CH8投资
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2
一、投资与投资成本
合意的资本存量
假设厂商能以rK的价格租用资本。厂商的利润为 π(K,X1,X2,…,Xn）- rKK。假设πk>0 和πkk<0。其 中K为资本，X表示其他投入。假设厂商除了资本外， 在其他方面已经进行了最优化。
对K求一阶导数等于零，可以得到利润最大化时的资 本存量：
πK(K,X1,X2,…,Xn）=rK 合意的资本量取决于其他投入和资本的租用价格。
15
最优资本存量
当考虑调整成本后，厂商的利润函数不仅包括投资成本，而且包括增加投 资的成本。
在某时刻厂商的利润： (K )k I C(I )
最优化问题：
＝ ert (K (t))k(t) I (t) C(I (t))dt 0
k(t) I (t)
这属于最优控制问题。可以使用庞特里亚金最大值原理方法求解。
函数： i/k=ψ(q)且ψ(1)=0 当q=1时，意味着已安置资本的价格与未安置资本的价格相
等，投资率为零。因而，正的投资率要求q>1。 将该函数代入到资本的变化方程得到： dk/dt=i=kψ(q)
10
q的含义
对条件（3）积分得到q的决定公式，资本的影子价 格等于未来边际产量的贴现值,即q表示每增加单位 资本所增加的利润现值。因此，若q较高，厂商将会 增加资本存量，反之则减少。
达到稳态时，投资率等于零。 已安置资本的影子价格等于 它的重置成本。资本的边际 产量等于利率。
12
稳态和转移动态
q
在稳态附近分析q和k的动态。因此围 绕（k*,1）将二维微分方程系统线性 化。
k k * (1) (q 1)
q(0) q*＝1
q f (k*)(k k*) r(q 1)
Байду номын сангаас
q 0
k(0) k*
3
资本的使用成本
大多数资本不是被租用，而是由使用它的厂商所拥有。因此 需要考虑资本的使用成本。
假设厂商拥有1单位资本，并假设资本在t时的真实市场价格 为pK(t)。那么厂商持有资本的成本包括三个方面：
1、厂商放弃的出售资本所得到的利息收入。2、资本折旧造 成的成本。3、资本价格变化带来的损失或收益。
模型的收敛速度。当b>0，收敛速度小于索洛模型中的收敛速 度。当b趋于无穷大，收敛速度趋于索洛模型中收敛速度的一 半。因此，调整成本对收敛速度的影响不大。
14
二、存在调整成本的投资模型
该模型被称为q理论投资模型。 假设行业由N个相同的厂商组成。在忽略获得和安装新机器的任何成本的 条件下，一个代表性厂商在t时的真实利润与其资本存量k成正相关，与 行业的资本的资本存量K反相关。
rK (t) r(t) pK (t) pK (t) pK (t)
资本的 真实使 用成本
实际 利率
资本价格的变化：价格 下降，成本增加；价格 上升，成本减少。
4
二、存在调整成本的投资模型
托宾的q理论：投资是q的函数，q为单位追加资 本的影子价格。而q又是企业边际利润的贴现值。 需求、利率和税收的变动通过q的作用而影响投 资。
调整成本：与资本安置或拆除有关的成本。 相对于物质资本，调整成本对经由教育过程的人
力资本增加更为重要。学习经历要花时间，加速 教育过程的企图可能遭遇迅速的报酬递减。 本模型只考虑一种资本，它是物质资本和人力资 本的混合。
5
1、企业行为
假设生产函数是新古典的：Y=F(K,L)人均形式：y=f(k) 因为人口、技术和折旧不影响模型结论，因此假设n=g=δ=0。 企业拥有资本，家庭拥有对企业的净现金流的要求权。 企业资本存量的变化： K I K I ,人均形式： k i
厂商利润： (K(t))k(t)， 0
该模型的关键假设是，厂商在调整资本存量时有成本。边际调整成本随 调整的规模递增。
调整成本： C(k)满足C(0) 0,C(0) 0,C 0
假设资本品的购买价格不变且为1。假设资本的折旧率为零，则资本存量 的变化等于厂商的投资。
资本存量变化： k(t) I (t)
11
2、稳态和动态
现在分析当利率被外生给定时的稳态和转移动态。
动态系统
k k (q)
q rq f (k) (q)2 (q)
在该模型中，q和投资率与国 内的效用函数无关，因此， 在开放经济中，实际利率由 外生给定，投资决策不依赖 于储蓄或消费决策。
稳态值
k 0 (q) 0 q* 1
q 0 f (k*) r
企业的目标就是在约束条件和给定初始值K(0)条件 下，选择K和L使企业价值最大化。
V (0) ert F(K, L) wL I 1(I / K)dt 0
约束条件：K＝I
可以通过最优控制理论求解。
8
最优值的一阶条件
当期汉密尔顿函数：
H F (K, L) wL I1 (I / K ) q I
因为投资存在装置成本， 所以，为了增加i单位的 资本存量，需要
i[1+φ(i/k)]单位的产出。
装置成本函数
(i/k)φ(i/k)为非负和凸
形。当投资等于零时，调 整成本为零。无论投资还 是反投资都要花费成本。
(i/k)φ(i/k)
0
i/k
投资的调整成本
7
企业有一个固定数量的公开发行的股权份额，这些 份额在0时的价值在股票市场上被确定为V(0)。V(0) 等于从0时到无限之间的净现金流量以市场收益率r （t）贴现后的净现值。
资本存量K被称 为状态变量；
q被称为共态变 量，又被称为 影子价格：以 当期产出为单 位衡量的已经 安装的资本的 当期市场价值。
9
投资与q的关系
q 1(i / k) (i / k)(i / k)
一阶条件中的条件2意味着q和i/k之间的关系是单调递增的， 且当投资为零时q等于1：
q=h(i/k)且h(0)=1 因此可以定义一个反函数，把i/k表示为q的一个单调递增
贫困必须被视为基本行为能力的被 剥夺，而不仅仅是收入低下，而这却是 现在识别贫困的通行标准。
—— 阿马蒂亚.森
1
研究投资的主要原因
厂商投资需求和家庭储蓄供给的结合决定 了一个经济中的产出有多少被用于投资。 因此，投资需求对于长期内生活水平的变 动可能具有重要作用。
投资是高度易变的。因此，投资需求对于 短期波动可能有重要影响。
k 0
k
结论：1、系统呈现鞍点路径稳定。稳定臂向下倾斜。
2、如果经济从k(0)<k*处开始，则q(0)>q*。已安置资本的高市场价值将 会刺激投资增加。然后，k的持续增加导致了q的减少，从而投资减少。 最终，q趋于q*＝1，i/k趋于0，k趋于k*。经济达到稳态。
3、该理论预测一个能进入世界信贷市场的贫困经济（ k(0)<k* ）将有 一个高的已安置资本的影子价格q和一个高的资本存量的增长率。
一阶条件：
H H 0和q rq H
I L
K
横截性条件：limertqK 0 t
(1) f (k) kf (k) w
(2)q 1 (i / k) (i / k)(i / k)
(3)q rq f (k) (i / k)2(i / k)
limertqk 0 t
投资I和劳动L 被称为控制变 量；
本模型的q：若厂商资本增加1单位，则其利润现值 增加q，从而厂商的市场价值增加q。因此，q是1单 位资本的市场价值。由于假定资本的购买价格为1， 因此q也等于1单位资本的市场价值与其重置成本的 比率。
托宾的q：资本市场价值与其重置成本的比率。 本模型的q是边际q，托宾的q是平均q。当生产函数
是规模报酬不变时，二者相等。
13
封闭经济中调整成本对收敛速度的影响
用索洛模型来分析调整成本对收敛速度的影响。索洛模型中的收敛速度
如下： (1 )(n g )
在索洛模型中假如存在调整成本，并采用柯布－道格拉斯生产函数，得
到如下收敛速度：
(1
)(n
g
)11(1/b2()nb(ngg)
)
结论：如果没有调整成本，即b=0，那么收敛速度即为索洛
建立当期汉密尔顿函数：
H（k, I）＝ (K(t))k(t) I (t) C(I (t) q(t)I (t)
16
每单位投资的成本为资本价格 投资成本＝I 1＋（I / K）
（简化为1）加上调整成本。调
整成本是I/K的增函数。
其中(0) 0, 0, 0
企业对单位劳动支付的工资率为w，并忽略劳动的调整成本。企业的净 现金流量如下：
净现金流量＝ F(K, L) wL I 1＋（I / K）
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调整成本函数
一、投资与投资成本
合意的资本存量
假设厂商能以rK的价格租用资本。厂商的利润为 π(K,X1,X2,…,Xn）- rKK。假设πk>0 和πkk<0。其 中K为资本，X表示其他投入。假设厂商除了资本外， 在其他方面已经进行了最优化。
对K求一阶导数等于零，可以得到利润最大化时的资 本存量：
πK(K,X1,X2,…,Xn）=rK 合意的资本量取决于其他投入和资本的租用价格。
15
最优资本存量
当考虑调整成本后，厂商的利润函数不仅包括投资成本，而且包括增加投 资的成本。
在某时刻厂商的利润： (K )k I C(I )
最优化问题：
＝ ert (K (t))k(t) I (t) C(I (t))dt 0
k(t) I (t)
这属于最优控制问题。可以使用庞特里亚金最大值原理方法求解。
函数： i/k=ψ(q)且ψ(1)=0 当q=1时，意味着已安置资本的价格与未安置资本的价格相
等，投资率为零。因而，正的投资率要求q>1。 将该函数代入到资本的变化方程得到： dk/dt=i=kψ(q)
10
q的含义
对条件（3）积分得到q的决定公式，资本的影子价 格等于未来边际产量的贴现值,即q表示每增加单位 资本所增加的利润现值。因此，若q较高，厂商将会 增加资本存量，反之则减少。
达到稳态时，投资率等于零。 已安置资本的影子价格等于 它的重置成本。资本的边际 产量等于利率。
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稳态和转移动态
q
在稳态附近分析q和k的动态。因此围 绕（k*,1）将二维微分方程系统线性 化。
k k * (1) (q 1)
q(0) q*＝1
q f (k*)(k k*) r(q 1)
Байду номын сангаас
q 0
k(0) k*
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资本的使用成本
大多数资本不是被租用，而是由使用它的厂商所拥有。因此 需要考虑资本的使用成本。
假设厂商拥有1单位资本，并假设资本在t时的真实市场价格 为pK(t)。那么厂商持有资本的成本包括三个方面：
1、厂商放弃的出售资本所得到的利息收入。2、资本折旧造 成的成本。3、资本价格变化带来的损失或收益。
模型的收敛速度。当b>0，收敛速度小于索洛模型中的收敛速 度。当b趋于无穷大，收敛速度趋于索洛模型中收敛速度的一 半。因此，调整成本对收敛速度的影响不大。
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二、存在调整成本的投资模型
该模型被称为q理论投资模型。 假设行业由N个相同的厂商组成。在忽略获得和安装新机器的任何成本的 条件下，一个代表性厂商在t时的真实利润与其资本存量k成正相关，与 行业的资本的资本存量K反相关。
rK (t) r(t) pK (t) pK (t) pK (t)
资本的 真实使 用成本
实际 利率
资本价格的变化：价格 下降，成本增加；价格 上升，成本减少。
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二、存在调整成本的投资模型
托宾的q理论：投资是q的函数，q为单位追加资 本的影子价格。而q又是企业边际利润的贴现值。 需求、利率和税收的变动通过q的作用而影响投 资。
调整成本：与资本安置或拆除有关的成本。 相对于物质资本，调整成本对经由教育过程的人
力资本增加更为重要。学习经历要花时间，加速 教育过程的企图可能遭遇迅速的报酬递减。 本模型只考虑一种资本，它是物质资本和人力资 本的混合。
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1、企业行为
假设生产函数是新古典的：Y=F(K,L)人均形式：y=f(k) 因为人口、技术和折旧不影响模型结论，因此假设n=g=δ=0。 企业拥有资本，家庭拥有对企业的净现金流的要求权。 企业资本存量的变化： K I K I ,人均形式： k i
厂商利润： (K(t))k(t)， 0
该模型的关键假设是，厂商在调整资本存量时有成本。边际调整成本随 调整的规模递增。
调整成本： C(k)满足C(0) 0,C(0) 0,C 0
假设资本品的购买价格不变且为1。假设资本的折旧率为零，则资本存量 的变化等于厂商的投资。
资本存量变化： k(t) I (t)
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2、稳态和动态
现在分析当利率被外生给定时的稳态和转移动态。
动态系统
k k (q)
q rq f (k) (q)2 (q)
在该模型中，q和投资率与国 内的效用函数无关，因此， 在开放经济中，实际利率由 外生给定，投资决策不依赖 于储蓄或消费决策。
稳态值
k 0 (q) 0 q* 1
q 0 f (k*) r
企业的目标就是在约束条件和给定初始值K(0)条件 下，选择K和L使企业价值最大化。
V (0) ert F(K, L) wL I 1(I / K)dt 0
约束条件：K＝I
可以通过最优控制理论求解。
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最优值的一阶条件
当期汉密尔顿函数：
H F (K, L) wL I1 (I / K ) q I
因为投资存在装置成本， 所以，为了增加i单位的 资本存量，需要
i[1+φ(i/k)]单位的产出。
装置成本函数
(i/k)φ(i/k)为非负和凸
形。当投资等于零时，调 整成本为零。无论投资还 是反投资都要花费成本。
(i/k)φ(i/k)
0
i/k
投资的调整成本
7
企业有一个固定数量的公开发行的股权份额，这些 份额在0时的价值在股票市场上被确定为V(0)。V(0) 等于从0时到无限之间的净现金流量以市场收益率r （t）贴现后的净现值。
资本存量K被称 为状态变量；
q被称为共态变 量，又被称为 影子价格：以 当期产出为单 位衡量的已经 安装的资本的 当期市场价值。
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投资与q的关系
q 1(i / k) (i / k)(i / k)
一阶条件中的条件2意味着q和i/k之间的关系是单调递增的， 且当投资为零时q等于1：
q=h(i/k)且h(0)=1 因此可以定义一个反函数，把i/k表示为q的一个单调递增
贫困必须被视为基本行为能力的被 剥夺，而不仅仅是收入低下，而这却是 现在识别贫困的通行标准。
—— 阿马蒂亚.森
1
研究投资的主要原因
厂商投资需求和家庭储蓄供给的结合决定 了一个经济中的产出有多少被用于投资。 因此，投资需求对于长期内生活水平的变 动可能具有重要作用。
投资是高度易变的。因此，投资需求对于 短期波动可能有重要影响。
k 0
k
结论：1、系统呈现鞍点路径稳定。稳定臂向下倾斜。
2、如果经济从k(0)<k*处开始，则q(0)>q*。已安置资本的高市场价值将 会刺激投资增加。然后，k的持续增加导致了q的减少，从而投资减少。 最终，q趋于q*＝1，i/k趋于0，k趋于k*。经济达到稳态。
3、该理论预测一个能进入世界信贷市场的贫困经济（ k(0)<k* ）将有 一个高的已安置资本的影子价格q和一个高的资本存量的增长率。
一阶条件：
H H 0和q rq H
I L
K
横截性条件：limertqK 0 t
(1) f (k) kf (k) w
(2)q 1 (i / k) (i / k)(i / k)
(3)q rq f (k) (i / k)2(i / k)
limertqk 0 t
投资I和劳动L 被称为控制变 量；
本模型的q：若厂商资本增加1单位，则其利润现值 增加q，从而厂商的市场价值增加q。因此，q是1单 位资本的市场价值。由于假定资本的购买价格为1， 因此q也等于1单位资本的市场价值与其重置成本的 比率。
托宾的q：资本市场价值与其重置成本的比率。 本模型的q是边际q，托宾的q是平均q。当生产函数
是规模报酬不变时，二者相等。
13
封闭经济中调整成本对收敛速度的影响
用索洛模型来分析调整成本对收敛速度的影响。索洛模型中的收敛速度
如下： (1 )(n g )
在索洛模型中假如存在调整成本，并采用柯布－道格拉斯生产函数，得
到如下收敛速度：
(1
)(n
g
)11(1/b2()nb(ngg)
)
结论：如果没有调整成本，即b=0，那么收敛速度即为索洛
建立当期汉密尔顿函数：
H（k, I）＝ (K(t))k(t) I (t) C(I (t) q(t)I (t)
16
每单位投资的成本为资本价格 投资成本＝I 1＋（I / K）
（简化为1）加上调整成本。调
整成本是I/K的增函数。
其中(0) 0, 0, 0
企业对单位劳动支付的工资率为w，并忽略劳动的调整成本。企业的净 现金流量如下：
净现金流量＝ F(K, L) wL I 1＋（I / K）
6
调整成本函数