【精准解析】广东省茂名市2020届高三第一次综合测试数学(理)试题
2020年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)
2020年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1．（3分）已知集合{|24}A x Z x =∈-<<，2{|230}B x x x =--<，则(A B =I ) A ．(2,1)-B ．(1,3)-C ．{1-，0}D ．{0，1，2}2．（3分）i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限3．（3分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知5316S a =+，11a =，则26(a a += ) A ．10B ．11C ．12D ．134．（3分）剪纸是我国的传统工艺，要剪出如图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字．( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，37S =，则35(a a =g ) A ．64B ．729C ．64或729D ．64或2436．（3分）公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，⋯，192，⋯，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，⋯，正一百九十二边形，⋯的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是( )（精确到0.01)．（参考数据sin150.2588)︒≈A ．3.14B ．3.11C ．3.10D ．3.057．（3分）已知1F 、2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C上，且线段1PF 的中点坐标为(0,)b ，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．5D ．28．（3分）前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有( )种派遣方法． A ．120B ．96C ．48D ．609．（3分）设函数()sin()cos()(0f x x x ωϕωϕω=+++>，||)2πϕ…的最小正周期为π，且过点(0,2)，则下列正确的为( ) ①()f x 在(0,)2π单调递减．②()f x 的一条对称轴为2x π=．③(||)f x 的周期为2π． ④把函数()f x 的图象向左平移6π个长度单位得到函数()g x 的解析式为()2cos(2)6g x x π=+A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④10．（3分）下列函数图象中，函数||()()x f x x e Z αα=∈的图象不可能的是( )A ．B ．C ．D ．11．（3分）已知(2,0)A -，(2,0)B 及抛物线方程为28(1)x y =-，点P 在抛物线上，则使得ABP ∆为直角三角形的点P 个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（3分）已知函数21,1()(),1ax ax x f x a R x alnx x ⎧-+=∈⎨->⎩„，若函数()f x 有四个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,)e +∞ C ．(4,)+∞D ．2(4,)e二、填空题：13．（3分）已知实数x ，y 满足5210220x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+-⎩„…„，则3z x y =+的最小值为 ．14．（3分）在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =u u u u r u u u u r ，则AM BC =u u u u r u u u rg ． 15．（3分）点P 为曲线212(41)()4y x ln x x =++>-图象上的一个动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则当α取最小值时x 的值为 ．16．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长为0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于 ．三、解答题：17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin (sin sin )sin b B a A B c C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的取值范围．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，222AB DC ==14AA =．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1ACD ； （Ⅱ）求平面11BCC B 与平面1ACD 所成锐二面角的平面角的余弦值．19．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表： 每分钟跳 绳个数 [165，175) [175，185) [185，195) [195，205) [205，215)得分1617181920（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率； （Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布2(,)N μσ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差277.8S ≈（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：（ⅰ）预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数．（结果四舍五入到整数）（ⅱ）若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，77.89σ≈，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=20．设函数()x f x e mx n =-+，曲线()y f x =在点(2ln ，(2))f ln 处的切线方程为220x y ln --=．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）当0x >时，若k 为整数，且1()[()1]x k x f x x +>-++，求k 的最大值．21．在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，点M 在线段PD 上，且12DM DP =u u u u r u u u r，点M 的轨迹为曲线1C ．（1）求曲线1C 的方程；（2）过抛物线22:8C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交曲线1C 于另一点C ，求ABC ∆面积的最小值，以及取得最小值时直线l 的方程．22．设A 为椭圆221:1424x y C +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点． （Ⅰ）写出1C 参数方程和2C 普通方程； （Ⅱ）求||AB 最大值和最小值．23．已知函数()|22|()f x x a a R =-∈，对x R ∀∈，()f x 满足()(2)f x f x =-． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若x R ∃∈，使不等式21()(2)2f x f x m m -++…，求实数m 的取值范围．。
2020年广东省茂名市高考数学一模试卷及其答案教学内容
2020年广东省茂名市高考数学一模试卷及其答案2020年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2<x<4}，B={x|x2+2x−3<0}，则A∩B=()A. (−2,1)B. (−1,3)C. {−1,0}D. {0,1，2}2.i是虚数单位，则复数z=2i在复平面内对应的点在()i−1A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=a3+16，a1=1，则a2+a6=()A. 10B. 11C. 12D. 134.剪纸是我国的传统工艺，要剪出如图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字．()A.B.C.D.5.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，S3=7，则a3⋅a5=()A. 64B. 729C. 64或729D. 64或2436.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是()(精确到0.01).(参考数据sin15°≈0.2588)A. 3.14B. 3.11C. 3.10D. 3.057.已知F1、F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为(0,b)，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. √5D. 28.前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有()种派遣方法．A. 120B. 96C. 48D. 609.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的最小正周期为π，且过点(0,√2)，则下列正确的为()10.①f(x)在(0,π2)单调递减．11.②f(x)的一条对称轴为x=π2．12.③f(|x|)的周期为π2．13.④把函数f(x)的图象向左平移π6个长度单位得到函数g(x)的解析式为g(x)=√2cos(2x+π6)A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④14.下列函数图象中，函数f(x)=xαe|x|(α∈Z)的图象不可能的是()A. B.C. D.15.已知A(−√2,0)，B(√2,0)及抛物线方程为x2=8(y−1)，点P在抛物线上，则使得△ABP为直角三角形的点P个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知函数f(x)={ax 2−ax +1,x ≤1x −alnx,x >1(a ∈R)，若函数f(x)有四个零点，则a 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (e,+∞) C. (4,+∞) D. (4,e 2) 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）17. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，则z =3x +y 的最小值为______．18. 在△ABC 中，∠B =∠C =60°，AB =2，且点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 19. 点P 为曲线y =2x 2+ln (4x +1)(x >−14)图象上的一个动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则当α取最小值时x 的值为______．20. 如图，网格纸上小正方形的边长为0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于______． 21. 22. 23. 24.三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）25. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知bsinB +a(sinA −sinB)=csinC ． 26. (Ⅰ)求角C 的大小；27. (Ⅱ)求sinA +sinB 的取值范围． 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.35. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC =AC ，AB =2DC =2√2，AA 1=4．36. (Ⅰ)求证：BC 1//平面A 1CD ；37. (Ⅱ)求平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值．38.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，每分钟跳[165,175)[175,185)[185,195)[195,205)[205,215)绳个数得分16 17 18 19 2033分的概率；(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ,σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数)，已知样本方差S2≈77.8(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数．(结果四舍五入到整数)(ⅰ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，σ=√77.8≈9，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.997439. 设函数f(x)=e x −mx +n ，曲线y =f(x)在点(ln2,f(ln2))处的切线方程为x −y −2ln2=0． 40. (Ⅰ)求m ，n 的值；41. (Ⅱ)当x >0时，若k 为整数，且x +1>(k −x)[f(x)+x +1]，求k 的最大值． 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.49. 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，点M 在线段PD 上，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点M 的轨迹为曲线C 1．50. (1)求曲线C 1的方程；51. (2)过抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，过F且与直线l 垂直的直线交曲线C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取得最小值时直线l 的方程． 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.59. 设A 为椭圆C 1：x 24+y 224=1上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2−10ρcosθ+24=0，B 为C 2上任意一点．60. (1)写出C 1参数方程和C 2普通方程； 61. (2)求|AB|最大值和最小值． 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68.69. 已知函数f(x)=|2x −2a|(a ∈R)，对∀x ∈R ，f(x)满足f(x)=f(2−x)．70. (Ⅰ)求a 的值；f(x)−f(x+2)≥m2+m，求实数m的取值71.(Ⅱ)若∃x∈R，使不等式12范围．72.73.74.75.76.77.78.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={−1,0，1，2，3}，B={x|−3<x<1}，∴A∩B={−1,0}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：∵z=2ii−1=2i(i+1)(i−1)(i+1)=1−i，∴在复平面内对应的点为(1,−1)，故选：D．由题意分子分母同乘以1+i，再进行化简求出实部和虚部即可．本题考查了复数的除法运算，关键利用共轭复数对分母实数化．3.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=a3+16，a1=1，∴5+5×42d=1+2d+16，解得d=32．则a2+a6=2+6×32=11．故选：B．利用等差数列通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：如图“双喜”字，第一次对折后为；第二次对折后为；故选：D．把剪出“双喜”字对折两次即可得出结论．本题考查了轴对称的应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1=1，S3=7，∴1+q+q2=7，解得q=2，或−3．则a3⋅a5=q6=64或729．故选：C．利用等比数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为1，顶角为360°24=15°，所以每个等腰三角形的面积s=12×1×1×sin360°24=12×sin15°，所以正二十四边形的面积为24s=12×sin15°≈12×0.2588≈3.11，故选：B．连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，可以计算出每个等腰三角形的面积，再算出正二十四边形的面积，即可求出π的近似值．本题主要考查了类比推理，是中档题．7.【答案】C【解析】解：F1、F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为(0,b)，可得：2b=b2a，可得2a=b，所以双曲线的离心率为：e=ca =√a2+b2a2=√5．故选：C．利用双曲线的通径的一半为2b，列出方程，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，抓住通径与已知条件的转化是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：根据题意，需要先在5人中选出4人，分2种情况讨论：①，选出的4人中没有张三，此时将选出的4人全排列，对应4项工作即可，此时有A44=24种情况，②，选出的4人中没有张三，需要在其他4人中选出3人，再让选出4人担任4项工作，张三不担任裁判工作，有C43×3×A33=72种情况，则一共有24+72=96种安排方法；故选：B．根据题意，分2种情况讨论：①，选出的4人中没有张三，此时将选出的4人全排列，对应4项工作即可，②，选出的4人中没有张三，需要在其他4人中选出3人，再让选出4人担任4项工作，张三不担任裁判工作，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ)(ω> 0,|φ|≤π2)，由于函数的最小正周期为π，所以ω=2ππ=2，由于函数的图象经过点(0,√2)，所以√2=√2sinφ，所以φ=π2．所以函数f(x)=√2sin(2x+π2)=√2cos2x，对于①f(x)在x∈(0,π2)时，2x∈(0,π)，所以函数单调递减．故正确．对于②f(x)的一条对称轴为x=π2.当x=π2时，函数取得最小值，故正确．③f(|x|)=√2cos2|x|，所以函数的周期为π.故错误．④把函数f(x)的图象向左平移π6个长度单位得到函数g(x)=√2cos(2x+π3)，故错误．故选：A．首先把三角函数的关系式进行变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：A图象中函数的定义域为R，函数是偶函数，则α为正偶数时，满足对应图象，B图象中函数的定义域为{x|x≠0}，函数是偶函数，则α为负偶数时，满足对应图象，C图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故C不满足条件．D图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故D满足条件．故选：C．结合函数定义域，奇偶性以及幂函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断．结合函数的定义域，奇偶性，得到α是奇偶数是解决本题的关键．难度中等．11.【答案】D【解析】解：由题意如图所示，当∠PAB ，∠PBA 为直角时，即当PB ⊥AB ，PA ⊥AB 时有两个点，当PA ⊥PB ，即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∠APB 为直角时，设P(a,a 28+1)，∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +√2,a 28+1)⋅(a −√2,a 28+1)=0，即(a +√2)(a −√2)+(a 28+1)2=0，整理：a 4+80a 2−64=0，可得由两个根，即有两个P 点关于y 轴对称， 综上所述共有4个点P 满足△ABP 为直角三角形， 故选：D ．讨论分别以P ，A ，B 为直角顶点的情况，可得△ABP 为直角三角形的个数．考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 12.【答案】C【解析】解：①当a =0时，显然不符合题意，舍去；②当a <0时，f(x)=x −alnx 为(1,+∞)上的增函数，在区间(1,+∞)上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去；③当a >0时，则f(x)在(−∞,1]上有两个零点，在(1,+∞)上有两个零点． 当x ≤1时，f(x)=ax 2−ax +1=a(x −12)2+4−a 4，由于对称轴是x =12，f(0)=f(1)=1>0，故只要f(12)<0，即a >4； 当x >1时，f(x)=x −alnx ，f′(x)=1−ax =x−a x，令f′(x)=0，则x =a ，当0<a ≤1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增，与条件矛盾，不符合题意，舍去；当a >1时，x ∈(1,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；且根据不同函数的增长率的知识知，必然存在x 0∈(a,+∞)，使得f(x 0)=x 0−alnx 0>0；故x =a 时f(x)有极小值，要满足条件，只要f(a)=a −alna <0，即a >e ；综上所述，a >4且a >e ，故a >4； 故选：C ．当a =0时，显然不符合题意，舍去；当a <0时，f(x)=x −alnx 为(1,+∞)上的增函数，在区间(1,+∞)上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去；当a >0时，使f(x)在(−∞,1]上有两个零点，在(1,+∞)上有两个零点即可．本题考查了分段函数的零点问题，要分类讨论，注意数形结合，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：由实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，作出可行域如图， 联立{2x +y −1=0x +2y −2=0，解得A(0,1)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ， 由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×0+1=1． 故答案为：1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.【答案】6【解析】解：因为在△ABC 中，∠B =∠C =60°，AB =2， 所以△ABC 是等边三角形．因为点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以，点C 是BM 的中点， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×2×cos120°+2×22=6， 故答案为：6．根据题意可知△ABC 是等边三角形．且点C 是BM 的中点，将AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，再进行AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 运算． 本题考查数量积的运算，属于中档题． 15.【答案】14【解析】解：由y =2x 2+ln (4x +1)(x >−14)，得y′=4x +44x+1=4x +1+44x+1−1≥2√(4x +1)⋅44x+1−1=3，当且仅当4x +1=44x+1，即x =14时，y′最小，此时tanα最小，α最小． 故答案为：14．求出原函数的导函数，利用基本不等式求得导函数的最小值，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，过曲线上的某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．16.【答案】8√23π【解析】解：根据该几何体的三视图可知该几何体外框架为正方体，棱长为2，则其外接球的半径R=√22+22+222=√2，所以其体积为V=43πR3=8√23π，故答案为：8√23π判断出几何体外框架为正方体即可本题考查几何体三视图，几何体外接球体积公式，属于中档题17.【答案】解：(Ⅰ)由bsinB+a(sinA−sinB)=csinC，及正弦定理asinA =bsinB=csinC，得a(a−b)+b2=c2，即a2+b2−c2=ab，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =12，结合0<C<π，得C=π3．(Ⅱ)∵C=π3，∴A+B=π−C=2π3，即B=2π3−A，则sinA+sinB=sinA+sin(2π3−A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√3 2cosA=√3sin(A+π6)，∵A∈(0,2π3)，∴A+π6∈(π6,5π6)，∴sin(A+π6)∈(12,1]，则sinA+sinB的取值范围是(√32,√3].【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式可得a(a−b)+b2=c2，即a2+ b2−c2=ab，再利用余弦定理结合0<C<π，得C．(Ⅱ)根据C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，代入sinA+sinB中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据A的范围得到这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出所求式子的范围．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：取A1B1中点E，连结BE，C1E，∵在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点， ∴BE//A 1D ，C 1E//CD ，∵DA 1∩DC =D ，BE ∩C 1E =E ，平面CDA 1//平面C 1EB ， ∵BC 1//平面A 1CD ． (Ⅱ)解：∵AA 1⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC =AC ，AB =2DC =2√2，AA 1=4.所以AC ⊥CB ，，，以C 为原点，CB 为x 轴，CC 1为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，BC =AC =2，平面BCC 1B 1的法向量为m ⃗⃗ =(0,0，1)，A 1(0,4，2)，C(0,0，0)，B(2,0，0)，A(0,0，2)，D(1,0，1)， 设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，2)， 设平面A 1CD 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +z =0n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0，取x =2，得n ⃗ =(2,1，−2)，设平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角为θ， 则cosθ=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=23． ∴平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值为23．【解析】(Ⅰ)取A 1B 1中点E ，连结BE ，C 1E ，从而BE//A 1D ，C 1E//CD ，进而平面CDA 1//平面C 1EB ，由此能证明BC 1//平面A 1CD ．(Ⅱ)以C 为原点，OB 为x 轴，CC 1为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分， 由题意知：得16分的分数为5人，得17分的人数为9人， ∴两人得分之和不大于33分的概率为： P =C 52+C 51C 91C 1002=190．(Ⅱ)(i)X −=170×0.05+180×0.09+190×0.5+200×0.3+210×0.06=192.3≈192(个)，σ2≈77.8，σ≈9，∴正式测试时，μ=202，σ=9， ∴μ−σ=193，μ+σ=211， ∴P(ξ>193)=1−1−0.68262=0.8413，0.8413×1000=841.3≈841，∴正式测试时每分钟跳193个以上的人数为841个．(ii)由正态分布模型得，在该地区2020年初三毕业生中任取1人， 每分钟跳绳个数202以上的概率为12，即ξ～B(3,12)，P(ξ=0)=C 30(12)0(1−12)3=18， P(ξ=1)=C 31(12)(1−12)2=38，P(ξ=2)=C 32(12)2(1−12)=38， P(ξ=3)=C 33(12)3(1−12)0=18，E(ξ)=0×18+1×38+2×38+3×18=32．【解析】(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分，由此能求出两人得分之和不大于33分的概率．(Ⅱ)(i)求出X −≈192个，σ2≈77.8，σ≈9，从而正式测试时，μ=202，σ=9，进而μ−σ=193，μ+σ=211，由此能求出正式测试时每分钟跳193个以上的人数．(ii)由正态分布模型得，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为12，即ξ～B(3,12)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)． 本题考查概率、频数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=e x −m ，易知切线方程的斜率为1，且过点(ln2,−ln2)，∴{2−mln2+n =−ln22−m =1，解得m =1，n =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=e x −x −2，∴x +1>(k −x)[f(x)+x +1]即为x +1>(k −x)(e x −1)， 当x >0时，等价于k <x+1e −1+x(x >0)， 令g(x)=x+1e x −1+x(x >0)，则g′(x)=e x (e x −x−2)(e x −1)2，令ℎ(x)=e x −x −2，由x >0得，ℎ′(x)=e x −1>0， ∴函数ℎ(x)在(0,+∞)上递增，而ℎ(1)<0，ℎ(2)>0，故存在唯一的零点x 0∈(1,2)，使得ℎ(x 0)=0，即存在唯一的零点x 0∈(1,2)，使得g′(x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0，g(x)递减，当x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，∴g(x)min =g(x 0)，又ℎ(x 0)=0，即e x 0=x 0+2，故g(x 0)=x 0+1∈(2,3)， ∴整数k 的最大值为2．【解析】(Ⅰ)根据题意，列出方程组，解出即可；(Ⅱ)将原不等式变形为于k <x+1e x −1+x(x >0)，构造新函数g(x)=x+1e x −1+x(x >0)，求其最小值即可．本题考查导数的几何意义，以及利用导数解不等式，确定参数的范围，属于较难的题．21.【答案】解(1)设M(x,y)，P(x′,y′)，由题意可知D(x′,0)，因为DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以可得M 是DP 的中点，∴{x =x′y =y′2，即{x′=xy′=2y ，而P 在圆x 2+y 2=4上，所以可得x 2+(2y)2=4，整理得：x 24+y 2=1，所以曲线C 1的方程：x 24+y 2=1．(2)由题意焦点F 的坐标(2,0)，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：x =my +2，设交点A(x,y)，B(x′,y′)，联立直线与抛物线的方程：{x =my +2y 2=8x， y 2−8my −16=0，y +y′=8m ，yy′=−16，所以弦长AB =√1+m 2⋅√(y +y′)2−4yy′=√1+m 2⋅√64m 2+64=8(1+m 2)，由题意可知CF 的方程为：y =−m(x −2)，与曲线C 1联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1可得：(1+4m 2)x 2−16m 2x +16m 2−4=0，∴x +2=16m 21+4m ，∴x C =8m 2−21+4m ，代入直线CF 中y C =−m(8m 2−21+4m 2−2)=4m1+4m 2，即C 的坐标为(8m 2−21+4m 2,4m1+4m 2)，所以CF =√(8m 2−21+4m 2−2)2+(4m 1+4m 2)2=4√1+m 21+4m 2， 所以S △ABC =12⋅AB ⋅CF =12⋅8(1+m 2)⋅4√1+m 21+4m =16(1+m 2)⋅√1+m 21+4m ，令t =√1+m 2≥1，则S △ABC =16⋅t 34t 2−3，令f(t)=t 34t 2−3(t ≥1)，∴f′(t)=3t 2(4t 2−3)−t 3⋅4t(4t 2−3)2=t 2(4t 2−9)(4t 2−3)2，令f′(t)=0，t ≥1，t =32， 当1≤t <32，f′(t)<0，f(t)单调递减 当t >32，f′(t)>0，f(t)单调递增， 所以t ∈[1,+∞)，f(32)最小，且最小值f(32)=(32)34⋅(32)2−3=916，所以△ABC 面积的最小值为16×916=9，且这时√1+m 2=32，解得m =±√52， 即直线l 的方程为：x =±√52y +2．【解析】(1)由题意设P ，M 的坐标可得D 的坐标，由向量之间的关系求出P ，M 的坐标的关系，由相关点法，P 在圆上得出M 的轨迹方程；(2)设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB 的长，再求直线CF 的方程与曲线C 1联立求出C 的坐标，求出CF 的长，由题意CF ⊥AB ，即CF 的长为C 到AB 边上的高，求出面积，换元，用导数求出函数在单调性，进而求出面积的最小值，及此时的直线l 的方程． 考查直线与圆锥曲线的综合应用，属于中难题． 22.【答案】解：(1)椭圆C 1：x 24+y 224=1转换为参数方程为{x =2cosθy =2√6sinθ(θ为参数)．曲线C 2的极坐标方程为ρ2−10ρcosθ+24=0， 转换为直角坐标方程为x 2+y 2−10x +24=0， 整理得(x −5)2+y 2=1． (2)椭圆上点A(2cosθ,2√6sinθ)到曲线C 2的圆心(5,0)的距离d =√(2cosθ−5)2+24sin 2θ=√−20(cos θ+12)2+54， 当cosθ=−12时，|AO|max=3√6，当cosθ=1时，|AO|min =3， 所以|AB|max=3√6+1， |AB|min =2．【解析】(1)先将直线l 的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，将曲线C 的方程先去分母，再将y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2代入，化简即可求解；(2)先将曲线C 的方程化为参数形式，再利用两点间的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解．本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化、二次函数性质的应用，两点间的距离公式的应用，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想．23.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=|2x−2a|(a∈R)，对∀x∈R，f(x)满足f(x)=f(2−x)，可得f(x)的图象关于直线x=1对称，可得a=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2|x−1|，f(x)−f(x+2)≥m2+m，若∃x∈R，使不等式12可得m2+m≤|x−1|−|2x+2|的最大值，由|x−1|−|2x+2|=|x−1|−|x+1|−|x+1|≤|x−1−x−1|−|x+ 1|≤2，当且仅当x=−1时，取得等号，即最大值2，则m2+m≤2，解得−2≤m≤1．【解析】(Ⅰ)由题意可得f(x)的图象关于直线x=1对称，再由绝对值函数的对称轴，可得a的值；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质和二次不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查函数的对称性的判断和运用，不等式成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
【2020年高考必备】广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)及解析
广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5 分）若集合A={x|x2-2x-3V 0}，B={ - 1, 0，1, 2}，则A H B=（）A. { - 1，0，1，2}B. {x| - 1v x v 3}C. {0，1，2}D. { - 1，0，1}2. （5分）已知复数z满足（z- i）i=2+i，i是虚数单位，则| z| =（）A. 「B. 「C. :D. 33. （5分）已知变量x，y满足约束条件* x+y>4，则z=3x+y的最大值为（）A. 12B. 11C. 3D.- 14. （5分）设X〜N （1, 1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X〜N （ ^，d2），贝U P （厂（VX v P+ o） =68.26% P （厂2 eV X v p+2 o）=95.44%）A. .7539B. 6038C. 7028D. 65875. （5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八^一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯.A. 24B. 48C. 12D. 606. （5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A .丙被录用了 B.乙被录用了C •甲被录用了 D.无法确定谁被录用了10. （5分）已知△ ABC 的三个内角A , B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若2sin 「 2 -—）=1,且a=2,则厶ABC 的面积的最大值为（）6A .二 B.〔 C 三 D . 2 -3 2V I 41X2018 D . 2C（5分）函数• ：「_一'的部分图象大致为（ 7.11. （5分）侧视團三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）鱼XA.厂「B. •• 1「C.二「「D. ■■「12. （5分）定义在R上的奇函数f （x）满足条件f （1+x）=f （1 - x）,当x€ ［0, 1］时，f（x）=x,若函数g（x）=|f （x）| - ae-lxl在区间［-2018, 2018］上有4032 个零点，则实数a的取值范围是（）A. (0, 1)B. (e, e3)C. (e, e2)D. (1, e3)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13. （5 分）已知，二 * 二..1 _、「，若I ，贝U 入____________ .14. _______________________________________________________ （5分）在（1 - x）2（1 - 7）4的展开式中，x2的系数是________________________ .十i I IJ T15. （5 分）已知函数f （x）=4sin w- sin2（—7^ + ） - 2sin23x（3> 0）在区间A「———I上是增函数，且在区间［0, x］上恰好取得一次最大值，则w的取值范围是________ .16. （5分）从抛物线x2=4y的准线I上一点P引抛物线的两条切线PA PB,且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为--,则P点的横坐标为____________6、解答题：本大题共5小题，共70分■其中仃至21题为必做题，22、23题为选做题■解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. ( 12分)设正项等比数列｛a n｝，a4=81，且臣，a3的等差中项为：.」：•(I)求数列｛a n｝的通项公式；(II)若b n=log3a2n-i，数列｛b n｝的前n项和为S n,数列」,T n11 n 4 S n -1为数列｛c n｝的前n项和，若T n V入恒成立，求入的取值范围.18. (12 分)女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC, AD=2BC=2 PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.(I)求证：平面EACL平面PCD(II)求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.19. (12分)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值.20. （12分）已知椭圆C i: ^+耳二1 （（a>b>0））的一个焦点为F i（山晶）,乩b且经过点P I亓（I）求椭圆C的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的入倍（心1），过点C（- 1, 0）的直线I与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若求厶OAB面积取得最大值时直线I的方程.21. （12分）已知函数（a€ R）.x（I）讨论g （x）的单调性；（II）当-「-时，函数-I -:.在其定义域内有两个不同的e 2极值点，记作X1，X2，且X1< X2，若m A 1，证明：：「・，—-，］|.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.［选修4-4 :坐标系与参数方程选讲］22. (10分)在直角坐标系xOy中，直线I倾斜角为a其参数方程为(x="2+tcosaI 尸tsin。
2020届广东省茂名市高三第一次综合测试数学(文)试题(解析版)
2020年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷(文科)第一部分选择题(共60分)一、选择题：(本大题共12小題，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}|24A x Z x =∈-<<，{}2|230B x x x =--<，则A B =I ( )A. ()2,1-B. ()1,3-C. {}1,0-D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知{}1,0,1,2,3A =-，解不等式2230x x --<，得13x -<<，即{}|13B x x =-<<，再与集合A 取交集，即可.【详解】Q {}|24A x Z x =∈-<<∴{}1,0,1,2,3A =-又Q {}{}2|230|13B x x x x x =--<=-<<{}0,1,2A B ∴⋂=故选：D【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题. 2.i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第二象限 B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限【答案】C 【解析】【详解】()()2i 12i i 11i 1i 1z i--===--=---，复数21i z i =-在复平面内对应坐标为()1,1-，所以复数21iz i =-在复平面内对应的点在第四象限，故选C.3.在集合{}1,2和{}3,4,5中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为( ) A.112B.13C.14D.16【答案】C 【解析】 【分析】列举出所有可能的两位数，从中找出能被4整除的数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】在{}1,2和{}3,4,5两个集合中各取一个数字组成一个两位数的所有事件为13，31，14，41，15，51，23，32，24，42，25，52共12个，其中能被4整除的两位数是24，32，52共3个，所求概率为31124=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题. 4.已知定义在R 上的奇函数()f x 是单调函数，且()f x 满足()112f -=，则( ) A. ()122f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭B. ()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭C. ()122f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D. 112f ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x 为奇函数，求得()1f 的值，由此判断出()f x 的单调性，进而得出()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 【详解】∵()112f -=由奇函数的定义得()()1112f f =--=-，∴()()11f f ->.∵()f x 是R 上的单调函数，∴()f x 在R 上单调递减，故()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭. D 选项无法判断. 故选:B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.5.已知实数x ，y 满足5,210,220,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最小值为( )A. 1B. 3C. 5D. 11【答案】A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线3y x =-到可行域边界点，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为()2,3A -，()4,1B -，()0,1C ，当直线3y x =-平移到点()0,1C 时，z 取到最小值为 3011z =⨯+=.故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是( )(精确到0.01).(参考数据sin150.2588︒≈) A. 3.14 B. 3.11C. 3.10D. 3.05【答案】B 【解析】 【分析】圆内接正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成24个全等的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径1r =，顶角为3601524=oo ，根据圆面积2S r π=，利用三角形面积公式in 12s S ab C =，计算正二十四边形的面积2124sin152S r ⨯'=⨯⨯o ，求解即可. 【详解】由题意可知，单位圆面积2S r ππ==，正二十四边形的面积21241sin152S =⨯⨯⨯'o.则22124sin152r r π⨯⨯⨯=o .即12sin15120.2588 3.1056 3.11π=≈⨯=≈o . 故选：B【点睛】本题考查三角形面积公式，属于较易题. 7.已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=( )A. 35-B. 45-C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式，求得tan α的值，然后利用“1”的代换的方法，将sin 2α转化为只含tan α的形式，由此求得sin 2α的值. 【详解】∵1tan 43πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tantan 14432111tan tan 344ππαππα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭===⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 22222sin cos 2tan 224sin 2sin cos tan 1215ααααααα⨯====+++. 故选:D.【点睛】本小题主要考查两角差正切公式，考查齐次方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 8.ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =u u u u r u u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r( )A. 3B. 6C. 8D. 12【解析】 【分析】利用,AB AC u u u r u u u r 为基底表示出,AM BC u u u u r u u u r ，利用向量数量积的运算求得AM BC ⋅u u u u r u u u r. 【详解】依题意ABC ∆是等边三角形，C 为BM 的 中点，2AB AC ==，选取AB u u u r ，AC u u u r为基向量，则2AM AC CM AC BC AC AB =+=+=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r()()2AM BC AC AB AC AB ⋅=-⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2223AC AB AC AB =+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r2223cos 60AC AB AC AB =+-⋅⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r124432262=⨯+-⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.9.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2B.43C.23D.13【答案】C 【解析】画出三视图对应的原图，根据锥体体积计算公式，计算出几何体的体积. 【详解】如图所示，由三视图可知，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PA ⊥平面ABC 底面ABC ∆为等腰三角形，且底边长为2，高为1，故三棱锥的体积为11122123323P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选:C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体体积计算，属于基础题.10.已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x ya b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且线段1PF 的中点坐标为()0,b ，则双曲线C 的离心率为( ) A.2B.3 C.5 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF ，则21//2OM PF ，即222PF OM b ==，根据双曲线的定义可知，122PF a b =+，在12Rt FF P ∆中，2221212||||PF PF F F =+，即2b a =，根据221c be a a==+求解，即可.【详解】设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF .Q 线段1PF 的中点M 坐标为()0,b∴点P 在双曲线C 的右支上.如图所示：Q 原点O 为线段12F F 的中点∴21//2OM PF ，即212PF F F ⊥，222PF OM b ==. 由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，即122PF a b =+，12||2F F c = 在12Rt F F P ∆中，2221212||||PF PF F F =+， 即()()()2222222a b b c +=+，整理得2b a =.2221125c b e a a==+=+=故选：C【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于中档题. 11.下列函数图象中，函数()()||x f x x eZ αα=∈的图象不可能的是( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】当2α=时，验证A 正确. 当2α=-时，验证B 正确. 当1α=时，验证D 正确.【详解】当2α=时，()2xf x x e =，定义域为R 关于原点对称.()()()22xxf x x ex e f x --=-==，则()f x 为偶函数.当0x >时，()2xf x x e =.则()()()()22222(2)0xx x x x x f x x e x e e x xe x e xe x '''==+=+=+>'即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减. 此时函数()f x 的图象可能为A 选项.当2α=-时，()2xef x x=，定义为{|x x R ∈且}0x ≠关于原点对称.()()()22xxeef x f x xx --===-，则()f x 为偶函数. 当0x >时，()2xe f x x=.则()()()()222224322(2)x xxx x x e x x e e x e xe e x f x x x x x '''-⎛⎫--==== ⎪⎝⎭' 当02x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递减 当2x ≥时()0f x '≥，即则函数()f x 在[)2,+∞上单调递增. 根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为B 选项. 当1α=时，()xf x xe =，定义为R 关于原点对称.()()()xxf x x exe f x --=-=-=-，则()f x 为奇函数.当0x >时，()xf x xe =. 则()()()()(1)0xx x x x x f x xe x e e x e xe e x '''==+=+=+>'令()()1xg x e x =+，则()()()()()()111(2)0x xxxg x e x e x e x e x '''⎡⎤=+=+++=+'>⎣⎦即()0f x '>并且在()0,∞+上单调递增，并且()f x 在()0,∞+上单调递增.根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为D 选项. 故选：C【点睛】本题考查函数的图象，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于较难的题.12.已知函数()21,1ln ,1ax ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩()a R ∈，若函数()f x 有四个零点，则a 的取值范围是( )A. (),0-∞B. (),e +∞C. ()4,+∞D. ()24,e【答案】C 【解析】 【分析】由题意易知，0a ≤时不满足题意.当0a >且1x ≤时()21f x ax ax =-+，为开口向上，对称轴为12x =的二次函数，最多两个零点，当0a >且1x >时()ln f x x a x =-，()1a x a f x x x'-=-=，当x a >时()f x 单调递增，当x a ≤时()f x 单调递减，最多两个零点，若使得函数()f x 有四个零点，则需()11020a f f a ⎧>⎪⎪⎛⎫<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎩，求解即可.【详解】当0a =时，()1,1,1x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，函数()f x 无零点，舍去.当0a <且1x ≤时，()21f x ax ax =-+为开口向下，对称轴为12x =的二次函数， 211111102224f a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1110f a a =-+=>.则1x ≤时，函数()f x 与x 轴只有一个交点. 当0a <且1x >时，()ln f x x a x =-.()()()ln 10a x af x x a x x x''-=-=-=>' 函数()f x 在()1,+∞上单调递增，()()11f x f >=.则1x >时，函数()f x 与x 轴无交点.则当0a <时，函数()f x 有一个零点.与题意不符，舍去. 当0a >且1x ≤时()21f x ax ax =-+.为开口向上，对称轴为12x =的二次函数. 21111112224f a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1110f a a =-+=>.函数()f x 在(],1-∞最多有两个零点 当0a >且1x >时()ln f x x a x =-.()()()ln 1a x af x x a x x x''=-='-=-. 当x a >时()f x 单调递增，当x a ≤时()f x 单调递减，()ln f a a a a =- 函数()f x 在()1,+∞最多有两个零点若使得函数()f x 有四个零点，则需()11020a f f a ⎧>⎪⎪⎛⎫<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎩.即11104ln 0a a a a a >⎧⎪⎪-+<⎨⎪-<⎪⎩，解得4a >. 故选：C【点睛】本题考查根据函数零点个数，求参数的取值范围.属于较难的题.第二部分非选择题(共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置)13.已知圆C 的圆心坐标是()0,m ，若直线10x y -+=与圆C 相切于点()2,1A --，则m =______. 【答案】－3 【解析】 【分析】利用直线CA 与直线10x y -+=垂直得到1AC l k k ⋅=-，由此列方程求得m 的值.或利用圆心到切线的距离等于半径，结合两点间的距离公式列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意直线CA 与直线10x y -+=垂直，所以1AC l k k ⋅=-，即1112m +⨯=-，故3m =-.=3m =-.故答案为：3-【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查方程的思想，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足0n a >，且lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，若34674a a a a =，则5a =______.【解析】 【分析】根据等差中项的性质列方程，由此判断出{}n a 为等比数列，由等比数列的性质化简34674a a a a =求得5a 的值.【详解】∵lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，∴212n n n a a a ++=，即{}n a 为等比数列，∴237465a a a a a ==，从而4346754a a a a a ==则5a =0n a >，∴5a =【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查对数运算，考查等比数列的性质，属于基础题.15.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为F ，直线l ：y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为：______.1 【解析】 【分析】画出图像，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，根据椭圆对称轴以及AF BF ⊥，判断出四边形1AF BF 为矩形，利用直线y =的倾斜角，结合椭圆的定义列方程，化简后求得离心率.【详解】如图所示，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，由椭圆的对称性 及AF BF ⊥，可知1AF BF 为矩形，∴||||||OA OF OF c ===.由直线3y x =得60AOF ∠=︒，∴||AF c =，且130AF F ∠=︒，13AF c =. 椭圆的定义可得，1||32AF AF c c a +=+=，∴3131c e a ===-+. 故答案为：31-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的对称性，考查直线的倾斜角，考查椭圆离心率的计算，属于基础题.16.已知ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，23b =()2cos cos a c B b C -=，则ABC ∆面积的最大值为______. 【答案】33【解析】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简已知条件，求得cos B 的值，由此求得B 的大小，利用余弦定理和基本不等式求得ac 的最大值，由此求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由()2cos cos a c B b C -=得2cos cos cos a B b C c B =+，由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即()2sin cos sin A B B C =+，又∵()A B C π=-+，∴2sin cos sin A B A =，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，又()0,B π∈，∴3B π=.∵23b =222cos 2a c b B ac +-=得2222211222a c b ac a c ac+-=⇒+=+，由基本不等式式得，22122ac a c ac +=+≥，即12ac ≤，又因为三角形的面积为11sin 1222ac B ≤⨯=a c =时，取等号， 故ABC ∆面积的最大值为故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：(本大题共7小题,共70分.其中17至21题为必考题，22、23题为选考题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (一)必考部分：共60分17.某学习小组在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是小组成员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：(1)在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这5天中去掉了3月2日与3月28日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?(参考公式：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-)(参考数据：511319i ii x y==∑，521598i i x ==∑)【答案】(1)5ˆ32yx =-(2)得到的线性回归方程是不可靠的 【解析】【分析】(1)利用回归直线方程的计算公式，计算出回归直线方程.(2)用(1)求得的回归直线方程，预测当10,8x=时，估计数据与实验数据的误差，由此判断出得到的线性回归方程不可靠.【详解】(1)由数据得111312123x++==，253026273y++==.∴3972x y⋅=，23432x=.∵511319i iix y==∑，∴3113191023814977i iix y==-⨯-⨯=∑，由521598iix==∑，同理得321434iix==∑.∴31322139779725ˆ43443223i iiiix y x ybx x==-⋅-===--∑∑，5ˆˆ271232a y bx=-=-⨯=-.所以y关于x的线性回归方程为5ˆ32y x=-.(2)当10x=时，ˆ22y=，|2223|2-<，当8x=时，ˆ17y=，|1714|2->.所以得到的线性回归方程是不可靠的.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行检测，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，点D是AB的中点，BC AC=，22AB DC==，13AA=.(1)求证：平面1A DC⊥平面11ABB A；(2)求点A到平面1A DC的距离.【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】(1)通过证明1,CD AA CD AB ⊥⊥证得CD ⊥平面11ABB A ，由此证得平面1A DC ⊥平面11ABB A . (2)解法一：利用等体积法计算出点A 到平面1A DC 的距离；解法二：在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，证得AE 就是点A 到平面1A DC 的距离，利用等面积法求得点A 到平面1A DC 的距离. 【详解】(1)证明：∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1AA CD ⊥， ∵BC AC =，D 是的AB 的中点，∴CD AB ⊥， 又1AA AB A =I ，∴CD ⊥平面11ABB A ，∵CD ⊂平面1A DC ，∴平面1A DC ⊥平面11ABB A ；(2)解法一∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA 是三棱锥1A ADC -的高， 且1AA AD ⊥，由(1)及已知得ADC ∆是腰长为1的等腰直角三角形，111122ADC S ∆=⨯⨯=，∴11111332A ADC ADC V S AA -∆=⨯=⨯=，又1AA 12A D ==，由(1)得CD ⊥平面11ABB A ，1A D ⊂平面11ABB A ，∴1CD A D ⊥， ∴111121122A DC S A D CD ∆=⨯=⨯⨯=，设点A 到平面1A DC 的距离为h ，由11A A DC A ADC V V --=，得11S 36A DC h ∆⨯=，∴h =A 到平面1A DC解法二：由(1)平面1A DC ⊥平面11ABB A ，平面1A DC I 平面111ABB A A D =，在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，则AE ⊥平面1A DC ，故AE 就是点A 到平面1A DC 的距离， ∵1AA ⊥平面ABC ，∴在1Rt A AD ∆中，22112A D A A AD =+=.利用等面积得1131322A A AD AE A D ⋅===，因此，点A 到平面1A DC 3【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.已知数列{}n a 满足，()()*32111N 232n a a a a n n n n +++⋅⋅⋅+=+∈. (1)求1a ，2a 的值(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)设121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*N n ∀∈，314n S ≤<. 【答案】(1)11a =,24a =(2)()2*N n a n n =∈(3)证明见解析【解析】 【分析】(1)根据题目所给已知条件，依次求得12,a a 的值. (2)利用“退1作差法”求得数列{}n a 的通项公式.(3)利用裂项求和法求得数列{}n b 的前n 项和为n S ，根据n S 的单调性证得314n S ≤<. 【详解】(1)由()32111232n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=+()*N n ∈ 当1n =时，()111112a =+=，即11a =.当2n =时，()211221322a +=⨯⨯+=，解得24a =. (2)∵()32111232n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=+①，∴当2n ≥时，()3121112312n a a a a n n n -+++⋅⋅⋅+=--②①－②()()111122n a n n n n n n =+--=，∴2n a n =，由(1)11a =，即上式当1n =时也成立. 因此，{}n a 的通项公式为()2*N n a n n =∈；(3)由(2)得()()2222121211111n n n n n b a a n n n n +++===-++， ∴()123222222211111111223341n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭()2111n =-+∵()2111n S n =-+单调递增，∴当1n =时n S 取最小值134S =， ∵*N n ∀∈，()2101n >+，∴()21111n -<+，即1n S <.因此，314n S ≤<. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.20.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且满足0||1PF y =+.(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线C 上的任意一点M 作抛物线C 的切线，交抛物线C 的准线于点N .在y 轴上是否存在一个定点H ，使以MN 为直径的圆恒过H .若存在，求出H 的坐标，若不存在，则说明理由. 【答案】(1)24x y =(2)存在一个定点()0,1H ，使以MN 为直径的圆恒过H【解析】 【分析】(1)利用抛物线的定义，结合0||1PF y =+，求得p ，由此求得抛物线C 的方程.(2)首先假设存在一个H ，使以MN 为直径的圆恒过H .设出切线MN 的方程，利用导数建立切线斜率的等量关系式，结合HM HN ⊥0HM HN ⋅=⇒u u u u r u u u r，利用向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得H 点的坐标，由此证得存在H 点符合题意. 【详解】(1)由抛物线定义知0||2pPF y =+，又0||1PF y =+， ∴0012py y +=+，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.(2)存在一个H ，使以MN 为直径的圆恒过H . 由(1)得抛物线C 为214y x =，准线方程为1y =-. 依题意切线MN 斜率一定存在且不为0，设切线MN 方程为y kx b =+. 设定点为()0,H t ，()()111,0M x y x ≠，(),1N a -，∵12y x '=，∴切线斜率112k x =，又211111114MN x y k x a x a ++==--， ∵MN k k =，∴211111142x x x a+=-，解得1122x a x =-. 以MN 为直径的圆恒过定点H 等价于HM HN ⊥.∴()211111,,4HM x y t x x t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u u r ，112,12x HN t x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u r .∴()2111121124x HM HN x x t t x ⎛⎫⎛⎫⋅=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()22111204t x t t =-++-=恒成立.∴10t -=且220t t +-=，解得1t =，存在一个定点()0,1H ，使以MN 为直径的圆恒过H .【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的切线、圆的几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查利用导数求解抛物线切线有关问题，考查运算求解能力，属于中档题. 21.设函数()ln xg x x ae =+，()xh x axe =，10ea <<，(1)求()g x 在1x =处的切线的一般式方程； (2)请判断()g x 与()h x 的图像有几个交点?(3)设0x 为函数()()g x h x -的极值点，1x 为()g x 与()h x 的图像一个交点的横坐标，且10x x >，证明：0132x x ->.【答案】(1)()110ae x y +--=(2)()g x 与()h x 的图像有2交点(3)证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程.(2)构造函数()()()f x g x h x =-，利用导数研究()f x 的单调区间和零点，由此判断()g x 与()h x 的图像的交点个数.(3)结合(2)以及题意得到()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，化简得到102011ln e 1x x x x x -=-，利用放缩法以及取对数运算，化简证得0132x x ->成立.【详解】(1)由()1e x g a xx '=+得切线的斜率为()11e k g a '==+，切点为()1,e a . ∴切线方程为：()()e 1e 1y a a x -=+-， ∴所求切线的一般式方程为()110ae x y +--=.(2)令()()()ln e e xxf xg xh x x a ax =-=+-由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+，且()()211e e 1e x x xax f x a a x x x-'=+-+=. 令()21e xm x ax =-，得()()22e exxm x a x x '=-+，由10ea <<，0x >得，可知()m x 在()0,∞+ 内单调递减，又()11e 0m a =->，且221111ln 1ln 1ln 0m a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()0m x =在()0,∞+内有唯一解，从而()0f x '=在()0,∞+内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a <<，当()00,x x ∈时，()()()00m x m x f x x x'=>=，∴()f x 在()00,x 内单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x f x x x'=<=，∴()f x 在()0,x +∞内单调递减， 因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1x x x ϕ=-+，则当1x >时，()110x xϕ'=-<，故()x ϕ在()1,+∞内单调递减， ∴当1x >时，()()10x ϕϕ<=，即ln 1x x <-，从而1ln 111ln ln ln 1ln a f a e a a a ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln ln ln 1ln 0a a a ϕ⎛⎫=-+=< ⎪⎝⎭，又因为()()010f x f >=，∴()f x 在()0,x +∞内有唯一零点，又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在()0,∞+内恰有两个零点. 所以()g x 与()h x 的图像有2交点；(3)由(2)及题意，()()010,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011e 1,ln 1e ,xx ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-, ∵当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故()1020120111x x x x e x x --<=-, 两边取对数，得120ln ln x x e x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->，命题得证.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究两个函数图像的交点个数，考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.(二)选考部分：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.设A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.(Ⅰ)写出1C 参数方程和2C 普通方程；(Ⅱ)求AB 最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ)2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),()2251x y -+=(Ⅱ)1，2 【解析】【分析】(Ⅰ)根据椭圆的参数方程cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩，(α为参数)，直接写出1C 参数方程，再根据222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩，将2C 转化为普通方程，即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，设()2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M，计算AM =计算max AM 与min AM ，求解max 1AM +与min 1AM -，即可.【详解】(Ⅰ)由题意可得1C的参数方程为：2cos ,,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)， 又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=， ∴2C 的普通方程为2210240x y x +-+=，即()2251x y -+=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得，设()2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M ，则||AM === ∵[]cos 1,1α∈-，∴当1cos 2α=-时，max ||AM =当cos 1α=时，min ||3AM =. 当1cos 2α=-时，max max ||||11AB AM =+=； 当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，以及二次函数的最值，属于中档题. 23.已知函数()()22f x x a a R =-∈，对R x ∀∈，()f x 满足()()2f x f x =-.(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若R x ∃∈，使不等式()()2122f x f x m m -+≥+，求实数m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)1a =,(Ⅱ)21m -≤≤【解析】【分析】(Ⅰ)根据函数的对称性， 确定()f x 的图象关于直线1x =对称，求解即可.(Ⅱ)令()()()3,11231,1123,1x x g x f x f x x x x x --≥⎧⎪=-+=---≤<⎨⎪+<-⎩，则()()max 12g x g =-=，根据存在性问题，可知()2max g x m m ≥+，求解m 的取值范围即可. 【详解】(Ⅰ)∵R x ∀∈，()()2f x f x =-，∴()f x 的图象关于直线1x =对称，又()|22|2||f x x a x a =-=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称，∴1a =.(Ⅱ)令()()()122g x f x f x =-+，由(Ⅰ)()2|1|f x x =-， 则()3,112131,113,1x x g x x x x x x x --≥⎧⎪=--+=---≤<⎨⎪+<-⎩因此，()g x 区间[)1,-+∞上单调递减，在区间(),1-∞-上单调递增. ∴()()max 12g x g =-=.R x ∃∈使不等式()()2122f x f x m m -+≥+等价于()2maxg x m m ≥+，即220m m +-≤.解得21m -≤≤，即实数m 的取值范围是21m -≤≤.【点睛】本题考查函数的对称性，含绝对值不等式的求解，属于常规题.。
2020届广东省茂名市五校高三上学期第一次(10月)联考数学(理)试题(解析版)
2020届广东省茂名市五校高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2430x x x A -+≥=，{}22x x B =-≤≤，则A B =I ( ). A ．[2,3] B ．[2,1]-C ．[1,2]D ．[2,3]-【答案】B【解析】先求集合A ，再求A B I . 【详解】{|3A x x =…或1}x „，[]2,1A B =-I ∴.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型.2．已知复数Z 满足()12Z i i +=+（i 为虚数单位），则复数Z 的虚部为（ ）. A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i 【答案】A 【解析】首先21iZ i+=+，然后化简求虚部. 【详解】231122i i i Z +=-+=，虚部为12-.故选A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型. 3．设实数3log 5a =，151log 3b =，22cos 4xc dx ππ-=⎰，则（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】C【解析】利用定积分运算法则求c ，再利用对数函数的单调性比较大小，即可得到答案． 【详解】由题意得：33log 5log 31a =>=，实数1551log 33b log ==，∴112b <<， 2222cos sin 111|()44442x x c dx ππππ--===--=⎰，a b c >>Q ，故选：C ． 【点睛】本题考查定积分运算、对数函数的单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 4．给出以下几个结论：①命题:p x R ∀∈，211x -≤，则0:p x R ⌝∃∈，2011x -≤②命题“若(1)10x x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10x x e -+≠” ③“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件 ④若02x π<<，则4sin sin x x+的最小值为4 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用命题的否定判断①的正误；运用逆命题的关系判断②的正误；充要条件判断③的正误；函数的最小值判断④的正误． 【详解】对①，命题:p x R ∀∈，211x -≤，则200:,11P x R x ⌝∃∈->，不满足命题的否定形式，故①错误；对②，命题“若(1)10xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10x x e -+≠”，满足逆否命题的定义，故②正确；③“命题p q ∧为真”可知“命题p q ∨为真”反之不成立，所以“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件，故③正确；④若02x π<<，则4133sin sin 5sin sin sin 1x x x x x +=++≥=，当且仅当sin 1x =时，表达式取得最小值为5；因为sin 1x <，所以表达式没有最小值，故④错误；∴②③结论正确，故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假以及函数的最值的求解．5．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前三天共走了（ ）. A ．48里 B ．189里C ．288里D ．336里【答案】D【解析】记每天走的路程里数为{}n a ，{}n a 是等比数列，根据等比数列公式求解 【详解】记每天走的路程里数为{}n a ，{}n a 是等比数列，设第一天行走里程数是1a ，12q = ，166112378112a s ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，1192a =，33119212336112s ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∴，故选：D. 【点睛】本题考查数学文化问题，意在考查抽象，概括和计算求解能力，属于基础题型. 6．某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，则这个几何体的体积等于（ ）.A ．33B ．23C ．3D ．3 【答案】C【解析】根据三视图的三个图都是三角形，可知几何体是三棱锥，底面是如俯视图的底面，三棱锥的高是正视图的高，13V Sh =. 【详解】由三视图可知几何体是三棱雉，底边是边长为2的等边三角形，12332S =⨯⨯=，高为3， 13333V =⨯⨯=， 故选：C . 【点睛】本题考查根据三视图，求几何体的体积，意在考查空间想象和计算能力，属于基础题型. 7．函数3sin 2xy x =的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <判断选项. 【详解】3xy =是偶函数，sin 2y x =是奇函数，()3sin 2xf x x =是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ，当(,)2x ππ∈时，30x y =>，sin 20y x =<3sin 20xy x ∴=<，排除C.故选D . 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项. 8．已知函数()()2cos 23042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）.A ．1B ．65C ．43D ．32【答案】C【解析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=-2cos 3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x Q 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆ ∴23ωπππ+≤，403ω∴<≤ ，综上可知403ω<≤.故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解. 9．若正数,a b 满足211a b +=，则4821a b +--的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．16【答案】B 【解析】把已知211a b +=变形后代入4821a b +--化简后，再利用基本不等式求得最小值． 【详解】 ∵211a b+=，0,0a b >>，∴2,1a b >>，2a b ab +=， ∴484(1)8(2)8420421021(2)(1)22b a a b a b a b a b ab a b -+-+-+===+-------+=212(2)()10a b a b ++-222(5)102(5108a b b a =++-≥+-=，当且仅当22a b b a =，即3a b ==时，等号成立， ∴4821a b +--的最小值是8． 故选：B ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值．解题关键是把待求化简变形，然后凑配出可用基本不等式的形式，即定值，然后用基本不等式求得最值．这时用到了“1”的代换．10．已知函数()()()24sin 21f x x x x x =--++在[]1,5-上的最大值为M ，最小值为m ，则 M m +=（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】D【解析】()()()()()2242124sin 223f x x x sin x x x x x ⎡⎤=--++=---+-+⎣⎦Q令()()()224sin 22g x x x x ⎡⎤=---+-⎣⎦而()()()()()2424sin 2sin 22g x x x x x ⎡⎤-=-----+-⎣⎦ ()()40g x g x ∴-+=则()g x 关于()20，中心对称，则()f x 在[]15-，上关于()23，中心对称， 6M m ∴+=故答案选D点睛：对函数的解析式进行化简，构造出新函数()()()224sin 22g x x x x ⎡⎤=---+-⎣⎦，求得该函数关于点对称，从而计算出最大值与最小值的和．11．在等腰直角三角形ABC 中，,2C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD翻折，使点A 与点B 间的距离为此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．3C ．12πD ．20π【答案】D【解析】如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【详解】ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===翻折后AB =(222221cos 2222ADB +-∴∠==-⨯⨯ ，120ADB ∴∠=o ，设ADB ∆外接圆的半径为r ，24r == ，2r ∴= ， 如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，222221215R r =+=+= ，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解. 12．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞ 【答案】A【解析】由已知可知，32()20f x x ex ax lnx '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立，分离系数可知，22lnxa ex x x≥+-在(0,)+∞上恒成立，构造函数即可求解． 【详解】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x -+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A . 【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．二、填空题13．已知两个向量a r ，b r 满足1a =r，2a b -=r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则b =r_________．【答案】3【解析】根据平面向量的数量积与模长公式，列方程求出||b r的值． 【详解】由||1a =r，|2|a b -=r r a r 与b r 的夹角为3π，∴222(2)447a b a a b b -=-+=r r r r r r g ，24141||cos ||73b b π⨯-⨯⨯⨯+=r r ，∴2||2||30b b --=r r ，解得||3b =r 或||1b =-r（不合题意，舍去）．∴||3b =r．故答案为：3． 【点睛】本题考查平面向量的数量积与模长公式的计算问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．14．已知动点(),P x y 满足20030x y y x y -⎧⎪⎨⎪+-⎩……„，则12y x ++的取值范围是___________.【答案】1[,1]5【解析】首先做出可行域，12y x ++表示(),P x y 与()21--，连线的斜率k ，根据数形结合求k 的范围. 【详解】 作出可行域如图，12y x ++表示(),P x y 与()21--，连线的斜率k ，当直线过点()1,2时，k 最大，此时()()21112k --==--，当直线过点()3,0时，k 最小，此时()()011325k --==-- k 的最小值为15， 故答案为：1[,1]5.【点睛】本题考查线性规划，根据目标函数的几何意义求最值，属于基础题型.15．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2a 和1n a -是函数21()ln 42f x x x nx =+-的极值点，则数列{}(1)n n S -的前2n 项和为___________.【答案】242n n +【解析】首先求函数的导数，得到2410x nx -+=，所以214n a a n -+=，根据等差数列的性质和求和公式得到22n S n =，再代入()1nn S -，利用并项求和. 【详解】1'()40f x x n x=+-=， 2410x nx -+=∴.214n a a n -+=∴，14n a a n +=∴，22n S n =∴，数列{}(1)n n S -的前2n 项和为 222222222[12345(21)(2)]n S n n =-+-+-+--+L22[37(41)]42n n n =+++-=+L .【点睛】本题考查函数极值点和数列求和的综合应用，重点考查数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.并项求和法，比如本题；6.倒序相加法求和.16．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>且(1)y f x =+是偶函数，2(0)2f e =，则不等式()2x f x e <的解集为_________．【答案】(,2)-∞【解析】设()()x f x g x e=，结合已知可判断()g x 在R 上单调递增，然后由(1)y f x =+是偶函数，及(0)f 可求(2)f ，进而可求(2)g ，即可求解．【详解】 设()()x f x g x e =，()()()0xf x f x x e '-'=>g ∴， ()g x ∴在R 上单调递增，(1)y f x =+Q 是偶函数，()y f x ∴=图象关于1x =对称，2(2)(0)2f f e ∴==，2(2)(2)2f g e ∴==， ()()22x x f x f x e e<⇔<，即()(2)g x g <， 2x ∴<.故答案为：(,2)-∞.【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及转化思想的应用，考查计算能力．三、解答题17．已知向量(cos ,sin ),(cos )m x x n x x ==u r r ，函数1()2f x m n =⋅-u r r . （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3,()625f ππαα∈=（，），求cos2α的值； 【答案】（1）π；（2【解析】（1）首先利用向量数量积得到21()cos cos 2f x x x x =+-，利用三角函数恒等变形得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭ ，然后利用周期公式2T ωπ=求周期；（2）由（1）可知3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】（1）21()cos cos 2f x x x x =-，1cos 21222x x +=+-12cos 22x x =+ sin(2)6x π=+ ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）3()sin(2)65f παα=+=， ,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，72,626ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 4cos(2)65πα+=-∴， cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， =cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα+++4313==525210--⨯+⨯【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，意在考查变形与转化，以及计算求解能力，属于基础题型.18．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n nS n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <. 【答案】（1）31n n a =-；（2）证明见解析；【解析】（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明14n T <. 【详解】（1）223n n S n a +=Q ，1122(1)3n n S n a ++∴++=，两式相减得132n n a a +=+ ，113(1)n n a a ++=+∴ ，又111223,2S a a +==∴，∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，13,31n n n n a a +==-∴∴（2）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭∴ 1111142314n +=-⋅<- 【点睛】本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.19．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-．（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，11cos 14B =，21AD =ABC V 的面积S ． 【答案】（1）3π．（2）3【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出C 的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换的应用，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（1）2cos 2c A b a =-Q ，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin()sin C A A C A ∴=+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴，2sin cos sin A C A ∴=，Q sin 0A ≠，1cos 2C ∴=， (0,)C π∈Q ，3C π∴∠=. （2）Q 11cos 14B =，(0,)B π∈，53sin B ∴=， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+53111343214=+=， 43533::sin :sin :sin 8:5:7a b c A B C ∴===， 设8a x =，5b x =，7c x =， 在ACD V 中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅， 22221251620x x x ∴=+-，1x ∴=，8a ∴=，5b =，7c =，1sin 1032ABC S ab C ∴==V【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．20．在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，//PE CD ，2AB BC ==，4=AD ，25PD =，PDA ∠的余弦值为25，1=2PE CD ，F 为BE 中点，G 为PD 中点．（1）求证：//FG 平面ABCD ；（2）求平面BCE 与平面ADE 所成角(锐角)的余弦值．【答案】（1）答案见解析．（2）35【解析】（1）取EC 的中点H ，连结FH ，GH ，证明//FH BC ，//FH 平面ABCD ，//HG CD ，//HG 平面ABCD ，然后证明平面//FHG 平面ABCD ，推出//FG 平面ABCD ；（2）在PAD ∆中，求出2PA =，说明PA AD ⊥，以AD 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．求出平面BCE 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面ADE 所成角的余弦值即可．【详解】（1）取EC 得中点H ，连结FH ，GHF Q 为BE 中点，//FH BC ∴，FH ⊄Q 平面ABCD ．BC ⊂平面ABCD ，//FH ∴平面ABCDG Q 为PD 中点，//EP CD//HG CD ∴HG ⊄Q 平面ABCD ．CD ⊂平面ABCD//HG ∴平面ABCD=FH HG H ⋂Q ∴平面//FHG 平面ABCDFG ⊂Q 平面FHG //FG ∴平面ABCD（2）在PAD △中，222=2cos PA PD AD PD AD PDA +-⋅⋅∠25201622544=+-⨯=， 2PA ∴=，222PA AD PD ∴+=，PA AD ∴⊥，又∴平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PA ∴⊥平面ABCD ，以AD 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，A 为原点建立空间直角坐标系． (0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(4,0,0),(0,0,2)A B C D P --， 设11(,,),2,2E x y z PE CD EP CD =∴=u u u r u u u r Q ， ∴1(,,2)(2,2,0)2x y z ---=，1x ∴=-，1y =-，2z =， ∴点E 的坐标为(1,1,2)--,设平面ADE 的一个法向量：1111(,,)n x y z =u r ，(4,0,0)(1,1,2)AD AE ==--u u u r u u u r ， ∴11114020x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1112,z y =∴=， ∴1(0,2,1)n =u r ，设平面BCE 的一个法向量2222(,,)n x y z =u u r ，22,n BC n BE⊥⊥u u r u u u r u u r u u u r Q ，∴(2,0,0),(1,1,2)BC BE ==-u u u r u u u r ， ∴22222020x x y z =⎧⎨-++=⎩令2212,z y =∴=-，∴2(0,2,1)n =-u u r ，∴123cos ,5n n <>==-u r u u r ∴平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值为35． 【点睛】本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．21．已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析．（2）(0,1)【解析】（1）先求()f x 的定义域，然后进行求导，然后结合a 的范围判断导数的正负即可判断，（2）构造函数()0f x =，分离22lnx x a x x +=+，构造函数22()lnx x g x x x+=+，然后结合导数与函数的关系进行判断即可．【详解】（1）Q ()f x 的定义域为(0,)+∞， 1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=， ①当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，②当0a >时，令()0f x '>得10ax ->，1x a ∴<， ()f x ∴在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减. （2）令2()ln (2)0f x x ax a x =-+-=得2ln 2x x a x x+=+， 设2ln 2()x x g x x x+=+，22(21)(1ln )()()x x x g x x x +--'∴=+， 令()1ln p x x x =--，1()10p x x'=--<在(0,)+∞上恒成立， ()p x ∴在(0,)+∞上单调递减，又(1)0p =Q ，∴当(0,1)x ∈时()0p x >，即()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时()0p x <，即()0g x '<；()g x ∴在(0,1)上单调递增，(1,)+∞上单调递减，当0x +→时，()g x →-∞，(1)1g =；当x →+∞时，()0g x →作出()g x 的图象如图：a ∴的取值范围为(0,1).【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力． 22．已知函数()sin sin f x x x a x b =++，()cos 2x x g x e x e =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =．（1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >，证明：()()g x f x >．【答案】（1）1a =，0b =．（2）答案见解析【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，求出切点，代入切线方程，求出b 即可．（2）要证()()g x f x >，即证(cos (1)sin x e x x x +>+，等价于证明：1x e x >+()(0)1xe p x x x =>+，利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值，证明即可．【详解】（1）()sin cos cos f x x x x a x '=++Q ，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，(0)1f a '∴==，又(0)f b =，切点(0,)b 在切线y x =上，0b ∴=.（2）由（1）可知()(1)sin f x x x =+，要证()()g x f x >，即证(cos (1)sin x e x x x >+0x Q >，10x +>，cos 0x >∴等价于证明：1x e x >+ 设()(0)1xe p x x x =>+，2()0(1)x xe p x x '=>+在(0,)+∞上恒成立， ()p x ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)1p x p ∴>=，设()y h x ==，cos sin y x x ∴=，sin cos x y x ∴-=，)x ϕ+=，sin()x ϕ∴+=，1≤，解得11y -≤≤，即()1()h x p x ≤<，()()g x f x ∴>．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，构造法的应用以及函数的最值证明不等式，考查转化思想以及计算能力，是难题．。
2020年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)
2020年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1. 已知集合A＝{x∈Z|−2<x<4}，B＝{x|x2−2x−3<0}，则A∩B＝（）A.(−2, 1)B.(−1, 3)C.{−1, 0}D.{0, 1, 2}2. i为虚数单位，复数z=2ii−1在复平面内对应的点所在象限为（）A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限3. 记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5＝a3+16，a1＝1，则a2+a6＝（）A.10B.11C.12D.134. 剪纸是我国的传统工艺，要剪出如图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字．（）A. B. C. D.5. 记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝7，则a3⋅a5＝（）A.64B.729C.64或729D.64或2436. 公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是（）（精确到0.01）．（参考数据sin15∘≈0.2588）A.3.14B.3.11C.3.10D.3.057. 已知F1、F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为(0, b)，则双曲线C的离心率为（）A.√2B.√3C.√5D.28. 前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有（）种派遣方法．A.120B.96C.48D.609. 设函数f(x)＝sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)(ω>0, |φ|≤π2)的最小正周期为π，且过点(0,√2)，则下列正确的为（ ） ①f(x)在(0,π2)单调递减． ②f(x)的一条对称轴为x =π2． ③f(|x|)的周期为π2．④把函数f(x)的图象向左平移π6个长度单位得到函数g(x)的解析式为g(x)=√2cos(2x +π6)A.①②B.①③C.①②③D.①②④10. 下列函数图象中，函数f(x)＝x αe |x|(α∈Z)的图象不可能的是（ ） A.B.C.D.11. 已知A(−√2,0)，B(√2,0)及抛物线方程为x 2＝8(y −1)，点P 在抛物线上，则使得△ABP 为直角三角形的点P 个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12. 已知函数f(x)={ax 2−ax +1,x ≤1x −alnx,x >1(a ∈R)，若函数f(x)有四个零点，则a 的取值范围是（ ） A.(−∞, 0) B.(e, +∞) C.(4, +∞)D.(4, e 2)二、填空题：已知实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0 ，则z ＝3x +y 的最小值为________．在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60∘，AB ＝2，且点M 满足BM →=2CM →，则AM →⋅BC →=________．点P 为曲线y ＝2x 2+ln(4x +1)(x >−14)图象上的一个动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则当α取最小值时x 的值为________14 ．如图，网格纸上小正方形的边长为0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于________．三、解答题：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知bsinB +a(sinA −sinB)＝csinC ．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求sinA +sinB 的取值范围．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC ＝AC ，AB ＝2DC ＝2√2，AA 1＝4．(Ⅰ)求证：BC 1 // 平面A 1CD ；(Ⅱ)求平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表：(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布N(μ, σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差S 2≈77.8．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数．（结果四舍五入到整数）(ⅱ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X 服从正态分布N(μ, σ2)，σ=√77.8≈9，则P(μ−σ<X <μ+σ)＝0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)＝0.9544，P(μ−3σ<X <μ+3σ)＝0.9974设函数f(x)＝e x −mx +n ，曲线y ＝f(x)在点（ln2, f(ln2)）处的切线方程为x −y −2ln2＝0．(Ⅰ)求m ，n 的值；(Ⅱ)当x >0时，若k 为整数，且x +1>(k −x)[f(x)+x +1]，求k 的最大值．在圆x 2+y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，点M 在线段PD 上，且DM →=12DP →，点M 的轨迹为曲线C 1．（1）求曲线C 1的方程；（2）过抛物线C 2:y 2＝8x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交曲线C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取得最小值时直线l 的方程．设A 为椭圆C 1:x 24+y 224=1上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2−10ρcosθ+24＝0，B 为C 2上任意一点． (Ⅰ)写出C 1参数方程和C 2普通方程； (Ⅱ)求|AB|最大值和最小值．已知函数f(x)＝|2x −2a|(a ∈R)，对∀x ∈R ，f(x)满足f(x)＝f(2−x)． (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若∃x ∈R ，使不等式12f(x)−f(x +2)≥m 2+m ，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2020年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{−1, 0, 1, 2, 3}，B＝{x|−3<x<1}，∴A∩B＝{−1, 0}．2.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】由题意分子分母同乘以1+i，再进行化简求出实部和虚部即可．【解答】∵z=2ii−1=2i(i+1)(i−1)(i+1)=1−i，∴在复平面内对应的点为(1, −1)，3.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列通项公式求和公式即可得出．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，∵S5＝a3+16，a1＝1，∴5+5×42d＝1+2d+16，解得d=32．则a2+a6＝2+6×32=11．4.【答案】D【考点】图形的对称性【解析】把剪出“双喜”字对折两次即可得出结论．【解答】如图“双喜”字，第一次对折后为；第二次对折后为；5.【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1＝1，S3＝7，∴1+q+q2＝7，解得q＝2，或−3．则a3⋅a5＝q6＝64或729．6.【答案】B【考点】类比推理【解析】连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，可以计算出每个等腰三角形的面积，再算出正二十四边形的面积，即可求出π的近似值．【解答】连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为1，顶角为360024=150，所以每个等腰三角形的面积s=1 2×1×1×sin360024=12×sin150，所以正二十四边形的面积为24s＝12×sin15∘≈12×0.2588≈3.11，7.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】利用双曲线的通径的一半为2b，列出方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】F1、F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为(0, b)，可得：2b=b2a，可得2a＝b，所以双曲线的离心率为：e=ca =√a2+b2a2=√5．8.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2种情况讨论：①，选出的4人中没有张三，此时将选出的4人全排列，对应4项工作即可，②，选出的4人中没有张三，需要在其他4人中选出3人，再让选出4人担任4项工作，张三不担任裁判工作，由加法原理计算可得答案．【解答】根据题意，需要先在5人中选出4人，分2种情况讨论：①，选出的4人中没有张三，此时将选出的4人全排列，对应4项工作即可，此时有A44＝24种情况，②，选出的4人中没有张三，需要在其他4人中选出3人，再让选出4人担任4项工作，张三不担任裁判工作，有C43×3×A33＝72种情况，则一共有24+72＝96种安排方法；9.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】首先把三角函数的关系式进行变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．【解答】函数f(x)＝sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|≤π2)，由于函数的最小正周期为π，所以ω=2ππ=2，由于函数的图象经过点(0,√2)，所以√2=√2sinφ，所以φ=π2．所以函数f(x)=√2sin(2x+π2)=√2cos2x，对于①f(x)在x∈(0,π2)时，2x∈(0, π)，所以函数单调递减．故正确．对于②f(x)的一条对称轴为x=π2．当x=π2时，函数取得最小值，故正确．③f(|x|)=√2cos2|x|，所以函数的周期为π．故错误．④把函数f(x)的图象向左平移π6个长度单位得到函数g(x)=√2cos(2x+π3)，故错误．10.【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】结合函数定义域，奇偶性以及幂函数的性质分别进行判断即可． 【解答】A 图象中函数的定义域为R ，函数是偶函数，则α为正偶数时，满足对应图象，B 图象中函数的定义域为{x|x ≠0}，函数是偶函数，则α为负偶数时，满足对应图象，C 图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故C 不满足条件．D 图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故D 满足条件． 11.【答案】 D【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】讨论分别以P ，A ，B 为直角顶点的情况，可得△ABP 为直角三角形的个数． 【解答】由题意如图所示，当∠PAB ，∠PBA 为直角时，即当PB ⊥AB ，PA ⊥AB 时有两个点， 当PA ⊥PB ，即PA →⋅PB →=0，∠APB 为直角时，设P(a, a 28+1)，∵ PA →⋅PB →=(a +√2, a 28+1)⋅(a −√2, a 28+1)＝0，即(a +√2)(a −√2)+(a 28+1)2＝0，整理：a 4+80a 2−64＝0，可得由两个根，即有两个P 点关于y 轴对称， 综上所述共有4个点P 满足△ABP 为直角三角形， 12.【答案】 C【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】当a ＝0时，显然不符合题意，舍去；当a <0时，f(x)＝x −alnx 为(1, +∞)上的增函数，在区间(1, +∞)上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去； 当a >0时，使f(x)在(−∞, 1]上有两个零点，在(1, +∞)上有两个零点即可． 【解答】②当a <0时，f(x)＝x −alnx 为(1, +∞)上的增函数，在区间(1, +∞)上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去（1）③当a >0时，则f(x)在(−∞, 1]上有两个零点，在(1, +∞)上有两个零点．当x ≤1时，f(x)＝ax 2−ax +1＝a(x −12)2+4−a 4，由于对称轴是x =12，f(0)＝f(1)＝1>0，故只要f(12)<0，即a >4(2)当x >1时，f(x)＝x −alnx ，f ′(x)＝1−ax =x−a x，令f ′(x)＝0，则x ＝a ，当0<a ≤1时，f ′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增，与条件矛盾，不符合题意，舍去（3）当a >1时，x ∈(1, a)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(a, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增（4）且根据不同函数的增长率的知识知，必然存在x 0∈(a, +∞)，使得f(x 0)＝x 0−alnx 0>0(5)故x ＝a 时f(x)有极小值，要满足条件，只要f(a)＝a −alna <0，即a >e(6)综上所述，a >4且a >e ，故a >4(7)故选：C ． 二、填空题： 【答案】 1【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】由实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0 ，作出可行域如图，联立{2x +y −1=0x +2y −2=0，解得A(0, 1)， 化目标函数z ＝3x +y 为y ＝−3x +z ，由图可知，当直线y ＝−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×0+1＝1． 【答案】 6【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意可知△ABC 是等边三角形．且点C 是BM 的中点，将AM →用AB →，BC →表示，再进行AM →⋅BC →运算．【解答】因为在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60∘，AB ＝2， 所以△ABC 是等边三角形．因为点M 满足BM →=2CM →，所以，点C 是BM 的中点， AM →=AB →+BM →=AB →+2BC →，所以AM →⋅BC →=(AB →+2BC →)⋅BC →=AB →⋅BC →+2BC →2=2×2×cos120∘+2×22＝6， 【答案】14【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程求出原函数的导函数，利用基本不等式求得导函数的最小值，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案． 【解答】由y ＝2x 2+ln(4x +1)(x >−14)， 得y′＝4x +44x+1=4x +1+44x+1−1≥2√(4x +1)⋅44x+1−1=3， 当且仅当4x +1=44x+1，即x =14时，y′最小，此时tanα最小，α最小． 【答案】 8√23π 【考点】球内接多面体 由三视图求体积 【解析】判断出几何体外框架为正方体即可 【解答】根据该几何体的三视图可知该几何体外框架为正方体，棱长为2， 则其外接球的半径R =√22+22+222=√2，所以其体积为V =43πR 3=8√23π， 三、解答题：【答案】（1）由bsinB +a(sinA −sinB)＝csinC ，及正弦定理 asinA =bsinB =csinC ，得a(a −b)+b 2＝c 2，即a 2+b 2−c 2＝ab ， 由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =12，结合0<C <π，得C =π3． （2）∵ C =π3， ∴ A +B ＝π−C =2π3，即B =2π3−A ，则sinA +sinB ＝sinA +sin(2π3−A)＝sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA =√3sin(A +π6)， ∵ A ∈(0, 2π3)， ∴ A +π6∈( π6, 5π6)， ∴ sin(A +π6)∈(12, 1]，则sinA +sinB 的取值范围是(√32, √3]．正弦定理 【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式可得a(a −b)+b 2＝c 2，即a 2+b 2−c 2＝ab ，再利用余弦定理结合0<C <π，得C ．(Ⅱ)根据C 的度数求出A +B 的度数，用A 表示出B ，代入sinA +sinB 中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据A 的范围得到这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出所求式子的范围． 【解答】（1）由bsinB +a(sinA −sinB)＝csinC ，及正弦定理 asinA =bsinB =csinC ，得a(a −b)+b 2＝c 2，即a 2+b 2−c 2＝ab ， 由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =12，结合0<C <π，得C =π3． （2）∵ C =π3， ∴ A +B ＝π−C =2π3，即B =2π3−A ，则sinA +sinB ＝sinA +sin(2π3−A)＝sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA =√3sin(A +π6)， ∵ A ∈(0, 2π3)， ∴ A +π6∈( π6, 5π6)，∴ sin(A +π6)∈(12, 1]，则sinA +sinB 的取值范围是(√32, √3]．【答案】（1）证明：取A 1B 1中点E ，连结BE ，C 1E ， ∵ 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点， ∴ BE // A 1D ，C 1E // CD ，∵ DA 1∩DC ＝D ，BE ∩C 1E ＝E ，平面CDA 1 // 平面C 1EB ， ∵ BC 1 // 平面A 1CD ．（2）取BC 的中点O ，连结AO ，过O 作BF // A 1B 1，交B 1C 1于F ，F 是B 1C 1中点，∵ AA 1⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC ＝AC ，AB ＝2DC ＝2√2，AA 1＝4．∴ AO ⊥BC ，以O 为原点，OC 为x 轴，OF 为y 轴，OA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，平面BCC 1B 1的法向量为m →=(0, 0, 1)，A 1(0, 4, 2)，C(2, 0, 0)，B(−2, 0, 0)，A(0, 0, 2)，D(−1, 0, 1)， 设CD →=(−3, 0, 1)，CA 1→=(−2, 4, 2)， 设平面A 1CD 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅CD →=−3x +z =0n →⋅CA 1→=−2x +4y +2z =0 ，取x ＝1，得n →=(1, −1, 3)， 设平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√11=3√1111． ∴ 平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值为3√1111．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面平行 【解析】(Ⅰ)取A 1B 1中点E ，连结BE ，C 1E ，从而BE // A 1D ，C 1E // CD ，进而平面CDA 1 // 平面C 1EB ，由此能证明BC 1 // 平面A 1CD ．(Ⅱ)取BC 的中点O ，连结AO ，过O 作BF // A 1B 1，交B 1C 1于F ，F 是B 1C 1中点，以O 为原点，OC 为x 轴，OF 为y 轴，OA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值． 【解答】（1）证明：取A 1B 1中点E ，连结BE ，C 1E ， ∵ 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点， ∴ BE // A 1D ，C 1E // CD ，∵ DA 1∩DC ＝D ，BE ∩C 1E ＝E ，平面CDA 1 // 平面C 1EB ， ∵ BC 1 // 平面A 1CD ．（2）取BC 的中点O ，连结AO ，过O 作BF // A 1B 1，交B 1C 1于F ，F 是B 1C 1中点，∵ AA 1⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC ＝AC ，AB ＝2DC ＝2√2，AA 1＝4．∴ AO ⊥BC ，以O 为原点，OC 为x 轴，OF 为y 轴，OA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，平面BCC 1B 1的法向量为m →=(0, 0, 1)，A 1(0, 4, 2)，C(2, 0, 0)，B(−2, 0, 0)，A(0, 0, 2)，D(−1, 0, 1)， 设CD →=(−3, 0, 1)，CA 1→=(−2, 4, 2)， 设平面A 1CD 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅CD →=−3x +z =0n →⋅CA 1→=−2x +4y +2z =0 ，取x ＝1，得n →=(1, −1, 3)， 设平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√11=3√1111．∴ 平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值为3√1111．【答案】（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于33分， 即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分， 由题意知：得16分的分数为5人，得17分的人数为9人， ∴ 两人得分之和不大于33分的概率为： P =C 52+C 51C91C 1002=190．(2)(i)X =170×0.05+180×0.09+190×0.5+200×0.3+210×0.06＝192.3≈192（个），σ2≈77.8，σ≈9，∴ 正式测试时，μ＝202，σ＝9， ∴ μ−σ＝193，μ+σ＝211， ∴ P(ξ>193)＝1−1−0.68262=0.8413，0.8413×1000＝841.3≈841，∴ 正式测试时每分钟跳193个以上的人数为841个．(ii)由正态分布模型得，在该地区2020年初三毕业生中任取1人， 每分钟跳绳个数202以上的概率为12，即ξ∼B(3, 12)，P(ξ＝0)=C 3(12)0(1−12)3=18， P(ξ＝1)=C 31(12)(1−12)2=38， P(ξ＝2)=C 32(12)2(1−12)=38， P(ξ＝3)=C 33(12)3(1−12)0=18， ∴ ξ的分布列为：E(ξ)=0×18+1×38+2×38+3×18=32． 【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列 【解析】(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分，由此能求出两人得分之和不大于33分的概率． (Ⅱ)(i)求出X ≈192个，σ2≈77.8，σ≈9，从而正式测试时，μ＝202，σ＝9，进而μ−σ＝193，μ+σ＝211，由此能求出正式测试时每分钟跳193个以上的人数． (ii)由正态分布模型得，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为12，即ξ∼B(3, 12)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．【解答】（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于33分， 即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分， 由题意知：得16分的分数为5人，得17分的人数为9人， ∴ 两人得分之和不大于33分的概率为： P =C 52+C 51C91C 1002=190．(2)(i)X =170×0.05+180×0.09+190×0.5+200×0.3+210×0.06＝192.3≈192（个），σ2≈77.8，σ≈9，∴ 正式测试时，μ＝202，σ＝9， ∴ μ−σ＝193，μ+σ＝211， ∴ P(ξ>193)＝1−1−0.68262=0.8413，0.8413×1000＝841.3≈841，∴ 正式测试时每分钟跳193个以上的人数为841个．(ii)由正态分布模型得，在该地区2020年初三毕业生中任取1人， 每分钟跳绳个数202以上的概率为12，即ξ∼B(3, 12)，P(ξ＝0)=C 3(12)0(1−12)3=18， P(ξ＝1)=C 31(12)(1−12)2=38， P(ξ＝2)=C 32(12)2(1−12)=38， P(ξ＝3)=C 33(12)3(1−12)0=18， ∴ ξ的分布列为：E(ξ)=0×18+1×38+2×38+3×18=32．【答案】（1）f′(x)＝e x −m ，易知切线方程的斜率为1，且过点(ln2, −ln2)，∴ {2−mln2+n =−ln22−m =1，解得m ＝1，n ＝2；（2）由(Ⅰ)知，f(x)＝e x −x −2，∴ x +1>(k −x)[f(x)+x +1]即为x +1>(k −x)(e x −1)， 当x >0时，等价于k <x+1e x −1+x(x >0)， 令g(x)=x+1e x −1+x(x >0)，则g ′(x)=e x (e x −x−2)(e x −1)2，令ℎ(x)＝e x −x −2，由x >0得，ℎ′(x)＝e x −1>0， ∴ 函数ℎ(x)在(0, +∞)上递增，而ℎ(1)<0，ℎ(2)>0，故存在唯一的零点x 0∈(1, 2)，使得ℎ(x 0)＝0，即存在唯一的零点x 0∈(1, 2)，使得g′(x 0)＝0，当x ∈(0, x 0)时，g′(x)<0，g(x)递减，当x ∈(x 0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)递增， ∴ g(x)min ＝g(x 0)，又ℎ(x 0)＝0，即e x 0=x 0+2，故g(x 0)＝x 0+1∈(2, 3)， ∴ 整数k 的最大值为2． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ)根据题意，列出方程组，解出即可；(Ⅱ)将原不等式变形为于k <x+1e x −1+x(x >0)，构造新函数g(x)=x+1e x −1+x(x >0)，求其最小值即可． 【解答】（1）f′(x)＝e x −m ，易知切线方程的斜率为1，且过点(ln2, −ln2)， ∴ {2−mln2+n =−ln22−m =1，解得m ＝1，n ＝2；（2）由(Ⅰ)知，f(x)＝e x −x −2，∴ x +1>(k −x)[f(x)+x +1]即为x +1>(k −x)(e x −1)， 当x >0时，等价于k <x+1e x −1+x(x >0)， 令g(x)=x+1e x −1+x(x >0)，则g ′(x)=e x (e x −x−2)(e x −1)2，令ℎ(x)＝e x −x −2，由x >0得，ℎ′(x)＝e x −1>0， ∴ 函数ℎ(x)在(0, +∞)上递增，而ℎ(1)<0，ℎ(2)>0，故存在唯一的零点x 0∈(1, 2)，使得ℎ(x 0)＝0，即存在唯一的零点x 0∈(1, 2)，使得g′(x 0)＝0，当x ∈(0, x 0)时，g′(x)<0，g(x)递减，当x ∈(x 0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)递增， ∴ g(x)min ＝g(x 0)，又ℎ(x 0)＝0，即e x 0=x 0+2，故g(x 0)＝x 0+1∈(2, 3)， ∴ 整数k 的最大值为2． 【答案】设M(x, y)，P(x ′, y ′)，由题意可知D(x ′, 0)，因为DM →=12DP →，所以可得M 是DP 的中点，∴ {x =x ′y =y ′2，即{x ′=x y ′=2y ，而P 在圆x 2+y 2＝4上，所以可得x 2+(2y)2＝4，整理得：x 24+y 2=1，所以曲线C 1的方程：x 24+y 2=1．由题意焦点F 的坐标(2, 0)，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：x ＝my +2，设交点A(x, y)，B(x ′, y ′)，联立直线与抛物线的方程：{x =my +2y 2=8x ， y 2−8my −16＝0，y +y ′＝8m ，yy ′＝−16，所以弦长AB =√1+m 2⋅√(y +y ′)2−4yy ′=√1+m 2⋅√64m 2+64=8(1+m 2)， 由题意可知CF 的方程为：y ＝−m(x −2)，与曲线C 1联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1 可得：(1+4m 2)x 2−16m 2x +16m 2−4＝0，∴ x +2=16m 21+4m2，∴ x C =8m 2−21+4m 2， 代入直线CF 中y C ＝−m(8m 2−21+4m2−2)=4m 1+4m2，即C 的坐标为(8m 2−21+4m2, 4m1+4m 2)，所以CF =√(8m 2−21+4m 2−2)2+(4m 1+4m 2)2=4√1+m 21+4m 2， 所以S △ABC =12⋅AB ⋅CF =12⋅8(1+m 2)⋅4√1+m 21+4m 2=16(1+m 2)⋅√1+m 21+4m 2， 令t =√1+m 2≥1，则S △ABC ＝16⋅t 34t 2−3，令f(t)=t 34t 2−3(t ≥1)，∴ f ′(t)=3t 2(4t 2−3)−t 3⋅4t(4t 2−3)2=t 2(4t 2−9)(4t 2−3)2，令f ′(t)＝0，t ≥1，t =32，当1≤t <32，f ′(t)<0，f(t)单调递减 当t >32，f ′(t)>0，f(t)单调递增， 所以t ∈[1, +∞)，f(32)最小，且最小值f(32)=(32)34⋅(32)2−3=916，所以△ABC 面积的最小值为16×916=9，且这时√1+m 2=32，解得m =±√52，即直线l 的方程为：x =±√52y +2．【考点】直线与抛物线的位置关系 轨迹方程 【解析】（1）由题意设P ，M 的坐标可得D 的坐标，由向量之间的关系求出P ，M 的坐标的关系，由相关点法，P 在圆上得出M 的轨迹方程；（2）设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB 的长，再求直线CF 的方程与曲线C 1联立求出C 的坐标，求出CF 的长，由题意CF ⊥AB ，即CF 的长为C 到AB 边上的高，求出面积，换元，用导数求出函数在单调性，进而求出面积的最小值，及此时的直线l 的方程． 【解答】设M(x, y)，P(x ′, y ′)，由题意可知D(x ′, 0)，因为DM →=12DP →，所以可得M 是DP 的中点，∴ {x =x ′y =y ′2，即{x ′=x y ′=2y ，而P 在圆x 2+y 2＝4上，所以可得x 2+(2y)2＝4，整理得：x 24+y 2=1，所以曲线C 1的方程：x 24+y 2=1．由题意焦点F 的坐标(2, 0)，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：x ＝my +2，设交点A(x, y)，B(x ′, y ′)，联立直线与抛物线的方程：{x =my +2y 2=8x ， y 2−8my −16＝0，y +y ′＝8m ，yy ′＝−16，所以弦长AB =√1+m 2⋅√(y +y ′)2−4yy ′=√1+m 2⋅√64m 2+64=8(1+m 2)， 由题意可知CF 的方程为：y ＝−m(x −2)，与曲线C 1联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1 可得：(1+4m 2)x 2−16m 2x +16m 2−4＝0，∴ x +2=16m 21+4m 2，∴ x C =8m 2−21+4m 2，代入直线CF 中y C ＝−m(8m 2−21+4m2−2)=4m 1+4m2，即C 的坐标为(8m 2−21+4m 2, 4m 1+4m 2)，所以CF =√(8m 2−21+4m 2−2)2+(4m 1+4m 2)2=4√1+m 21+4m 2， 所以S △ABC =12⋅AB ⋅CF =12⋅8(1+m 2)⋅4√1+m 21+4m2=16(1+m 2)⋅√1+m 21+4m2， 令t =√1+m 2≥1，则S △ABC ＝16⋅t 34t 2−3，令f(t)=t 34t 2−3(t ≥1)，∴ f ′(t)=3t 2(4t 2−3)−t 3⋅4t(4t 2−3)2=t 2(4t 2−9)(4t 2−3)2，令f ′(t)＝0，t ≥1，t =32， 当1≤t <32，f ′(t)<0，f(t)单调递减 当t >32，f ′(t)>0，f(t)单调递增， 所以t ∈[1, +∞)，f(32)最小，且最小值f(32)=(32)34⋅(32)2−3=916，所以△ABC 面积的最小值为16×916=9，且这时√1+m 2=32，解得m =±√52， 即直线l 的方程为：x =±√52y +2．【答案】 （1）椭圆C 1:x 24+y 224=1转换为参数方程为{x =2cosθy =2√6sinθ（θ为参数）．曲线C 2的极坐标方程为ρ2−10ρcosθ+24＝0，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−10x +24＝0，整理得(x −5)2+y 2＝1．（2）椭圆上点A(2cosθ, 2√6sinθ)到曲线C 2的圆心(5, 0)的距离d =√(2cosθ−5)2+24sin 2θ=√−2(cosθ+12)2+972，当cosθ=−12时，|AO|max =√972，当cosθ＝1时，|AO|min =2√11， 所以|AB|max =√972+1=2√194+1，|AB|min =2√11−1． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)先将直线l 的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，将曲线C 的方程先去分母，再将y ＝ρsinθ，x 2+y 2＝ρ2代入，化简即可求解；(Ⅱ)先将曲线C 的方程化为参数形式，再利用两点间的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解． 【解答】 （1）椭圆C 1:x 24+y 224=1转换为参数方程为{x =2cosθy =2√6sinθ（θ为参数）． 曲线C 2的极坐标方程为ρ2−10ρcosθ+24＝0，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−10x +24＝0，整理得(x −5)2+y 2＝1．（2）椭圆上点A(2cosθ, 2√6sinθ)到曲线C 2的圆心(5, 0)的距离d =√(2cosθ−5)2+24sin 2θ=√−2(cosθ+12)2+972，当cosθ=−12时，|AO|max =√972，当cosθ＝1时，|AO|min =2√11， 所以|AB|max =√972+1=2√194+1，|AB|min =2√11−1． 【答案】（1）函数f(x)＝|2x −2a|(a ∈R)，对∀x ∈R ，f(x)满足f(x)＝f(2−x)， 可得f(x)的图象关于直线x ＝1对称，可得a ＝1； （2）由(Ⅰ)可得f(x)＝2|x −1|，若∃x ∈R ，使不等式12f(x)−f(x +2)≥m 2+m ，可得m 2+m ≤|x −1|−|2x +2|的最大值，由|x −1|−|2x +2|＝|x −1|−|x +1|−|x +1|≤|x −1−x −1|−|−1+1|＝2， 当且仅当x ＝−1时，取得等号，即最大值2， 则m 2+m ≤2，解得−2≤m ≤1． 【考点】函数恒成立问题 【解析】(Ⅰ)由题意可得f(x)的图象关于直线x ＝1对称，再由绝对值函数的对称轴，可得a 的值； (Ⅱ)运用绝对值不等式的性质和二次不等式的解法，即可得到所求范围． 【解答】（1）函数f(x)＝|2x −2a|(a ∈R)，对∀x ∈R ，f(x)满足f(x)＝f(2−x)， 可得f(x)的图象关于直线x ＝1对称，可得a ＝1； （2）由(Ⅰ)可得f(x)＝2|x −1|，若∃x ∈R ，使不等式12f(x)−f(x +2)≥m 2+m ，可得m2+m≤|x−1|−|2x+2|的最大值，由|x−1|−|2x+2|＝|x−1|−|x+1|−|x+1|≤|x−1−x−1|−|−1+1|＝2，当且仅当x＝−1时，取得等号，即最大值2，则m2+m≤2，解得−2≤m≤1．。
2020年广东茂名高三一模数学试卷(理科)
2020年广东茂名高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.是虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）．A. B. C. D.4.剪纸是我国的传统工艺，要剪出如下图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字（ ）．A. B. C. D.5.记为等比数列的前项和，若，，则（ ）．A.B.C.或D.或6.公元年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即，，，…，，…逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值是，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是 （精确到）．（参考数据）A.B.C.D.7.已知、为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.8.前进中学高二学生会体育部共有人，现需从体育部派遣人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有 种派遣方法（ ）．A.B.C.D.9.设函数（，）的最小正周期为，且过点，则下列正确的是（ ）．①在单调递减．②的一条对称轴为．③的周期为．④把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为．A.①②B.①③C.①②③D.①②④10.下列函数图象中，函数的图象的是（ ）．A.xyOB.xyOC.xyOD.xy不.可.能.11.已知、及抛物线方程为，点在抛物线上，则使得为直角三角形的点个数为（ ）．A.个B.个C.个D.个12.已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数，满足，则的最小值为 ．14.在中，，，且点满足，则．15.当为曲线图象上的一个动点，为曲线在点处的切线的倾斜角，则当取最小值时的值为 ．16.如图，网格纸上小正方形的边长为，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求角的大小．求的取值范围．18.如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，．（1）（2）求证：平面．求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值．（1）1（2）19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分为分，其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表：频率组距每分钟跳绳个数每分钟跳绳个数得分现从样本的名学生中，任意选取人，求两人得分之和不大于分的概率．若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加个，利用现所得正态分布模型：预估全年级恰好有名学生，正式测试时每分钟跳个以上的人数（结果四舍五入到整数）．【答案】解析:2若在该地区年所有初三毕业生中任意选取人，记正式测试时每分钟跳个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望．附：若随机变量服从正态分布，，则，，．（1）（2）20.设函数，曲线在点处的切线方程为．求，的值．当时，若为整数，且，求的最大值．（1）（2）21.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线．求曲线的方程．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交曲线于另一点，求面积的最小值，以及取得最小值时直线的方程．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.设为椭圆上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点．写出参数方程和普通方程．求最大值和最小值．（1）（2）23.已知函数，对，满足．求的值．若，使不等式，求实数的取值范围．D 1.，,．故选．解析:，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限．故选．解析:由，得，，，∴ ∴．故选．解析:运用逆向思维，将展开图对称折，折两次得到图．（折一次，用铅笔对中画一条线）故选．解析:设等比数列的公比为，所以，即，所以或，当时，，当时，．故选．解析:圆内接正二十四边形的边所对圆心角是，因此，单位圆内接正二十四边形的面积为D 2.B 3.D 4.C 5.B 6.，单位圆的面积为，依题意，所以，故选．解析:设为点，连接，依题意为的中位线，∴，即轴且，∴点的坐标为，在双曲线上，∴，即，∴离心率为．故选．解析:若张三不被选中，则派遣方法有种；若张三被选中，则派遣方法有种，则派遣方法共有种．故选．解析:圆圆C 7.B 8.A 9.，由，所以，，因为，则，所以，① 的单调区间满足，∴的单调减区间为，，所以时，在单调递减，所以①正确，② 对称轴满足，所以，当时，的一条对称轴为，所以②正确，③ ，所以的周期为，所以③不正确，④的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到的函数图像的解析式为，所以④不正确．故选．解析:当是偶数的时候是偶函数，图象关于轴对称，当时，图象形如；当时，，时，，，图象形如；当是正奇数的时候，是奇函数图象关于原点轴对称且过原点，当的奇数时在第一象限，由幂函数的图象知的图象不可能是．故选．C 10.解析:以为直径的圆与抛物线有两个交点，另外以，为直角为与抛物线分别有两个点，共个．故选．解析:①当时，在区间上是单调递增函数，且，．即时，没有零点，而时最多有两个零点，因此，不符合；②时，令，则，即，设，则，∴在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，即在处取得极小值也是最小值，∴与最多有两个交点，即最多有两个零点，且当时，有两个零点，又有四个零点，∴时，必有两个零点，所以满足，且对称轴，解得．综上时，有四个零点．故选．解析:画出可行域，由图可知，D 11.C 12.13.可行域三个顶点分别为，，，，当直线平移到点时，取到最小值为．14.解析:依题意是等边三角形，为的中点，，，在易得，所以．15.解析:，设为曲线上任一点，由导数的几何意义知曲线在点处的切线的斜率为：（等号成立的条件为当且仅当，即），结合正切函数的图象可知，当取时倾斜角最小，此时的值为．16.解析:该多面体为棱长为的正方体沿着各棱的中点截去个角余下的部分，如图，（1）（2）其外接球的球心为正方体的中心，半径为点到正方体棱长中点的距离，即．所以该多面体外接球的体积为．解析:由正弦定理得：，，，又，所以，所以，，分又因为．所以．，∵，∴，∵，∴，，所以的取值范围是．（1）．（2）．17.（1）证明见解析．（2）．18.（1）（2）解析:连结交于点，连结，则为中点，为中位线，所以 ，又平面，平面，所以平面．方法一：因为，为中点，所以，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ，平面的法向量为，设平面的法向量为，则由，，得，令，则，，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为：．方法二：延长、交于，连接，过作于，过作于，连接，（1）12（2）则平面，，又，所以平面，为平面，与平面所成锐二面角的平面角．中，，所以高为中线，，，∵，所以∴， ∴，中，，，∴ ，中，，，所以平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值．解析:两人得分之和不大于分，即两人得分均为分，或两人中人分，人，所以两人得分之和不大于分的概率为：．（个）又，，所以正式测试时，，，∴，．∴，∴（人）由正态分布模型，在该地区年初三毕业生中任取人，每分钟跳绳个数以上的概率为，即，（1）所以两人得分之和不大于分的概率为．12（2）人．的分布列为．19.（1）（2）∴，，，∴的分布列为．解析:由，由于的斜率为，且过点得，即，解得，．由知，所以得，，故当时，等价于①，令，则，令，，∴，所以函数在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点，设此零点为，则．当时，,减函数；当时，，增函数；所以在的最小值为，又由，可得，所以，故①等价于，故整数的最大值为．解析:（1），．（2）．20.（1）．（2）面积的最小值为，此时直线的方程为：．21.（1）（2）设，，则由于，依题知：，，即，．而点在圆上，故，得，故曲线的方程为．方法一：抛物线的焦点为，当直线的斜率不存在时，，，，当直线的斜率存在时，则，设，，直线的方程设为，代入，消去得，即，则，，∴，的直线方程为：，代入消去得，，，，，面积：，令，则，则，，令，则，即，当时，为减函数，当时，为增函数，所以时，面积最小．根据由可得此时，（1）此时直线的方程为：，即．方法二：抛物线的焦点为，过点的直线的方程设为：，设，，联立得，则，，∴，过且与直线垂直的直线设为：，联立得，，，∴，面积，令，则，,令，则，即，当时，为减函数，当时，为增函数，所以时，面积最小，由得时，面积的最小值为，此时直线的方程为：，即．解析:由题意可得的参数方程为：（为参数），又∵，且，，（1）的参数方程为：（为参数），的普通方程为：．（2）当时，；当时，；当时，；当时，．22.（2）（1）（2）∴的普通方程为，即．由（）得，设，圆的圆心，则．∵，∴当时，；当时，；当时，；当时，．解析:∵，，∴的图象关于直线对称，又，∴的图象关于直线对称，∴．令，由，则，因此，在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴，使不等式等价于，即，解得，即实数的取值范围是．（1）．（2）．23.。
2020年1月广东省茂名市2020届高三第一次综合测试(一模)数学(理)试题及答案解析
……………………………………………………………… 12分
法二：延长 、 交于Q,连接QC,过D作
过H作 连接DJ ,……………………………………………………………………… 5分
则 , ,又 所以 ,
所成锐二面角的平面角.…………………………………………… 7分
中,BD=DC ,所以高DH为中线,DH=1,BH=HC=1,
,所以 , ………………………………………………………… 8分
中,
…………………………………………………… 9分
的中位线,∴PF2∥AO,即PF2⊥x轴且|PF2|=2|AO|=2b,
所以点P的坐标为(c, 2b),P在双曲线C上
∴ ,即 ,∴离心率为 ,故选C
8.【解析】若张三不被选中,则派遣方法有 ；若张三被选中,则派遣方法 ,则共派遣方法有24+72=96种.故选B .
9.【解析】 由, 所以 ,
,所以 .① 的单调减区间满足 ,所以k=0时, 在 单调递减,所以①正确；② 对称轴满足 ,所以 ,当k=1时, 的一条称轴为 ,所以②正确；③ ,所以 的周期为 ,所以③不正确. 的横坐标向左平移 个单位长度,纵坐标不变得到 的函数图像的解析式为 ,所以 不正确.故选A
（Ⅱ) …………………………………………… 7分
…………………………………………………………… 8分
∵
…………………………………………………………………………… 9分
…………………………………………………………………………… 10分
……………………………………………………………………………… 11分
10.【解析】当是偶数的时候f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,当=2时,f(x)图象形如A；
广东省茂名市茂东学校2020年高三数学理模拟试卷含解析
广东省茂名市茂东学校2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，f（）=﹣1，则f（0）的值为（）A．1 B．C．D．参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，由函数的特殊值求出A，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得==﹣，∴ω=3．再根据五点法作图可得3?+φ=，∴φ=，故f（x）=Asin（3x+）．∵f（）=Asin（+）=﹣Acos=﹣A?=﹣1，∴A=，则f（0）=sin=1，故选：A．2. 已知函数，则的大小关系是A、 B、C、 D、参考答案：B 因为函数为偶函数，所以，，当时，，所以函数在递增，所以有，即，选B.3. 集合A={﹣1，0，1，3}，集合B={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈N}，全集U={x||x﹣1|≤4，x∈Z}，则A∩（?U B）=（）A．{3} B．{﹣1，3} C．{﹣1，0，3} D．{﹣1，1，3}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合B和全集U，结合集合的补集及交集运算的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，3}，集合B={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈N}={0，1，2}，全集U={x||x﹣1|≤4，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，∴?U B={﹣3，﹣2，﹣1，3，4，5}，∴A∩（?U B）={﹣1，3}，故选：B4. 下列命题中正确的是（）（A）若为真命题，则为真命题( B ) “，”是“”的充分必要条件(C) 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”(D) 命题，使得，则，使得参考答案：D对选项A，因为为真命题，所以中至少有一个真命题，若一真一假，则为假命题，故选项A错误；对于选项B，的充分必要条件是同号，故选项B错误；命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，故选项C错误；故选D．5. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z） C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）参考答案：B【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HM：复合三角函数的单调性．【分析】由图象可求函数f（x）的周期，从而可求得ω，继而可求得φ，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的递增区间．【解答】解：|AB|=5，|y A﹣y B|=4，所以|x A﹣x B|=3，即=3，所以T==6，ω=；∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2），即2sin（+φ）=﹣2，∴sin（+φ）=﹣1，∵0≤φ≤π，∴+φ=，解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得6k﹣4≤x≤6k﹣1，故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）．故选B6. 已知P(x,y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x-y的最大值是A. 6B.0C. 2D.参考答案：7. 函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y 轴对称，则对应的解析式可为（）A．B．C．D．参考答案：C略8. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。
广东省茂名市2023届高三一模数学试题
2023年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}13A x x =-<<，{}2,1,0,3B =--，则A B ⋂=（）A ．{}1,3-B ．{}13x x -<<C ．{}0,1D ．{}02．复平面内表示复数()i 23i z =-的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC △中，AB c =uuu r ，AC b =uuu r ，若点M 满足2MC BM =uuu r uuur，则AM =uuur （）A ．1233b c +B ．2133b c -C ．5233c b-D ．2133b c+4．将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（）A ．480种B ．240种C ．15种D ．10种5．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m ；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为2的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（）A ．321mπB ．318mπC ．(318mπ+D ．(320mπ+6．下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）A ．()2cos sin cos f x x x x=+B ．()1cos 22sin cos xf x x x-=C ．()cos cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．设32ln 25a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，23ln 1b e =+，252ln 3c e =+则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b c a<<8．已知菱形ABCD 的各边长为2，60B ∠=︒．将ABC △沿AC 折起，折起后记点B 为P ，连接PD ，得到三棱锥P ACD -，如图所示，当三棱锥P ACD -的表面积最大时，三棱锥P ACD -的外接球体积为（）A ．3B ．3C ．D ．3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知空间中三条不同的直线a 、b 、c ，三个不同的平面αβγ、、，则下列说法中正确的是（）A ．若a b ∥，a α⊥，则b α⊥B ．若a αβ⋂=，b βγ⋂=，c γ⋂=，则a b c ∥∥C ．若αβ⊥，a α⊄，a β⊥，则a α∥D ．若c β⊥，c γ⊥，则βγ∥10．已知函数()f x 对x R ∀∈，都有()()f x f x =-，()1f x +为奇函数，且[)0,1x ∈时，()2f x x =，下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的图像关于点()1,0中心对称B ．()f x 是周期为2的函数C ．()10f -=D ．7124f ⎛⎫=⎪⎝⎭11．已知抛物线2:4C x y =，F 为抛物线C 的焦点，下列说法正确的是（）A ．若抛物线C 上一点P 到焦点F 的距离是4，则P 的坐标为()-、()B ．抛物线C 在点()2,1-处的切线方程为10x y ++=C ．一个顶点在原点O 的正三角形与抛物线相交于A 、B 两点，OAB △的周长为D ．点H 为抛物线C 的上任意一点，点()0,1G -，HG t HF =，当t 取最大值时，GFH △的面积为212．e 是自然对数的底数，,m n R ∈，已知ln ln mme n n n m +>+，则下列结论一定正确的是（）A ．若0m >，则0m n ->B ．若0m >，则0me n ->C ．若0m <，则ln 0m n +<．若0m <，则2m e n +>三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为______（用数字作答）．14．过四点()1,1-、()1,1-、()2,2、()3,1中的三点的一个圆的方程为__________________（写出一个即可）．15．e 是自然对数的底数，()()cos 2212x x f x ee ex eπ=+--的零点为______．16．已知直线2x m =与双曲线()2222:10,0x y C m n m n-=>>交于A ，B 两点（A 在B 的上方），A 为BD 的中点，过点A 作直线与y 轴垂直且交于点E ，若BDE △的内心到y 轴的距离不小于32m ，则双曲线C 的离心率取值范围是____________．四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2020年1月广东省茂名市普通高中2020届高三毕业班第一次综合测试(一模)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前广东省茂名市普通高中2020届高三毕业班第一次综合测试(一模)数学(文)试题(解析版)2020年1月第一部分选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小題，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|24A x Z x =∈-<<，{}2|230B x x x =--<，则A B =（ ）A. ()2,1-B. ()1,3-C. {}1,0-D. {}0,1,2 【答案】D【解析】【分析】 根据题意可知{}1,0,1,2,3A =-，解不等式2230x x --<，得13x ，即{}|13B x x =-<<，再与集合A 取交集，即可. 【详解】{}|24A x Z x =∈-<<∴{}1,0,1,2,3A =- 又{}{}2|230|13B x x x x x =--<=-<< {}0,1,2A B ∴⋂=故选：D【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.2.i 为虚数单位,复数21i z i =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A. 第二象限 B. 第一象限 C. 第四象限 D. 第三象限【答案】C【解析】 【详解】()()2i 12i i 11i 1i 1z i --===--=---,复数21i z i =-在复平面内对应坐标为()1,1-,所以复数21i z i =-在复平面内对应的点在第四象限,故选C. 3.在集合{}1,2和{}3,4,5中各取一个数字组成一个两位数,则这个两位数能被4整除的概率为（ ） A. 112 B. 13 C. 14 D. 16【答案】C【解析】【分析】列举出所有可能的两位数,从中找出能被4整除的数,根据古典概型概率计算公式,计算出所求的概率.【详解】在{}1,2和{}3,4,5两个集合中各取一个数字组成一个两位数的所有事件为13,31,14,41,15,51,23,32,24,42,25,52共12个,其中能被4整除的两位数是24,32,52共3个,所求概率为31124=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算,属于基础题.4.已知定义在R 上的奇函数()f x 是单调函数,且()f x 满足()112f -=,则（ ） A. ()122f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ B. ()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ C. ()122f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D. 112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】。
2022届广东省茂名市高三第一次综合测试(一模)(1月)数学试题 及答案
绝密★启用前 试卷类型：A2022年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|-1<x ≤3}，B={-1,0,2,3}，则A ∩B=（）A ．{}1023-,,, B. {}0,3 C. {}0,2 D. {}0,23，2．已知,a b 为实数，且2++1bia i i=+(i 为虚数单位)，则a bi +=（） A ．3+4i B.1+2i C.32i --D ．32i + 3．下面四个命题中，其中正确的命题是（）1p ：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行2p ：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直3p ：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 4p ：一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行A.1p 与2p B ．2p 与3p C ．3p 与4p D ．1p 与3p4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线230++=x y 平行，则sin cos sin cos -+αααα的值为（） A.-2B. 1-4C. 2D.3 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，则下列选项正确的是（）A.若364,12S S ==，则929S =B.若131,4a q ==，则43n n S a =- C.若4756+2,8a a a a ==-，则1106a a +=- D.若1531,4a a a ==，则12n n a -= 6．已知,,x y z 均为大于0的实数，且523log x yz ==，则,,x y z 大小关系正确的是（）A.x y z >>B.x z y >>C.z x y >>D.z y x >>7．过三点A （0，0），B （0，2），C （2，0）的圆M 与直线:220-+-=l kx y k 的位置关BCAB 1C 1A 1D D 1 •• O 1 O• E系是（）A.相交B.相切C.相交或相切D.相切或相离8．已知()sin f x x =，2g()||()=+x ln x ex ，则()()0f x g x ⋅>的解集是（）A.11|02(21),,0x x x n x n n Z n e e πππ⎧⎫-<<<<<<+∈≠⎨⎬⎩⎭或或且 B.11|2(21),,0x x x n x n n Z n ee ππππ⎧⎫-<<-<<<<+∈≠⎨⎬⎩⎭或或且 C.11|02(21),,0x x x n x n n Z n e e ππ⎧⎫-<<<<<<+∈≠⎨⎬⎩⎭或0或且 D.11|0212,,0x x x n x n n Z n e e πππ⎧⎫-<<<<-<<∈≠⎨⎬⎩⎭或或（）且 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列说法正确的是（）A ．为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区A 、B 、C 、D 四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知A 、B 、C 、D 四校人数之比为7∶4∶3∶6，则应从B 校中抽取的样本数量为80 B ．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6 C ．已知变量x 、y 线性相关，由样本数据算得线性回归方程是0.4y x a =+，且由样本数据算得7.3,4==y x ，则 2.1a =D ．箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M={第一次取到红球}，N={第二次取到白球}，则M 、N 为相互独立事件10．如图所示，圆柱OO 1内有一个棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上，E 为BD 上的动点，则下面选项正确的是（）A ．11A C E ∆面积的最小值为22B ．圆柱OO 1的侧面积为π28C ．异面直线AD 1与C 1D 所成的角为60D ．四面体A 1BC 1D 的外接球的表面积为π1211．已知抛物线C:y x 42=的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线C 上第一象限的点,5PF =，直线PF 与抛物线C 的另一个交点为Q ，则下列选项正确的是（） A ．点P 的坐标为（4,4） B ．45=QFC ．310=∆OPQ S D ．过点)1,(0-x M 作抛物线C 的两条切线MB MA ,,其中,A B 为切点，则直线AB 的方程为：220=+-y x x12．已知点A 是圆C:()2211x y ++=上的动点，O 为坐标原点，OA AB ⊥,且||||OA AB =O ,A ,B 三点顺时针排列，下列选项正确的是( )A.点B 的轨迹方程为()()22112x y -+-=B.|CB|的最大距离为1C.CA CB ⋅1D.CA CB ⋅的最大值为2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线的方程是2214x y -=,则该双曲线的离心率为 14．函数()22=+2cos f x x x 在区间66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,上的最大值为15．已知函数2|log |,02()3,2x x f x x x <<⎧=⎨-+≥⎩，若123,,x x x 均不相等，且123()()()==f x f x f x ，则123x x x ⋅⋅的取值范围是16．如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形ABC的边长为4，取正三角形ABC 各边的四等分点D ，E ，F ，作第2个正三角形DEF ， 然后再取正三角形DEF 各边的四等分点G ，H ，I ，作第3个正三角形GHI ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图阴影部分，设三角形ADF 面积为1S ，后续各阴影三角形面积依次为2S ，3S ，…，n S ，….则1S =，数列{}n S 的前n 项和n T =第10题第18题图四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本题满分10分)如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75距离60 海里处 ,小岛B 北偏东15距离30330海里处有一个小岛 C.(1)求小岛A 到小岛 C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船 航行的方向.18.(本题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，CD AE 21=.(1)证明：PC AD ⊥；(2)若三角形AED 为等边三角形，PA=AD=6，F 为PB 上一 点，且PB PF 31=，求直线EF 与平面PAE 所成角的正弦值.19.(本题满分12分)为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．第17题图(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行。
_数学丨广东省茂名市2023届高三第一次综合测试(一模)数学试卷及答案
2023年茂名市高三级第一次综合测试数学参考答案一、单选题：4.【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中，2510C =5.【解析】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为α，因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为2的等腰三角形，所以2211sin sin 22l αα=⨯⨯=sin α=π3α=或2π3α=．由2π3α=得，πcos cos 23h l α==，πsin sin 323r l α===，则上半部分的体积为22311ππ333r h =⨯=，下半部分体积为218r h ππ=蒙古包的体积为3(18+6.【解析】1cos 211()sin 2sin(222242x πA f x x x T π-=+=-+∴=对于选项,，选项B:221（1-2）20且0()=22sin x sin x sin x cos x ,f x tan x T πsin x cos x sin x cos x-≠≠==∴=11()cos cos 222C f x x x x x x T π=-++=∴=对于选项,cos ，11()sin 2()sin(2)2623ππD f x x x T π=+=+∴=对于选项,，7.【解析】,685ln ,13ln ,564ln -=-=-=c b a 故可构造函数()(),112ln +--=x x x x f ()()(),01122'>+-=x x x x f 所以()()()543f f f <<12345678D A A D C C B D8.【解析】当PC CD ⊥时，三棱锥P ACD -的表面积取最大值，PD =三棱锥P ACD -的外接球的半径为R =.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9101112ACD ACD ABD BC10．【解析】由题意得，()()中心对称，，的图像关于01 x f 故A 正确；由()()()()x f x f x f x f +-=-=-2,且得()()()()x f x f x f x f ⇒+-=-=2的周期为4，故B 错误；()()01 01=-∴=f f ，故C 正确；()412121274 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴f f f x f ，的周期为 ，故D 正确11.【解析】A 选项：由抛物线C 的定义知A 是正确的；B 选项：由12y x '=，切线方抛物线C 在点(21-，）处的切线斜率为1-，切线方程为10x y ++=；C 选项：顶点在原点O 的正三角形与抛物线相交与A 、B 两点,这个正三角形的边长为，OAB ∆的周长为C 错；D 选项：F 为抛物线的焦点，过H 作HD 垂直抛物线C 的准线y=1-于点D ，如图由抛物线的定义知，1sin HG HG t HF HD HGD===∠当t 取最大值时，HGD ∠取最小值，（正弦函数的单调性的应用）即直线GH 与抛物线C 相切．设直线HG 的方程为1y kx =-，由214y kx x y=-⎧⎨=⎩得2404x x k +=-，所以216160k ∆=-=，解得1k =±，此时2404x x k +=-，即2440x x ±+=，所以2x =±，故()2,1H ±，所以1122222H S GF x =⋅=⨯⨯=△GFH ，故D 正确．12.【解析】原式变形为n n n m me m ln ln ->-，构造函数()x xe x f x -=，()()11'-+=x e x f x ，()()()x f x f x e x x ,0,110'>∴>+>时， 单调递增，()()()x f x f x e x x ,0,110'<∴<+<时， 单调递减对于A ，取1==n m 满足原式，所以A 错对于B ，当n e m n n m≥>∴>≤≤1,010ln 时，，即，当()()时，在时，∞+>00ln x f n 单调递增，原式()()n f m f ln >⇔，n e n m m>>∴，即ln ，所以B 对。
2020年广东省茂名市茂港第一高级中学高三数学理测试题含解析
2020年广东省茂名市茂港第一高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线平面，直线，有下面四个命题：①；②；③；④其中正确的两个命题是A.①②B.③④C.②④D.①③参考答案：D2. 定义在R上的函数的导函数为，且，其在点（4，）处的切线为，则=( )A．4 B．6 C．10 D．12参考答案：C3. 已知点，直线，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是（A）抛物线（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）直线参考答案：A4. 函数的零点所在的大致区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）参考答案：B略5. 已知是定义在R上的偶函数，且对于任意的R都有若当时，则有（）A． B．C． D．参考答案：C6. Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是（A）5 （B）6 （C）10 （D）12参考答案：答案：D解析：Rt△ABC的斜边长为10，且斜边是Rt△ABC所在截面的直径，球心到平面ABC的距离是d=，选D7. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是A.2B.2sin1C.D.sin2参考答案：C略8. 设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为．参考答案：C略9. 半径为的球面上有四点，两两互相垂直，则面积之和的最大值为A．8 B．16 C．32 D.64参考答案：C10. 函数的定义域为 ( ）A． B． C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 的展开式中项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______.参考答案：6412. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围．参考答案：【考点】函数的零点；函数的值．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故答案为．13. 已知程序框图如右，则输出的= ．K参考答案：9因为,所以当S=105时退出循环体，因而此时i=9,所以输出的i值为914. 圆C与圆关于直线y=－x对称,则圆C的方程为.参考答案：15. 设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________参考答案：16. 若数列满足，则．参考答案：本题考查等比数列.因为,所以,;,将代入得:,即,即数列为等比数列,所以;所以.17. 若函数在区间上单调减区间，则m的一个值可以是_______；参考答案：（答案不唯一，只要）【分析】由题意可得在区间上恒成立，即可得答案；【详解】，，在区间上恒成立，在区间上恒成立，取，显然恒成立，故答案为：.【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，求解时注意结合三角函数的图象进行求解.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省茂名市广东省一级中学2020年高三数学理月考试题含解析
广东省茂名市广东省一级中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根，则＝A．－12 B．－8 C．－4 D．4参考答案：B2. 已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为、，则下列关于、的关系式不正确的是( )A． B． C． D .参考答案：A3. 已知椭圆的焦点为F1，F2，P为C上一点，若PF1⊥PF2，，则C 的离心率为A．B．C．D．参考答案：D 4. 下列四个命题中，正确命题的个数是( )个①若平面平面，直线平面，则；②若平面平面，且平面平面，则；③平面平面，且，点，，若直线，则；④直线为异面直线，且平面，平面，若，则.（A）（B）（C）（D）参考答案：B5. 函数的图像向右平移后关于点对称，那么的最小值为( )A． B．C． D．参考答案：D略6. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为A．7 B．9 C．10 D．15参考答案：A设n抽到的号码为，则，由：，所以n 的取值为26、27、28、29、30、31、32，共七个，因此做问卷C的人数为7.7. 函数的零点所在的区间是（）A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （1,2）D. （0,1）参考答案：D因为，，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间在，选D.8. 已知，则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案： 答案：A9. 如图，在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点，则点G到平面的距离为( )A.B.C.D.参考答案： 答案：D10. 已知全集，集合，集合，那么A.B.C.D.参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，是两个向量，则“”是“”的 条件．参考答案：充要【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用数量积运算性质展开即可得出结论．【解答】解：“”?4＞0?“”，∴“”是“”的充要条件．故答案为：充要．12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为__________．参考答案：【分析】先找到几何体原图，再求几何体底面的外接圆的半径和几何体的外接球的半径，最后求几何体外接球的表面积.【详解】由题得几何体原图如图所示，底面等腰三角形的腰长为，由余弦定理得，所以,在△ADC中，AC=1,，所以,所以几何体外接球的半径为，所以几何体外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体外接球的问题和球的表面积求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求∠A的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为，面积为，求△ABC的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式化简即得的大小；（2）先利用正弦定理求出a的值，再利用面积求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值即得解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，由三角形内角和定理和诱导公式可得，，代入上式可得，，所以.因为，所以，即.由于，所以.（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，.又的面积为，所以，即，所以.由余弦定理得，则，所以，即.所以的周长.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13. 一种平面分形图的形成过程如下图所示，第一层是同一点出发的三条线段，长度均为1，每两条线段夹角为120°；第二层是在第一层的每一条线段末端，再生成两条与该线段成120°角的线段，长度不变；第三层按第二层的方法再在第二层每一条线段的末端各生成两条线段；重复前面的作法，直至第7层，则分形图第7层各条线段末端之间的距离的最大值为______参考答案：略14. 函数在上是减函数,则实数的取值范围是____________________.参考答案：略15. 在边长为1的正三角形中，设，则。
【数学】广东省茂名市2020届高三第一次综合测试 数学(文)试题
茂名市2020届高三第一次综合测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|24A x Z x =∈-<<，{}2|230B x x x =--<，则A B =I （ ）A ．()2,1-B ．()1,3-C ．{}1,0-D ．{}0,1,2【答案】D【解析】根据题意可知{}1,0,1,2,3A =-，解不等式2230x x --<，得13x -<<，即{}|13B x x =-<<，再与集合A 取交集，即可. 【详解】{}|24A x Z x =∈-<<{}1,0,1,2,3A =-又{}{}2|230|13B x x x x x =--<=-<<{}0,1,2A B ∴⋂=故选：D 【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题. 2．i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第二象限 B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限【答案】C【解析】()()2i 12i i 1i 1i 1i 1z --===-=---，复数21i z i =-在复平面内对应坐标为()1,1-，所以复数21iz i =-在复平面内对应的点在第四象限，故选C. 3．在集合{}1,2和{}3,4,5中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为（ ） A ．112B ．13C ．14D ．16【答案】C【解析】列举出所有可能的两位数，从中找出能被4整除的数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】在{}1,2和{}3,4,5两个集合中各取一个数字组成一个两位数的所有事件为13，31，14，41，15，51，23，32，24，42，25，52共12个，其中能被4整除的两位数是24，32，52共3个，所求概率为31124=. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 是单调函数，且()f x 满足()112f -=，则（ ）A ．()122f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ B ．()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ C ．()122f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据函数()f x 为奇函数，求得()1f 的值，由此判断出()f x 的单调性，进而得出()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 【详解】 ∵()112f -=由奇函数的定义得()()1112f f =--=-，∴()()11f f ->.∵()f x 是R 上的单调函数，∴()f x 在R 上单调递减，故()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭. D 选项无法判断. 故选B. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.5．已知实数x ，y 满足5,210,220,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．11【答案】A【解析】画出可行域，平移基准直线3y x =-到可行域边界点，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为()2,3A -，()4,1B -，()0,1C ，当直线3y x =-平移到点()0,1C 时，取到最小值为 3011z =⨯+=.故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的逼近未知的、要求的，用有限逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形估算圆周率，则π的近似值是( )（精确到0.01）.（参考数据sin150.2588︒≈） A ．3.14 B ．3.11C ．3.10D ．3.05【答案】B【解析】圆内接正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成24个全等的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径1r =，顶角为3601524=oo ，根据圆面积2S r π=，利用三角形面积公式in 12s S ab C =，计算正二十四边形的面积2124sin152S r ⨯'=⨯⨯o ，求解即可. 【详解】由题意可知，单位圆面积2S r ππ==，正二十四边形的面积21241sin152S =⨯⨯⨯'o.则22124sin152r r π⨯⨯⨯=o . 即12sin15120.2588 3.1056 3.11π=≈⨯=≈o . 故选：B 【点睛】本题考查三角形面积公式，属于较易题. 7．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．35-B ．45-C ．35D ．45【答案】D【解析】利用两角差的正切公式，求得tan α的值，然后利用“1”的代换的方法，将sin 2α转化为只含tan α的形式，由此求得sin 2α的值.【详解】 ∵1tan 43πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tantan 14432111tan tan 344ππαππα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭===⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，22222sin cos 2tan 224sin 2sin cos tan 1215ααααααα⨯====+++. 故选D. 【点睛】本小题主要考查两角差的正切公式，考查齐次方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.8．在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =u u u u r u u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】利用,AB AC u u u r u u u r 为基底表示出,AM BC u u u u r u u u r ，利用向量数量积的运算求得AM BC ⋅u u u u r u u u r.【详解】依题意ABC ∆是等边三角形，C 为BM 的中点，2AB AC ==，选取AB u u u r ，AC u u u r为基向量，则2AM AC CM AC BC AC AB =+=+=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r()()2AM BC AC AB AC AB ⋅=-⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2223AC AB AC AB =+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r2223cos 60AC AB AC AB =+-⋅⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r124432262=⨯+-⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.9．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．43C ．23D ．13【答案】C【解析】画出三视图对应的原图，根据锥体体积计算公式，计算出几何体的体积. 【详解】如图所示，由三视图可知，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PA ⊥平面ABC 底面ABC ∆为等腰三角形，且底边长为2，高为1，故三棱锥的体积为11122123323P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体体积计算，属于基础题.10．已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且线段1PF 的中点坐标为()0,b ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．2【答案】C【解析】设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF ，则21//2OM PF ，即222PF OM b ==，根据双曲线的定义可知，122PF a b =+，在12Rt F F P ∆中，2221212||||PF PF F F =+，即2b a =，根据221c b e a a==+，求解，即可.【详解】设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF . 线段1PF 的中点M 坐标为()0,b 点P 在双曲线C 的右支上. 如图所示：原点O 为线段12F F 的中点21//2OM PF ，即212PF F F ⊥，222PF OM b ==. 由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，即122PF a b =+，12||2F F c =在12Rt F F P ∆中，2221212||||PF PF F F =+， 即()()()2222222a b b c +=+，整理得2b a =.2221125c b e a a==+=+=故选：C 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于中档题. 11．下列函数图象中，函数()()||x f x x eZ αα=∈的图象不可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当2α=时，验证A 正确. 当2α=-时，验证B 正确. 当1α=时，验证D 正确. 【详解】当2α=时，()2xf x x e =，定义域为R 关于原点对称.()()()22xxf x x ex e f x --=-==，则()f x 为偶函数.当0x >时，()2xf x x e =.则()()()()22222(2)0xx x x x x f x x e x e e x xe x e xe x '''==+=+=+>'即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减. 此时函数()f x 的图象可能为A 选项.当2α=-时，()2xef x x=，定义为{|x x R ∈且}0x ≠关于原点对称.()()()22xxeef x f x xx --===-，则()f x 为偶函数. 当0x >时，()2xe f x x=.则()()()()222224322(2)x xxx x x e x x e e x e xe e x f x x x xx '''-⎛⎫--==== ⎪⎝⎭' 当02x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递减 当2x ≥时()0f x '≥，即则函数()f x 在[)2,+∞上单调递增. 根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为B 选项. 当1α=时，()xf x xe =，定义为R 关于原点对称.()()()xxf x x exe f x --=-=-=-，则()f x 为奇函数.当0x >时，()xf x xe =. 则()()()()(1)0xxxxx x f x xe x e e x exe e x '''==+=+=+>'令()()1xg x e x =+，则()()()()()()111(2)0x xx x g x e x e x e x e x '''⎡⎤=+=+++=+'>⎣⎦即()0f x '>并且在()0,∞+上单调递增，并且()f x 在()0,∞+上单调递增. 根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为D 选项. 故选：C 【点睛】本题考查函数的图象，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于较难的题.12．已知函数()21,1ln ,1ax ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩()a R ∈，若函数()f x 有四个零点，则a的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(),e +∞C ．()4,+∞D ．()24,e【答案】C【解析】由题意易知，0a ≤时不满足题意.当0a >且1x ≤时()21f x ax ax =-+，为开口向上，对称轴为12x =的二次函数，最多两个零点，当0a >且1x >时()ln f x x a x =-，()1a x af x x x'-=-=，当x a >时()f x 单调递增，当x a ≤时()f x 单调递减，最多两个零点，若使得函数()f x 有四个零点，则需()11020a f f a ⎧>⎪⎪⎛⎫<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎩，求解即可. 【详解】当0a =时，()1,1,1x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，函数()f x 无零点，舍去.当0a <且1x ≤时，()21f x ax ax =-+为开口向下，对称轴为12x =的二次函数， 211111102224f a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1110f a a =-+=>.则1x ≤时，函数()f x 与x 轴只有一个交点. 当0a <且1x >时，()ln f x x a x =-.()()()ln 10a x af x x a x x x''-=-=-=>' 函数()f x 在()1,+∞上单调递增，()()11f x f >=. 则1x >时，函数()f x 与x 轴无交点.则当0a <时，函数()f x 有一个零点.与题意不符，舍去. 当0a >且1x ≤时()21f x ax ax =-+.为开口向上，对称轴为12x =的二次函数. 21111112224f a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1110f a a =-+=>.函数()f x 在(],1-∞最多有两个零点 当0a >且1x >时()ln f x x a x =-.()()()ln 1a x af x x a x x x''=-='-=-.当x a >时()f x 单调递增，当x a ≤时()f x 单调递减，()ln f a a a a =- 函数()f x 在()1,+∞最多有两个零点若使得函数()f x 有四个零点，则需()11020a f f a ⎧>⎪⎪⎛⎫<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎩.即11104ln 0a a a a a >⎧⎪⎪-+<⎨⎪-<⎪⎩，解得4a >. 故选：C 【点睛】本题考查根据函数零点个数，求参数的取值范围.属于较难的题.二、填空题13．已知圆C 的圆心坐标是()0,m ，若直线10x y -+=与圆C 相切于点()2,1A --，则m =______. 【答案】－3【解析】利用直线CA 与直线10x y -+=垂直得到1AC l k k ⋅=-，由此列方程求得m 的值.或利用圆心到切线的距离等于半径，结合两点间的距离公式列方程，解方程求得m 的值. 【详解】依题意直线CA 与直线10x y -+=垂直，所以1AC l k k ⋅=-，即1112m +⨯=-，故3m =-.=3m =-.故答案为：3- 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查方程的思想，属于基础题.14．已知数列{}n a 满足0n a >，且lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，若34674a a a a =，则5a =______.【答案】2【解析】根据等差中项的性质列方程，由此判断出{}n a 为等比数列，由等比数列的性质化简34674a a a a =求得5a 的值. 【详解】∵lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，∴212n n n a a a ++=，即{}n a 为等比数列，∴237465a a a a a ==，从而4346754a a a a a ==则52a =±，又0n a >，∴52a =.故答案为：2 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查对数运算，考查等比数列的性质，属于基础题.15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，直线l ：3y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为：______.【答案】31-【解析】画出图像，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，根据椭圆对称轴以及AF BF ⊥，判断出四边形1AF BF 为矩形，利用直线3y x =的倾斜角，结合椭圆的定义列方程，化简后求得离心率. 【详解】如图所示，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，由椭圆的对称性 及AF BF ⊥，可知1AF BF 为矩形，∴||||||OA OF OF c ===.由直线3y x =得60AOF ∠=︒，∴||AF c =，且130AF F ∠=︒，13AF c =. 椭圆的定义可得，1||32AF AF c c a +=+=，∴3131c e a ===-+. 故答案为：31-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的对称性，考查直线的倾斜角，考查椭圆离心率的计算，属于基础题.16．已知ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b =()2cos cos a c B b C -=，则ABC ∆面积的最大值为______.【答案】【解析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简已知条件，求得cos B 的值，由此求得B 的大小，利用余弦定理和基本不等式求得ac 的最大值，由此求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由()2cos cos a c B b C -=得2cos cos cos a B b C c B =+，由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即()2sin cos sin A B B C =+，又∵()A B C π=-+，∴2sin cos sin A B A =，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，又()0,B π∈，∴3B π=.∵b =由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=得2222211222a c b ac a c ac +-=⇒+=+，由基本不等式式得，22122ac a c ac +=+≥，即12ac ≤，又因为三角形的面积为11sin 1222ac B ≤⨯=a c =时，取等号，故ABC ∆面积的最大值为故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．某学习小组在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是小组成员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这5天中去掉了3月2日与3月28日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠?（参考公式：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-）（参考数据：511319i i i x y ==∑，521598ii x==∑）【答案】（1）5ˆ32yx =-（2）得到的线性回归方程是不可靠的 【解析】（1）利用回归直线方程的计算公式，计算出回归直线方程.（2）用（1）求得的回归直线方程，预测当10,8x =时，估计数据与实验数据的误差，由此判断出得到的线性回归方程不可靠. 【详解】 （1）由数据得111312123x ++==，253026273y ++==.∴3972x y ⋅=，23432x =. ∵511319i ii x y==∑，∴3113191023814977i i i x y ==-⨯-⨯=∑，由521598i i x ==∑，同理得321434ii x==∑.∴31322139779725ˆ43443223i ii ii x y x ybxx ==-⋅-===--∑∑，5ˆˆ271232ay bx =-=-⨯=-. 所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-. （2）当10x =时，ˆ22y=，|2223|2-<， 当8x =时，ˆ17y=，|1714|2->. 所以得到的线性回归方程是不可靠的. 【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行检测，考查运算求解能力，属于中档题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D 是AB 的中点，BC AC =，22AB DC ==，13AA =.（1）求证：平面1A DC ⊥平面11ABB A ； （2）求点A 到平面1A DC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】（1）通过证明1,CD AA CD AB ⊥⊥证得CD ⊥平面11ABB A ，由此证得平面1A DC ⊥平面11ABB A .（2）解法一：利用等体积法计算出点A 到平面1A DC 的距离；解法二：在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，证得AE 就是点A 到平面1A DC 的距离，利用等面积法求得点A 到平面1A DC 的距离.【详解】（1）证明：∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1AA CD ⊥， ∵BC AC =，D 是的AB 的中点，∴CD AB ⊥， 又1AA AB A =I ，∴CD ⊥平面11ABB A ，∵CD ⊂平面1A DC ，∴平面1A DC ⊥平面11ABB A ；（2）解法一∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA 是三棱锥1A ADC -的高， 且1AA AD ⊥，由（1）及已知得ADC ∆是腰长为1的等腰直角三角形，111122ADC S ∆=⨯⨯=，∴1111133332A ADC ADC V S AA -∆=⨯=⨯⨯=， 又13AA =，所以22112A D A A AD =+=，由（1）得CD ⊥平面11ABB A ，1A D ⊂平面11ABB A ，∴1CD A D ⊥， ∴111121122A DC S A D CD ∆=⨯=⨯⨯=，设点A 到平面1A DC 的距离为h ， 由11A A DC A ADC V V --=，得113S 36A DC h ∆⨯=， ∴32h =因此，点A 到平面1A DC 的距离为3.解法二：由（1）平面1A DC ⊥平面11ABB A ，平面1A DC I 平面111ABB A A D =， 在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，则AE ⊥平面1A DC ，故AE 就是点A 到平面1A DC 的距离，∵1AA ⊥平面ABC ，∴在1Rt A AD ∆中，22112A D A A AD =+=.利用等面积得1131322A A AD AE A D ⋅===，因此，点A 到平面1A DC 的距离为32. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知数列{}n a 满足，()()*32111N 232n a a a a n n n n +++⋅⋅⋅+=+∈. （1）求1a ，2a 的值（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*N n ∀∈，314n S ≤<. 【答案】（1）11a =,24a =（2）()2*N n a n n =∈（3）证明见解析【解析】（1）根据题目所给已知条件，依次求得12,a a 的值. （2）利用“退1作差法”求得数列{}n a 的通项公式.（3）利用裂项求和法求得数列{}n b 的前n 项和为n S ，根据n S 的单调性证得314n S ≤<. 【详解】（1）由()32111232n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=+()*N n ∈ 当1n =时，()111112a =+=，即11a =.当2n =时，()211221322a +=⨯⨯+=，解得24a =.（2）∵()32111232n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=+①，∴当2n ≥时，()3121112312n a a a a n n n -+++⋅⋅⋅+=--②①－②()()111122n a n n n n n n =+--=，∴2n a n =，由（1）11a =，即上式当1n =时也成立. 因此，{}n a 的通项公式为()2*N n a n n =∈；（3）由（2）得()()2222121211111n n n n n b a a n n n n +++===-++， ∴()123222222211111111223341n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭()2111n =-+∵()2111n S n =-+单调递增，∴当1n =时n S 取最小值134S =，∵*N n ∀∈，()2101n >+，∴()21111n -<+，即1n S <.因此，314n S ≤<. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.20．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且满足0||1PF y =+. （1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 上的任意一点M 作抛物线C 的切线，交抛物线C 的准线于点N .在y 轴上是否存在一个定点H ，使以MN 为直径的圆恒过H .若存在，求出H 的坐标，若不存在，则说明理由.【答案】（1）24x y =（2）存在一个定点()0,1H ，使以MN 为直径的圆恒过H【解析】（1）利用抛物线的定义，结合0||1PF y =+，求得p ，由此求得抛物线C 的方程.（2）首先假设存在一个H ，使以MN 为直径的圆恒过H .设出切线MN 的方程，利用导数建立切线斜率的等量关系式，结合HM HN ⊥0HM HN ⋅=⇒u u u u r u u u r，利用向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得H 点的坐标，由此证得存在H 点符合题意. 【详解】（1）由抛物线定义知0||2pPF y =+，又0||1PF y =+， ∴0012py y +=+，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（2）存在一个H ，使以MN 为直径的圆恒过H . 由（1）得抛物线C 为214y x =，准线方程为1y =-. 依题意切线MN 斜率一定存在且不为0，设切线MN 方程为y kx b =+. 设定点为()0,H t ，()()111,0M x y x ≠，(),1N a -，∵12y x '=，∴切线斜率112k x =，又211111114MN x y k x a x a++==--，∵MN k k =，∴211111142x x x a+=-，解得1122x a x =-. 以MN 为直径的圆恒过定点H 等价于HM HN ⊥.∴()211111,,4HM x y t x x t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u u r ，112,12x HN t x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u r .∴()2111121124x HM HN x x t t x ⎛⎫⎛⎫⋅=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()22111204t x t t =-++-=恒成立.∴10t -=且220t t +-=，解得1t =，存在一个定点()0,1H ，使以MN 为直径的圆恒过H . 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的切线、圆的几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查利用导数求解抛物线切线有关问题，考查运算求解能力，属于中档题. 21．设函数()ln xg x x ae =+，()xh x axe =，10ea <<， （1）求()g x 在1x =处的切线的一般式方程； （2）请判断()g x 与()h x 的图像有几个交点?（3）设0x 为函数()()g x h x -的极值点，1x 为()g x 与()h x 的图像一个交点的横坐标，且10x x >，证明：0132x x ->.【答案】（1）()110ae x y +--=（2）()g x 与()h x 的图像有2交点（3）证明见解析【解析】（1）利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程.（2）构造函数()()()f x g x h x =-，利用导数研究()f x 的单调区间和零点，由此判断()g x 与()h x 的图像的交点个数.（3）结合（2）以及题意得到()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，化简得到102011ln e 1x x x x x -=-，利用放缩法以及取对数运算，化简证得0132x x ->成立. 【详解】（1）由()1e x g a xx '=+得切线的斜率为()11e k g a '==+，切点为()1,e a . ∴切线方程为：()()e 1e 1y a a x -=+-， ∴所求切线的一般式方程为()110ae x y +--=.（2）令()()()ln e e xxf xg xh x x a ax =-=+-由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+，且()()211e e 1e x x xax f x a a x x x-'=+-+=. 令()21e xm x ax =-，得()()22e exxm x a x x '=-+，由10ea <<，0x >得，可知()m x 在()0,∞+ 内单调递减，又()11e 0m a =->，且221111ln 1ln 1ln 0m a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()0m x =在()0,∞+内有唯一解，从而()0f x '=在()0,∞+内有唯一解，不妨设为0x ，则011ln x a <<，当()00,x x ∈时，()()()00m x m x f x x x'=>=，∴()f x 在()00,x 内单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x f x x x'=<=，∴()f x 在()0,x +∞内单调递减， 因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1x x x ϕ=-+，则当1x >时，()110x xϕ'=-<，故()x ϕ在()1,+∞内单调递减，∴当1x >时，()()10x ϕϕ<=，即ln 1x x <-，从而1ln 111ln ln ln 1ln a f a e a a a ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln ln ln 1ln 0a a a ϕ⎛⎫=-+=< ⎪⎝⎭， 又因为()()010f x f >=，∴()f x 在()0,x +∞内有唯一零点，又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在()0,∞+内恰有两个零点.所以()g x 与()h x 的图像有2交点；（3）由（2）及题意，()()010,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011e 1,ln 1e ,xx ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-, ∵当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故()1020120111x x x x e x x --<=-, 两边取对数，得120ln ln x x e x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->，命题得证. 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究两个函数图像的交点个数，考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.22．设A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（Ⅰ）写出1C 参数方程和2C 普通方程； （Ⅱ）求AB 最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),()2251x y -+=（Ⅱ）1，2 【解析】（Ⅰ）根据椭圆的参数方程cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩，(α为参数)，直接写出1C 参数方程，再根据222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩，将2C 转化为普通方程，即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设()2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M，计算AM =max AM 与min AM ，求解max 1AM +与min 1AM -，即可.【详解】（Ⅰ）由题意可得1C的参数方程为：2cos ,,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）， 又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴2C 的普通方程为2210240x y x +-+=，即()2251x y -+=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设()2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M ，则||AM === ∵[]cos 1,1α∈-，∴当1cos 2α=-时，max ||AM = 当cos 1α=时，min ||3AM =.当1cos 2α=-时，max max ||||11AB AM =+=； 当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，以及二次函数的最值，属于中档题.23．已知函数()()22f x x a a R =-∈，对R x ∀∈，()f x 满足()()2f x f x =-. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若R x ∃∈，使不等式()()2122f x f x m m -+≥+，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1a =,（Ⅱ）21m -≤≤【解析】（Ⅰ）根据函数的对称性， 确定()f x 的图象关于直线1x =对称，求解即可.（Ⅱ）令()()()3,11231,1123,1x x g x f x f x x x x x --≥⎧⎪=-+=---≤<⎨⎪+<-⎩，则()()max 12g x g =-=，根据存在性问题，可知()2max g x m m ≥+，求解m 的取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）∵R x ∀∈，()()2f x f x =-，∴()f x 的图象关于直线1x =对称，又()|22|2||f x x a x a =-=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称， ∴1a =.（Ⅱ）令()()()122g x f x f x =-+，由（Ⅰ）()2|1|f x x =-， 则()3,112131,113,1x x g x x x x x x x --≥⎧⎪=--+=---≤<⎨⎪+<-⎩因此，()g x 在区间[)1,-+∞上单调递减，在区间(),1-∞-上单调递增. ∴()()max 12g x g =-=.R x ∃∈使不等式()()2122f x f x m m -+≥+等价于()2maxg x m m ≥+，即220m m +-≤.解得21m -≤≤，即实数m 的取值范围是21m -≤≤.【点睛】本题考查函数的对称性，含绝对值不等式的求解，属于常规题.。
广东省茂名市2020届高三综合测试数学（理）试题
绝密★启用前 试卷类型：A2020年茂名市高三级第二次综合测试数学试卷(理科）2020.5本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5．考试结束后，请将答题卡上交.第一部分 选择题(共60分）1. 若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数yi x +的虚部为（ ） A.2 B.1 C.i D.-12．已知集合U R =,{}2lg(4)A x y x ==-，{}21x x B =-≤<，则A B =（ ）A ．(2,2)-B ．(2,1)-C ．[2,2]-D ．[2,2)- 3. 已知π1sin 62θ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-，且π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭θ则πcos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.0B.12C.1 3 4. 下列命题错误的是（ ）A ．“x ＝2”是“x 2−4x +4＝0”的充要条件B ．命题“若14m ≥-，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”D ．命题p ：“∃x 0∈R ，x 02−2x 0+4＞0”，则﹁p ：“∀x ∈R ，x 2−2x +4＜0”5. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。
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A 1,0,1, 2,3
又 B x | x2 2x 3 0 x | 1 x 3
A B 0,1, 2
故选：D
【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.
2.
i
为虚数单位，复数
z
2i i 1
在复平面内对应的点所在象限为（
）
A. 第二象限
B. 第一象限
C. 第四象限
D. 第三象限
【答案】C
根据 e c a
1
b2 a2
，求解，即可.
【详解】设线段 PF1 的中点为 M ，连接 OM ， PF2 .
线段 PF1 的中点 M 坐标为 0, b
-4-
点 P 在双曲线 C 的右支上.
A. 64
B. 729
C. 64 或 729
D. 64 或 243
【答案】C
【解析】
【分析】
设 等 比 数 列 an 的 公 比 为 q q 0 ， S3 a1 a2 a3 1 q q2 7 ， 解 得 q = 2 或
q 3 ，根据 a3 a5 q6 ，求解即可.
【详解】设等比数列 an 的公比为 q q 0 ，则 an a1qn1 qn1 .
【解析】
【详解】z
2i i 1
i 12
i 1
i 1
1 i
，复数 z
2i 在复平面内对应坐标为 1, 1
i 1
，
所以复数
z
2i i 1
在复平面内对应的点在第四象限，故选
C.
3.记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，已知 S5 a3 16 ， a1 1，则 a2 a6 （ ）
A. 10
A. 2
B. 3
C. 5
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
设线段 PF1 的中点为 M ，连接 OM
，
PF2
，则 OM
//
1 2
PF2 ，即
PF2
2 OM
2b ，根据
双曲线的定义可知， PF1 2a 2b ，在 RtF1F2P 中， PF1 |2 PF2 |2 | F1F2 |2 ，即 b 2a ，
6.公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率
，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即 12，24，48，…，192，…，
逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些
数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 的近似值是 3.141024，刘
徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之
又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、
可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大
影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则 的近似值是( )（精确到
2020 年茂名市高三级第一次综合测试 数学试卷（理科）2020.1
一、选择题：
1.已知集合 A x Z | 2 x 4 ， B x | x2 2x 3 0 ，则 A B （ ）
A. 2,1
B. 1,3
C. 1, 0
D. 0,1, 2
【答案】D 【解析】 【分析】
根 据 题 意 可 知 A 1, 0,1, 2,3 ， 解 不 等 式 x2 2x 3 0 ， 得 -1 < x < 3 ， 即 B x | 1 x 3 ，再与集合 A 取交集，即可. 【详解】 A x Z | 2 x 4
即 12 sin15 12 0.2588 3.1056 3.11.
故选：B
【点睛】本题考查三角形面积公式，属于较易题.
7.已知
F1
、
F2
为双曲线
C
：
x a
2 2
y2 b2
1(a
0 ，b
0 )的左、右焦点，点 P
在双曲线 C 上，
且线段 PF1 的中点坐标为 0, b ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 根据对称性可知“双喜”字是轴对称图形.即可. 【详解】由题意可知，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁出，如下图：
-2-
故选：D
【点睛】本题考查对称性，属于容易题.
5.记 Sn 为等比数列an 的前 n 项和，若 a1 1 ， S3 7 ，则 a3 a5 （ ）
0.01 ）.（参考数据 sin15 0.2588 ）
A. 3.14
B. 3.11
C. 3.10
D. 3.05
-3-
【答案】B
【解析】
【分析】
圆内接正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成 24 个全等
的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径 r 1 ，顶角 360 15 ，根据圆面 24
S3 a1 a2 a3 1 q q2 7 .
即 q2 q 6 0 ，解得 q = 2 或 q 3 .
a3 a5 q2 q4 q6
当 q = 2 时， a3 a5 26 64 .
当 q 3 时， a3 a5 36 729 .
故选：C
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属于较易题.
积
S
r2
，利用
三角形面积公式
S
1 ab sin C 2
，计算正二十
四边形的面积
S 24 1 r2 sin15 ，求解即可. 2
【详解】由题意可知，单位圆面积 S r 2 ，正二十四边形的面积 S 24 1 12 sin15 . 2
则 24 1 r2 sin15 r2 . 2
B. 11
C. 12
D. 13
【答案】B
-1-
【解析】
【分析】
设 等 差 数 列 an
的公差为
d
，可知
S5
5a1
10d
a1
2d
16
，解得
d
3 2
，根据
a2 a6 2a1 6d ，求解即可.
【详解】设等差数列an 的公差为
d
，则
Sn
na1
n n 1
d 2
，
an
a1
n 1 d
.
则 S5 5a1 10d 5 10d a3 16 a1 2d 16 17 2d .
即 5 10d 17 2d ，解得 d 3 . 2
a2
a6
a1
d
a1
5d
2a1
6d
21
6
3 2
11 .
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式，属于较易题.
4.剪纸是我国的传统工艺，要剪出如下图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪
裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字.（ ）