程序框图，可知输出a ，b ，c 中最大的数，然后对,,a b c 三个数进行判断，得到答案. 【详解】由程序框图知，输出a ，b ，c 中最大的数，120.5a =，140.9b =，5log 0.3c =而21144400.50.250.9a b <==<=，0c <，所以可知b 最大，故选B ．【点睛】本题考查读懂条件程序框图的功能，比较指对数的大小，属于简单题. 9．已知,a b ∈R ，定义运算“⊗”：,,,,a ab a b b a b ⎧⊗=⎨<⎩，设函数()()2()221log =⊗-⊗x f x x ，(0,2)x ∈，则()f x 的值域为（）A ．(0,3)B ．[0,3)C ．[1,3)D ．(1,3)【答案】C【解析】根据条件中给出的新定义，写出()f x 的解析式，然后分段求其值域，得到答案. 【详解】函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗，()0,2x ∈当()0,2x ∈，所以2log 1x <当01x <<时，22x <；当1≥x 时，21x ≥ 所以由题意，()1,01,21,12,x x f x x <<⎧=⎨-<⎩当01x <<时，()1f x =当12x <时，()21xf x =-单调递增，所以()[)1,3f x ∈所以()f x 的值域为[)13，，故选C ．【点睛】本题考查分段函数求值域，通过函数的单调性求值域，属于简单题. 10．如图，在平面四边形ABCD 中，1BC CD AD ===，2BD =，AD BD ⊥，将ABD ∆沿BD 折起到A BD '∆，使平面A BD '⊥平面BCD ，则过A '，B ，C ，D 四点的球的表面积为（）A ．3πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】A【解析】根据条件易得A D '⊥平面BCD ，得到A D BC '⊥，根据条件易得BC ⊥平面A CD '，得到BC A C ⊥'，再结合BC CD ⊥，A D BD '⊥，A D CD '⊥，可得过A '，B ，C ，D 四点的球的直径为A B '，从而求出其外接球的表面积，得到答案.【详解】因为平面A BD '⊥平面BCD ，且交线为BD ，A D BD '⊥，AD ⊂平面A BD ',∴A D '⊥平面BCD ，而BC ⊂平面BCD ∴A D BC '⊥，因为1BC CD ==，BD =，所以222BC CD BD += 所以BC CD ⊥，A D CD D '⋂=，∴BC ⊥平面A CD '，A C '⊂平面A CD '，∴BC A C ⊥'，所以过A '，B ，C ，D 四点的球的直径为2A B R '==所以24π3πS R ==，故选A ．【点睛】本题考查线线垂直的证明，求四面体的外接球的表面积，属于中档题.11．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若2ON OH =（O 为坐标原点），则C 的离心率为（） A ．3 B ．2C ．32D ．43【答案】A【解析】由NAO MAF ∽，得到ON a MFc a =-，BOH BFM ∽，OH aFM a c=+，根据2ON OH =，从而得到,a c 的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】∵NAO MAF ∽， ∴ON OA aMFAFc a==-，又∵BOH BFM ∽， ∴OH BO aFMBFa c==+，而2ON OH =， ∴2a ac a c a=-+， ∴3c a =， ∴离心率3ce a==，故选A ．【点睛】本题考查双曲线里的几何关系求离心率，属于简单题.12．已知函数()ln e x f x x x a =+有两个极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意转化为方程()0f x '=有两个不同的实数根，整理得到1ln xxa e+-=有两个不同的实根，转化为y a =-和1ln e xxy +=在()0,+∞上有两个交点，根据导数求出1ln exxy +=的单调性、极值和最值，从而得到a 的取值范围.要使函数()ln e xf x x x a =+有两个极值点，求导得()1ln e xf x x a =+'+，则转化为()1ln e 0xf x x a =++='有两个不同的实根，即y a =-和1ln exxy +=在()0,+∞上有两个交点，令()1ln ex x g x +=，∴()1ln 1e xx x g x -='-．记()1ln 1h x x x =--，()2110h x x x'=--<()h x 在()0,+∞上单调递减，且()10h =，所以当(]0,1x ∈时，()0h x ≥，()0g x '≥，所以()g x 在(]0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，故()()max 11eg x g ==．当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，所以，当10e a <-<，即10ea -<<时，y a =- 和1ln e xxy +=在()0,+∞上有两个交点，故选D ．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，函数与方程，属于中档题.二、填空题13．曲线ln 1y x x =+-在点(1,0)处的切线方程为________. 【答案】220x y --=【解析】求出y '，代入切点横坐标，得到切线斜率，然后点斜式写出直线方程，得到答案.ln 1y x x =+-，求导得11y x'=+，代入1x =，得到切线斜率为112k =+=，所以切线方程为()21y x =-，即220x y --=．故答案为220x y --=．【点睛】本题考查利用导数求函数图像在一点的切线方程，属于简单题.14．若点A 是区域101010y x y x y +⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩内一动点，点B 是圆22(2)(1)1x y -+-=上一点，则||AB 的最小值为________.【答案】21-【解析】根据题意画出可行域，然后求出圆心()2,1到可行域内点的距离最小值，再减去圆的半径，从而得到答案. 【详解】由约束条件画出可行域如图所示，记圆心()2,1到直线10x y +-=的距离为d ，则22d ==，所以AB 的最小值为21-．故答案为21-.【点睛】本题考查线性规划求最值，直线与圆的位置关系，属于简单题.15．勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形ABDE 是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记ABC θ∠=，若tan 74πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，在正方形ABDE 内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为________.【答案】125【解析】根据tan 74πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得到tan θ的值，得到AC 和BC 的关系，然后得到大正方形的面积，和阴影小正方形的面积，根据几何概型的公式，求出答案. 【详解】 ∵πtan 1tan 741tan θθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭， ∴4tan 3AC BCθ==，不妨设4AC a =，3BC a =，则5AB a =，所以大正方形的面积为225a ，阴影小正方形的面积为2a ，所以概率为2212525a P a ==．故答案为125. 【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于简单题.16．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，直线m 与C 交于A ，B 两点，线段AB的垂直平分线交x 轴于点P ，过线段AB 的中点M 作MN l ⊥，垂足为N ，O 为坐标原点，则()2OP MN -=________. 【答案】2【解析】设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，根据梯形中位线得到0222MN x =+，线段AB 的垂直平分线方程为()001y y x x k-=--，令0y =，得OP 的长，再计算出()2OP MN -，得到答案.【详解】由抛物线C ：24y x =得焦点()10F ，，准线方程为l ：1x =-，设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y所以12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，过A ，B 两点分别作AA '，BB '垂直于l ，由梯形中位线得021122A B MN AA BB x x x =+=+++='+'，因为直线m 的斜率存在且不为0，设为k ，则线段AB 的垂直平分线方程为()001y y x x k-=--，令0y =，得00x ky x =+，即00OP ky x =+，212244y xy x⎧=⎨=⎩，得()()()1212124y y y y x x +-=- 所以得1212042y y k x x y -==- 所以得02ky =，所以()()00224222OP MN x x -=+-+=．故答案为2.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，点差法表示垂直平分线，属于中档题.三、解答题17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4516a a +=，636S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）将条件中的式子用基本量1a 和d 表示，得到1a 和d 的值，求出n a 的通项公式；（2）写出n b 的通项，用裂项相消法，求出其前n 项的和，得到n T . 【详解】（1）n a 的首项为1a ，公差为d ，因为4561636a a S +=⎧⎨=⎩，所以451612716,65636,2a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩所以()12121n a n n =+-=-．（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，所以111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+．【点睛】本题考查等差数列中的基本量运算，裂项相消法求数列的前n 项和，属于简单题. 18．某企业为提高生产质量，引入了一批新的生产设备，为了解生产情况，随机抽取了新、旧设备生产的共200件产品进行质量检测，统计得到产品的质量指标值如下表及图（所有产品质量指标值均位于区间(15,45]内），若质量指标值大于30，则说明该产品质量高，否则说明该产品质量一般. 质量指标频数 (15,20] 2(20,25] 8(25,30]10(30,35] 30(35,40] 20(40,45]10 合计 80（1）根据上述图表完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为产品质量高与引人新设备有关；新旧设备产品质量22⨯列联表（2）从旧设备生产的质量指标值位于区间(15,30]的产品中，按分层抽样抽取6件产品，再从这6件产品中随机选取2件产品进行质量检测，求至少有一件产品质量指标值位于(20,25]的概率.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析，有；（2）35.【解析】（1）利用已知条件直接求解联列表，求出2K，即可得到结果；（2）由题意，从（15，20]中抽取1件产品，从（20，25]中抽取2件产品，从（25，30]中抽取3件产品，列举从这6件产品中随机选取2件产品所有的基本事件，找出至少有一件产品质量指标值位于(20,25]的基本事件，根据古典概型的计算公式可得结果. 【详解】（1）列联表如下：新设备产品 60 20 80 旧设备产品 48 72 120 合计 10892200∴22200(60724820)23.67 6.6351089280120K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为产品质量高与引入新设备有关．（2）由题意，从(15,20]中抽取1件产品，记为a ，从(]20,25中抽取2件产品，记为b ，c ，从(]25,30中抽取3件产品，记为d ，e ，f ，从这6件产品中任选2件，共有15种可能情况(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，记事件A 为至少有一件产品质量指标位于(]20,25，共有9种情况，所以93()155P A ==．【点睛】本题考查独立检验的应用，古典概型的求解，是中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，1==PA AB ，2PB PD ==（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若E 是PC 的中点，F 是棱PD 上一点，且//BE 平面ACF ，求二面角F AC D --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）利用勾股定理逆定理证明PA AB PA AD⊥⊥，，从而有PA⊥平面ABCD，然后有PA BD⊥，再由正方形对角线垂直，然后可得线面垂直；（2）取ED的中点M，AC BD O=，可证//BE OM，从而有//BE平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F．然后以,,OB OC OE为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．【详解】（1）证明：12PA AB AD PB PD=====，，∵PA AB PA AD AB AD A⊥⊥=，，，∴PA∴⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA BD⊥PA BD∴⊥．又ABCD为正方形，AC BD PA AC A BD⊥=⊥，，∴∴平面PAC（2）解：如图，连接ED，取ED的中点M，设AC BD O=，连接OM，则//BE OM，从而//BE平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F．E是PC中点，O是AC中点，则//OE AP，由（1）得OE⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，2120000002OC OE OD⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，2124OE ODOM⎛⎫+== ⎪⎪⎝⎭，，，平面ACF即平面ACM，设其法向量为()n x y z=，，，则·0·0n OCn OM⎧=⎨=⎩，，即20yx z=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，令1x=，得(102)n=，，，易知平面ACD 的一个法向量为(001)m =，，，2cos m n 〈〉==，∴，因为二面角FAC D --为锐二面角，．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查用空间向量法求二面角的余弦．解题关键是建立空间直角坐标系．考查学生空间想象能力和运算求解能力．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B，12BF F ∆，C 上的点到右焦点2F 的最大距离是3.（1）求C 的标准方程；（2）设C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过1A ，2A 分别作x 轴的垂线1l ，2l ，直线l ：(0)y kx m k =+≠与C 相切，且l 与1l ，2l 分别交于P ，Q 两点，求证：12PFQ PF Q ∠=∠. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意，列出,,a b c 的方程组，结合222a b c =+，解出,,a b c 的值，得到椭圆方程；（2）直线与椭圆联立，由相切得到0∆=，从而得到k 和m 的关系，根据题意表示出P 、Q 两点的坐标，然后得到1F P 、1FQ ，可得110F P FQ ⋅=，即12PFQ π∠=，同理可得22PF Q π∠=，从而证明结论.【详解】（1）解：由题意3,bc a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得2a =，b =1c =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）证明：因为直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆C 相切，所以221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得()2223484120k x kmx m +++-=，∴()()()22284344120km k m∆=-+-=，化简得2243m k =+，由题意，直线1l 的方程为2x =-，直线2l 的方程为2x =，所以()2,2P k m --+，()2,2Q k m +，又()11,0F -，()21,0F ， ∴()11,2F P k m =--+，()13,2FQ k m =+， ∴2211340F P FQ m k ⋅=-+-=， ∴11F P FQ ⊥，∴12PFQ π∠=，同理得()23,2F P k m =--+，()21,2F Q k m =+， ∴2222340F P F Q m k ⋅=-+-=，∴22F P F Q ⊥， ∴212PF Q PFQ π∠=∠=．【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相切，椭圆中利用向量进行证明，属于中档题. 21．已知函数()ln 1()xa f x e a x a R x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （1）若曲线()f x 在1x =处的切线斜率为0，求实数a 的值；（2）记()f x 的极值点为1x ，函数()ln 1g x a x =+的零点为2x ，当1ln 2a >时，证明：12x x <.【答案】（1）1-；（2）证明见解析.【解析】（1）对()f x 求导，得到()f x '代入1x =，得到关于a 的方程，解得a 的值；（2）令()22ln 1a ah x a x x x=++-，利用导数证明()h x 在()0,+∞上单调递增，得到01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，从而得到11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()10h x =，即()112112ln 1a x a x x -+=，所以得到()()12g x g x <，结合()g x 单调性，证明出12x x <.【详解】（1）解：()ln 1x a f x e a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，其定义域为()0,+∞， ∵()22ln 1xa a f x e a x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭'，代入切点横坐标1x =得()()1e 210f a a +'=-=，∴1a =-.（2）证明：∵()22ln 1xa a f x e a x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭'，令()22ln 1a ah x a x x x=++-，当1ln2a >时，()()223322220a x x a a a h x x x x x-+=-+'=>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增．又()110h a =+>，1ln2102h a ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，所以01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00h x =．当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，所以0x 是()f x 的极小值点，所以10x x =，所以11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()10h x =，即12112ln 10a a a x x x ++-=，()112112ln 1a x a x x -+=，因为2x 为()ln 1g x a x =+的零点，即()20g x = 所以()()()11122112ln 10a x g x a x g x x-=+=<=，又当1ln2a >时，()g x 是单调递增函数，由()()12g x g x <可得12x x <．【点睛】本题考查由在一点的切线斜率求参数的值，根据导数研究函数的单调性、极值、最值，难度适中，具有一定的综合性，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩，，（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为6cos 8sin ρθθ=+，圆心为C ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)M ，当ACB ∠最小时，求||||MA MB +的值.【答案】（1）22(3)(4)25x y -+-=；（2）【解析】（1）根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）根据题意得到直线l 与CM 垂直时ACB ∠最小，此时MA MB AB +=，由圆的弦长公式，得到答案.【详解】（1）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以圆C ：26cos 8sin ρρθρθ=+可得：2268x y x y +=+，整理得：()()223425x y -+-=．（2）因为直线12x t cos l y t sin αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩，，过点()1,2M ，当ACB ∠最小时，直线l 与CM 垂直，因为CM == 且点M 在圆C 内部，所以MA MB AB+====.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，直线与圆的位置关系，求圆的弦长，属于简单题.23．已知函数()|||1|f x x a x =-++.（1）当2a =时，求不等式()5f x 的解集；（2）若存在实数x ，使()3f x 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23x x -≤≤；（2）42a -.【解析】（1）按照1x ≤-，12x -<<，2x ≥进行讨论，得到每段上的解析，再得到答案；（2）由题意可将所求问题转化为()min 3f x ，再求出()f x 的最小值为1a +，从而得到关于a 的绝对值不等式，解出a 的范围，得到答案.【详解】（1）当2a =时，()21,1,213,12,21,2,x x f x x x x x x -+-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩当1x -时，215x -+，∴21x --；当12x -<<时，35≤成立，∴12x -<<；当2x ≥时，215x -，∴23x ．综上，解集为{}|23x x -≤≤．（2）由题意，()min 3f x ，因为11x a x a -++≥+，当且仅当x a -与1x +异号时等号成立，所以13a +，∴42a -．【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，属于简单题.。

【第十六套】云南师范大学附属中学2020届高三上学期第三次月考数学(理)试题(教师版)

A
B
D
C
A' O
B
D
C
BC CD 1 ， BD 2 ，知CD ⊥ BC ，所以， AC ⊥ BC ，所以，OC OA OB OD ，即点O 就是过 A ， B ，C ， D 四点的球的球心，
所以，球的直径 2R AB AD2 DC 2 CB2 3 ，所以 S 4πR2 3π ，故选A．【解析点评】折叠问题处理关键是折叠前后位置关系与数量的关系变化情况，本题通过对一个折叠问题解答，考查了球的性质，解答几何体的外接球问题，常见的处理方式
5．（云南师大附中2020届高考适应性月考卷（三）理数）已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，C π ，a 4 ，b c 5 ，则 △ABC 的面积为（）
3
3
A． 2 答案：D．
3
B． 2
C． 3 3
33
D． 2
云南师范大学附属中学2020届高三上学期第三次月考数学（理）教师版第 1 页共 23 页
7．（云南师大附中2020届高考适应性月考卷（三）理数）函数y sinx 0
的图象向左平移 π 个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则的一个可能取值是（）
3
A． 2 答案：B．
3
B． 2
2
C． 3
1
D． 2
8．（云南师大附中2020届高考适应性月考卷（三）理数
1
1
）执行如图1所示的程序框图，若 a 0.52 ， b 0.94 ，
为侧棱补作正方体，则该正方体的外接球就是经过 A ， B ，C ， D
A'
四点的球，易知球的直径 2R 3 ，所以 S 4πR2 3π ，故选A．

【文数】云南师大附中2020届高考适应性月考试卷及答案(3月)

（舍去），
p
=
3
，故选
C．
9．如图 1 所示，将正四面体 A − BCD 放入正方体中，则正四面体的每一
条棱都是正方体的面对角线， E，F 则分别是上下底面的中心．由图
中容易看出，EF ⊥ AB 和 EF ⊥ CD 显然成立，且 EF 与 AC，BD 所成
角都应该为 π ，故不正确的选项为 D，故选 D．
单调性即可． f ′(x) = 2x + sin x ，当 x ∈ (0，π) 时，易得 f ′(x) > 0 ，故 f (x) 在 x ∈ (0，π) 上
单调递增，
a=
f (log1 3) =
5
f (log5 3)，b =
f (log3 15) =
f (log3 5)
，
1 5
3
=
0.008
<
log5
5
< log5 3 < 1 < log3 5 <
π ，由函数单调性可知
f
1 5
3
<
f (log5 3) <
f
(log3 5) ，即 c <
a<b，
故选 B．
12．设由船 P
到
B
台和到
A 台的距离差确定的双曲线方程为
x2 a2
−
y2 b2
= 1(x ≥ a) ，由于船 P 到
B
台和到 A 台的距离差为 30 海里，故 a = 15 ，又 c = 17 ，故 b = 8 ，故由船 P 到 B 台和到 A 台
4
图1
10．先读懂程序：输入任意一个无重复数字的三位数，将其个位，十位，百位重新排列，组

2025届云南师范大学附属中学高三第三次测评数学试卷含解析

2025届云南师范大学附属中学高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（） A ．43B ．916C ．34D ．1692．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（）A ．7B ．5C ．3D ．24．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（）A ．98B ．78C ．12D ．62565．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A ．8B ．83C ．4D ．436．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=7．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．12π8．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=10．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =11．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20 12．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷(三)数学试题(PDF版)

2023届云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷（三）数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数13i2iz -=+的虚部为 A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-2. 设集合{}2{326},log 2A x m x m B x x =-<<+=<∣∣, 若A B A =U , 则实数m 的取值范围是 A. ∅B. [3,1]--C. (1,3)-D. [1,3]-3. 已知()f x 为幂函数, 且1(8)4f =, 则(4)f = A. 12D.1164. 已知某地区成年女性身高X (单位:cm)近似服从正态分布()2160,N σ, 且(158160)0.2P X <=…, 则随机抽取该地区 1000 名成年女性, 其中身高不超过162cm 的人数大约为 A. 200B. 400C. 600D. 7005. 已知{}n a 为等差数列, n S 为{}n a 的前n 项和. 若10370,0S a a <+>, 则当n S 取最大值时,n 的值为 A. 3B. 4C. 5D. 66. 设抛物线24x y =的焦点为F , 若222:(4)(0)M x y r r +-=>e 与抛物线有四个不同的交点, 记y 轴同侧的两个交点为, A B , 则||||FA FB ⋅的取值范围是 A. (0,4)B. (5,9)C. (0,9)D. (4,9)7. 在()522x x +-的展开式中, 含4x 的项的系数为A. -120B. -40C. -30D. 2008. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家, 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五. 已知在菱形ABCD 中,AB BD ==将ABD V 沿BD 进行翻折, 使得AC =. 按张衡的结论, 三棱锥A BCD -外接球的表面积约为A. 72B.C.D. 二、不定项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分,选对但不全的得2分，有选错的得0分)9. 炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择，为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100 名游客，得到如下22⨯列联表.零假设为0H :旅行方式与年龄没有关联，根据列联表中的数据，经计算得2 4.087χ≈,则下列说附: 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.A. 在选择自由行的游客中随机抽取一名, 其小于 40 岁的概率为1950B. 在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取 6 人, 再从中随机选取 2 人做进一步的访谈,则 2 人中至少有 1 人不小于 40 岁的概率为35C. 根据0.01α=的独立性检验, 推断旅行方式与年龄没有关联, 且犯错误概率不超过0.01D. 根据0.05α=的独立性检验, 推断旅行方式与年龄有关联, 且犯错误概率不超过0.05 10. 已知222212:220,:2410O x y mx y O x y x my +-+=+--+=e e . 则下列说法中, 正确的有A. 若(1,1)-在1O e 内, 则0m …B. 当1m =时, 1O e 与2O e 共有两条公切线C. 若1O e 与2O e 存在公共弦, 则公共弦所在直线过定点11,36⎛⎫⎪⎝⎭D. m ∃∈R , 使得1O e 与2O e 公共弦的斜率为1211. 函数())0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图 1 所示,则下列说法中, 正确的有 A. ()f x 的最小正周期T 为π B. ()f x 向左平移38π个单位后得到的新函数是偶函数 C. 若方程()1f x =在(0,)m 上共有 6 个根, 则这 6 个根的和为338πD. 5()0,4f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图象上的动点M 到直线240x y -+=的距离最小时, M 的横坐标为4π12. 公元前 300 年前后, 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著, 书中描述: 把一条线段分割为两部分, 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值, 则这个比值即为“黄金分割比”, 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”. 黄金双曲线 2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的一个顶点为A , 与A 不在y 轴同侧的焦点为,F Γ的一个虚轴端点为.B PQ 为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦, M 为PQ 中点. 设双曲线Γ的离心率为e , 则下列说法中, 正确的有A. 12e =B. 2||||||OA OF OB =C. OM PQ k k e ⋅=D. 若OP OQ ⊥, 则2211||||e OP OQ +=恒成立三、填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)13. 已知(2,9),(1,0)a b ==-r r, 则a r 在b r 上的投影向量为_____. (用坐标表示) 14. ()ln f x x x =在1x =处的切线方程为_____.15. 各数位数字之和等于 8 (数字可以重复) 的四位数个数为_____.16. 已知非零实数,x y 满足222x yxy x y y x++=-, 则22x y +的最小值为_____. 四、解答题 (共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)还原糖不达标会影响糖果本身的风味, 同时还原糖偏高又会使糖果吸潮, 易使糖果变质, 不耐贮存, 影响糖果的质量. 还原糖主要有葡萄糖、果糖、半乳糖、乳糖、麦芽糖等. 现采用碘量法测定还原糖含量, 用0.05mol /L 硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液, 记录耗用硫代硫酸钠的体积数(mL), 试验结果见下表.附：回归方程ˆˆˆybx a =+中,()()()1122211ˆˆˆ,nny iii ii i nni ii i x x y x y nxybay bx x x xnx -====--===---∑∑∑∑. (1) 由如图 2 散点图可知,y 与x 有较强的线性相关性, 试求y 关于x的线性回归方程; (2) 某工厂抽取产品样本进行检测, 所用的硫代硫酸钠溶液大约为2.90mL , 则该样本中所含的还原糖大约相当于多少体积的标准葡萄糖溶液?18. (本小题满分 12 分)在ABC V 中, 角,,A B C 成等差数列, 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . (1) 若2A C π-=, 求:a c 的值;(2) 若a ab b a b c+=++, 判断ABC V 的形状.19. (本小题满分 12 分)某运动员多次对目标进行射击, 他第一次射击击中目标的概率为35. 由于受心理因素的影响,每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变, 若前一次击中目标, 下一次击中目标的概率为34; 若第一次末击中目标, 则下一次击中目标的概率为12.(1) 记该运动员第n 次击中目标的概率为n P , 证明: 23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列,并求出 {}n P 的通项公式;(2) 若该运动员每击中一次得 2 分, 未击中不得分, 总共射击 2 次, 求他总得分X 的分布列与数学期望.20. (本小题满分 12 分)如图 3, 在三棱锥D ABC -中, 二面角D AB C --是直二面角,AB BD ⊥, 且,AB BD AC BC ==, P 为CD 上一点, 且BP ⊥平面ACD .,E F 分别为棱,DA DC 上的动点, 且DE DFDA DCλ==.(1) 证明: AC BC ⊥;(2) 若平面EFB 与平面ABC , 求λ的值.21. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xOy 中, 设点11,0,,033P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 点G 与,P Q 两点的距离之和为4,3N 为一动点, 点N 满足向量关系式:0GN GP GQ ++=u u u r u u u r u u u r r.(1) 求点N 的轨迹方程C ;(2) 设C 与x 轴交于点,A B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点 (且不与,A B 重合). 设直线,AM x 轴与直线4x =分别交于点,R S , 取(1,0)E , 连接ER , 证明: ER 为MES ∠的角平分线.22. (本小题满分 12 分) 设()e 21x f x a x =--, 其中a ∈R . (1) 讨论()f x 的单调性;(2) 令5()e ()(0)4x F x f x a a=+≠, 若()0F x …在R 上恒成立, 求a 的最小值.数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）∵1(24681012)76x =+++++=，624.84y =，24.844.146y ==， 61217.28i ii x y==∑，621364i i x ==∑，∴1221666217.2824.84743.4ˆ0.62364649706i ii ii x yx ybxx ==--⨯====-⨯-∑∑，………………………………（4分）∴ˆˆ 4.140.6270.2ay bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.620.2yx =-．………………………………………（6分）（2）令ˆ0.620.2 2.90yx =-=，解得5x =， ∴则该样本中所含的还原糖大约相当于5mL 的标准葡萄糖溶液.……………………………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）∵A B C ，，成等差数列，∴2A C B +=，……………………………………………………………………………（1分）又πA C B ++=， ∴π3B =，2π3A C +=，又π2A C -=， ∴1π2πππ7π2234312A ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，12πππππ2323412C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ………………………………………………………………………………………（3分）∴1ππ7πsin sin 24312:sin :sin πππsin sin 1234a c A C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎪⎝⎭======⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭2=+5分）（2）由题意可得，22a ab ac ab b ++=+，即22b a ac =+，………………………………………………………………………………………（6分）由余弦定理结合（1）可得22221cos 2222a cbc ac c a B ac ac a +---====，∴2c a =，…………………………………………………………………………………（8分） ∴由正弦定理可得sin 2sin C A =，又2ππ3A B C C =--=-，∴2πsin 2sin sin 3C C C C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，…………………………………………（10分） ∴cos 0C =，又(0π)C ∈，， ∴π2C =，ABC △为直角三角形. ……………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）由题意，当*n ∈N 时，13111(1)4224n n n n P P P P +=+-=+g g ， ………………………………………………………………………………………（2分）则12111234643n n n P P P +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，………………………………………………………（4分）又121315P -=-， 23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∴是首项为115-，公比为14的等比数列，12113154n n P -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ∴，11121543n n P -⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ∴(*)n ∈N . ……………………………………………………（6分）（2）记i A 为第i 次射击击中目标，则由题意可得13()5P A =，213(|)4P A A =，211(|)2P A A =， X 可取到的值为024，，，且 12211121(0)()(|)()255P X P A A P A A P A ====⨯=，212121*********(2)()()(|)()(|)()254520P X P A A P A A P A A P A P A A P A ==+=+=⨯+⨯=， 12211339(4)()(|)()4520P X P A A P A A P A ====⨯=，则X 的分布列为：……………………………………………………………………………………（10分）∴1795()024520202E X =⨯+⨯+⨯=. …………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（1）证明：∵平面DAB ⊥平面ABC ，平面ABC I 平面ABD AB =，AB BD ⊥，且BD ⊂平面ABD ， BD ⊥∴平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ， ∴BD AC ⊥，又BP ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴BP AC ⊥，且BP BD B =I ，BP BD ⊂，平面BCD ，AC ⊥∴平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，∴AC BC ⊥. ……………………………………………………………………………（4分）（2）解：法一（几何法）：DE DFDA DCλ==∵， EF AC ∥∴，如图3，过点B 作直线l 平行于AC ，则l AC EF ∥∥，则l 同时在平面EFB 与平面ABC 内，是两平面的交线，又由（1）AC ⊥平面BCD ，可得AC FB ⊥，AC BC ⊥， ∴BC l ⊥且FB l ⊥，∴由二面角的平面角的定义可得FBC ∠是平面EFB 与平面ABC 所成角，………………………………………………………………………………………（8分）设2AB BD ==，则BC AC == 过点F 作FM BC ⊥于点M ，则122FM FCFM BD CDλλ==-⇒=-，且BM DFBM BC DCλ==⇒=，cos FBC ∠=∵，tan FM FBC BM ∠===∴，解得12λ=. ……………………………………………………………………………（12分）法二（向量法）：如图4，以点C 为原点，分别以CB ，CA ，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设2AB BD ==，则AC BC ==∴(000)C ，，，(00)A，00)B ，，02)D ，，则(2)DA =-u u u r，(02)DC =-u u u r ，，(002)DB =-u u u r，，， ………………………………………………………………………………………（6分）由DE DFDA DC λ==，可得(2)DE DA λλ==-u u u r u u u r ，，(02)DF DC λλ==-u u u r u u u r，，，图3图4(00)EF DF DE =-=u u u r u u u r u u u r ，，∴，22)EB DB DE λ=-=-u u u r u u u r u u u r ，，，………………………………………………………………………………………（8分）设1111()n x y z =u u r ，，为平面EFB的法向量，则11110(22)0y x y z λ⎧=⎪+-=，，可得一组解为101n λλ⎫=⎪-⎭u u r ，，……………………………………………………（10分）取平面ABC 的法向量2(001)n =u u r，，，则121212|||cos |||||n n n n n n λ<>===u u r u u ru u r u u r g uu r u u r ，，令01m λλ=>-=，化简得2232m m =+，即1m =，12λ=. ……………………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：设点()N x y ，，()G x y ''，，则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为42||33PQ ⎛⎫>=⎪⎝⎭，可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆，其轨迹方程为229314x y ''+=．由0GN GP GQ ++=u u u r u u u r u u u r r ，可得33x yx y ''==，，代入点G 的轨迹方程，可得：22931433x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22143x y C +=：．…………………………………………………（4分）（第一问也可以利用几何法：由条件可知G 为NPQ △的重心，延长PG ，QG ，必分别交NQ ，NP 的中点（分别设为H ，I ），取1(10)F -，，2(10)F ，，则12||||2||NF NF HP +=+ 12332||2||2||3(||||)4||22IQ GP GQ GP GQ F F ⎛⎫⎛⎫=+=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由椭圆定义可得C 的方程．）（2）证明：设点00()M x y ，，则00(1)1y ME y x x =--：，即000(1)0y x x y y ---=， 00(2)2y MA y x x =++：，令4x =，得0062y y x =+，00642y R x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴，……………………………………………（6分）过R 作直线ME 的垂线，垂足为点T ，则要证ER 为MES ∠的角平分线，只需证||||RT RS =，又||RT ===，006||||||2R y RS y x ==+，………………………………………………………………………（8分） 00y ≠∵，||||RT RS =∴2=，即222000(4)4[(1)]x y x -=+-时，又00()x y ，在C 上，则2200143x y +=，即22004123y x =-，代入上式可得22200000168123484x x x x x -+=-+-+恒成立，ER ∴为MES ∠的角平分线得证．……………………………………………………（12分）（第（2）问也可利用二倍角公式，证明221REME REk k k =-） 22．（本小题满分12分）解：（1）()e 2x f x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '<在R 上恒成立，∴()f x 在R 上单调递减；………………………………………………………………………………………（2分）②当0a >时，()f x '在R 上单调递增，且当()0f x '=时，2ln x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当2ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增.………………………………………………………………………………………（4分）（2）55()e ()e (e 21)044x x x F x f x a x a a=+=--+≤∵，∴若0a >，5(0)11104F a a =-+>≥，与()0F x ≤在R 上恒成立矛盾， ∴0a <，…………………………………………………………………………………（6分）则()e (e 21e 2)e (2e 23)x x x x x F x a x a a x '=--+-=--，令()2e 23x h x a x =--，则由0a <可知()h x 在R 上单调递减，又当0x <时，e 1x <，2e 2x a a >，232(23)302a h a a -⎛⎫>---= ⎪⎝⎭∴，又(0)230h a =-<，02302a x -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴，使得000()2e 230x h x a x =--=，………………………………（8分）0023e 02x x a+=>∴， 0a <∵，∴0032302x x +<<-，，且当0()x x ∈-∞，时，()0()0()h x F x F x '>>，，单调递增；当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x F x F x '<<，，单调递减， 0000max 000232355()()e (e 21)214224x x x x F x F x a x a x a a a a++⎛⎫==--+=--+ ⎪⎝⎭∴ 220000011[(23)(42)(23)5](448)044x x x x x a a=+-+++=--+≤， ……………………………………………………………………………………（10分）又0a <，∴2004480x x --+≥，解得033[21]222x ⎛⎫⎡⎫∈--∞-=-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭I ，，，，令23()2e xx m x +=，则22321()2e 2e x x x x m x ----'==在322⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，上恒大于0， ()m x ∴在322⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，上单调递增，2min21e (2)2e 2a m ---=-==∴．…………………………………………………………（12分）。

云南省昆明市云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考卷(三)数学试卷

云南省昆明市云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考卷（三）数学试卷一、单选题1．集合{}2,1,1=+A a a ，{}2B a =，若B A ⊆，则实数a =（）A ．1-B ．0C ．12D ．12．已知()0,πα∈，cos α=，则tan α=（） A ．3B ．13 C ．13-D ．3-3．在等差数列{}n a 中，63a =，则58913+-=a a a （）A ．2B ．3C ．4D ．54．甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况. A ．18B ．24C ．36D ．485．已知ln73=a ，ln64=b ，ln55c =，ln 46=d ，则在b a -，c b -，-d c ，-d b ，-d a ，c a -这6个数中最小的是（）A ．b a -B ．c b -C ．-d bD ．c a -6．在三棱锥P ABC -中，2AC BC PC ===，且,AC BC PC ⊥⊥平面ABC ，过点P 作截面分别交,AC BC 于点,E F ，且二面角P EF C --的平面角为60o ，则所得截面PEF 的面积最小值为（） A ．43B ．83C ．23D ．17．0和1是计算机中最基本的数字，被称为二进制数字．若数列{}n a 满足：所有项均是0或1，当且仅当51n k =±（其中k 为正整数）时，1n a =，其余项为0．则满足12120nin i aa a a ==+++=∑L 的最小的正整数n =（）A ．50B ．51C ．52D ．538．已知动点M 在抛物线()2:20E y px p =>上，点,02p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，O 为坐标原点，若cos OMN ∠=210x y ++=与MNO V 的外接圆相切，则p =（） A ．54B ．54或45C ．45或49 D ．2或52二、多选题9．随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()~2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则（）A ．()122P X ≤= B ．()()E X E Y = C ．()()D X D Y = D ．()112P Y ==10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球1O 和球2O 的球心1O ，2O 都在线段1AC 上，球1O ，球2O 外切，且球1O ，球2O 都在正方体的内部（球可以与正方体的表面相切），记球1O 和球2O 的半径分别为1r ，2r ，则（）A ．11ACBC ⊥B ．当11r =时，2r 1C ．12r r +的最大值是3D ．球1O 和球2O 的表面积之和的最大值是6π11．已知()22,,1=+-n nf x y n x y （1n ≥，n ∈Z ），定义方程(),,0=f x y n 表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记n S 表示“方圆系”曲线(),,0=f x y n 所围成的面积，则（）A ．“方圆系”曲线(),,10=f x y 是单位圆B ．24<SC ．{}n S 是单调递减的数列D ．“方圆系”曲线(),,20=f x y 上任意一点到原点的最大距离为142三、填空题12．已知()1i 24i z +=+，则复数z =．13．已知函数()f x 的定义域是R ，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()60f x f x +-=，当302x ≤≤时，()242=-f x x x ，则()2024f =．14．如图，四边形ABCD 由ABC V 和ACD V 拼接而成，其中90ACB ∠=︒，90ADC ∠>︒，若AC 与BD 相交于点E ，30ACD ∠=︒，2AD =，AC =且tan BAD ∠=C D E V的面积S =．四、解答题15．已知数列{}n a 的首项11a =，设2n a n b =，且{}n b 的前n 项和n S 满足：132n n S b +=-． (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令1432n n T a a a -=++⋅⋅⋅+，求证：1211143n T T T ++⋅⋅⋅+<． 16．党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升. 下表为重庆市 2014 2022 年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图（如图 1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. （数据来源于重庆市统计局 2023-05-06 发布）.(1)设年份编号为x （2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为y （单位：万元），求经验回归方程ˆˆˆy bx a =+（结果精确到 0.01 ），并根据所求回归方程，预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入；(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014:2022中任取3年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.参考数据：991124.03,133.39i i i i i y x y ====∑∑.参考公式: 对于一组数据 ()()()1122,,,,,,n n u v u v u v L ，其回归直线方程 ˆv=ˆˆu βα+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑. 17．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==.(1)求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ； (2)若直线1B C 与平面11ACC A1B CC A --的正弦值. 18．已知()()122,0,2,0C C -，动点P 满足1PC 与2PC 的斜率之积为定值14. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)过点()4,0M 的直线l 与曲线Γ交于,A B 两点，且,A B 均在y 轴右侧，过点A作直线:1l x '=的垂线，垂足为D .（i ）求证：直线BD 过定点；（ii ）求MBD V 面积的最小值.19．集合{}222,0,,,a b cA x x a b c a b c ==++≤<<∈N ，将集合A 中的元素按由小到大的顺序排列成数列 a n ，即17a =，211a =，数列 a n 的前n 项和为n S ． (1)求3a ，4a ，5a ；(2)判断672，2024是否是 a n 中的项； (3)求120a ，35S ．。

云南师范大学附属中学2020届高三数学(文)适应性月考卷(五)附答案详析

云南师范大学附属中学2020届高三数学（文）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]-2sin 75︒︒+=（）A ．2B ．1CD ．23．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（）A ．12-B ．0C ．12D ．24．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（） A ．125 B ．115 C ．105 D ．955．如图，在圆O 的圆心O 处有一个通信基站，2θ=，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A ．1sin 2π- B ．2πC ．1sin 22π-D ．2sin 22π-6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．在四边形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，5CD =，6AD =，60B ︒∠=，则四边形ABCD 的面积为（）A ．6+B ．9+C ．9D．8．已知直线0Ax By C ++=与圆1C 2240x y x ++=相交于,A B 两点，且三角形1ABC ，为直角三角形，则,A B 中点M 的轨迹方程为（） A ．22(2)(1)1x y +++= B ．22(1)(1)2x y +++= C ．22(1)1x y ++=D ．22(2)2x y ++=9．已知函数,1(),1x e x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(ln 2)(1)f f +=（）A ．22e e +B ．12e e + CD ．2e +10．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（）AB ．4C ．4πD．11．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC二、填空题12．能说明命题“a ，b ，c ，d 是实数，若a b >，c d >，则ac bd >”是假命题的一组数对（a ，b ，c ，d ）是________.13．抛物线24y x =上的点到其准线的距离的最小值为________.14．若实数,x y 满足约束条件20220x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩，则22x y +的取值范围为________. 15．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n 有下列关系：22log 3wn x≤（注：lg 20.3≈），根据以上信息，一张长为21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多能对折___次.三、解答题16．已知F 是双曲线G ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，1l ，2l 是双曲线的两条渐近线，过F 且垂直1l 的直线与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若三角形AOB 的面积2AOB S ab ∆=（O 为原点），则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．2或2D或217．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 记三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c .（1）根据数列的定义判断数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的类型，并据此写出三个数列的通项公式；（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.18．至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据.注：年份代码1～7分别表示2012～2018.（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（2）建立y 关于t 的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为112211()ˆ()()()n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x x x ====---==--∑∑∑∑，.ˆˆay bx =-19．如图，已知菱形ABCD 和矩形ACFE 所在的平面互相垂直，2AC AE =.（1）若G 为BE 的中点，求证：//AG 平面BDF ；（2，且60ABC ︒∠=，求点B 到平面DEF 的距离.20．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，00(,)P x y 在椭圆C 上.求证：（1）直线l ：00221x x y ya b+=是椭圆在点P 处的切线；（2）从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F .21．设函数()(0,1)x f x a ax x a =->>. （1）证明：若a e =，则()0f x ≥恒成立；（2）讨论()f x 的零点个数.22．在直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为1)(1)y x x =+≥-，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为10cos ρθ=.一只小虫从点(1,0)A -沿射线l 向上以2单位/min的速度爬行（1）以小虫爬行时间t 为参数，写出射线l 的参数方程；（2）求小虫在曲线1C 内部逗留的时间.23．如图，AB 是半圆直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB ，C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x ，y 表示线段OD ，CD 的长度；（2）若0a >，0b >，1a b +=，求44a b +的最小值.解析云南师范大学附属中学2020届高三数学（文）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]- 【答案】B【解析】先计算得到{}11{|13}A B x x =-=-<<，，，再计算A B ⋂得到答案. 【详解】{}{}11{|13}1A B x x A B =-=-<<⋂=，，，故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题. 2sin 75︒︒+=（） A．2 B ．1 CD【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案. 【详解】()sin75cos152sin 1530︒︒+=︒+︒=︒+︒=故选：C 【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力. 3．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（） A ．12-B ．0C ．12 D．2【答案】B【解析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，再计算OP OQ ⋅得到答案. 【详解】121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，，，故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（） A ．125 B ．115 C ．105 D ．95 【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，计算得到答案.【详解】()2411105124441091043954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，，故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.5．如图，在圆O 的圆心O 处有一个通信基站，2θ=，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A ．1sin 2π- B ．2πC ．1sin 22π-D ．2sin 22π-【答案】D【解析】设该圆的半径为R ，计算圆面积和阴影部分面积，利用几何概型相除得到答案. 【详解】设该圆的半径为R ，则圆的面积是2πR ，2211·2?sin2?22AOBOAB S S SR R =-=-=阴影扇形 211sin22R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2sin22πP -=故选：D【点睛】本题考查了几何概型计算概率，计算区域面积是解题的关键. 6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 【详解】()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.7．在四边形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，5CD =，6AD =，60B ︒∠=，则四边形ABCD 的面积为（） A．6+ B．9+ C ．9D．【答案】B【解析】由余弦定理可求得AC =43cos sin 55D D ∠=∠=，，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅∠得到AC =ADC ∆中，由余弦定理得到2222cos AC DC DA DC DA D =+-⋅∠得到43cos sin 55D D ∠=∠=，1315634sin609252S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯︒=+故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.8．已知直线0Ax By C ++=与圆1C 2240x y x ++=相交于,A B 两点，且三角形1ABC ，为直角三角形，则,A B 中点M 的轨迹方程为（） A ．22(2)(1)1x y +++= B ．22(1)(1)2x y +++= C ．22(1)1x y ++= D ．22(2)2x y ++=【答案】D【解析】根据题意得到1MC ，M 的轨迹是以C 1. 【详解】因为1ABC 为直角三角形，且11AC BC =，所以1AB MC =所以M 的轨迹是以C 1为圆心，故选：D 【点睛】本题考查了圆的轨迹问题，根据题意得到1MC 是解题的关键.9．已知函数,1(),1x e x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(ln 2)(1)f f +=（）A ．22e e +B ．12e e + CD ．2e +【答案】A【解析】直接代入计算得到答案. 【详解】()()()()1lnln22112ln21ln2ee1?ln21?2e 2e f f f f e-+<∴====+=，，，故选：A【点睛】本题考查了分段函数的计算，属于简单题.10．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（）A B ．4C ．4πD ．【答案】B【解析】先计算得到()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，画出函数图像，计算1PQ =24PQ =得到答案.【详解】根据变换得到：()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，图象如图：由图可知，PQ 取到的最小可能为12PQ PQ ，，因为1PQ =24PQ =，所以最小值为4 故选：B【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.11．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC 【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明AB 与CD 不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。

云南省大理市师范大学附属中学2020年高三数学文月考试题含解析

云南省大理市师范大学附属中学2020年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C2. 如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨参考答案：C【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．【解答】解： =（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据回归直线的性质分别进行判断是解决本题的关键．比较基础．3. 下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件参考答案：B【考点】复合命题的真假．【分析】命题A找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题C是写特称命题的否定，应是全称命题；选项B是考查的线面垂直的判定；D可举反例分析．【解答】解：命题“若a＜b，则am2＜bm2”的逆命题是，若“am2＜bm2，则a＜b”，此命题为真命题，所以命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题，所以A不正确．设α，β为两个不同的平面，直线l?α，若l⊥β，根据线面垂直的判定，由α⊥β，反之，不一定成立，所以B正确．命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是全程命题，为?x∈R，x2﹣x≤0，所以C不正确．由x＞1不能得到x＞2，如，，反之，由x＞2能得到x＞1，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分要条件，故D不正确．故选B．4. 如果函数的图象与轴有两个交点，则点平面上的区域（不包含边界）为（）参考答案：答案：C5. 若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：C【考点】二项式定理．【分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，令x的次数为0，求出m，再由定积分的运算法则，即可求得．【解答】解：二项式（）6的展开式的通项公式为：T r+1=，令12﹣3r=0，则r=4．即有m==3．则=（x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=．故选：C．6. 设全集＜，集合，则等于A. B. C. D.D略7. 某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，根据古典概型概率计算公式可得结果．【详解】所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：，，，，共有5种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率，故选B.【点睛】本题考查适合古典概型的概率求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题．8. 函数的图像如图所示，则的值等于A．B．C．D．1C9. 设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞βB．α＜βC．α+β＞0 D．α2＞β2参考答案：D【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】构造函数f（x）=xsinx，x∈，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈与x∈上的单调性，从而可选出正确答案．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈，∵f（﹣x）=﹣x?sin（﹣x）=x?sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；故选D．10. 复数等于（A）(B) ( C) ( D)参考答案：D，选D.【解析】略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+3=0，直线l：mx+2y﹣4m﹣10=0（m∈R）．当l被C截得的弦长最短时，m= ．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得直线l经过定点A（4，5）．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有K CA?K l=﹣1，再利用斜率公式求得m的值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+3=0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=10的圆心C（2，3）、半径为，直线l：mx+2y﹣4m﹣10=0，即 m（x﹣4）+（2y﹣10）=0，由，求得x=4，y=5，故直线l经过定点A（4，5）．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有K CA?K l=﹣1，即?（﹣）=﹣1，求得m=2，故答案为2．12. 已知f（x）=log0.5x，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．参考答案：考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性得到关于a的不等式组，要注意真数大于零．解答：解：因为函数y=log0.5x是定义域内的减函数．所以由题意得．解得．故答案为点评：本题考查了利用对数函数的单调性解不等式的问题，要注意不能忽视定义域．13. 对于数列{}，定义数列{}为数列{}的“差数列”，若，{}的“差数列”的通项为，则数列{}的通项公式=参考答案：14. （坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（为参数，）上的点到曲线的最短距离是参考答案：略15. 在数列中，，则数列中的最大项是第项。

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云南师大附中2020届高考适应性月考卷（三）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 1．{21012}A =--，，，，，{|02}B x x x =<>或，{21}AB =--，，故选B ．2．2(1i)1i (1i)(1i)z -==-+-，∴||z =A ． 3．2()21a a b a a b a b -=-=-=，∴1a b =，记向量a 与向量b 的夹角为θ，∴cos θ=22||||a b a b =，π4θ=，故选C ． 4．圆的标准方程为22(1)(2)4x y -++=，直线经过圆心(12)-，，所以1a =，故选A ．5．由系统抽样知，第一组同学的编号为1~20，第二组同学的编号为21~40，…，最后一组编号为81~100，编号为53的同学位于第三组，设第一组被抽到的同学编号为x ，则4053x +=，所以13x =，所以93号同学被抽到，故选D ．6．由余弦定理得22116(5)28b b b +--=，32b =∴，1sin 2ABC S ab C ==△C ． 7．sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π3个单位长度后得πsin 3y x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为图象关于y 轴对称，πππ32k ω=+∴，k ∈Z ，332k ω=+∴，k ∈Z ，故选B ． 8．由程序框图知，输出a ，b ，c 中最大的数，2114440.50.250.9a b ==<=∵，0c <，所以b最大，故选B ．9．由题意，101()2112x x f x x <<⎧=⎨-<⎩，，，≤，所以()f x 的值域为[13)，，故选C ． 10．由条件知BC CD AD BD ⊥⊥，，因为平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，AD ⊥∴平面BCD ，AD BC AD CD D BC ⊥=⊥，，∴∴平面ACD BC AC ⊥，∴，所以球O 的直径为2AB R ==，所以24π3πS R ==，故选A ．11．NAO MAF △△∵∽，||||||||ON OA a MF AF c a ==-∴，又B O H B F M △△∵∽，||||||||OH BO FM BF =∴ a a c =+，||2||ON OH =，2a a c a c a =-+，3c a =∴，离心率3c e a==，故选A ． 12．()1ln e x f x x a '=++∵，由题意，()1ln e 0x f x x a '=++=有两个不同的实根，即y a =-和1ln e x x y +=在(0)+∞，上有两个交点，令1ln ()ex x g x +=，1ln 1()e x x x g x --'=∴．记1()ln 1h x x x=--，()h x 在(0)+∞，上单调递减，且(1)0h =，所以当(01]x ∈，时，()0h x ≥，()0g x '≥，所以()g x 在(01]，上单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在(1)+∞，上单调递减，故max 1()(1)eg x g ==．当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，由图象知，当10e a <-<，即10e a -<<时，y a =-和1ln e xx y +=在(0)+∞，上有两个交点，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．11y x'=+，所以切线斜率为112k =+=，所以切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=．14．由约束条件画出可行域如图所示，目标函数22(2)x y -+表示点(20)P ，到可行域内的点()x y ，的距离的平方，由图可知，点(20)P ，到可行域内的点()x y ，的距离的最小值为点P 到直线10x y +-=的距离，记为d ，则212d d =∴． 15．πtan 1tan 741tan θθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭∵，4tan 3AC BC θ==∴，不妨设4AC a =，3BC a =，则5A B a =，所以大正方形的面积为225a ，阴影小正方形的面积为2a ，所以概率为125P =． 16．由题意得(10F ，，设线段AB 的中点为00()M x y ，，则0||||1122A B AF BF x x x +=+++=+，设直线l 的斜率为k ，则线段AB 的垂直平分线方程为001()y y x x k-=--，令0y =，得00x ky x =+，即004ky x =+，由点差法得02ky =，所以02||||6x AF BF =+=，∴．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由题意得451612716656362a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，，解得112a d =⎧⎨=⎩，，所以12(1)21n a n n =+-=-．……………………………………………………（6分）（2）111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭．………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）列联表如下：2200(60724820)23.67 6.6351089280120k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴，所以有99%的把握认为产品质量高与引入新设备有关． ………………………（6分）（2）由题意，从(1520]，中抽取1件产品，记为a ，从(2025]，中抽取2件产品，记为b ，c ，从(2530]，中抽取3件产品，记为d ，e ，f ，从这6件产品中任选2件，共有15种可能情况()()()()()()a b a c a d a e a f b c ，，，，，，，，，，，，()()()()()()()()()b d b e b f c d c e c f d e d f e f ，，，，，，，，，，，，，，，，，，记事件A 为至少有一件产品质量指标位于(2025]，，共有9种情况，所以93()155P A ==． …………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：1PA AB AD PB PD =====，∵PA AB PA AD AB AD A ⊥⊥=，，，∴PA ⊥∴平面ABCD ，PA BD ⊥∴．又ABCD ∵为菱形，AC BD PA AC A BD ⊥=⊥，，∴∴平面PAC ． ……………………………（6分）（2）解：当2PF FD=时，BE ∥平面ACF ，证明如下：取PF 的中点M ，连接EM ，BM ，因为M 是PF 的中点，E 是PC 的中点，所以EM CF ∥，又因为2PF FD =，所以F 是MD 的中点．设AC BD O =，则O 为BD 的中点，所以OF BM ∥，因为OF CF F BM EM M ==，，所以平面BEM ∥平面ACF ，又BE 在平面BEM 内，所以BE ∥平面ACF ．…………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意22211a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，解得2a b ==，，所以椭圆的标准方程为22142x y +=． ……………………………………………（4分）（2）点(20)A ，，右焦点0)F ，由题意知直线l 的斜率不为0，故设l的方程为1122()()x my M x y N x y =，，，，联立方程得22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，整理得22(2)20m y ++-=，212122216(1)02m y y y y m ∆=+>+==-+，，∴1211(2||2(22(2212AMN S y y =⨯-⨯-==△≤当且仅当0m =时等号成立，此时l x =：所以AMN △面积的最大值为2……………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：()f x 的定义域为(0)+∞，，2211()e e e e a f x f a x x ⎛⎫''=-=-=- ⎪⎝⎭，∵∴， 2e a =，∴所以2212e 2()e e x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，得2ex =，所以()f x 在区间20e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． …………………………………………………………………（4分）（2）证明：()g x 的定义域为(0)+∞，，要证()1g x >，即证2e ln 1e x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，等价于2ln e e x x x x >-，设()ln (0)h x x x x =>，则()ln 1h x x '=+，11ln 10e e h ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭∵，当10e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<；当1e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>，故()h x 在区间10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， min 11()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴．设2()(0)e e x x t x x =->，则1()ex x t x -'=，所以当(01)x ∈，时，()0t x '>；当(1)x ∈+∞，时，()0t x '<，故()t x 在区间(01)，上单调递增，在区间(1)+∞，上单调递减， max 1()(1)et x t ==-∴．综上可得，在区间(0)+∞，上恒有()()h x t x >成立，即()1g x >．………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）圆C ：2226cos 8sin 68x y x y ρρθρθ=+⇒+=+，得22(3)(4)25x y -+-=． ……………………………………………………………（5分）（2）因为直线l 过点M ，当ACB ∠最小时，直线l 与CM 垂直，因为||CM =M 在圆C 内部，所以||||||MA MB AB +===．…………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当2a =时，211()|2||1|312212x x f x x x x x x -+-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-⎩，≤，，，，≥，当1x -≤时，215x -+≤，21x --≤≤∴；当12x -<<时，35≤成立，12x -<<∴；当2x ≥时，215x -≤，23x ≤≤∴．综上，解集为{|23}x x -≤≤．……………………………………………（5分）（2）由题意，min ()3f x ≤，因为|||1||1|x a x a -+++≥，当且仅当x a -与1x +异号时等号成立，所以|1|342a a +-≤，≤≤∴．………………………………………（10分）。