2018年中考数学总复习专题提升五 以特殊三角形为背景的探究性问题
浙教版八年级数学上册同步练习：专题提升三 特殊三角形的探究性问题
专题提升三特殊三角形的探究性问题专题一关于等腰三角形确定的探究1．如图，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．5个B．4个C．3个D．1个专题二关于直角三角形确定的探究2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为____________．专题三关于最值问题的探究3．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝100°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为____________．专题四关于规律问题的探究4．（贵阳中考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此作法进行下去，第n个三角形以An为顶点的内角的度数为____________. 专题五关于特殊到一般问题的探究5．如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC>CD，∠ACB＝∠DCE且点A、D、E在同一直线上，连结BE.（1）若∠ACB＝60°，则∠AEB的度数为____________；线段AD、BE之间的数量关系是____________；（2）若∠ACB＝∠DCE＝90°，CM为△DCE中DE边上的高．①求∠AEB的度数；②若AC＝2，BE＝1，试求CM的长．专题六关于动态问题的探究6．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？专题七关于拓展问题的探究7．勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带．周老师在上八年级《从勾股定理到图形面积关系的拓展》一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下）．作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题：【知识回顾】勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：a2＋b2＝c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图1）．即S1＋S2＝S3.【问题探究】（1）如果以直角三角形三条边a，b，c为直径，向形外分别作半圆（如图2），那么三个半圆的面积S1，S2，S3之间存在怎样的关系？请直接写出你认为正确的结论：____________；（2）类似地，上述结果是否适合其他图形？适合的，请你在图3中以直角三角形的三条边a，b，c为边，向形外画出图形（示意图），指出你所画的图形名称是：____________，并写出证明过程；不存在，请说明理由；【拓展应用】（1）如图4，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于____________；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝Rt∠，分别以AB，AC为直径作半圆，以BC为直径作半圆刚好经过点A（如图5所示），若AB＝4，AC＝3，则两个月牙形（阴影部分）的面积之和即S1＋S2＝____________．专题八关于经验积累问题的探究8．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD.请你完成图形，并证明：BE＝CD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以∠BAD、∠CAE为直角向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE.连结BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE.求BE的长．参考答案1. A2. 4或4或43. 160°4. ·80°5. （1）60°AD＝BE（2）①∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，若∠ACB＝90°，则△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ADC＝135°，从而∠BEC＝135°，∠AEB＝135°－45°＝90°；②在等腰直角△ABC中，AC＝，由勾股定理知：AB＝2，在直角△AEB中，因为BE ＝1，AB＝2，由勾股定理知：AE＝，又因为AD＝BE＝1，所以DE＝－1，因为△CDE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，所以CM=DE＝.6. （1）①△BPD≌△CQP（SAS），理由略．②vQ＝厘米/秒（2）秒，在AB边上.7. 【问题探究】（1）S1＋S2＝S3 （2）答案不唯一，图略，如正三角形，证明：∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2.又∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝（a2＋b2）＝c2＝S3.【拓展应用】（1）2π（2）68. （1）如图1.证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB，∴BE＝CD.（2）BE＝CD，理由同（1）：∵△BAD和△CAE均为等腰直角三角形，∴AD＝AB，AC ＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE.（3）由（1）（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，则AD ＝AB＝100，∠ABD＝45°，∴BD＝100，连结CD，则由（2）可得BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC ＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100，∴CD＝＝100，∴BE的长为100米．。
中考复习特殊三角形
中考复习特殊三角形中考对于每一位初中生来说都是一次重要的挑战，而数学中的特殊三角形更是考点中的重点。
特殊三角形包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形，它们各自具有独特的性质和判定方法。
接下来，让我们一起深入复习这些特殊三角形的知识。
一、等腰三角形等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
1、性质（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
2、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
在解题中，我们常常利用等腰三角形的性质和判定来求解角度、边长等问题。
例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80°，那么底角的度数就可以通过“（180°顶角）÷ 2”来计算，即（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°。
二、等边三角形等边三角形又称正三角形，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为 60°。
1、性质（1）等边三角形的三条边都相等。
（2）等边三角形的三个内角都相等，且均为 60°。
（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
2、判定（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形在实际问题中也有广泛的应用。
比如在建筑设计中，利用等边三角形的稳定性可以增强结构的牢固性。
三、直角三角形直角三角形是一个角为直角的三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。
1、性质（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
2018中考数学压轴题探究专题：相似三角形的存在性问题
中考数学解法探究专题相似三角形的存在性问题考题研究：相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．解题攻略：相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．解题思路：相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为，则对应线段已经确定。
2、若题目中为与相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①,②、③、3、若题目中为与,并且有、（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、，②、需要分类讨论上述的各种情况。
例题解析1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′Ｅ⊥x轴于点E，交直线A′Ｃ于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′Ｃ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A （﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴相交于C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为点D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．14．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m的值；（2）①根据（1）中的m值写出抛物线的解析式，分别求抛物线与x轴和y轴的交点坐标，根据坐标特点写出AB和OC的长，利用三角形面积公式求△ABC 的面积；②由对称性可知：x=1，点A和B关于抛物线的对称轴对称，所以由轴对称的最短路径可知：连接BC与对称轴的交点即为点H，依据待定系数法可求得直线BC 的解析式，将x=1代入得：y=，则点H的坐标为（1，）；（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，根据∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM 时；②当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．【解答】解：（1）把点G（2，2）代入抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）中得：2=﹣（2+2）（2﹣m），m=4；（2）①由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣（x+2）（x﹣4），当x=0时，y=﹣（0+2）（0﹣4）=2，∴C（0，2），∴OC=2，当y=0时，﹣（x+2）（x﹣4）=0，x=﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴AB=2+4=6，∴S△ABC=AB?OC=×6×2=6；则△ABC的面积是6；②∵A（﹣2，0），B（4，0），由对称性得：抛物线的对称轴为：x=1，∵点A和B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH为最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）；（3）存在符合条件的点M，由图形可知：∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM时，则有，即AB2=AC?AM，∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，如图2，过M作MN⊥x轴于N，则AN=MN，∴OA+ON=2+ON=MN，设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），∴AM==2（m+1），∵AB2=AC?AM，AC=2，AB=m+2，∴（m+2）2=2 ?2（m+1），解得：m=2±2，∵m＞0，∴m=2+2；②当△ACB∽△MBA时，则，即AB2=CB?MA，∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，∴△ANM∽△BOC，∴，∵OB=m，设ON=x，∴=，即MN=（x+2），令M[x，﹣（x+2）]（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），同理解得：x=m+2，即M[m+2，﹣（m+4）]，∵AB2=CB?MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），∴（m+2）2=?，整理得：=0，显然不成立，综上，在第四象限内，当m=2 +2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点E（0，3）代入抛物线的解析式求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）过点B作BF⊥y轴，垂足为F．先依据配方法可求得点B的坐标，然后依据点A、B、E三点的坐标可知△BFE和△EAO为等腰直角三角形，从而可证明△BAE为直角三角形，接下来证明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性质可证明=，从而可得到∠CBE=∠EAB，于是可证明∠CBA=90°，故此CB是△ABE 的外接圆的切线；（3）过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′，过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．然后证明△DEO、△P′DO、△EP″Ｏ均与△BAE相似，然后依据相似三角形的性质分别可求得DO、OP′、OP″的长度，从而可求得点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．∵将点E（0，3）代入抛物线的解析式得：﹣3a=3，∴a=﹣1．∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴B（1，4）．（2）如图1所示：过点B作BF⊥y轴，垂足为F．∵A（3，0），E（0，3），∴OE=OA=3．∴∠OEA=45°．∵E（0，3），B（1，4），∴EF=BF．∴∠FEB=45°．∴∠BEA=90°．∴AB为△ABE的外接圆的直径．∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，∴△BFE∽△AOE．∴tan∠EAB==．∵tan∠CBE=，∴∠CBE=∠EAB．∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．∴CB是△ABE的外接圆的切线．（3）如图2所示：∵且∠DOE=∠BEA=90°，∴△EOD∽△AEB．∴当点P与点O重合时，△EPD∽△AEB．∴点P的坐标为（0，0）．过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′．∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，∴△EDP′∽△EOD．又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP′∽△AEB．∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，∴∠ODP′＝∠DEP′．∴=，即．∴OP′＝．∴点P′的坐标为（0，﹣）．过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．∵∠EDP″＝∠EDO，∠EOD=∠DEP″，∴△EDO∽△P″DE．∵又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP″∽△AEB．∴∠EP″O=∠BAE．∴tan∠EP″O==，即=．∴OP″=9．∴P″（9，0）．综上所述，点P的坐标为（0，0）或（0，﹣）或（9，0）．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线，然后把解析式配成顶点式，从而得到D 的坐标；（2）先利用抛物线的对称性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，易得△OBC为等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC=OB=3，接着判断△CHE为等腰直角三角形得到CH=EH=CE=，所以BH=2，然后利用正切的定义求解；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，解方程﹣x2+2x+3=0得A（﹣1，0），再利用正切定义得到tan∠AD=，所以∠CBE=∠ADF，根据相似三角形的判定方法，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE；当=时，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到关于m的方程，解方程求出m即可得到对应的M点的坐标；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则可判断△DAM和△BCE不相似，【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，∵点C与E点为抛物线上的对称点，∴E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，∵OC=OB，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，BC=OB=3，∴∠ECB=45°，∴△CHE为等腰直角三角形，∴CH=EH=CE=，∴BH=BC﹣CH=2，在Rt△BEH中，tan∠EBH===，即tan∠CBE的值为；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0）∵A（﹣1，0），D（1，4），∴AF=2，DF=4，∴tan∠ADF==，而tan∠CBE=，∴∠CBE=∠ADF，AD==2，BE==，BC=3，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE，即=，解得m=，此时M点的坐标为（1，）；当=时，△DAM∽△BEC，即=，解得m=﹣2，此时M点的坐标为（1，﹣2）；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则△DAM和△BCE不相似，综上所述，满足条件的点M坐标为（1，），（1，﹣2）．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（3，0）、C（0，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，进而∠MEB=∠AEC=60°．即可得出结论；（3）分在x轴上方和x轴上方两种情况，利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），∴OA=1，由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，所以，OC=OA?t a n60°=1×=，OB=OC?cot30°＝×=3，所以，点B（3，0），C（0，），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+；故答案为：3，0，0，；学科网（2）四边形AEMC是菱形．∵△OCE∽△OBC，∴，即，解得OE=1，∴E（1，0）在抛物线对称轴上，∴△CAE为等边三角形，∴∠AEC=∠A=60°．又∵∠CEM=60°，∴∠MEB=∠AEC=60°．∴点C与点M关于抛物线的对称轴（x=1）对称．C（0，），∴M（2，）．∴MC=AE=2，MC∥AE∴四边形AEMC是平行四边形．∵AC=CM=2∴四边形AEMC是菱形．（3）由⊙P与直线AC和x轴同时相切，易知点P在两线夹角的平分线上，①当在x轴上方时，如图，∠PAO=30°，设点P坐标为（m，﹣m2+m+），过P作PQ⊥x轴，交点为Q，则AQ=PQ，得m+1=（﹣m2+m+）解得，m1=2，m2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（2，）②当在x轴下方时，∠PAO=60°，设点P坐标为（n，﹣n2+n+），过P'作P'Q'⊥x轴，交点为Q'，则AQ'=P'Q'，得（n+1）=﹣（﹣n2+n+）解得，n1=6，n2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（6，﹣7）综上所述，存在点P满足条件，点P坐标为（2，）或（6，﹣7）．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由矩形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）用t可分别表示出CQ、PC的长，当∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；当∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性质可分别得到关于t的方程，可求得t的值；（3）由题意可知CE为平行四边形的对角线，根据抛物线的对称性可知当M为抛物线顶点时满足条件，再由平行四边形的性质可知线段MN被线段EC平分，可求得N点坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．∴C（8，0），∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t的或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；（3）存在符合条件的M、N点，EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；∴存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为M（4，），N（4，﹣）．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′Ｅ⊥x轴于点E，交直线A′Ｃ于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′Ｃ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4，得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线C1的解析式；（2）根据抛物线C1的解析式求出B（1，0），C（0，4）．根据关于y轴对称的两点坐标特征以及抛物线的对称性得出M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠∠CA′Ａ，那么AB′=2．利用待定系数法求出直线A′Ｃ的解析式，求出D（，CAA′＝2）．由勾股定理得出AC==5，DA′＝=．设P（m，0）．分m＜3与m＞3两种情况讨论即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4得，，解得，所以抛物线C1的解析式为y=﹣x2﹣x+4；学科网（2）令y=0，则﹣x2﹣x+4=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴B（1，0），令x=0，则y=4，∴C（0，4）．由题意，知M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠CAA′＝∠CA′Ａ，∴AB′=2．设直线A′Ｃ的解析式为y=px+q．把A′（3，0），C（0，4）代入，得，解得，∴y=﹣x+4，当x=时，y=﹣×+4=2，∴D（，2）．由勾股定理得，AC==5，DA′＝=．设P（m，0）．当m＜3时，此时点P在点A′的左边，若=，即有△DA′Ｐ∽△CAB′，∴=（3﹣m），解得m=2，∴P（2，0）．若=，即有△DA′Ｐ∽△B′AC，∴=（3﹣m），解得m=﹣，∴P（﹣，0）．当m＞3时，此时点P在点A′的右边，∵∠CB′Ｏ≠∠DA′Ｅ，∴∠AB′Ｃ≠∠DA′Ｐ，∴此情况，△DA′Ｐ与△B′AC不能相似．综上所述，存在点P（2，0）或（﹣，0）满足条件．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立直线与抛物线解析式，解方程组，可求得B、C的坐标；（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长，可判定△ABC为直角三角形，且可得=，可证得结论；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），从而可表示出OM和PM的长，分=和=两种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，∴A（1，1），联立直线与抛物线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）证明：∵A（1，1），B（2，0），C（﹣1，﹣3），∴AB==，BC==3，AC==2，∴AB2+BC2=2+18=20=AC2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴∠ABC=∠ODC，∵C（﹣1，﹣3），∴OD=1，CD=3，∴==，∴△ODC∽△ABC；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），∴OM=|x|，PM=|﹣x2+2x|，∵∠OMP=∠ABC=90°，∴当以△OPM与△ABC相似时，有=或=两种情况，①当=时，则=，解得x=或x=，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；②当=时，则=，解得x=5或x=﹣1（与C点重合，舍去），此时P点坐标为（5，﹣15）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（5，﹣15）．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=?BQ?PM计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=?BQ?PM=?2t?t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，点C在C处时，∵BE=BC=10，∴当AE=AP=6时，△PQB与△ABE相似，∴t=6．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+或﹣8﹣（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，（也可以先证明△BFI∽△GFC，想办法推出△GFB∽△CFI，推出∠BGH=∠BCI）。
中考数学总复习 专题提升八 以特殊三角形为背景的计算与证明
以特殊三角形为背景的计算与证明一、以等腰三角形为背景的计算与证明1．如图，在Rt ∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C 作DE ⊥OC ，分别交OA ，OB 于点D ，E ，以FM 为对角线作菱形FGMH .已知∠DFE ＝∠GFH ＝120°，FG ＝FE ，设OC ＝x ，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是(B )(第1题图)A. y ＝32x 2 B. y ＝3x 2 C. y ＝23x 2 D. y ＝33x 2解：∵ON 是Rt ∠AOB 的平分线，∴∠DOC ＝∠EOC ＝45°.∵DE ⊥OC ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝45°，∴CD ＝CE ＝OC ＝x ，∴DF ＝EF ，DE ＝CD ＋CE ＝2x .∵∠DFE ＝∠GFH ＝120°，∴∠CEF ＝30°，∴CF ＝CE ·tan 30°＝33x ， ∴EF ＝2CF ＝233x ， ∴S △DEF ＝12DE ·CF ＝33x 2. ∵四边形FGMH 是菱形，∴FG ＝MG ＝FE ＝233x . ∵∠G ＝180°－∠GFH ＝60°，∴△FMG 是等边三角形，∴S △FGH ＝33x 2， ∴S 菱形FGMH ＝233xx 2， ∴S 阴影＝S △DEF ＋S 菱形FGMH ＝3x 2.故选B.(第2题图)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.(第3题图)3．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°.(1)若AD＝2，求AB.(2)若AB＋CD＝23＋2，求AB.(第4题图)(第4题图解)解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F.∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，∴∠BDF ＝∠ADC －∠ADB ＝165°－105°＝60°. 易证△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形，∵AD ＝2， ∴AE ＝DE ＝22＝2， ∵∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝105°－45°－30°＝30°，∴BE ＝DEtan30°＝233＝6， ∴AB ＝AE ＋BE ＝2＋ 6.(2)设DE ＝x ，则AE ＝x ，BE ＝x tan30°＝x33＝3x ， ∴BD ＝x 2＋（3x ）2＝2x .∵∠BDF ＝60°，∴∠DBF ＝30°，∴DF ＝12BD ＝x ， ∴BF ＝BD 2－DF 2＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴CF ＝3x ，∵AB ＝AE ＋BE ＝x ＋3x ，CD ＝DF ＋CF ＝x ＋3x ，AB ＋CD ＝23＋2，∴x ＝1，∴AB ＝3＋1.二、以直角三角形为背景的计算与证明5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，且DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5.(1)求DB 的长．(2)在△ABC 中，求BC 边上高的长． (第5题图)(第5题图解)解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52－42＝3.(2)延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 延长线于点E .∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥DB .∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝12AE ， ∴AE ＝6，即BC 边上高的长为6.(第6题图)6．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，且∠ACD ＝∠B .求证：CD ⊥AB . 解：∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∵∠ACD ＝∠B ，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ADC ＝90°，∴CD ⊥AB .(第7题图)7．在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，垂足为D ，过点D 作DE ∥AC ，交AB 于E .若AB ＝5，求线段DE 的长．解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .∵DE ∥AC ，∴∠CAD ＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠ADE ，∴AE ＝DE .∵AD ⊥DB ，∴∠ADB ＝90°，∴∠EAD ＋∠ABD ＝90°，∠ADE ＋∠BDE ＝∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＝∠BDE ，∴DE ＝BE .∵AB ＝5，∴DE ＝BE ＝AE ＝12AB ＝2.5.(第8题图)8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD ，CE 分别是AB 边上的中线和高．(1)求证：AE ＝ED .(2)若AC ＝2，求△CDE 的周长．解：(1)证明：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝AD ＝DB .∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.∴△ACD 是等边三角形．∵CE 是斜边AB 上的高，∴AE ＝ED .(2)由(1)，得AC ＝CD ＝AD ＝2ED ，又∵AC ＝2，∴CD ＝2，ED ＝1.∴CE ＝22－1＝ 3.∴△CDE 的周长＝CD ＋ED ＋CE ＝2＋1＋3＝3＋ 3.9．如图，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD 为高，且CD ，CE 三等分∠ACB .(1)求∠B 的度数．(2)求证：CE 是AB 边上的中线，且CE ＝12AB .(第9题图)解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ，CE 三等分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠DCE ＝∠BCE ＝30°，则∠BCD ＝60°，又∵CD 为高，∴∠B ＝90°－60°＝30°.(2)证明：由(1)知，∠B ＝∠BCE ＝30°，则CE ＝BE ，AC ＝12AB . ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.又∵由(1)知，∠ACD ＝∠DCE ＝30°，∴∠ACE ＝∠A ＝60°，∴△ACE 是等边三角形，∴AC ＝AE ＝EC ＝12AB ， ∴AE ＝BE ，即点E 是AB 的中点．∴CE 是AB 边上的中线，且CE ＝12AB .10．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速60 km/h ，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5 s ，已知∠CAN ＝45°，∠CBN ＝60°，BC ＝200 m ，此车超速了吗？请说明理由(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．(第10题图)解：此车没有超速．理由：过点C 作CH ⊥MN 于点H .(第10题图解)∵∠CBN ＝60°，BC ＝200 m ， ∴CH ＝BC ·sin 60°＝200×32＝1003(m)， BH ＝BC ·cos 60°＝200×12＝100(m)．∵∠CAN ＝45°，∴AH ＝CH ＝100 3 m ，∴AB ＝1003－100≈73(m)．∵60 km/h ＝503m/s ， ∴735＝14.6(m/s)＜503≈16.7(m/s)， ∴此车没有超速．11．如图所示，一根长2.5 m 的木棍(AB )，斜靠在与地面(OM )垂直的墙(ON )上，此时OB 的距离为0.7 m ，设木棍的中点为P .若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．(1)如果木棍的顶端A 沿墙下滑0.4 m ，那么木棍的底端B 向外移动多少距离？(2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．(第11题图)解：(1)如解图，在Rt△ABC中，已知AB＝2.5 m，BO＝0.7 m，则由勾股定理，得AO＝AB2－BD2＝2.4(m)，∴OC＝2.4－0.4＝2(m)．∵在Rt△CDO中，AB＝CD，且CD为斜边，∴由勾股定理，得OD＝CD2－OC2＝1.5 m，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(m)．(第11题图解)(2)不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变．。
2018年中考数学复习难题突破专题四：特殊三角形存在性问题
难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．类型1等腰三角形存在性问题1 如图Z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C (3，0)．(1)求点A，B的坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式．图Z4－1(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________；②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________；③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标．解题方法点析对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．类型2直角三角形、全等三角形存在性问题图Z4－22 如图Z4－2，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．例题分层分析(1)已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．(2)△ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．解题方法点析本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．专 题 训 练1．如图Z4－3，点O(0，0)，A(2，2)，若存在点P，使△APO为等腰直角三角形，则点P 的个数为________．图Z4－32．[2017·湖州]如图Z4－4，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k>0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1 x的图象于点C，连结A C.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．图Z4－43．如图Z4－5所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点B(2，－3)．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－54．[2017·张家界]如图Z4－6，已知抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．(1)求C1的解析式；(2)若直线l1：y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，求m的值；(3)若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n.试结合图象回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；(4)若将C2与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．图Z4－65.[2017·攀枝花]如图Z4－7，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F ，求PE＋EF的最大值．(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图Z4－76．如图Z4－8，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B ，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线对应的函数表达式．(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0 )．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z 4－8参考答案类型1 等腰三角形存在性问题 例1 【例题分层分析】(1)令一次函数表达式中的x 或y 为0，即可求出图象与y 轴或x 轴的交点坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．(3)①x ＝1 (1，a )②三 AQ ＝BQ ，AB ＝BQ ，AQ ＝AB 解：(1)∵直线y ＝3x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)．(2)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a－b＋c，3＝c，0＝9a＋3b＋c，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(3)∵抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，配方，得y ＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设Q(1，a)．①当AQ＝BQ时，如图①，设抛物线的对称轴交x轴于点D，过点B作BF⊥DQ于点F.由勾股定理，得BQ＝BF2＋QF2＝（1－0）2＋（3－a）2，AQ＝AD2＋QD2＝22＋a2，得（1－0）2＋（3－a）2＝22＋a2，解得a＝1，∴点Q的坐标为(1，1)．②当AB＝BQ时，如图②，由勾股定理，得（1－0）2＋（a－3）2＝10，解得a＝0或6，当点Q的坐标为(1，6)时，其在直线AB上，A，B，Q三点共线，舍去，∴点Q的坐标是(1，0)．③当AQ＝AB时，如图③，由勾股定理，得22＋a2＝10，解得a＝±6，此时点Q的坐标是(1，6)或(1，－6)．综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6 )．类型2直角三角形、全等三角形存在性问题例2【例题分层分析】(1)顶点点B待定系数(2)点A，B，Q解：(1)把(1，－4)代入y ＝kx －6，得k ＝2， ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝2x －6. 令y ＝0，解得x ＝3，∴点B 的坐标是(3，0)． ∵点A 为抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y ＝a (x －1)2－4， 把(3，0)代入，得4a －4＝0， 解得a ＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3. (2)存在．∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ， ∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ， 此时OP 平分第二象限，即直线PO 对应的函数表达式为y ＝－x . 设P (m ，－m )，则－m ＝m 2－2m －3， 解得m ＝1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫m＝1＋132＞0，舍去，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－132，13－12.(3)如图，①当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴AD OD ＝DQ 1DB ，即56＝DQ 13 5， ∴DQ 1＝52，∴OQ 1＝72，即点Q 1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－72；②当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴OB OD ＝OQ 2OB ，即36＝OQ 23， ∴OQ 2＝32，即点Q 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32；③当∠AQ 3B ＝90°时，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ， 则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴OB Q 3E ＝OQ 3AE ，即34－OQ 3＝OQ 31， ∴OQ 32－4OQ 3＋3＝0，∴OQ 3＝1或3， 即点Q 3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．综上，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32或(0，－1)或(0，－3)．专题训练 1．6 2.3 77或155[解析] 考查反比例函数中系数k 的几何意义及等腰三角形的性质． 用B ，A 两点的坐标来表示C 点坐标，得到BC 的长度，然后分三种情况讨论k 值． 设B (a ，9a )，A (b ，1b )，∴C (a ，1a )，ka ＝9a ，kb ＝1b ，∴a 2＝9k ，b 2＝1k.又∵BD ⊥x 轴，∴BC ＝8a.①当AB ＝BC 时，AB ＝（a－b）2＋（ka－kb）2，∴1＋k 2(a －b )＝8a ，∴1＋k 2(3k －1k)＝83k ，∴k ＝3 77.②当AC ＝BC 时，AC ＝（b－a）2＋（1b －1a）2，∴(1＋k 29)(3k －1k)2＝64k 9，∴k ＝155.③当AB ＝AC 时，∴1＋k 29＝1＋k 2，∴k ＝0(舍去)．综上所述，k ＝3 77或155.3．解：①若∠BAP ＝90°，易得P 1(0，2)． ②若∠ABP ＝90°，易得P 2(0，－3)．③若∠BPA ＝90°，如图，以AB 为直径画⊙O ′与x 轴、y 轴分别交于点P 3，P 4，P 5，P 6，AB 与x 轴交于点C ，过点O ′作O ′D ⊥y 轴于D 点．在Rt △DO ′P 5中易知O ′D ＝2，O ′P 5＝52，则P 5D ＝254－4＝32， OP 5＝P 5D －OD ＝32－12＝1，则P 5(0，1)．易知P 5D ＝P 6D ，则P 6(0，－2)．连结O ′P 3，O ′P 4，易求出P 3(2－6，0)，P 4(2＋6，0)．综上所述，存在点P ，使得△ABP 为直角三角形，坐标为P 1(0，2)，P 2(0，－3)，P 3(2－6，0)，P 4(2＋6，0)，P 5(0，1)，P 6(0，－2)．4．解：(1)∵抛物线C 1的顶点坐标为A (－1，4)， ∴设C 1的解析式为y ＝a (x ＋1)2＋4，把D (0，3)代入得3＝a (0＋1)2＋4，解得a ＝－1， ∴C 1的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y＝－x 2－2x＋3，y ＝x＋m，得x 2＋3x ＋m －3＝0，Δ＝32－4×1×(m －3)＝－4m ＋21＝0，∴m ＝214.(3)抛物线C 2的顶点坐标为(1，4)，l 2与C 1和C 2共有：①两个交点，这时l 2过抛物线的顶点，∴n ＝4；②三个交点，这时l 2过两条抛物线的交点D ，∴n ＝3；③四个交点，这时l 2在抛物线的顶点与点D 之间或在点D 的下方，∴3<n <4或n <3.(4)根据抛物线的对称性可知，C 2的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3，与x 轴正半轴的交点B 的坐标为(3，0)，又A (－1，4)，∴AB ＝42＋42＝4 2.①若AP ＝AB ，则PO ＝4＋1＝5，这时点P 的坐标为(－5，0)； ②若BA ＝BP ，若点P 在点B 的左侧，则OP ＝BP －BO ＝4 2－3，这时点P 的坐标为(3－4 2，0)，若点P 在点B 的右侧，则OP ＝BP ＋BO ＝42＋3，这时点P 的坐标为(3＋42，0)；③若PA ＝PB ，这时点P 是线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，显然PA ＝PB ＝4，∴P (－1，0)．综上所述，点P 的坐标为(－5，0)或(3－4 2，0)或(3＋4 2，0)或(－1，0)．5．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b＋c＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b＝－4，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)由题易知OC ＝OB ＝3，∴∠OCB ＝45°. 同理可知∠OFE ＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形．以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F ′CE ，作PH ⊥CF ′于H 点，如图①，则PE ＋EF ＝PF ′＝2PH .又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取得最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF )max ＝2×(3＋1)＝4 2.(3)①由(1)知抛物线的对称轴为直线x ＝2，设D (2，n )，如图②.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2，即(2－0)2＋(n －3)2＋(3 2)2＝(3－2)2＋(0－n )2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2，即(2－3)2＋(n －0)2＋(3 2)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1.综上所述，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)． ②如图③，以BC 的中点T (32，32)为圆心，12BC 为半径作⊙T ，与抛物线的对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°， 设D (2，m )为⊙T 上一点，由DT ＝12BC ＝3 22，得(32－2)2＋(32－m )2＝(3 22)2， 解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)，又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，则D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜y D ＜32－172或32＋172＜y D ＜5.6．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝8a＋c，4＝c，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－12，c ＝4，∴所求抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)如图①，设点Q 的坐标为(m ，0)，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)， ∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2.∵QE ∥AC ， ∴△BQE ∽△BAC ， ∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m＋26， ∴EG ＝2m＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ ·CO －12BQ ·EG ＝12(m ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫4－2m＋43＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m －1)2＋3. ∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时点Q 的坐标为(1，0)． (3)存在．在△ODF 中， ①若DO ＝DF ， ∵A (4，0)，D (2，0)， ∴AD ＝OD ＝DF ＝2.又在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4， ∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时点F 的坐标为(2，2)． 由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，∴点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)． ②若FO ＝FD ，如图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ， 由等腰三角形的性质得OM ＝12OD ＝1，∴AM ＝3，∴在等腰直角三角形AMF 中，MF ＝AM ＝3， ∴F (1，3)．由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，∴点P 的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)． ③若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°， ∴AC ＝4 2，∴点O 到AC 的距离为2 2， 而OF ＝OD ＝2，与OF ≥2 2相矛盾， ∴AC 上不存在点F ，使得OF ＝OD ＝2，∴不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．。
(完整word版)浙教八上数学专题提升三 特殊三角形的探究性问题(word文档良心出品)
专题提升三特殊三角形的探究性问题类型一关于等腰三角形确定的探究1．如图，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．5个B．4个C．3个D．1个类型二关于直角三角形确定的探究2．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝时，△PBQ是直角三角形．类型三关于最值问题的探究3．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝100°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为．类型四关于规律问题的探究4．（贵阳中考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此作法进行下去，第n个三角形以An为顶点的内角的度数为.类型五关于特殊到一般问题的探究5．如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC>CD，∠ACB＝∠DCE且点A、D、E在同一直线上，连结BE.（1）若∠ACB＝60°，则∠AEB的度数为；线段AD、BE之间的数量关系是；（2）若∠ACB＝∠DCE＝90°，CM为△DCE中DE边上的高．①求∠AEB的度数；②若AC＝2，BE＝1，试求CM的长．6．（1）学完全等三角形以后，老师布置了这样一道题：如图1，点M、N分别在等边△ABC 的BC、CA边上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q.试说明：∠BQM＝60°；（2）小丽做完后，进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①；②．并对②给出证明．类型六关于动态问题的探究7．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？类型七关于拓展问题的探究8．勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带．周老师在上八年级《从勾股定理到图形面积关系的拓展》一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下）．作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题：【知识回顾】勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：a2＋b2＝c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图1）．即S1＋S2＝S3.【问题探究】（1）如果以直角三角形三条边a，b，c为直径，向形外分别作半圆（如图2），那么三个半圆的面积S1，S2，S3之间存在怎样的关系？请直接写出你认为正确的结论：；（2）类似地，上述结果是否适合其他图形？适合的，请你在图3中以直角三角形的三条边a，b，c为边，向形外画出图形（示意图），指出你所画的图形名称是：，并写出证明过程；不存在，请说明理由；【拓展应用】（1）如图4，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝Rt∠，分别以AB，AC为直径作半圆，以BC为直径作半圆刚好经过点A（如图5所示），若AB＝4，AC＝3，则两个月牙形（阴影部分）的面积之和即S1＋S2＝．类型八关于经验积累问题的探究9．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD.请你完成图形，并证明：BE＝CD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以∠BAD、∠CAE为直角向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE.连结BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE.求BE的长．答案专题提升三 特殊三角形的探究性问题1. A2. 1s 或2s3. 160°4. (21)n-1·80° 5.（1）60° AD ＝BE（2）①∵∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，∴∠ACD ＝∠BCE ，又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠ADC ＝∠BEC ，AD ＝BE ，若∠ACB ＝90°，则△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ADC ＝135°，从而∠BEC ＝135°，∠AEB ＝135°－45°＝90°；②在等腰直角△ABC 中，AC ＝2，由勾股定理知：AB ＝2，在直角△AEB 中，因为BE ＝1，AB ＝2，由勾股定理知：AE ＝2，又因为AD ＝BE ＝1，所以DE ＝3－1，因为△CDE 为等腰直角三角形，CM 为△DCE 中DE 边上的高，所以CM=21DE ＝213 . 6.（1）∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，在△ABM 和△BCN 中，∵BM ＝CN ，∠ABM ＝∠BCN ，AB ＝BC ，∴△ABM ≌△BCN （SAS ），∴∠BAM ＝∠CBN ，∴∠BQM ＝∠BAQ ＋∠ABQ ＝∠MBQ ＋∠ABQ ＝60°；（2）是 是 ②的证明如下：如图2，在△ACM 和△BAN 中，∵CM ＝AN ，∠ACM ＝∠BAN ＝120°，AC ＝AB ，∴△ACM ≌△BAN （SAS ），∴∠AMC ＝∠BNA ，∴∠NQA ＝∠NBC ＋∠BMQ ＝∠NBC ＋∠BNA ＝180°－60°＝120°，∴∠BQM ＝60°.7.（1）①△BPD ≌△CQP （SAS ），理由略． ②vQ ＝415厘米/秒 （2）380秒，在AB 边上 8. 【问题探究】（1）S 1＋S 2＝S 3 （2）答案不唯一：图略，如正三角形，证明：∵S 1＝43a 2，S 2＝43b 2，S 3＝43c 2.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝43（a 2＋b 2）＝43c 2＝S 3. 【拓展应用】（1）2π （2）69.（1）如图1.证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形．∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB ，∴△CAD ≌△EAB ，∴BE ＝CD.（2）BE ＝CD ，理由同（1）：∵△BAD 和△CAE 均为等腰直角三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠CAD ＝∠EAB ，∴△CAD ≌△EAB ，∴BE ＝CD.（3）由（1）（2）的解题经验可知，过A 作等腰直角三角形ABD ，∠BAD ＝90°，则AD ＝AB ＝100，∠ABD ＝45°，∴BD ＝1002，连结CD ，则由（2）可得BE ＝CD ，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝1002，∴CD＝2)22100 ＝1003，∴BE的长为1003米．100(。
专题03 规律探究型问题-攻破15个特色专题之备战2018中考数学高端精品(解析版)
专题03 规律探究型问题【考点综述评价】规律探究性问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，题目的情景给出有限的几项，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出共同特征，或者发现变化的趋势，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．【考点分类总结】考点1：数字规律探究【典型例题】（2017四川省凉山州）古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是 ． 【答案】5050．【分析】设第n 个三角形数为a n ，分析给定的三角形数，根据数的变化找出变化规律“a n =1+2+…+n =(1)2n n +”，依此规律即可得出结论．【方法归纳】解答数字规律问题的关键是仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题． 【变式训练】（2016湖南省邵阳市）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（ ）A ．21y n =+B ．2ny n =+ C ．12n y n +=+ D ．21n y n =++【答案】B ．【分析】由题意可得下边三角形的数字规律为：2nn +，继而求得答案．学+科+-网考点2：数式规律探究【典型例题】（2017四川省内江市）观察下列等式： 第一个等式：122211132222121a ==-+⨯+⨯++； 第二个等式：2222232111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++；第三个等式：3332342111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++； 第四个等式：4442452111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++；按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a 6= = ；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ； （3）a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= （得出最简结果）； （4）计算：a 1+a 2+…+a n ．【答案】（1）666221322(2)+⨯+⨯，67112121-++；（2）221322(2)n n n +⨯+⨯，1112121n n +-++；（3）1443；（4）11223(21)n n ++-+． 【分析】（1）根据已知4个等式可得； （2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得； （4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．【方法归纳】解答数式规律问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式； (2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来； (4)用题中所给数据验证规律的正确性． 【变式训练】（2017安徽省）【阅读理解】 我们知道，(1)1232n n n +++++=L ，那么2222123n ++++L 结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n nn n n +++L 1442443个，即2n .这样，该三角形数阵中共有(1)2n n +个圆圈，所有圆圈中数的和为2222123n ++++L ．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n ﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n ﹣1，2，n ），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为22223(123)n ++++=L = ，因此，2222123n ++++L = ． 【解决问题】根据以上发现，计算：222212320171232017++++++++L L 的结果为 ．【答案】【规律探究】2n +1，(1)(21)2n n n ++，(1)(21)6n n n ++；【解决问题】1345．【分析】【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的13，从而得出答案； 【解决问题】运用以上结论，将原式变形，化简计算即可得．【解决问题】原式=12017(20171)(220171) 612017(20171)2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=13×（2017×2+1）=1345，故答案为：1345．考点3：循环规律探究【典型例题】（2017衢州）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO 沿x轴正方形作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为．【答案】B3（5，3）,（13463+896）π．【分析】如图作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=3，观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的运动路径为1203π⨯+1201180π⨯+1201180π⨯=（234+）π，由2017÷3=672…1，可知翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672（2343+）π+233π=（134633+896）π．【方法归纳】根据前面所给的一些特殊数据，进行排序，找到循环的规律． 【变式训练】（2017南宁）如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为 ．【答案】（6053，2）．【分析】首先求出P 1～P 5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．考点4：图形特征规律探究【典型例题】（2017四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则193211111a a a a ++++Λ的值为（ ）A ．2120 B ．8461 C ．840589 D ．760421 【答案】C ．【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．【方法归纳】在规律探索题中，往往把有几何背景的问题如三角形、特殊四边形、圆和图形的变换等作为素材，不是简单的数数来探究规律，而是要利用几何的性质、定理通过计算来探索规律． 【变式训练】（2017临沂）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n 个图形中“○”的个数是78，则n 的值是（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 【答案】B ．【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n 个图形中小圆的个数，进而得出答案． 【解答】第1个图形有1个小圆； 第 2个图形有1+2=3个小圆； 第 3个图形有1+2+3=6个小圆； 第 4个图形有1+2+3+4=10个小圆；第n个图形有1+2+3+…+n=(1)2n n+个小圆；∵第n个图形中“○”的个数是78，∴78=(1)2n n+，解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去），故选B．考点5：数形结合规律探究【典型例题】（2017内蒙古呼和浩特市）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率．随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计，用计算机随机产生m个有序数对（x，y）（x，y是实数，且0≤x≤1，0≤y≤1），它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部．如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计π的值为．（用含m，n的式子表示）【答案】4nm．【分析】根据落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列出式子，可得答案．【方法归纳】解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．即先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．学..科网【变式训练】（2016湖南省岳阳市）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为．【答案】（504，﹣504）．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2016的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．考点6：几何图形规律探究【典型例题】（2017山东省淄博市）设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=13．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=16；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=1 10；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n E n F n，其面积S= ．【答案】2(1)(2)n n ++．【分析】先连接D 1E 1，D2E 2，D 3E 3，依据D 1E 1∥AB ，D 1E 1=12AB ，可得△CD 1E 1∽△CBA ，且11111D E D E BF AB ==12，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S △CD 1E 1=14S △ABC =14，依据E 1是BC 的中点，即可得出S △D 1E 1F 1=13S △BD 1E 1=13×14=112，据此可得S 1=13；运用相同的方法，依次可得S 2=16，S 3=110；根据所得规律，即可得出四边形CD n E n F n ，其面积S n =22111(1)(1)11n n n n +⨯⨯++++，最后化简即可．【方法归纳】根据各图形的边、角关系，寻求其规律.【变式训练】（2017江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4B．23C．2D．0【答案】A．【分析】根据题意求得OA1=4，OA2=23，OA3=2，OA4=23，OA5=2，OA6=0，OA7=4，…于是得到A2017与A1重合，即可得到结论．考点7：函数规律探究【典型例题】（2017山东省东营市）如图，在平面直角坐标系中，直线l：33y x=-与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．【答案】2017212-．【分析】先根据直线l：33y x=-与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A2017的横坐标．学/+科-网A2C=12A2B3=2，即A3的横坐标为12+1+2=72=3212-，同理可得，A4的横坐标为12+1+2+4=152=4212-，由此可得，A n的横坐标为212n-，∴点A2017的横坐标是2017212-，故答案为：2017212-．【方法归纳】根据平面直角坐标上点的坐标变化和函数关系式之间的规律进行探索，从而找到存在的规律性的变化。
2018年安徽中考数学专题复习几何探究题
2018年安徽中考数学专题复习几何探究题类型一 与全等三角形有关的探究★1. 如图①，P 是△ABC 的边BC 上的任意一点，M 、N 分别在AB 和AC 边上，且PM ＝PB ，PN ＝PC ，则△PBM 和△PCN 叫做“孪生等腰三角形”．(1)如图②，若△ABC 是等边三角形，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明△PMC ≌△PBN ；(2)如图③，若△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明：BN ＝CM ；(3)如图④，若(2)中P 点在CB 的延长线上，其他条件不变，是否依然有BN ＝CM ，若是，请证明，若不是，请说明理由．第1题图(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴△PBM 和△PCN 是等边三角形， ∴∠BPM ＝∠NPC ＝60°，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠NPC ＋∠MPN ，即∠BPN ＝∠MPC . 在△PMC 和△PBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)；(2)证明：如题图③，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴∠PBM ＝∠PMB ，∠PCN ＝∠PNC ， ∴∠BPM ＝∠CPN ，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠CPN ＋∠MPN ， ∴∠BPN ＝∠MPC ， 在△PMC 和△PBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)， ∴BN ＝CM ； (3)解：是．证明：如题图④，由(2)易知∠ACB ＝∠PNC ＝∠ABC ＝∠PBM ＝∠PMB ， ∴∠MPB ＝∠NPC ， 在△PMC 和△PBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝ ∠BPN ， PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)， ∴BN ＝CM .★2. 已知∠ABC ＝90°，点P 为射线BC 上任意一点(点P 与点B 不重合)，分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ，连接QE 并延长交BP 于点F .(1)如图①，若AB ＝23，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长；(2)如图②，当点A 、E 、P 不在一条直线上时，猜想EF 与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段)，并加以证明；(3)若AB ＝23，设BP ＝x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，说明等边三角形的面积y 随x 的变化情况．第2题图解：(1)∵△ABE 是等边三角形， ∴AE ＝AB ，∠BAE ＝∠ABE ＝60°. ∵∠ABC ＝90°，∴∠EBP ＝∠EPB ＝30°，∴BE ＝EP ＝AE ＝23， ∴点E 为AP 的中点， ∴∠FEP ＝90°，∴在Rt △FEP 中，EF ＝EP ·tan30°＝2， ∴EF ＝2； (2)EF ＝BF ，理由如下：∵∠BAP ＝∠BAE －∠EAP ＝60°－∠EAP ， ∠EAQ ＝∠QAP －∠EAP ＝60°－∠EAP ， ∴∠BAP ＝∠EAQ ， 在△ABP 和△AEQ 中，AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ，AP ＝AQ ， ∴△ABP ≌△AEQ (SAS)． ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°. ∴∠BEF ＝180°－∠AEQ －∠AEB ＝180°－90°－60°＝30°.又∵∠EBF ＝90°－60°＝30°， ∴∠BEF ＝∠EBF ， ∴EF ＝BF ；(3)如解图，过点F 作FD ⊥BE 于点D . ∵△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝2 3. 由(2)得∠EBF ＝30°， 在Rt △BDF 中，BD ＝ 3.∴BF ＝BDcos30°＝2.∴EF ＝BF ＝2.∵△ABP ≌△AEQ ， ∴QE ＝BP ＝x .∴QF ＝QE ＋EF ＝x ＋2.∴以QF 为边的等边三角形的面积 y ＝12(x ＋2)·32(x ＋2) ＝34(x ＋2)2 ＝34x 2＋3x ＋ 3. ∵BP ＝x ，x >0，∴y 随x 的增大而增大．第2题解图★3. 在△ABC 中，∠BAC 为锐角，AB >AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D .(1)如图①，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系； (2)如图②，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F ，连接CE ，BE ，若∠ABE ＝60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系，并加以证明； (3)如图③，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F .若AC ＋AB ＝3AE ，求∠BAC 的度数．第3题图解：(1)AB ＝AC ＋CD .【解法提示】过D 作DE ⊥AB 交AB 于点E ，如解图①所示， ∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ， ∴CD ＝DE ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED (HL)， ∴AC ＝AE ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，即△BDE 为等腰直角三角形， ∴CD ＝DE ＝EB ，则AB ＝AE ＋EB ＝AC ＋CD ；第3题解图①(2)AB ＝AC ＋CE ；证明：在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，如解图②所示， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BAE ， 在△ACE 和△AHE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AH ∠CAE ＝∠BAE AE ＝AE， ∴△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ，∴CE ＝BE ，∴BE ＝HE ， 又∵∠ABE ＝60°，∴△EHB 是等边三角形， ∴BE ＝HE ＝HB ，∴AB ＝AH ＋HB ＝AC ＋CE ；第3题解图②(3)在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，作EM ⊥AB 于点M ，如解图③所示， 同理可得△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ， ∴HE ＝BE ，∴△EHB 是等腰三角形， ∴HM ＝BM ，∴AC ＋AB ＝AH ＋AB ＝AM －HM ＋AM ＋MB ＝2AM ， ∵AC ＋AB ＝3AE ， ∴AM ＝32AE ， 在Rt △AEM 中，cos ∠EAM ＝AM AE ＝32，∴∠EAB ＝30°，∴∠BAC ＝2∠EAB ＝60°.第3题解图③★4. 在△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，延长AB 至点D ，使BD ＝BC ，E 是直线BC 上一点，F 是直线AC 上一点，连接DE 、EF ，且∠DEF ＝∠DBC .(1)如图①，若∠D ＝∠EFC ＝15°，AB ＝3，求AC 的长； (2)如图②，当∠BAC ＝45°，点E 在线段BC 的延长线上，点F 在线段AC 的延长线上时，求证：EF ＝DE ；(3)如图③，当∠BAC ＝90°，点E 在线段CB 的延长线上，点F 在线段CA 的延长线上时，求CFBE的值． 第4题图(1)解：在△BDE 中，∠D ＋∠DBE ＋∠BED ＝180°， ∵∠BED ＋∠DEF ＋∠FEC ＝180°，∠DEF ＝∠DBC ，∠D ＝∠F ＝15°， ∴∠D ＝∠FEC ＝∠F ＝15°， ∴∠ACB ＝∠F ＋∠CEF ＝30°， ∴∠ABC ＝2∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝90°， 在Rt △ABC 中，AB ＝3，∠ACB ＝30°， ∴BC ＝2AB ＝23，∴AC ＝BC 2－AB 2＝（23）2－（3）2＝3；(2)证明：如解图①，连接CD ，作EM ⊥EB 交AF 于点M ，记AF 交DE 于点O . ∵∠BAC ＝45°，∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ABC ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ＝∠EMC ＝45°， ∴EM ＝EC ， ∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝45°， ∴∠DCE ＝∠EMF ＝135°， ∵∠DEF ＝∠DBC ＝90°，∠FCD ＝∠DCA ＝90°， ∴∠OEF ＝∠OCD ， ∵∠EOF ＝∠COD ，∴∠OFE ＝∠ODC ，即∠EFM ＝∠EDC ， 在△EMF 和△ECD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠EDC ∠EMF ＝∠DCE ，EM ＝EC∴△EMF ≌△ECD (AAS)， ∴EF ＝DE ；第4题解图①(3)解：如解图②中，连接CD 、DF ，作NE ⊥CE 交AD 的延长线于点N ，在线段CE 上取一点M ，使得FM ＝FE .∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°， ∵DB ＝BC ， ∴∠DBC ＝120°，∠BDC ＝∠BCD ＝30°， ∴∠DBC ＝∠DEF ＝120°，∠DCA ＝∠DCB ＋∠ACB ＝60°，∴∠DEF ＋∠DCF ＝180°， ∴E 、F 、C 、D 四点共圆， ∵∠DCE ＝∠ECF ， ∴DE ︵＝EF ︵，∴DE ＝EF ＝FM ， ∵∠NEB ＝90°，∠NBE ＝∠ABC ＝60°， ∴∠N ＝∠ACM ＝30°，∵∠DBC ＝∠BDE ＋∠DEB ＝120°，∠DEF ＝∠DEB ＋∠FEM ＝∠DEB ＋∠FME ＝120°， ∴∠BDE ＝∠FME ， ∴∠NDE ＝∠FMC ， 在△EDN 和△FMC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠FCM ∠NDE ＝∠FMC DE ＝FM， ∴△EDN ≌△FMC (AAS)， ∴NE ＝CF ，在Rt △NEB 中， ∵∠NEB ＝90°，∠N ＝30°， ∴NE ＝3BE ， ∴CF ＝3BE . ∴CFBE＝ 3. 第4题解图②★5. 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在直线CD 上(不与点C 、D 重合)，连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于H ，连接AH ，PH .(1)如图①，若点P 在线段CD 上，求证：AH ＝PH ；(2)如图②，若点P 在线段CD 的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；(3)若点P 在线段DC 的延长线上，且∠AHQ ＝120°，正方形ABCD 的边长为2，求线段DP 的长．第5题图(1)证明：如解图①，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， 又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDP ＝∠HQC ＝45°， 由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC DP ＝QC ，∴△HDP ≌△HQC (SAS)，∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图①(2)解：(1)中的结论仍然成立； 证明：如解图②，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， 又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDC ＝∠HQD ＝45°， ∴∠HDP ＝∠HQC ＝135°， 由平移的性质可知DP ＝CQ ， 在△HDP 和△HQC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC ，PD ＝CQ∴△HDP ≌△HQC (SAS)， ∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图②(3)解：如解图③，由(1)知，AH＝PH，∵∠AHD＝∠CHD，第5题解图③∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°.∴∠HP A＝45°，∵∠AHQ＝120°，∴∠AHD＝∠CHD＝30°，∴∠QHP＝∠CHD＝∠CHP＝30°，∵∠HCP＝∠HDC＋∠CHD＝45°＋30°＝75°，∴∠CPH＝180°－∠HCP－∠CHP＝180°－75°－30°＝75°，∴∠APD＝30°，在Rt△ADP中，AD＝2，∴DP＝2 3.类型二与相似三角形有关的探究★1. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N.(1)图中相似三角形共有________对；(2)证明：AM2＝MN·MP；(3)若AD＝6，DC∶CP＝2∶1.求BN的长．第1题图(1)解：6.【解法提示】有△AMB ∽△PMD ，△ADM ∽△NBM ，△ABN ∽△PCN ∽△PDA ，△ABD ∽△CDB ，∴共6对相似三角形．(2)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADM ＝∠NBM ，∠DAM ＝∠BNM ， ∴△ADM ∽△NBM ， ∴AM MN ＝DM BM； ∵AB ∥DC ，∴∠P ＝∠BAM ，∠MDP ＝∠ABM ， ∴△PDM ∽△ABM ， ∴PM AM ＝DM BM ， ∴AM MN ＝PM AM， ∴AM 2＝MN ·MP ； (3)解：∵AD ∥BC ，∴∠PCN ＝∠PDA ，又∵∠P ＝∠P ， ∴△PCN ∽△PDA ， ∴PC PD ＝NC AD ， ∵DC ∶CP ＝2∶1， ∴PC PD ＝NC AD ＝13. 又∵AD ＝6， ∴NC ＝2，∴BN ＝BC －CN ＝6－2＝4.★2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点，过AC 上一点D 作DE ∥AB ，交BF 的延长线于点E ，AG ⊥BE ，垂足为点G ，连接BD 、AE .(1)求证：△ABC ∽△BGA;(2)若AF ＝5，AB ＝8，求FG 的长；(3)当AB ＝BC ，∠DBC ＝30°时，求DEBD的值．第2题图(1)证明：∵∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点，∴BF ＝12AC ＝AF ,∴∠F AB ＝∠FBA,∵AG ⊥BE, ∴∠AGB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠AGB ， ∴△ABC ∽△BGA ； (2)解：∵AF ＝5,∴AC ＝2AF ＝10，BF ＝5， ∵△ABC ∽△BGA ， ∴AB AC ＝BG AB， ∴BG ＝AB 2AC ＝8210＝325，∴FG ＝BG －BF ＝325－5＝75；(3)解：如解图，延长ED 交BC 于点H ，则DH ⊥BC, ∴∠DHC ＝90°，∵AB ＝BC ，F 为AC 的中点， ∴∠C ＝45°，∠CBF ＝45°，∴△DHC 、△BEH 是等腰直角三角形， ∴DH ＝HC ，EH ＝BH ， 设DH ＝HC ＝a ， ∵∠DBC ＝30°， ∴BD ＝2a ，BH ＝3a ， ∴EH ＝3a ， ∴DE ＝(3－1)a, ∴DE BD ＝3－12. 第2题解图★3. 如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E (点E 不与A 、B 重合)，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”.(1)如图①，若∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝40°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直角顶点C 在直线DE 上，分别过点A ，B 作AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E . 求证：△ADC ∽△CEB .(3)如图③，AD ∥BC ，DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD 交DP 于点P ，过点P 作AB ⊥AD 于点A ，交BC 于点B . 求证：点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点．第3题图(1)解：点E 是四边形ABCD 边AB 上的相似点. 理由如下： ∵∠DEC ＝40°，∴∠DEA ＋∠CEB ＝140°， ∵∠A ＝∠B ＝40°，∴∠ADE ＋∠AED ＝140°， ∴∠ADE ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△BEC ，∴E 点是四边形ABCD 的边AB 上的相似点； (2)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°， ∵AD ⊥DE ，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠CAD ， ∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ； (3)证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ADC ＋∠BCD ＝180°，∵DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD ，∴∠CDP ＋∠DCP ＝12(∠ADC ＋∠BCD )＝90°，∵DA ⊥AB ，∴CB ⊥AB ，∴∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°，∵∠ADP ＝∠CDP ，∴△ADP ∽△PDC ，同理△BPC ∽△PDC ，∴△ADP ∽△PDC ∽△BPC ，即点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点． ★4. 在△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，点D 、E 分别在AB 、AC 上． (1)如图①，若AD ＝c ，△ADE 与△ABC 相似，求AE 的长；(2)如图②，若DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转α，得到△AMN ，连接BM 、CN ，求证：△ABM ∽△ACN ；(3)在(2)的图形中，若△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，AB ＝2，DE 是△ABC 的中位线，如图③，请直接写出BMCN的值．第4题图(1)解：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴分两种情况： ①若∠ADE ＝∠ABC ，则△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC， ∴ AE ＝AC ·AD AB ＝bca；②若∠ADE ＝∠ACB ，则△ADE ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AE AB， ∴AE ＝AB ·AD AC ＝acb；(2)证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AEAC ，∵△AMN 是由△ADE 旋转得到的， ∴AM ＝AD ，AN ＝AE ， ∴AM AB ＝AN AC， ∵∠BAM ＝∠CAN ＝α， ∴△ABM ∽△ACN ； (3)解：BM CN ＝233.【解法提示】在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°， ∴BC ＝1，AC ＝3， 由(2)知△ABM ∽△ACN ， ∴BM CN ＝AB AC ＝23＝233. ★5. 如图①，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝α，过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD .(1)求证：AC ＝AD ；(2)点G 为线段CD 延长线上一点，将GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E . ①如图②，若α＝β，AH ⊥BC 于点H ，求证：△DEG ∽△AHB ；②如图③，若β＝2α，DG ＝kAD ，求S △DEGS △BCD的值．(用含k 的代数式表示)第5题图(1)证明：如解图①，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2.∵AD ∥BC ，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，∴AB ＝AD . ∵AB ＝AC ，∴AC ＝AD .第5题解图①(2)①证明：由题意可得：∠AHB ＝90°.∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝α.∴∠BAC ＝180°－2α. 由(1)得AB ＝AC ＝AD .∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∴∠BDC ＝12∠BAC ＝90°－α，∴∠GDE ＝∠BDC ＝90°－α， ∵∠G ＝β＝α＝∠ABH ， ∴∠G ＋∠GDE ＝90°. ∴∠DEG ＝∠AHB ＝90°， ∴△DEG ∽△AHB ；②解：如解图②，过A 作AH ⊥BC 于点H ，作∠DGE 的平分线GF ，交DE 于F ， 由①知∠GDE ＝90°－α， ∵∠DGE ＝β＝2α， ∴∠DGF ＝α，∴∠ABC ＝∠DGF ＝α，∠DFG ＝180°－∠GDF －∠DGF ＝90°， ∴△DFG ∽△AHB .又∵GF 为∠DGE 的平分线， ∴GF 为DE 的中垂线， ∵AB ＝AD ，GD ＝kAD ， ∴S △DFG S △AHB ＝GD 2AB 2＝GD 2AD 2＝k 2， 又∵S △ABC ＝S △BCD ，S △ABC ＝2S △AHB ，S △DEG ＝2S △DFG ， ∴S △DEG S △BCD＝k 2. 第5题解图②类型三 与全等和相似三角形有关的探究★1. 如图，设E 、F 分别为正方形ABCD 边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，过E 、F 分别作AC 的垂线，垂足分别为P 、Q .(1)试找出图中相似三角形(至少3对，全等除外)； (2)求证：AB 2＝AP ·AQ ；(3) 设正方形的边长为4，当P 、Q 重合时，求BE 的长．第1题图(1)解：图中相似三角形有：△ABC ∽△CQF ，△EPC ∽△ADC ，△CPE ∽△CQF ，△CQF ∽△ADC ，△ABE ∽△AQF ，△APE ∽△ADF 等(写出任意3对，即可得分)．(2)证明：∵∠BAE ＋∠EAP ＝∠EAP ＋∠QAF ＝45°， ∴∠BAE ＝∠QAF . 在△ABE 与△AQF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠QAF ∠B ＝∠AQF ＝90°， ∴△ABE ∽△AQF ， ∴AB AQ ＝AEAF. 同理，在△AEP 与△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAP ＝∠F AD ∠EP A ＝∠D ＝90°， ∴△AEP ∽△AFD . ∴AP AD ＝AEAF ， ∴AB AQ ＝AP AD， ∵AB ＝AD ， ∴AB 2＝AP ·AQ .(3)解：如解图，当P 、Q 重合时， ∵∠EPC ＝∠FQC ＝90°， ∴E 、P 、F 在同一直线上． ∴∠ECP ＝∠FCQ ＝45°， ∴EP ＝FQ ，在△AEP 和△AFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ∠APE ＝∠AQF EP ＝FQ， ∴△AEP ≌△AFP (SAS)， ∴∠EAP ＝12×45°＝22.5°，∴∠BAE ＝45°－∠EAP ＝22.5°， ∴△AEB ≌△AEP (AAS)， ∴EB ＝EP ，AB ＝AP ＝4， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠ACB ＝45°，AC ＝42， 又∵EP ＝PC ，∴BE ＝PC ＝AC －AP ＝42－4.第1题解图★2. 已知：在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝α，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E .(1)如图①，当α＝60°时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系； (2)如图②，当α＝45°时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明；(3)如图③，当α为任意锐角时，依题意补全图形，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明．(用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°)第2题图解： (1)BD ＝AE ；【解法提示】如解图①，连接EC ，当α＝60°时，△ABC 、△DCE 均为等边三角形， ∴EC ＝DC ，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°， ∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝EC ∠BCD ＝∠ACE BC ＝AC， ∴△BCD ≌△ACE (SAS)， ∴BD ＝AE ；第2题解图①(2)BD ＝2AE ；证明：如解图②，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F .第2题解图②∵DF ∥AC ，∴∠ACB ＝∠DFB ，∵∠ABC ＝∠ACB ＝α，α＝45°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠DFB ＝45°. ∴△DFB 是等腰直角三角形， ∴BD ＝DF ＝22BF . ∵AE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAE ＝180°， ∵∠DFB ＋∠DFC ＝180°， ∴∠BAE ＝∠DFC ，∵∠ABC ＋∠BCD ＝∠ADC ，∠CDE ＋∠ADE ＝∠ADC ，∠ABC ＝∠CDE ＝α， ∴∠ADE ＝∠BCD ， ∴△ADE ∽△FCD ，∴AE DF ＝AD CF . ∵DF ∥AC ， ∴BD BF ＝AD CF ， ∴AE DF ＝BD BF ＝22， ∴BD ＝DF ＝2AE ；(3)补全图形如解图③，BD ＝2cos α·AE .第2题解图③证明：连接EC ，设AC 与DE 交于点O ， ∴AE ∥BC ，∠EAC ＝∠ACB ＝α， 又∵∠EDC ＝α，∴∠EAC ＝∠EDC ＝α， ∵∠AOE ＝∠DOC ， ∴△AOE ∽△DOC ， ∴AO DO ＝OE OC， ∵∠AOD ＝∠EOC ， ∴△AOD ∽△EOC ， ∴∠1＝∠2， 又∵∠1＝180°－α－∠3(A 、D 、B 三点共线)， ∠4＝180°－α－∠3(三角形内角和为180°)， ∴∠1＝∠4， ∴∠2＝∠1＝∠4.又∵∠EAC ＝∠ABC ＝α， ∴△BDC ∽△AEC ， ∴BD AE ＝BC AC， 又∵BCAC＝2cos α，∴BD ＝2 cos α·AE .★3. 在△ABC 中，点D 在直线AB 上，在直线BC 上取一点E ，连接AE ，DE ，使得 AE ＝DE ，DE 交AC 于点G ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BC 于点F ，∠EAC ＝∠DEF .(1)如图①，当点E 在BC 的延长线上，求证：∠EGC ＝∠AEC ；(2)如图①，当点E 在BC 的延长线上，D 为AB 的中点，若DF ＝3，求BE 的长度； (3)当点E 在BC 上，点D 在AB 的延长线上时，如图②所示，若CE ＝10，5EG ＝2DE ，求AG 的长度．第3题图(1)证明：∵DF ∥AC ， ∴∠DFE ＝∠ACE .在△ACE 和△EFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠DEF ∠ACE ＝∠EFD AE ＝ED， ∴△ACE ≌△EFD (AAS)， ∴∠AEC ＝∠EDF . ∵DF ∥AC ，∴∠EGC ＝∠EDF ， ∴∠EGC ＝∠AEC ； (2)解：∵DF ∥AC ， ∴△BDF ∽△BAC ， ∴BF BC ＝DF AC ＝BD BA. ∵D 为AB 的中点， ∴BD BA ＝12，∴BF ＝12BC ，DF ＝12AC . ∴BF ＝CF ，AC ＝2DF ＝6， 由(1)可知△ACE ≌△EFD ， ∴AC ＝EF ＝6，CE ＝FD ＝3. ∴BF ＝FC ＝EF －CE ＝3， ∴BE ＝BF ＋FE ＝9； (3)解：∵DF ∥AC ， ∴∠ACE ＝∠EFD .在△ACE 和△EFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠DEF ∠ACE ＝∠EFD AE ＝ED， ∴△ACE ≌△EFD (AAS)， ∴CE ＝FD ＝10，AC ＝EF . ∵DF ∥AC ，∴△DEF ∽△GEC ，∴EF EC ＝DF GC ＝DE GE. ∵5EG ＝2DE ，CE ＝FD ＝10， ∴EF ＝25，GC ＝4，∴AG ＝AC －GC ＝EF －GC ＝25－4＝21. ★4. (1)如图①，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，点D ，E 分别在AB ，BC 上，且∠CDE ＝90°，EF ⊥AB 于点F ，BE ＝2AD ，求证：DE ＝CD ；(2)如图②，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在BC 上，连接AD ，E 为AD 上一点，过点E 作BC 的平行线分别交AB ，AC 于点F ，G ，连接BE ，CE ，若∠BEC ＝135°，求证：△BFE ∽△EGC ；(3)在(2)的条件下，若BD ＝2DC ，求BECE的值.第4题图(1)证明：由题意可得，∠BFE ＝∠DFE ＝90°＝∠A ＝∠CDE ， ∵∠ADC ＋∠EDF ＝∠FED ＋∠EDF ＝180°－90°＝90°， ∴∠ADC ＝∠FED . ∵∠BFE ＝90°，∠B ＝30°， ∴BE ＝2FE . ∵BE ＝2AD ， ∴FE ＝AD ，在△FED 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FED ＝∠ADC FE ＝AD ∠DFE ＝∠CAD， ∴△FED ≌△ADC (ASA)， ∴DE ＝CD ；(2)证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， ∵FG ∥BC ，∴∠AFG ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠AGF ＝45°， ∴∠BFE ＝∠EGC ＝135°＝∠BEC ， ∴AF ＝AG ，BF ＝GC ，∵∠GEC ＋∠BEC ＝∠GEB ＝∠BFE ＋∠FBE ， ∴∠FBE ＝∠GEC ， ∴△BFE ∽△EGC ；(3)解：由(2)知，△BFE ∽△EGC ，∴BE CE ＝BF EG ＝FE GC， ∵FG ∥BC ，∴△AFE ∽△ABD ，△AEG ∽△ADC ， ∴FE BD ＝AE AD ，AE AD ＝EG DC ， ∴FE BD ＝EG DC， ∵BD ＝2DC ， ∴FE ＝2EG ，又∵BF EG ＝FEGC ，BF ＝GC ，∴BF EG ＝2EG BF ， ∴BFEG＝2， ∴BE CE ＝BFEG＝ 2. ★5. 在矩形ABCD 中，AD ＝4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一动点，连接EM 并延长交线段CD 的延长线于点F .(1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；(2)如图②，若AB ＝2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB ＝23，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，求MGME的值.第5题图(1)证明∵ABCD 是矩形， ∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°，∵M 是AD 的中点，∴AM ＝DM ，在△AME 和△DMF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FDB AM ＝DM ∠AME ＝∠DMF ，∴△AME ≌△DMF (ASA)；(2)证明：过点G 作GH ⊥AD 于H ，如解图①， ∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°，∴四边形ABGH 是矩形． ∴GH ＝AB ＝2， ∵M 是AD 的中点，∴AM ＝12AD ＝2，∴AM ＝GH ，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，在△AEM 和△HMG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝GH ∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG，∴△AEM ≌△HMG ，∴ME ＝MG ，∴∠EGM ＝45°，由(1)得△AEM ≌△DFM ，∴ME ＝MF ，∵MG ⊥EF ，∴GE ＝GF ，∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°，∴△GEF 是等腰直角三角形．第5题解图①(3)解：过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，如解图②， ∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝23，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°， ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°， ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ， 又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ， ∴EM MG ＝AMGH，在Rt △GME 中， ∴tan ∠MEG ＝MGEM＝ 3.第5题解图②★6. 已知D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E 、DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)如图①，当∠BAC ＝90°时； ①求证：四边形AEDF 是正方形；②试问AN 与FM 之间的数量关系与四边形AEDF 的两对角线的数量关系相同吗？请证明你的结论；(2)如图②，当AF ∶DF ＝2∶1时，求AN ∶FM 的值．第6题图(1)①证明：∵∠BAC ＝90°，∠AED ＝∠AFD ＝90°， ∴四边形AEDF 是矩形，∵BD ＝DC ，∠DEB ＝∠DFC ＝90°，BE ＝CF ， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)， ∴DE ＝DF ，∴矩形AEDF 是正方形；②解：AN 与FM 之间的数量关系与四边形AEDF 的两条对角线的数量关系相同； 理由：在正方形AEDF 中，AF ＝AE ， 又∵AN ⊥FM 于G ，∠AMF ＝∠ANE ， ∠AEN ＝∠MAF ＝90°，∴Rt △AEN ≌△Rt △F AM (AAS)， ∴AN ＝FM ，又∵正方形AEDF 的对角线相等，∴AN 与FM 之间的数量关系与四边形AEDF 的两对角线的数量关系相同； (2)解：如解图，连接AD 、EF ，且AD 与EF 相交于点O ， 设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ， ∵Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)， ∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ， ∴AB ＝AC ，AE ＝AF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ，DF ⊥AC 于点F ，12×5k ·OF ＝2k ·k ·12，∴OF ＝255k ， ∴EF ＝455k ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°，∠AEO ＋∠EAO ＝∠ADE ＋∠EAD ＝180°， ∴∠EMF ＝∠DNA ，∠AEO ＝∠NDA ， ∴△FME ∽△AND ， ∴AN FM ＝AD EF ＝54. 第6题解图★7. 已知正方形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于点G ，交CD 于点F .第7题图(1)如图①，连接AF ，若AB ＝4，BE ＝1，求AF 的长；(2)如图②，连接BD ，交AE 于点N ，连接AC ，分别交BD 、BF 于点O 、M ，连接GO ，求证：GO 平分∠AGF ；(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG ，若CG ⊥GO ，求证：AG ＝2CG . (1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ＝AD ＝AB ＝4，∠ABE ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠ABG ＋∠CBF ＝90°，∵BF ⊥AE ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF ， 在△BCF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠ABE BC ＝AB ∠CBF ＝∠BAE ，∴△BCF ≌△ABE (ASA)，∴CF ＝BE ＝1，∴DF ＝CD －CF ＝3， ∴AF ＝AD 2＋DF 2＝42＋32＝5； (2)证明：∵AC ⊥BD ，BF ⊥AE ， ∴∠AOB ＝∠AGB ＝∠AGF ＝90°， ∴A 、B 、G 、O 四点共圆， ∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°， ∴∠FGO ＝90°－45°＝45°＝∠AGO ，∴GO 平分∠AGF ；(3)证明：连接EF ，如解图所示： ∵CG ⊥GO ，∴∠OGC ＝90°，∵∠EGF ＝∠BCD ＝90°， ∴∠EGF ＋∠BCD ＝180°， ∴C 、E 、G 、F 四点共圆， ∴∠EFC ＝∠EGC ＝180°－90°－45°＝45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形，∴CE ＝CF ，同(1)得：△BCF ≌△ABE ， ∴CF ＝BE ，∴CE ＝BE ＝12 BC ，∴OA ＝12 AC ＝ 22BC ＝ 2CE ，由(1)得：A 、B 、G 、O 四点共圆，∴∠BOG ＝∠BAE ， ∵∠GEC ＝90°＋∠BAE ，∠GOA ＝90°＋∠BOG ， ∴∠GOA ＝∠GEC ，又∵∠EGC ＝∠AGO ＝45°， ∴△AOG ∽△CEG ， ∴AG CG ＝OACE＝ 2， ∴AG ＝ 2 CG .第7题解图★8. 已知点E 在△ABC 内，∠ABC ＝∠EBD ＝α，∠ACB ＝∠EDB ＝60°，∠AEB ＝150°，∠BEC ＝90°.(1)如图①，当α＝60°，求证：△ABE ≌△CBD ；(2)在(1)的条件下，连接CD ，若AE ＝1，试求BD 的长；(3)如图②，当α＝90°时，请写出BDAE的值．第8题图(1)证明：如解图①，连接DC ， ∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．同理△EBD 也是等边三角形，∴AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABE ＝60°－∠EBC ＝∠CBD ， 在△ABE 与△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD∴△ABE ≌△CBD ；第8题解图①(2)证明：∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，∠AEB ＝∠CDB ＝150°， ∴∠EDC ＝150°－∠BDE ＝90°， ∠CED ＝∠BEC －∠BED ＝90°－60°＝30°. 在Rt △EDC 中，CD ED ＝tan30°＝33，∴AE BD ＝33，∴BD ＝3AE ＝3；(3)解：如解图②，连接DC ， ∵∠ABC ＝∠EBD ＝90°，∠ACB ＝∠EDB ＝60°， ∴△ABC ∽△EBD ， ∴AB EB ＝BC BD ，即AB BC ＝EB BD， 又∵∠ABE ＝90°－∠EBC ＝∠CBD ，∴△ABE ∽△CBD ，∠AEB ＝∠CDB ＝150°， ∴AE CD ＝BEBD， ∴∠EDC ＝150°－∠BDE ＝90°，∠CED ＝∠BEC －∠BED ＝90°－(90°－∠BDE )＝60°， 设BD ＝x ，则在Rt △EBD 中，DE ＝2x ，BE ＝3x ， 在Rt △EDC 中，CD ＝DE ·tan60°＝23x ， ∴AE ＝CD ·BE BD ＝23x ·3x x ＝6x ＝6BD ，即BD AE ＝16. 第8题解图②★9. 在锐角△ABC 中，AB ＝6，BC ＝11，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到△A 1BC 1.(1)如图①，当点C 1在线段CA 的延长线上时，∠CC 1A 1＝________°； (2)如图②，连接AA 1，CC 1. 若△ABA 1的面积为24，求△CBC 1的面积；(3)如图③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 逆时针旋转过程中，点P 的对应点是P 1，求在旋转过程中，线段EP 1长度的最大值与最小值的差.第9题图(1)解：60；【解法提示】由旋转得：∠A 1C 1B ＝∠C ＝30°，BC ＝BC 1， ∴∠C ＝∠BC 1C ＝30°， ∴∠CC 1A 1＝60°.(2)解：∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA ＝BA 1，BC ＝BC 1，∠ABC ＝∠A 1BC 1， ∴BA BC ＝BA 1BC 1， ∵∠ABA 1＝∠CBC 1， ∴△ABA 1∽△CBC 1， ∴S △ABA 1S △CBC 1＝(AB BC)2＝(611)2＝36121，∵S △ABA 1＝24， ∴S △CBC 1＝2423；(3)解：如解图，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴点D 在线段AC 上， 在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·sin30°＝5.5，以B 为圆心，BD 长为半径画圆交AB 于点P 1′，BP 1有最小值BP 1′. ∴EP 1的最小值为5.5－3＝2.5，以B 为圆心，BC 长为半径画圆交AB 的延长线于点P 1″，BP 1有最大值BP 1″. 此时EP 1的最大值为11＋3＝14，∴线段EP 1的最大值与最小值的差为14－2.5＝11.5.第9题解图★10. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 与AD 相交于F .过F 作FG ⊥BE ，过A 作AG ⊥AB ，AG 与FG 相交于G .(1)如图①，若AC ＝5，DF ＝3，求AB 的长； (2)证明：△BFG 是等腰直角三角形；(3)如图②，当BD ＝2CD 时，连接CF 并延长，分别交AB ，BG 于点H ，I ，求AHHI的值． 第10题图(1)解：在△ABD 中，∠ABD ＝45°，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°， ∴BD ＝AD ， ∵BE ⊥AC 于E ，∴∠AEB ＝∠BDA ＝90°， ∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴∠F AE ＝∠FBD ， 在△BFD 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FBD ＝∠CAD ∠FDB ＝∠CDA BD ＝AD， ∴△BFD ≌△ACD ， ∴BF ＝AC ＝5，在Rt △BDF 中，由勾股定理得BD ＝BF 2－DF 2＝52－32＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝BD cos ∠ABD ＝4cos45°＝42；第10题解图(2)如解图，过F 作FP ∥BC 交AB 于点P ， 则∠AFP ＝∠ADB ＝90°， ∠APF ＝∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝45°， ∴∠FP A ＝∠F AP ， ∴PF ＝AF . ∵∠BFG ＝90°， ∴∠AFP ＝∠BFG ，∴∠AFG ＋∠GFP ＝∠GFP ＋∠PFB ， ∴∠AFG ＝∠PFB ， 设FG 交AB 于Q ， ∵∠GAB ＝∠GFB ＝90°，∠AQG ＝∠FQB ， ∴∠AGQ ＝∠FBQ ， 在△AFG 和△PFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFG ＝∠PFB ∠AGF ＝∠PBF AF ＝PF， ∴△AFG ≌△PFB (AAS)， ∴GF ＝BF ， ∵BF ⊥GF ，∴△BFG 是等腰直角三角形；(3)解：∵三角形的三条高交于一点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴CH ⊥AB ， ∵∠ABD ＝45°， ∴BH ＝CH . ∵BD ＝2CD ，设CD ＝m ，则BC ＝3m ， ∴BH ＝CH ＝322m ，在Rt △ABD 中，BD ＝AD ＝2m ，∴AB ＝22m ， ∴AH ＝AB －BH ＝22m －322m ＝22m .由(2)知△BFG 是等腰直角三角形，∴∠GBF ＝45°＝∠ABD ， ∴∠IBH ＝∠EBC ，。
2021年中考数学总复习专题提升五 以特殊三角形为背景的探究性问题
专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题热点解读特殊三角形的探究问题，主要会把复杂图形分解出等腰三角形、直角三角形，找相互之间的共性，从而揭示数量关系，同时又要用运动变换的思想分析问题，抓住一些不变的图形和不变的量、等量关系．以特殊三角形为背景的探究性问题是中考热点题型．母题呈现(2017·绍兴模拟)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC 上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．对点训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y ＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是()第1题图A．2 B．3 C．4 D．5 2．(2017·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC 上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为()第2题图A．4 B．5 C．6 D．7 3．(2016·长春)感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，求证：DB＝DC.应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝________(用含a的代数式表示)．第3题图4．(2016·孝感)感知：如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE 于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)拓展：如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN 内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF.应用：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC 上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为.第4题图5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0＜t＜6)，过点D作DF⊥BC于点F.(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；(2)如图1，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；(3)如图2，连结DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？(4)如图3，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？第5题图6．(2017·大连)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E 分别在AC，BC上(点D与点A，C不重合)，且∠DEC＝∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q(点P与点Q不重合)时，设CD＝x，PQ＝y.(1)求证：∠ADP＝∠DEC；(2)求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．第6题图参考答案专题提升五 以特殊三角形为背景的探究性问题【母题呈现】(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°.∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°.∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°.∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.(2)∵∠ACB ＝60°，∠EDC ＝60°，∴△EDC 是等边三角形．∴ED ＝DC ＝2.∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝2DE ＝4.【对点训练】1.B 2.B3．探究：如图2中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DC ＝DB. 应用：如图3，连结AD ，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DC ＝DB ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DF ＝DE ，CF ＝BE ，在Rt △ADF 和Rt △ADE 中，∵AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴△ADF ≌△ADE ，∴AF ＝AE ，∴AB －AC ＝(AE ＋BE )－(AF －CF )＝2BE ，在Rt △DEB 中，∵∠DEB ＝90°，∠B ＝∠EDB ＝45°，BD ＝a ，∴BE ＝22a ，∴AB －AC ＝2a.故答案为：2a.第3题图4．拓展：∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC＝∠ABE ，∴⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF (AAS )． 应用：∵在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝2BD ，∴△ABD 与△ADC 等高，底边比值为1∶2，∴△ABD 与△ADC 的面积比为1∶2，∵△ABC 的面积为9，∴△ABD与△ADC 面积分别为3，6；∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠ABE ，∴⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF (AAS )，∴△ABE 与△CAF 面积相等，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为6，故答案为：6.5．(1)AE ＝tcm ，AD ＝(12－2t )cm. (2)∵DF ⊥BC ，∠C ＝30°，∴DF ＝12CD ＝12×2t ＝t.∵AE ＝t ，∴DF ＝AE.∵∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴DF ∥AE.∴四边形AEFD 是平行四边形． (3)①显然∠DFE ＜90°.②如图1，当∠EDF＝90°时，四边形EBFD 为矩形，此时AE ＝12AD ，∴t ＝12(12－2t )．∴t ＝3.③如图2，当∠DEF ＝90°时，此时∠ADE ＝90°，∴∠AED ＝90°－∠A ＝30°.∴AD ＝12AE.∴12－2t ＝12t.∴t ＝245.综上：当t ＝3秒或t ＝245秒时，△DEF 为直角三角形． (4)如图3，若四边形AEA′D 为菱形，则AE ＝AD.∴t ＝12－2t.∴t ＝4.∴当t ＝4时，四边形AEA′D 为菱形．第5题图6．(1)如图1，∵∠EDE ′＝∠C ＝90°，∴∠ADP ＋∠CDE ＝90°，∠CDE ＋∠DEC ＝90°，∴∠ADP ＝∠DEC. (2)如图1，当C′E′与AB 相交于Q 时，即65＜x ≤127时，过P 作MN ∥DC′，设∠B ＝α，∴MN ⊥AC ，四边形DC′MN 是矩形，∴PM ＝PQ·cos α＝45y ，PN ＝43×12(3－x )，∴23(3－x )＋45y ＝x ，∴y ＝2512x －52，当DC′交AB 于Q 时，即127＜x ＜3时，如图2，作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥DQ 于N ，则四边形PMDN 是矩形，∴PN ＝DM ，∵DM ＝12(3－x )，PN ＝PQ·sinα＝35y，∴12(3－x)＝35y，∴y＝－56x＋52.综上所述，y＝⎩⎪⎨⎪⎧－56x＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫127<x<3，2512x－52⎝⎛⎭⎪⎫65<x≤127.第6题图赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。
中考数学试题考点20：特殊三角形的常见考法
中考数学试题考点20：特殊三角形的常见考法
等腰三角形、等边三角形和直角三角形，这几个特殊的三角形在具体题目中进行考察时，往往喜欢结合其三角形本身的特殊性质进行考察，所以熟练掌握特殊三角形的一些基本性质就是解决此类题型的关键。
下面，提供几道真题以作参考，重在通过做题顺带复习一下这些三角形具备的特殊性质。
以上题目中第8题较难，需要我们正确的做辅助线来构造出一个三角形，恰好这个三角形是直角三角形，然后再利用三角形中位线定理、勾股定理以及直角三角形的性质进行求解。
湖南省2018年中考数学复习热点小专题(五) 以三角形为背景的计算与证明
热点小专题(五)__以三角形为背景的计算与证明类|型|1 全等三角形与等腰三角形相结合 1．[2017·常州]如图R 5－1，已知在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，∠BCE ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠D ，BC ＝CE.(1)求证：AC ＝CD ；(2)若AC ＝AE ，求∠DEC 的度数．图R 5－1类|型|2 全等三角形与等边三角形相结合 2．[2017·恩施]如图R 5－2，△ABC ，△CDE 均为等边三角形，连接BD ，AE 交于点O ，BC 与AE 交于点P. 求证：∠AOB ＝60°.图R 5－2类|型|3 直角三角形与等腰三角形相结合3．[2017·绥化]在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D.若AD ＝12BC ，则△ABC 的顶角的度数为________．4．[2016·菏泽]如图R 5－3，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE. (1)如图①，若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°.①求证：AD ＝BE ； ②求∠AEB 的度数．(2)如图②，若∠ACB ＝∠DCE ＝120°，CM 为△DCE 中DE 边上的高，BN 为△ABE 中AE 边上的高，试证明：AE ＝2 3CM ＋2 33BN.图R5－3类|型|4全等三角形与相似三角形相结合5．[2017·天水]如图R5－4，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图R5－4类|型|5相似三角形与等腰三角形相结合6．[2017·宿迁]如图R5－5，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF ＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.图R5－5类|型|6相似三角形与三角函数相结合7．[2017·上海]如图R5－6，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D 是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sin B的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．图R5－6类|型|7 直角三角形与三角函数相结合 8．[2017·张家]界位于张家界核心景区的贺龙铜像是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图R 5－7，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝70.5°，在Rt △DBC 中，∠DBC ＝45°，且CD ＝2.3 m ，求像体AD 的高度．(最后结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 70.5°≈0.943，cos 70.5°≈0.334，tan 70.5°≈2.824)图R 5－7参考答案1．解：(1)证明：∵∠BCE ＝∠ACD ＝90°， ∴∠BCA ＝∠ECD .在△BCA 和△ECD 中，⎩⎨⎧∠BAC ＝∠D ，∠BCA ＝∠ECD ，BC ＝CE ，∴△BCA ≌△ECD ， ∴AC ＝CD .(2)∵AC ＝AE ，∴∠AEC ＝∠ACE .又∵∠ACD ＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC ＝45°，∴∠AEC ＝12(180°－∠DAC )＝12×(180°－45°)，∴∠DEC ＝180°－∠AEC ＝180°－12×(180°－45°)＝112.5°.2．证明：∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°， ∴∠ACB ＋∠BCE ＝∠DCE ＋∠BCE ，即∠ACE ＝∠BCD .在△ACE 和△BCD 中，AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ， ∴△ACE ≌△BCD (SAS)，∴∠CAE ＝∠CBD . ∵∠APC ＝∠BPO ，∴∠BOP ＝∠ACP ＝60°，即∠AOB ＝60°.3．30°或150°或90° [解析] ①BC 为腰，AC ＝BC ，∵AD ⊥BC 于点D ，AD ＝12BC ，AD ＝12AC ，∴∠ACD ＝30°.如图①，AD 在△ABC 内部时，顶角∠C ＝30°；如图②，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB ＝180°－30°＝150°；②BC 为底，如图③，∵AD ⊥BC 于点D ，AD ＝12BC ，∴AD ＝BD ＝CD ，∴∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAD ，∴∠BAD ＋∠CAD＝12×180°＝90°，∴顶角∠BAC ＝90°.综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°.4．解：(1)①证明：∵∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB ＝∠ACD ＋∠DCB ，∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ， ∴∠ACD ＝∠BCE .∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ∴AC ＝BC ，DC ＝EC . 在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE .②∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC .∵点A ，D ，E 在同一直线上，且∠CDE ＝50°， ∴∠ADC ＝180°－∠CDE ＝130°，∴∠BEC ＝130°.∵∠BEC ＝∠CED ＋∠AEB ，且∠CED ＝50°， ∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝130°－50°＝80°.(2)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝120°， ∴∠CDM ＝∠CEM ＝12×(180°－120°)＝30°.∵CM ⊥DE ，∴∠CMD ＝90°，DM ＝EM .在Rt △CMD 中，∠CMD ＝90°，∠CDM ＝30°， ∴DE ＝2DM ＝2×CMtan ∠CDM＝2 3CM .易证△ACD ≌△BCE ，∴∠BEC ＝∠ADC ＝180°－30°＝150°， ∵∠BEC ＝∠CEM ＋∠AEB ，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CEM ＝150°－30°＝120°，∴∠BEN ＝180°－120°＝60°.在Rt △BNE 中，∠BNE ＝90°，∠BEN ＝60°， ∴BE ＝BN sin ∠BEN ＝2 33BN .∵AD ＝BE ，AE ＝AD ＋DE ， ∴AE ＝DE ＋BE ＝2 3CM ＋2 33BN .5．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠C ＝45°，AB ＝AC . ∵AP ＝AQ ， ∴BP ＝CQ .∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE .在△BPE 和△CQE 中，∵BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE (SAS)．(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠C ＝∠DEF ＝45°.∵∠BEQ ＝∠EQC ＋∠C ，即∠BEP ＋∠DEF ＝∠EQC ＋∠C ， ∴∠BEP ＋45°＝∠EQC ＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC ，∴△BPE ∽△CEQ ， ∴BP CE ＝BE CQ. ∵BP ＝2，CQ ＝9，BE ＝CE ，∴BE 2＝18， ∴BE ＝CE ＝3 2， ∴BC ＝6 2.6．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF ， ∴△BDE ∽△CEF .(2)∵△BDE ∽△CEF ， ∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点， ∴BE ＝CE ， ∴CE CF ＝DEEF.∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠CFE ， ∴FE 平分∠DFC .7．解：(1)在Rt △ABD 中，∵BD ＝DC ＝9，AD ＝6，∴AB ＝BD 2＋AD 2＝92＋62＝3 13， ∴sin B ＝AD AB ＝6313＝21313.(2)∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD . ∵EF ∥AD ，BE ＝2AE ， ∴EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23， ∴EF 6＝BF 9＝23， ∴EF ＝4，BF ＝6， ∴DF ＝3.在Rt △DEF 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝42＋32＝5. 8．解：∵在Rt △DBC 中，∠DBC ＝45°， 且CD ＝2.3 m ，∴BC ＝2.3 m ，∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝70.5°， ∴tan70.5°＝AC BC ＝AD ＋2.32.3≈2.824，解得AD ≈4.2.答：像体AD 的高度约为4.2 m.。
2018中考数学压轴题探究专题 ：直角三角形的存在性问题
考题研究： 这类问题主要是已知直角三角形的一边 （即直角三角形的两个点 确定） ，求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要 在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力， 也是近几年来各市 地对学生能力提高方面的一个考查。 解题攻略： 解直角三角形的存在性问题， 一般分三步走， 第一步寻找分类标 准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下， 按照直角顶点或者斜边分类， 然后按照三角比或勾 股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简 便． 解直角三角形的问题， 常常和相似三角形、 三角比的问题联系在 一起． 如果直角边与坐标轴不平行， 那么过三个顶点作与坐标轴平行的 直线， 可以构造两个新的相似直角三角形， 这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边， 那么过直角边 的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜 边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点） ．
求证：PD= AB． 探究：如图 3，已知△ABC 为直角三角形，斜边 AB=5，AC=4，准外心 P 在边 AC 上，试探究 PA 的长．
5．已知：如图，△ABC 是边长为 4cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两 点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间 t（s） ，解答下列各问题： （1）求△ABC 的面积； （2）当 t 为何值是，△PBQ 是直角三角形？ （3）探究：是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是△ABC 面积的八分之 五？如果存在，求出 t 的值；不存在请说明理由．
2018中考数学复习06--三角形专题复习(2)特殊三角形ppt
二.考点知识梳理
知识点一. 等腰三角形 两边 相等的三角形是等腰三角形． 1．等腰三角形定义：有_____ 2．等腰三角形的性质 相等 简写成“等边对等角”)． (1)等腰三角形的两个底角_____( 平分线 、底边上的_____ 中线 、底边上 (2)等腰三角形的顶角_______ 的高相互重合(简写成“三线合一”)． (3)等腰三角形是轴对称图形，有____ 一 条对称轴． 3．等腰三角形的判定 (1)有_____ 两边 相等的三角形是等腰三角形． 角 相等，那么这两个角所对的 (2)如果一个三角形有两个_____ 边也相等(简写成“等角对等边”)． (3)等腰三角形“三线合一”定理
知识点三. 直角三角形
1.直角三角形定义:有一个角是直角的三角形. 2．直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角_____ 互余． 一半 ． (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____ (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于___________ ． 斜边的一半 (4)直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 30° ． 这条直角边所对的角等于_____ (5)勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 若用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则_______ 3．直角三角形的判定 90° (1)有一个角是_____ 的三角形是直角三角形． 互余 的三角形是直角三角形． (2)有两个角_____ (3) 勾股定理的逆定理：若三角形的三边长 a ，b ，c 满足a2 ＋b2 ＝c2 ，则这个三 角形是直角三角形． 中线 等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. (4)如果三角形一边上的_____ (5)直经所对的圆周角是直角.(6)射影定理.
2018/7/11 9
湖南中考数学复习(课件)：题型5 类型三 特殊三角形问
作等腰三角形底边的 高，用勾股定理或相
似建立等量关系
直角三角形
已知点A、B和直线l ，在l上求点P，使 △PAB为直角三角形
分别过点A、B作AB 的垂线，再以线段AB 为直径作圆，两垂线 和圆与l的交点即为所
有P点
分别表示出点A、B、 P的坐标，再表示出线 段AB、BP、AP的长 度，由①AB2＝BP2＋ AP2、②BP2＝AB2＋ AP2、③AP2＝AB2＋ BP2列方程解出坐标
作垂线，用勾股定理 或相似建立等量关系
典例精讲
例(2017娄底)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A(-4， 0)和B(1，0)，与y轴交于点C(0，2).动点D沿△ABC的边AB 以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x 轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠， 使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒.
∵BC= 5 ,AC=2 5 ,AB=5,( 5 )2+(2 5)2=52,
则AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴当点F与点B 重合时,∠ECF与∠ACB重合,△EFC为直角三
角形,
因此列方程为2t+2t=5,
解得t= 5 ,符合题意；
4
BC
③∵∠CEF=2∠CAB,tan∠CAB= AC ＝
(3)设四边形DECO的面积为S，求S关于t的函数表达式. 【思维教练】由点B在线段AB上运动可知，四边形DECO的边 长非定值，因此需分情况讨论，根据t的取值范围求得四边形D ECO的面积.
（1）∵抛物线经过点A（-4,0）,B（1,0）,C（0,2）,
将三点坐标代入抛物线解析式,得 16a-4b+c=0
浙江省2019年中考数学总复习专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题试题(含答案)263
专题提高五以特别三角形为背景的研究性问题热门解读特别三角形的研究问题，主要会把复杂图形分解出等腰三角形、直角三角形，找互相之间的共性，进而揭露数目关系，同时又要用运动变换的思想剖析问题，抓住一些不变的图形和不变的量、等量关系．以特别三角形为背景的研究性问题是中考热门题型．母题体现( 2017·绍兴模拟 ) 如图，在等边三角形 ABC中，点 D，E 分别在边BC，AC上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC的延伸线于点 F.( 1) 求∠F的度数；( 2) 若 CD＝2，求 DF的长．对点训练1．如图，在平面直角坐标系xOy 中， A( 0，2) ，B( 0，6) ，动点C在直线 y＝x 上．若以 A、B、C三点为极点的三角形是等腰三角形，则点 C的个数是 ()第 1 题图A． 2B． 3C． 4 D．52．( 2017·营口 ) 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在 BC上， BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB上的动点，则PC＋PD的最小值为 ()第 2 题图A． 4B． 5C． 6 D．73．( 2016·长春 ) 感知：如图 1，AD均分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知： DB＝DC.研究：如图 2，AD均分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，求证： DB＝DC.应用：如图 3，四边形 ABCD中，∠ B＝45°，∠ C＝135°，DB＝DC ＝a，则 AB－AC＝________(用含 a 的代数式表示 ) ．第 3 题图4．( 2016·孝感 ) 感知：如图 1，点 E 在正方形 ABCD的边 BC上，BF⊥AE于点 F，DG⊥AE于点 G，可知△ADG≌△ BAF.( 不要求证明 )拓展：如图 2，点 B、C 分别在∠MAN的边 AM、AN 上，点 E、F在∠MAN内部的射线 AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠ 1＝∠2＝∠BAC，求证：△ABE≌△ CAF.应用：如图 3，在等腰三角形ABC中， AB＝AC，AB＞BC.点 D 在边BC上，CD＝2BD，点 E、F 在线段 AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ ABC 的面积为 9，则△ABE与△CDF的面积之和为.第 4 题图5．如图，已知在Rt △ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点 E 从点 A 出发沿 AB以每秒 1cm的速度向点 B 运动，同时点D从点 C 出发沿 CA以每秒 2cm的速度向点 A 运动，运动时间为 t 秒( 0＜t ＜6) ，过点 D作 DF⊥BC于点 F.( 1) 试用含 t 的式子表示 AE、AD的长；( 2) 如图 1，在 D、E 运动的过程中，四边形 AEFD是平行四边形，请说明原因；( 3) 如图 2，连接 DE，当 t 为什么值时，△ DEF为直角三角形？( 4) 如图 3，将△ADE沿 DE翻折获得△A′DE，试问当 t 为什么值时，四边形 AEA′D为菱形？第 5 题图6．( 2017·大连 ) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D，E 分别在 AC，BC上( 点 D 与点 A，C 不重合 ) ，且∠DEC＝∠A，将△DCE绕点 D逆时针旋转 90°获得△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与 AB分别订交于点 P，Q( 点 P 与点 Q不重合 ) 时，设 CD＝x，PQ＝y.( 1) 求证：∠ADP＝∠DEC；( 2) 求 y 对于 x 的函数分析式，并直接写出自变量x 的取值范围．第 6 题图参照答案专题提高五以特别三角形为背景的研究性问题【母题体现】(1)∵△ ABC是等边三角形，∴∠ B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠ EDC＝∠B＝60°. ∵EF⊥DE，∴∠ DEF＝90°. ∴∠ F＝90° －∠EDC＝30°. ( 2) ∵∠ ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△ EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2. ∵∠ DEF＝90°，∠ F＝30°，∴ DF＝2DE＝4.【对点训练】 1.B 2.B3．研究：如图 2 中，作 DE⊥AB于 E，DF⊥AC于 F，∵DA均分∠BAC，∴DE＝DF，∵∠ B＋∠ACD＝180°，∠ ACD＋∠FCD＝180°，∴∠ B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，∵∠ F＝∠DEB，∠ FCD＝∠B，DF＝DE，∴△ DFC≌△ DEB，∴ DC＝DB. 应用：如图 3，连接 AD，作 DE⊥AB于E，DF⊥AC于 F，∵∠ B＋∠ACD＝180°，∠ ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，∵∠ F＝∠DEB，∠ FCD＝∠B，DC＝DB，∴△ DFC≌△ DEB，∴DF＝DE，CF＝BE，在 Rt△ADF和 Rt△ADE中，∵ AD＝AD，DE＝DF，∴△ ADF≌△ ADE，∴AF＝AE，∴AB－AC ＝( AE＋BE) －( AF－CF) ＝2BE，在 Rt△DEB中，∵∠ DEB＝90°，∠ B2＝∠EDB＝45°，BD＝a，∴BE＝2 a，∴AB－AC＝2a. 故答案为： 2 a.第 3 题图4．拓展：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC，∵∠1＝∠ABE＋∠BAE，∠BAE＋∠DAC＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠ BAC＝∠ABE＋∠BAE，∴∠∠AEB＝∠AFC，＝∠，∴∠ABE＝∠DAC，∴△≌△CAF( AAS)．应用：DAC ABE ABEAB＝AC，∵在等腰三角形 ABC中， AB＝AC，CD＝2BD，∴△ ABD与△ADC等高，底边比值为 1∶2，∴△ ABD与△ADC的面积比为 1∶2，∵△ ABC的面积为 9，∴△ ABD与△A DC面积分别为 3，6；∵∠1＝∠2，∴∠ BEA ＝∠AFC，∵∠ 1＝∠ABE＋∠BAE，∠BAE＋∠DAC＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∠AEB＝∠AFC，∴∠ BAC＝∠ABE＋∠BAE，∴∠ DAC＝∠ABE，∴∠ABE＝∠DAC，∴ AB＝AC，△ABE≌△ CAF( AAS) ，∴△ ABE与△CAF面积相等，∴△ ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，∴△ ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为： 6.5．( 1) AE＝tcm，AD＝( 12－2t ) cm.( 2) ∵DF⊥BC，∠C＝30°，11∴DF＝2CD＝2×2t ＝t. ∵AE＝t ，∴DF＝AE.∵∠ ABC＝90°，DF⊥BC，∴DF∥AE.∴四边形 AEFD是平行四边形．( 3) ①明显∠DFE＜90°.1②如图 1，当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时AE＝2AD，1∴t ＝2( 12－2t ) ．∴t＝3. ③如图 2，当∠DEF＝90°时，此时∠ADE11＝90°，∴∠ AED＝90°－∠A＝30°. ∴AD＝2AE.∴12－2t ＝2t. ∴t24＝.5综上：当t ＝3秒或t ＝24秒时，△5DEF为直角三角形．(4)如图 3，若四边形 AEA′D为菱形，则 AE＝AD.∴t＝12－2t. ∴t＝4.∴当 t ＝4 时，四边形 AEA′D为菱形．第 5 题图6．( 1) 如图 1，∵∠EDE′＝∠C＝90°，∴∠ ADP＋∠CDE＝90°，∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠ ADP＝∠DEC. ( 2) 如图 1，当 C′E′与612AB订交于 Q时，即5＜x≤7时，过 P 作 MN∥DC′，设∠B＝α，∴MN4 4 1⊥AC，四边形 DC′MN 是矩形，∴ PM＝PQ· cosα＝5y，PN＝3×2( 3 2425512－x) ，∴3( 3－x) ＋5y＝x，∴y＝12x－2，当 DC′交 AB于 Q时，即7＜x＜3 时，如图 2，作 PM⊥AC于 M，PN⊥DQ于 N，则四边形 PMDN是131矩形，∴ PN＝DM，∵ DM＝2( 3－x) ，PN＝PQ·sin α＝5y，∴2( 3－x)55123 5 5－6x＋27 <x<3 ，＝5y，∴ y＝－6x＋2. 综上所述， y＝25 5 61212x－2 5<x≤7 .第 6 题图。
2018年中考数学总复习特殊三角形专题训练题含答案
2018 初三数学中考复习特殊三角形专题复习训练题1. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A．5，6，7 B．1，4，8 C．5，12，13 D．5，11，122．一个等腰三角形一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( )A．13 cm B．14 cm C．13 cm或14 cm D．以上都不对3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°4．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A.32B.332C.32D．不能确定6. 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( ) A．12 B．16 C．20 D．16或207. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )A．6 B．6 2 C．6 3 D．128. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )A．35°B．40°C．45°D．50°9. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM 的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( )A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km10. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，611. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为____________．12. 如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__°．13. ．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____．14．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是__20__.15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.16．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为____．17. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC 边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝____18. 在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．19. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．20. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.参考答案：1---10 CCDDBCAADA11. 13或1012. 4013. 5 14. 20 15. 2 16. 7 17. 818. 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∴△EDC 是等边三角形，∴DE ＝DC ＝2，在Rt △DEF 中，∵∠DEF ＝90°，DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝4，∴EF ＝DF 2－DE 2＝42－22＝2 319. 解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52－42＝3 (2)延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 延长线于点E ，∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥DB ，∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝12AE ，∴AE ＝6，即BC 边上高的长为620. 证明：如解图，过点A 作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ，则∠BAD＝∠CAD，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS )，∴∠B ＝∠C(也可过点A 作BC 边上的中线，证△ABD≌△ACD)。
中考总复习：特殊三角形--知识讲解(提高)
中考总复习：特别三角形—知识解说（提升）【考大纲求】【高清讲堂：等腰三角形与直角三角形考大纲求】1．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形的观点，会辨别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判断．2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判断解决简单问题．3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决相关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：(1)拥有三角形的全部性质；(2)两底角相等 ( 等边平等角 ) ；(3)顶角的均分线，底边中线，底边上的高相互重合( 三线合一 ) ；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．重点解说：等边三角形中高线，中线，角均分线三线合一，共有三条.3．判断：(1)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等( 等角平等边 ) ；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．重点解说：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形独有的观点；(2)等边三角形是特别的等腰三角形．考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中， 30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3) 在直角三角形中，假如有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：假如三角形的三边长a， b，c 知足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6) 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.重点解说：（ 1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，此中a、 b 为两直角边， c 为斜边，h 为斜边上的高；（ 2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3．判断：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】种类一、等腰三角形1．六边形ABCDEF的每个内角都为120° , 且 AB=1， BC=9，CD=6， DE=8.求六边形ABCDEF的周长．【思路点拨】考虑到每个内角为 120° , 则每个外角均为 60° , 可经过结构等边三角形来求边长及面积．【答案与分析】延伸 BC、 ED交于 M， DE、 AF 交于 N，FA、 CB交于 P．∵∠ EDC=∠DCB=120° ∴∠ DCM=∠ CDM=60°，∴△ MDC为等边三角形∠M=60°，同理△ BAP，△ EFN均为等边三角形．∠M=∠ N=60° ∴△ MNP为等边三角形，MD=MC=6， PB=PA=1，NE=NF=EF，MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16（-6+8） =2．FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，∴周长为1+9+6+8+2+13=39．【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.贯通融会：【变式】把腰长为 1 的等腰直角三角形折叠两次后，获得的一个小三角形的周长是________．【答案】.2．已知 :如图,菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．(1)求证 :AE=AF．(2)若 AE垂直均分 BC， AF 垂直均分 CD，求证：△ AEF为等边三角形．【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与分析】(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴ AB=AD,∠ B=∠ D，又∵ BE=DF，∴≌．∴AE=AF．(2)连结 AC, ∵AE垂直均分 BC，AF 垂直均分 CD，∴AB=AC=AD，∵AB=BC=CD=DA ,∴△ ABC和△ ACD都是等边三角形．∴,．∴．又∵ AE=AF ∴是等边三角形．【总结升华】本题波及到三角形全等的判断与性质，等边三角形的判断与性质.贯通融会：【高清讲堂：等腰三角形与直角三角形例 4】【变式】如图，△ ABC为等边三角形，延伸求证： CE=DE.BC到D，延伸BA到E，使AE=BD，连结CE、 DE.【答案】延伸 BD到 F，使 DF＝ BC，连结 EF，∵等边△ ABC，∴AB＝BC＝ AC，∠ B＝ 60．∵BF＝BD+DF，BE＝ AB+AE， AE＝ BD， BC＝ DF，∴ BF＝BE，∴等边△ BEF，∴ EF＝BE，∠ F＝∠ B，∴△ BCE≌△ FDE（ SAS）．∴ CE＝DE．种类二、直角三角形3．△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．求证： (1) △ ACE≌△ BCD； (2)．【思路点拨】判断两个三角形全等时，第一要依据条件判断运用哪个判断定理.【答案与分析】 (1) ∵，∴，即．∵，∴ △ BCD≌△ ACE．(2) ∵，∴．∵ △ BCD≌△ ACE，∴，∴．∴．【总结升华】该题波及到的知识点有全等三角形的判断及勾股定理.4．如图，△ ACD和△ BCE都是等腰直角三角形，∠ ACD＝∠ BCE＝90°，AE交 DC于 F，BD分别交CE， AE 于点 G、 H. 试猜想线段 AE 和 BD的地点和数目关系，并说明原因．【思路点拨】△ACD和△ BCE都是等腰直角三角形, 为证明全等供给了等线段的条件.【答案与分析】猜想AE＝BD，AE⊥ BD.原因以下：∵∠ ACD＝∠ BCE＝ 90°，∴∠ ACD＋∠ DCE＝∠ BCE＋∠ DCE，即∠ ACE＝∠ DCB．∵△ ACD和△ BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝ CD，CE＝ CB．∴△ ACE≌△ DCB（ SAS）．∴AE＝ BD，∠ CAE＝∠ CDB．∵∠ AFC＝∠ DFH，∴∠ DHF＝∠ ACD＝ 90°，∴AE⊥ BD．【总结升华】两条线段的关系包含数目关系和地点关系两种.贯通融会：【变式】 . 以等腰三角形 AOB的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，，这样作下去，若 OA=OB=1，则第 n 个等腰直角三角形的面积S n=________.【答案】.种类三、综合运用5 . （2012?牡丹江） 如图①，△ ABC 中． AB=AC ， P 为底边 BC 上一点， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为 E 、F 、 H ．易证 PE+PF=CH ．证明过程以下：如图①，连结 AP ．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴ S △ABP = 1 AB?PE ， S △ACP = 1 AC?PF ， S △ABC = 1AB?CH ．22 2又∵ S △ABP S △ACP S △ABC，∴1AB?PE+1 AC?PF=1AB?CH ．∵ AB=AC ，∴ PE+PF=CH ．22 2（ 1）如图②， P 为 BC 延伸线上的点时，其余条件不变， PE 、 PF 、CH 又有如何的数目关系？请写出你的猜想，并加以证明：（ 2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF ，当 PF=3 时，则 AB 边上的高 CH=______.点 P 到 AB 边的距离 PE=________. 【思路点拨】 运用面积证明可使问题简易，（ 2）中分状况议论是解题的重点．【答案与分析】（ 1）如图②， PE=PF+CH ．证明以下：∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ， ∴ S △ABP = 1 AB?PE ， S △ACP = 1 AC?PF ， S △ABC = 1AB?CH ，2 22∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，1 1 1 ∴AB?PE= AC?PF+ AB?CH ，222又∵ AB=AC ，∴ P E=PF+CH ；（2）∵在△ ACH中，∠ A=30°，∴A C=2CH．1∵ S△ABC=AB?CH， AB=AC，∴1×2CH?CH=49，2∴C H=7．分两种状况：①P为底边 BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴P E=CH-PF=7-3=4 ；②P为 BC延伸线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴P E=3+7=10．故答案为7； 4 或 10．【总结升华】本题考察了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，点D为AC的中点．（ 1）如图 1， E 为线段 DC上随意一点，将线段DE绕点 D 逆时针旋转90°获得线段DF，连结 CF，过点F 作，交直线AB 于点 H．判断 FH与 FC 的数目关系并加以证明．（2）如图 2，若 E 为线段 DC的延伸线上随意一点，（ 1）中的其余条件不变，你在（ 1）中得出的结论能否发生改变，直接写出你的结论，不用证明．【思路点拨】依据条件判断FH=FC,要证 FH=FC一般就要证三角形全等.【答案与分析】 （ 1） FH 与 FC 的数目关系是： ．延伸 交由题意，知于点 G ，∠EDF=∠ ACB=90°， DE=DF ．∴ DG ∥ CB ． ∵点 D 为 AC 的中点，∴点 G 为 AB 的中点，且．∴ DG 为的中位线．∴．∵ AC=BC ，∴ DC=DG ．∴ DC- DE =DG- DF ． 即 EC =FG ． ∵∠ EDF =90°， ，∴∠ 1+∠ CFD =90°，∠ 2+∠ CFD=90°．∴∠1= ∠2． ∵与都是等腰直角三角形，∴∠ DEF =∠ DGA = 45°． ∴∠ CEF =∠ FGH = 135 °． ∴△ CEF ≌△ FGH ．∴ FH=FC ．（ 2） FH 与 FC 仍旧相等．【总结升华】 关于特别三角形的判断及性质要记着并能灵巧运用，着重累积解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培育 .贯通融会：【高清讲堂：等腰三角形与直角三角形例 7】【变式 】如图，△ ABC 和△ CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M 是AE 的中点，以下结论： ① tan ∠ AEC=BC; ② S ⊿ ABC +S ⊿CDE ≥ S ⊿ACE ; ③BM ⊥ DM;④ BM=DM 正.确结论的个数CD是（）A.1 个B.2个C.3个D.4个AMEB C D 【答案】 D.。
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专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题
热点解读
特殊三角形的探究问题，主要会把复杂图形分解出等腰三角形、直角三角形，找相互之间的共性，从而揭示数量关系，同时又要用运动变换的思想分析问题，抓住一些不变的图形和不变的量、等量关系．以特殊三角形为背景的探究性问题是中考热点题型．
母题呈现
(2017·绍兴模拟)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC 上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
对点训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y ＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是()
第1题图
A．2 B．3 C．4 D．5 2．(2017·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC 上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为()
第2题图
A．4 B．5 C．6 D．7 3．(2016·长春)感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，求证：DB＝DC.
应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝________(用含a的代数式表示)．
第3题图
4．(2016·孝感)感知：如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE 于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)
拓展：如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN 内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，
∠1＝∠2＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF.
应用：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC 上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为.
第4题图
5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0＜t＜6)，过点D作DF⊥BC于点F.
(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；
(2)如图1，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
(3)如图2，连结DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
(4)如图3，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？
第5题图
6．(2017·大连)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E 分别在AC，BC上(点D与点A，C不重合)，且∠DEC＝∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q(点P与点Q不重合)时，设CD＝x，PQ＝y.
(1)求证：∠ADP＝∠DEC；
(2)求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
第6题图
参考答案
专题提升五 以特殊三角形为背景的探究性问题
【母题呈现】
(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°.∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°.∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°.∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.
(2)∵∠ACB ＝60°，∠EDC ＝60°，∴△EDC 是等边三角形．∴ED ＝DC ＝2.∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝2DE ＝4.
【对点训练】1.B 2.B
3．探究：如图2中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DC ＝DB. 应用：如图3，连结AD ，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DC ＝DB ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DF ＝DE ，CF ＝BE ，在Rt △ADF 和Rt △ADE 中，∵AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴△ADF ≌△ADE ，∴AF ＝AE ，∴AB －AC ＝(AE ＋BE )－(AF －CF )＝2BE ，在Rt △DEB 中，∵∠DEB ＝90°，∠B ＝∠EDB ＝45°，BD ＝a ，∴BE ＝22
a ，∴AB －AC ＝2a.故答案为：2a.
第3题图
4．拓展：∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC
＝∠ABE ，∴⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，
∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，
∴△ABE ≌△CAF (AAS )． 应用：∵在等腰
三角形ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝2BD ，∴△ABD 与△ADC 等高，底边比值为1∶2，∴△ABD 与△ADC 的面积比为1∶2，∵△ABC 的面积为9，∴△ABD
与△ADC 面积分别为3，6；∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋
∠BAE ，∴∠DAC ＝∠ABE ，∴⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，
∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，
∴△ABE ≌△CAF (AAS )，
∴△ABE 与△CAF 面积相等，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为6，故答案为：6.
5．(1)AE ＝tcm ，AD ＝(12－2t )cm. (2)∵DF ⊥BC ，∠C ＝30°，∴DF ＝12
CD ＝12
×2t ＝t.∵AE ＝t ，∴DF ＝AE.∵∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴DF ∥AE.∴四边形AEFD 是平行四边形． (3)①显然∠DFE ＜90°.②如图1，当∠EDF
＝90°时，四边形EBFD 为矩形，此时AE ＝12AD ，∴t ＝12
(12－2t )．∴t ＝3.③如图2，当∠DEF ＝90°时，此时∠ADE ＝90°，∴∠AED ＝90°－∠A ＝30°.
∴AD ＝12AE.∴12－2t ＝12t.∴t ＝245.综上：当t ＝3秒或t ＝245
秒时，△DEF 为直角三角形． (4)如图3，若四边形AEA′D 为菱形，则AE ＝AD.∴t ＝12－2t.∴t ＝4.∴当t ＝4时，四边形AEA′D 为菱形．
第5题图
6．(1)如图1，∵∠EDE ′＝∠C ＝90°，∴∠ADP ＋∠CDE ＝90°，∠CDE ＋∠DEC ＝90°，∴∠ADP ＝∠DEC. (2)如图1，当C′E′与AB 相交于Q 时，即65＜x ≤127
时，过P 作MN ∥DC′，设∠B ＝α，∴MN ⊥AC ，四边形DC′MN 是矩形，∴PM ＝PQ·cos α＝45y ，PN ＝43×12(3－x )，∴23(3－x )＋45y ＝x ，∴y ＝2512
x －52，当DC′交AB 于Q 时，即127
＜x ＜3时，如图2，作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥DQ 于N ，则四边形PMDN 是矩形，∴PN ＝DM ，∵DM ＝12
(3－x )，PN ＝PQ·sin
α＝3
5y，∴
1
2(3－x)＝
3
5y，∴y＝－
5
6x＋
5
2.综上所述，y＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧－56x＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
7<x<3，
25
12x－
5
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
6
5<x≤
12
7.
第6题图。