二、菲涅耳公式表示反射波、折射波与入射波的振幅和位相关

2.E为p波, H为s波的菲涅耳公式
rp
P波的振幅反射系数
tp
P波的振幅透射系数
tg (1 2 ) n2 cos 1 n1 cos 2 rp A1 p tg (1 2 ) n2 cos 1 n1 cos 2
2 sin 2 cos1 2n1 cos1 tp A1 p sin(1 2 ) cos(1 2 ) n2 cos1 n1 cos 2 A2 p
变化或是零或是

布儒斯特(D.Brewster)角 B
n2 B tan n21 tan n1
1 1




1 B rp 0.
c 全反射临界角
n1 n2

从光密到光疏
n2 c sin n21 sin n1
1 1
i1 ic rs rp 1
ts、t p 都是正值，表明折射波和入射波的相位总是相
同，其s波和p波的取向与规定的正向一致，光 波通过界面时，折射波不发生相位改变。
对于反射波，要区分n1>n2和n1<n2两种情况，并注意
1 B和1 B 时的不同。
当 n1<n2
A1' s sin(1 2 ) n1 cos1 n2 cos 2 rs A1s sin(1 2 ) n1 cos1 n2 cos 2
n2 cos 2 2 n2 cos 2 4 cos 2 1 sin 2 2 Ts ts n1 cos 1 n1 cos 1 sin 2 (1 2 )
2 tan (1 2 ) 2 R p rp tan 2 (1 2 )
n2 cos 2 2 n2 cos 2 4 cos 2 1 sin 2 2 Tp tp 2 n1 cos 1 n1 cos 1 sin (1 2 ) cos 2 (1 2 )
rs
S波的振幅反射系数
ts
S波的振幅透射系数
A1' s sin(1 2 ) n1 cos1 n2 cos 2 rs A1s sin(1 2 ) n1 cos1 n2 cos 2
A2 s 2 cos1 sin 2 2n1 cos1 ts A1s sin(1 2 ) n1 cos1 n2 cos 2
W1为入射光能量，由于反射而损失的能量占41%。 为减少光能量损失，近代光学技术普遍采用在光学元 件表面镀增透膜。
小结
光在介质界面上有反射和折射现象：
1）反射或透射光波的振幅、强度、能流可通过菲涅尔
公式进行计算；
2）由菲涅尔公式可知，当平面波在接近正入射或掠入
射，从光疏介质与光密介质的分界面反射时，存在半
A1' p
即 振幅反射率
E1s n1 cos 1 n2 cos 2 rs E1s n1 cos 1 n2 cos 2
E2 s 2n1 cos 1 ts E1s n1 cos 1 n2 cos 2
s波
振幅透射率
振幅反射率
n2 cos 1 n1 cos 2 rp E1 p n2 cos 1 n1 cos 2
1. E为s波, H为p波的菲涅耳公式
E、H矢量在界面处切向连续 反射和折射不改变E、H的振动态
E1s E1s E2 s H1 p cos 1 H1p cos 1 H 2 p cos 2
n 1 2 0 H p Es 0 c
n1 ( E1s E1s ) cos 1 n2 E2 s cos 2
入射波
W1 I1 cos1 1 1 2 A1 cos1 2 1
反射波
透射波
1 1 ' 2 W1 I 1 cos1 A 1 cos1 2 1
' '
1 2 2 W2 I 2 cos 2 A2 cos 2 2 2
界面上反射波、透射波的能流与入射波能流之比为
例如：在空气——玻璃（n=1.52）界面反射的情况，
Rn 0.043
约4%的光能量被反射。
对于构造复杂的光学系统，即使接近于正入射下入
射，由于反射面过多，光能量的损失也很严重。例如，
一个包含6块透镜系统，反射面12面，若n=1.52，光在 各面入射角很小，透过这一系统的光能量为
W2 (1 0.043 )12W1 0.59W1
rs
对所有的θ1都是负值，表明反射时s波在界面上发生 了 的位相变化。
rp
A1' p A1 p

tg (1 2 ) n2 cos 1 n1 cos 2 tg (1 2 ) n2 cos 1 n1 cos 2
rp
当 1 B 时为正值，表明其相位变化为0。
当 1 c （ θc为θ2=900时对应的θ1）时， 表示发生全反射现象，
rs rp 1
有
ts、t p 都大于1，
且随θ1的增大而增大
（3）相位变化
rs 、rp、ts、t p 随着θ1的变化会出现正值或负值
的情况，表明所考虑的两个场同相位（振幅比取正 值），或者反相位（振幅比取负值），相应的相位
二、菲涅耳公式
表示反射波、折射波与入射波的振幅和位相关系
规定：
s态—振动矢量垂直于入射面 p态—振动矢量在入射面内
把 E 分解为s波和p波， S 分量与 p 分量相互独立
1.E为s波, H为p波的菲涅耳公式
E1s
n1 n2
H 1P
k1
1 1
k1
E1s
H 1p
2
k2
E2 s
H2 p
二、菲涅耳公式
同样有
Rs Ts 1 R p Tp 1
若入射光为自然光，可把自然光分成s波和P波，它们的 能量相等，都等于自然光的一半，因此，反射率为
1 Rn ( Rs R p ) 2
自然光在 1 450的区域内反射率几乎不变，约等于正入 射的值。
正入射时，
n 1 2 Rn ( ) n 1
1.5 全反射和隐失波
一、临界角
若光波从光密介质射向光疏介质，入射角大于临界 角，入射光线将全部反射回原介质。
临界角
n2 c arcsin( ) n1
二、反射系数和位相变化
rs rp
Leabharlann Baidu
cos 1 i sin 2 1 n 2 cos 1 i sin 1 n
当入射角 1 c 时， s波和p波的相位变化情况与 n1 n2
时得到的结果相反，并且也有 1 B 时产生全偏振现象。
结论：当平面波在接近正入射或掠入射下从光疏介质与 光密介质的分界面反射时，反射光的电矢量相对于入射 光的电矢量产生了 的相位突变（半波损失：反射时损 失了半个波长）。
W A R W1 A1
' 1 ' 1 2
W2 n2 cos 2 A2 T W1 n1 cos 1 A1
2
R和T 分别称为反射率和透射率
当不考虑介质的吸收和散射时，根据能量守恒关系
R T 1
P波和s波的反射比和透射比表示式为
2 sin (1 2 ) 2 Rs rs sin 2 (1 2 )
rs
菲涅耳公式以入射角表示：
cos 1 n212 sin 2 1 cos 1 n212 sin 2 1 2 cos 1 cos 1 n212 sin 2 1 n212 cos 1 n212 sin 2 1 n212 cos 1 n212 sin 2 1 2n21 cos 1 n212 cos 1 n212 sin 2 1
ts rp tp
n21 n2 / n1
由菲涅耳公式分别得到 n ₁ <n ₂ 和 n ₁ >n ₂ 两种情况下的r、t∼θ₁曲线
（1）n₁<n₂的情况
当 1 0 时，即垂直入射时， rs 、rp、ts、t p 都不为零，表 示存在反射波和折射波。
当 1 90 时，即掠入射时， rs rp 1 , t s t p 0 即没有折射光波。
tp E2 p E1 p 2n1 cos 1 n2 cos 1 n2 cos 2
E1p
p波
振幅透射率
利用关系
n1 sin 1 n2 sin 2
sin(1 2 ) rs sin(1 2 ) 2 cos 1 sin 2 ts sin(1 2 ) tan(1 2 ) rp tan(1 2 ) 2 cos 1 sin 2 tp sin(1 2 ) cos(1 2 )
如果光波是从光密介质入射到光疏介质，在正入射时反 射波的电矢量没有 的相位突变，掠入射时发生全反射 现象。
对于折射波，不论哪一种情况，电矢量都不发生位相突变。
（4）反射率和透射率 反射波 、 折射波与 入 射波的能量关系?
考虑界面上一单位面积，设 入射波、反射波和折射波的 ' I 、 I 光强分别为 1 1 、I 2 通过此 面积的光能为
波损失；
3）当光以布儒斯特角入射时，反射光是完全偏振的，
不管是从光密介质到光疏介质还是相反情况的反射，
都存在布儒斯特角。
例：平行光以布儒斯特角从空气射到玻璃（n=1.5）上， 求(1)能流反射率 和 R p Rs
Tp (2) 求能流透射率
Ts 、
解 光以布儒斯特角入射时，反射光无p分量，R p 0 布儒斯特角为
ts 、t p
随θ1的增大而减小 随θ1的增大而增大，直到等于1
0 值在 1 B ( B 2 90 ) 时，有 rp =0，即反射光 波中没有p波，只有s波，产生全偏振现象。
rs
rp
（2）n₁>n₂的情况
当 1 0 时，即垂直入射时， rs 、rp、ts、t p 都不为零，表 示存在反射波和折射波。
当 1 B 时为负值，表明在界面上，反射光的p波有 相位变化。

当 1 B 时为零，表明反射光中没有平行于入射面的 振动，而只有垂直于入射面的振动，即发生全偏振现象。
当 n1>n2
当入射角 1 c 时，位相改变既不是零也不是 ，而是随 入射角有一个缓慢的变化，发生了全反射。
对于折射波，
A2 s 2 cos1 sin 2 2n1 cos1 ts A1s sin(1 2 ) n1 cos1 n2 cos 2
2 sin 2 cos1 2n1 cos1 tp A1 p sin(1 2 ) cos(1 2 ) n2 cos1 n1 cos 2 A2 p
*光波的入射面是指界面法线与入射光线组成的平面。
*光波的振动面是指电场矢量的方向与入射光线组成的平面。 *任一方位振动的光矢量E都可以分解成互相垂直的两个分量。
称平行于入射面振动的分量为光矢量的p分量，记为EP。
称垂直于入射面振动的分量为光矢量的s分量，记为ES。
对任一光矢量，只要分别讨论两个分量的变化情况就可以了。
1 B arctan1.5 56.3 ,
s分量的能流反射率
Rs rs
2
1 2 90
sin( 2 1 ) 2 [ ] sin 2 (90 2 B ) 14.8% sin( 2 1 )
因能量守恒，故能流透射率
Tp 1 R p 1 Ts 1 Rs 85.2%
菲 涅 耳 公 式
对于1 0 的垂直入射的特殊情况，可得
A n 1 rs A1s n 1
' 1s
n 1 rp A1 p n 1 tp A2 p A1 p 2 n 1
A1' p
A2 s 2 ts A1s n 1
相对折射率
n n 2
n1
三、菲涅耳公式的讨论 菲涅耳公式给出反射波或折射波与入射波的振幅的相对变 化，用振幅反射、透射系数来表示，并随入射角而变。