大学物理2教学课件-24

平衡态下，大量分子系统： 分子各种运动形式的能量分布及平均总能量均遵守 统计规律--各种平均能量按自由度均分. 2 .自由度 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数 总自由度数=平动自由度+转动自由度+振动自由度
i trs
1） 质点：只有平动，最多三个自由度 ( x , y, z )
it3
实验的改进
1955年 密勒.库什实验
S1 S2
B

C
A

l
抽真空
P
A是盛有金属汞的恒温箱，汞蒸汽分子从A上小孔喷 出，经S1、S2缝形成一束定向的细窄射线，B、C是 两共轴圆盘，盘上各开一狭缝，两缝略错开一个 角，两盘以角速度 转动。
S1 S2
B

C
A

l
P
抽真空
P 为胶片屏，只有一定速度的分子才能通过两盘狭缝， 到达屏 P。该粒子的速度应满足：
3 dN m dW 4 ( ) 2 e N 2kT mv 2 2 kT
v 2dv
其中k为玻耳兹曼常数、m为一个分子质量、T是气体 的热力学温度。 分布函数：分子速率在 v 附近单位速率区间的概率:
dN m 32 f (v ) 4 ( ) e Ndv 2kT
mv 2 2 kT
dN
N
N 1 N
归一化条件。
讨论：
3） 分布曲线随 m ,T 变化
m 一定,T升高，曲线如何变化？ m一定,
f (v )
T1
m一定
T2 T1
T
2kT vp m
v p1
o 8m 1 f (v p ) e kT
v p2
v
曲线峰值右移，曲线变平坦，总面积不变
T 一定,m增大，曲线如何变化？
v0 v
v0 v p
v0 v
2
N 0 — v 0 N v 0—
1 N 2
练习2
说明在平衡态下，下列各式的的物理意义?
Nf ( v )dv :
nf ( v )dv :
速率在v v dv区间的分子数.
速率在v v dv区间的分子数密度 .
f ( v )dv :

vF
3 2 2 v v v dv 0.6v F vF 0
思考题:
证明无论f(v)为何种形式，
v v
2
二、玻尔兹曼(1844-1906)粒子按势能分布规律 或：重力场中粒子按高度分布规律
无外力场存在时,麦氏分子速率分布定律
3 dN m dW 4 ( ) 2e N 2kT mv 2 2 kT
受限制时自由度减少 例： 飞机（视为质点 ）
t =3
轮船在海平面上行驶，要描 写轮船的位置至少需要两维 坐标，则自由度为 轮船
t =2 t =1
火车在轨道上行驶时， 火车 自由度是多少呢？
2） 刚体
y
决定质心位置 ( x , y , z )


t =3
z
o

c x , y, z
x
过质心转轴方位 ( , , 之二）
p nkT n0 kTe
p0 RT h ln Mg p
Mgh RT
p0e
Mgh RT
高度计原理
练习
重力场中，大气压 p 随高度的变化规律为：
Mgh RT
p p0 e
当大气压强减至地面压强的 75% 时，该处 距离地面的高度 h=？（取 T 0 C ） 解：
p0 RT 8.31 273 1 h ln ln 2296m 3 g p 29 10 9.8 0.75
2 3 1
v vp 时
8m 1 f (v p ) e kT
v p : 最概然速率 ,
2kT 2 RT vp m M
物理意义： 是不是速率正好等于v p 的分子数最多？
dN f (v ) , Ndv dN f v Ndv
若
dv 0
则 dN 0
若将 v 分为相等的速率间隔，则在包含 v p 的 间隔中的分子数最多。
在空间小体积 x x dx ,
y y dy , z z dz中
速度在 v x v x dv x , v y v y dv y , vz vz dvz 区间 的分子数：
3 m 2 dN C ( ) e 2kT Ek Ep kT
dv x dv y dv z dxdydz
p nkT ,
2 p n t 3
3 t kT 2
近独立子系组成的体系的三种统计规律
统计 性质 适用 范围 特 点
M—B
经典统计 经典粒子
F—D
量子统计 费米子
B-E
量子统计 玻色子
•粒子彼此是 可区分的
•全同粒子
•全同粒子
•不遵守泡利不相 容原理，每个量 子态中粒子数不 受限制
•遵守泡利不相容 •每个状态的粒 原理，每个量子 子数没有限制 态最多一个粒子
cos2 cos2 cos2 1

刚体相对于轴的方位 ( )
r =2+1=3
最多6个自由度: i = t +r = 6 定轴转动刚体 : i=r=1
( )
3）气体分子 单原子分子—自由质点 i = t =3
双原子分子—轻弹簧联系的两个质点
质心位置 t=3 m1 , m2 连线方位 r 2 m1 , m2 相对于质心的位置 s 1
v 2dv
麦氏分子速度分布定律
2 3 ( v 2 v 2 vz ) dN m x y dW ( ) 2 e 2 kT dv x dv y dv z N 2kT
m
保守力场中，粒子不再均匀分布
两点 修正
m 2 2 用 E Ek Ep 取代 Ek (v x v 2 v z ) y 2 变量间隔改为 dv xdv ydvz dxdydz
对所有速度积分得体积元
dxdydz 内总分子数
dN Ce
Ep kT
dx dy dz
分子数密度：
dN n Ce dxdydz
Ep kT
Ep kT
设 Ep 0处 分子密度为n0 , 则 C n0
n n0e
n0e
mgh kT
n0e
Mgh RT
重力场中，热运动与重力作用相互影响，实现热动平衡 时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律下降。 恒温气压公式
i trs6
刚性双原子分子
t=3 r=2
s=0
i =5
多原子分子（原子数 n ) 平动 t =3 最多可能自由度 i=3n 转动 振动 刚性多原子分子 t=3 r=3 r =3 s =3n-6
i=6
s=0
3 . 能均分定律 由M-B统计得： 在温度T 的平衡态下，物质（固，液，气） 分子的每一个可能的自由度都有相同的平均 动能 1 kT 2 分子的平均总动能:
同学们好!
上讲内容： 1. 基本概念： 统计规律， 分布函数， 统计平均值， 涨落， 宏观量， 微观量， 平衡态… 分布函数：
dW f ( x) Ndx dx dN
统计平均值： M MdW Mf x dx
物理量分布函数 变量间隔
2. 理想气体 p、 T公式
速率在 v — v+dv 区间概率为：
dN N
Av dv 0
2
( v F v 0) (v v F )
A为常数
1. 画出电子气速率分布曲线
2. 由vF 定出A
3. 求 v p
,v , v2
解:
dN 1. f ( v ) Ndv
Av 2 0
( vF v 0 ) ( v vF )
v2 v2
vdN
N
v2
v1
v v1 v2 ;
解二：
v v1 — v 2
vdN vNf ( v )dv vf ( v )dv

v1 v2
dN
v1 v2

Nf ( v )dv
v1 v2
f ( v )dv
v1
v1
v1
练习4.
图示为氢分子和氧分子在相同温度下的麦克斯韦速率分 m s-1 4000 布曲线，氢分子的最概然速率为 ， 1000 氧分子的最概然速率为 m s-1 。
0
8kT m
8 RT RT 1.60 M M
2） 方均根速率
3kT v v f ( v )dv m 0
2 2
v
2
3kT m
3RT RT 1.73 M M
3） 最概然速率（最可几速率)
2kT 2 RT RT vp 1.41 m M M
三者关系：
vp v v
只要求 将 M-B 统计应用在理想气体中得到的主要规律
§18.3 经典统计在理想气体中的应用
重点：将M-B统计应用于理想气体得出的四个统计规律 四个统计规律： 麦克斯韦分子速率分布率 玻尔兹曼粒子按势能的分布定律 能量按自由度均分定律 分子平均碰撞频率和平均自由程
一、麦克斯韦分子速率分布定律
条件： 理想气体，平衡态（热动平衡）
2. 由归一化条件

0

A 3 3 f ( v )dv Av dv v F 1 , A 3 3 vF 0
2
vF
3. v p vF
vF 2 2
3 2 ; v vf ( v )dv v 3 v dv 0.75v F vF 0 0
v 2 0.6 v F 0.77v F