基于单个正方形的摄像机自标定算法

直线垂直的充分必要条件是这两直线上的无穷远点
与两圆环点调和共轭，可知两个无穷远点 ｐ１， ｐ２（ ｑ１， ｑ２）
! " 与两个圆环点 ｉ， ｊ 调和共轭。令 ｐｉ＝
! ｐ "! ｑ "
ｕｉ ，ｖｉ ，１
，则
!ｐ∞１ ｐ∞２ ，ｉｊ "＝－ １ !ｑ∞１ ｑ∞２ ，ｉｊ "＝－ １
（７）
由射影变换下交比的不变性［８］可线形求解得到 ｍＩ
" # ｘ!∞｜ｘ!∞ Ｔ ｘ!∞＝０ ， 其方程为ｘ!∞ Ｔ ｘ!∞＝０。圆环点 ｉ＝（１，ｉ，
在实际图像中， 利用数字图像处理技术得到的图 像 上 的 直 线 、平 面 参 数 比 图 像 上 点 的 位 置 更 不 易 受 到 图 像 上 噪 声 的 影 响 。 如 果 能 把 直 线 、平 面 等 信 息 引 入 视觉模型标定中， 能降低噪声影响， 提高模型标定的 精度。
Ｃａ ｍｅ ｒａ Ｓ ｅ ｌｆ－ Ｃａ ｌｉｂｒａ ｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏｎ Ｓ ｉｎｇｌｅ Ｓ ｑｕａ ｒｅ
（ １） 从一个正方形图像确定圆环点图像
设 ｌ１，ｌ２，ｌ３，ｌ４ 是正方形的两组对边。ｌｍ１，ｌｍ２，ｌｍ３，ｌｍ４ 令是 正方形对应的图像的两组对边，它们可以从图像中确
定。记 ｌ１，ｌ２ 与 ｌ３，ｌ４ 所确定的无穷远点分别为 ｐ∞１， ｐ∞２， 像
分别为 ｐ１， ｐ２， ｐｉ 是相应正方形对边的交点， 因此
第
! １ " ! ２ " ! ３ " ! ４ "
二
③利用式（ ７） 计算 ｍＩ ， ｍＩ ， ｍＩ ， ｍＩ 。
六
（ ３） 摄像机内参数的线性求解方法
三 期
! " ! " 由（ ３） 式知： Ｒｅ
Ｔ
ｍＩ ＣｍＩ
＝０，
Ｉｍ
Ｔ
ｍＩ ＣｍＩ
＝０。如果
） ! ＭＯ Ｄ Ｅ Ｒ Ｎ Ｃ ＯＭＰ Ｕ Ｔ Ｅ Ｒ ２００７．７
关键词： 摄像机内参数； 圆环点； 绝对二次曲线
０ 引言
传统的摄像机标定法可以获得较高的标定精度，
但 不 适 应 于 无 法 使 用 标 定 物 的 场 合 。由 于 自 标 定 仅 需
要建立图像对应点， 所以标定方法灵活性强， 潜在的
应 用 范 围 广 。利 用 图 像 和 模 板 之 间 的 二 次 曲 线 对 应 来
研究与开发
在真实图像的实验中， 从不同方位拍摄 ３ 副图 像， 如图 ４ 所示， 对 ３ 副图像进行预处理， 图像的提取 用 Ｈｏｕｇｈ 变换提取， 利用相应算法进行标定， 可求 出 外参数， 如表 ２。利用前面已经定标的参数进行三维 重建， 可以得到正确的结果， 从而证明了该方法所标 定的摄像机参数的正确性。
（ａ）
（ｂ）
（ｃ）
表 ２ 摄像头外参数标定结果
r1
r2
r3
t
３ 结语
本文给出了一种基于正方形的摄像机自标定算 法， 引入约束， 优点是方便求取圆环点的像， 可以线性 求解， 计算精度高； 模板制作容易， 精度可控； 采用合 理标定基元， 无须图像匹配； 摄像机运动不受约束。
参考文献 ［１］马颂德， 张正友． 计算机视觉— ——计算理论与算法基础．
的 ４ 个可能的解。
现
（ ２） 从正方形及其对角线确定圆环点的图像算
代 法步骤：
计
①检测正方形的图像的两组对边及其对角线：
算 ｌｍ１， ｌｍ２， ｌｍ３， ｌｍ４ 和 ｋｍ１， ｋｍ２；
机
②利用式（ ５） 计算两组对边的交点： ｐ１， ｐ２ 及对角
（总 线 ｐ１， ｐ２ 在所确定直线的交点 ｑ１， ｑ２；
进 行 乔 里 斯 基（Ｃｈｏｌｅｓｋｙ）分 解［９］即 可 确 定 摄 像 机 的 全
部 ５ 个内参数。
２ 实验结果与分析
在模拟实验中， 采用图 １ 所示的正方形模板（ 大 小为 ８５×８５ｃｍ） 进行标定研究， 为了对结果进行比较， 摄 像 机 的 内 外 部 参 数 设 置 与 文 献 ［１０］中 的 模 拟 实 验 设 置 相 同 ， 即 内 部 参 数 为 ｆｕ＝１２００， ｆｖ＝１０００， ｕ０＝０， ｖ０＝０， γ＝０．２，在该部分研究中， 直线的提取采用了 Ｈｏｕｇｈ 变 换。为了测试提出方法的稳定性， 采用不同水平级的 高斯噪声 （ 噪声均方差 δ由 ０ 像素变化到 ２．８ 像素） 进行模拟实验， 得到了相应的内部参数，见表 １。
" $ ０，０）Ｔ，ｊ＝（１， － ｉ，０，０）Ｔ 是绝对二次曲线 !＝ ｘ!∞｜ｘ!∞ Ｔ ｘ!∞＝０
上 的 点 。 令 摄 像 机 关 于 世 界 坐 标 系 的 运 动 坐 标 为 （Ｒ，
ｔ）。空间点的齐次坐标记为：
ｘ!＝
% ｘ，ｙ，ｚ，ｗ
Ｔ
&，
对应的图像
点齐次坐标记为ｍ!＝ % ｕ，ｖ，１，０
科学出版社， １９９８： ５～７， ５２～６７ ［２］Ｅｌｓａｙｅｄ， Ｅ．Ｈｅｍａｙｅｄ． Ａ Ｓｕｒｖｅｙ ｏｆ Ｃａｍｅｒａ Ｓｅｌｆ－ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ．
Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｖｉｄｅｏ ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｂａｓｅｄ Ｓｕｒｖｅｉｌｌａｎｃｅ （ＡＶＳＳ’０３）： １～７ ［３］Ｂ． Ｔｒｉｇｇｓ． Ａｕｔｏ－ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ Ｐｌａｎａｒ Ｓｃｅｎｅｓ． Ｉｎ Ｐｒｏｃ． ５ｔｈ Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｃｏｎｆ． ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｖｉｓｉｏｎ， Ｆｒｅｉｂｕｒｇ，ｖｏｌｕｍｅ Ｉ， １９９８： ８９～１０５ ［４］Ｏ． Ｆａｕｇｅｒａｓ， Ｑ． Ｔ． Ｌｕｏｎｇ ａｎｄ Ｓ． Ｍａｙｂａｎｋ． Ｃａｍｅｒａ Ｓｅｌｆ－ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ． Ｉｎ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２ｎｄ Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｖｉｓｉｏｎ， Ｉｔａｌｙ， １９９２： ３２１～３３４ ［５］Ｍａｙｂａｎｋ Ｓ， Ｆａｕｇｅｒａｓ Ｏ．Ａ．Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｓｅｌｆ－ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｍｏｖｉｎｇ Ｃａｍｅｒａ． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｖｉｓｉｏｎ． １９９２， ８（２）： １２３￣１５１ ［６］Ｈａｒｔｌｅｙ Ｒ． Ｋｒｕｐｐａ＇ｓ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｍａｔｒｉｘ． ＩＥＥＥ．Ｔｒａｎｓ Ｐａｔｔｅｒｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ， １９９７， １９（２）： １００￣１０２ ［７］梅向明， 刘增贤， 王汇淳， 王智秋． 高等几何． 高等教育出 版社． ２０００： ２８￣３２， １２７￣１４９ ［８］罗崇善． 高等几何． 高等教育出版社， ２００２： ５７￣７１ ［９］郑咸义． 计算方法．华南理工大学出版社， ２００２： ３９￣４２ ［１０］Ｚｈａｎｇ， Ｚ． Ａ Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ｎｅｗ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ Ｃａｍｅｒａ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐａｔｔｅｒｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ． ２０００， ２２（１１）： １３３０～１３３４
%
! " ! " Ｒｅ ｍ Ｃｍ ＝０ %
%%
! ２ " Ｔ ! ２ "
$
% %
Ｉ
Ｉ
，Ｉｍ
! ２ " Ｔ ! ２ "
ｍＩ ＣｍＩ ＝０
（ ８）
%
! " ! " Ｒｅ ｍ Ｃｍ ＝０ %
% %
! ３ " Ｔ ! ３ "
%% &
Ｉ
Ｉ
，Ｉｍ
! ３ " Ｔ ! ３ "
ｍＩ ＣｍＩ ＝０
求解线性方程组（８）可得到 Ｃ 的解，最后对矩阵 Ｃ
Ｔ
&。则：
利用各种约束以及一些先验知识， 可以使自标定
!ｍ!＝Ｋ’ Ｒ ｔ ( ｘ!
（ １）
算法更加简单有效， 例如文献［３］提出利用圆环点来进 行摄像机标定。本文提出设计一种模板， 使得从其图 像 可 以 很 方 便 求 取 圆 环 点 的 像 。圆 环 点 是 空 间 平 面 的 圆与该平面上无穷远直线的交点，如图 １ 所示。所设 计的模板应能够从其图像中很方便地求出两个圆环 点的像， 而圆环点的像的获取可以通过平面模板来得 到。为了提高精确度， 完全可设计一种正多边形模板，
ｍ!
Ｔ
－
Ｋ
Ｔ
－
Ｋ
１
ｍ!
＝０
计 （ ２） 算
说明绝对二次曲线的像仍是图像空间上一条二 机
次曲线， 这条二次曲线的方程为式（ ２） 。由于圆环点 ｉ＝ （１，ｉ，０，０）Ｔ， ｊ＝（１，－ ｉ，０，０）Ｔ 在绝对二次曲线上，它们的像 ｍＩ，
（总 第
ｍＪ 也一定满足二次曲线的方程（２）， 即有：
二
六
收稿日期： ２００７－ ０５－ ２４ 修稿日期： ２００７－ ０７－ ０２
变换下 ｍＩ，ｍＪ 是一对共轭点。所以，上述两个方程只能 提供下面两个关于摄像机内参数的线性约束：
! " ! " Ｒｅ
Ｔ
ｍＩ ＣｍＩ
＝０，
Ｉｍ
Ｔ
ｍＩ ＣｍＩ
＝０
（ ４）
其中 Ｒｅ， Ｉｍ 分别表示实部与虚部。这样， 通过摄
像机在 ３ 个以上不同方位的模板图像及图像中的圆
环点的像可以确定线性内参数。
１．３ 内参数线性求解算法
三
作者简介： 蓝慕云（ １９７６－ ） ， 女， 江西南康人， 硕士， 从事领域为电子技术和机器视觉研究