波动光学习题解答

第15章 波动光学习题解答
15-1 分析：因双缝干涉是等间距的，故可用条纹间距公式λd
d x '
=
∆求入射光波长。

应注意两个第 5 条暗纹之间所包含的相邻条纹间隔数为9（不是10，为什么？），故
mm 9
78
22.=
∆x 。

解： 屏上相邻暗纹（或明纹）间距'
d x d
λ∆=，把322.7810m 9x -∆=⨯，以及d 、d ′值代入，可得λ＝632.8 nm 。

15-2 解析：双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的．如果设两明纹间隔为Δx ，则由中央明纹两侧第五级明纹间距x 5－x -5 ＝10Δx 可求出Δx 。

再由公式Δx ＝d ′λ／d 即可求出双缝间距d 。

解：Δx ＝（x 5 －x -5）/10 ＝1.22×10-3 m 双缝间距 d ＝d ′λ／Δx ＝1.34 ×10-4 m
15-3 解：玻璃片插入后，对于原中央明纹所在点O ，光程差为
∆=(r 2-t +tn 2)-( r 1-t +tn 1)=( n 2-n 1)t =5λ
0.851
2=-=
n n t λ
μm
15-4 分析：洛埃德镜可看作双缝干涉，光源S 0和虚光源S 0′是相干光源。

但是洛埃德镜的反射光有半波损失，故屏上的干涉条纹与双缝干涉条纹互补，即屏上的明暗位置互换。

解：cm D mm
d 50,2== 由明纹条件：λλ
λ
θδk D x d
d =+=+=2
2
sin 代入1=k ，mm d
D x 21105.82-⨯==
λ
15-5 分析：在应用劈尖干涉公式L nb
d 2λ
=
时，应注意相邻条纹的间距b 是N 条条纹的
宽度Δx 除以（N －1）．对空气劈尖n ＝1．
解：由分析知，相邻条纹间距1
-∆=
N x
b ，则细丝直径为 ()
m 107552125-⨯=∆-=
=
.x
n N L nb
d λλ
15-6 分析：置于玻璃上的薄膜AB 段形成劈尖，求薄膜厚度就是求该劈尖在A 点处的厚度．由于25Ta O 对激光的折射率大于玻璃，故从该劈尖上表面反射的光有半波损失，而下
表面没有，因而两反射光光程差为Δ＝2ne ＋λ/2。

由反射光暗纹公式2ne k ＋λ/2 ＝（2k ＋1）λ/2，k ＝0，1，2，3，…，可以求厚度e k 。

又因为AB 中共有11 条暗纹（因半波损失B 端也为暗纹），则k 取10即得薄膜厚度。

解：根据分析，有
2ne k ＋λ/2 ＝（2k ＋1）λ/2 （k ＝0，1，2，3，…）
取k ＝10，得薄膜厚度 e 10 ＝10λ/2n ＝1.4 ×10-6m
15-7 分析：因为 n 1＜n 2＜n 3 ，劈形膜上下表面都有半波损失，所以二反射光之间没有附加相位差，光程差为2n 2e 。

解：第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为e 5，2n 2e 5 =(2k +1)λ/2 k =4
()522241/49/4e n n λλ=⨯+=
明纹的条件是
2n 2e k =kλ
相邻二明纹所对应的膜厚度之差e =e k+1－e k =λ/(2n 2)。

15-8 分析：牛顿环装置产生的干涉暗环半径λkR r =
，其中k ＝0，1，2…，k ＝0，对
应牛顿环中心的暗斑，k ＝1 和k ＝4 则对应第一和第四暗环，由它们之间的间距
λR r r r =-=∆14，可知λ∝∆r ，据此可按题中的测量方法求出未知波长λ′．
解：根据分析有
λ
λ'
=
∆'∆r r 故未知光波长 λ′＝546 nm
15-9 分析：当透镜与平板玻璃间充满某种液体（n 2＞1），且满足n 1＞n 2 ，n 2＜n 3或n 1＜n 2 ，n 2＞n 3 时，在厚度为d 的地方，两相干光的光程差为2
22λ
+=∆d n 。

由此可推导出
牛顿环暗环半径2n kR r λ=
和明环半径2
21n R k r λ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=，这里明、暗环半径和充入的介质折射率n 2 有关。

有兴趣的读者可自行推导。

必须指出，在牛顿环中，若介质不均匀或分析的是透射光而不是反射光，那么关于暗环、明环半径的公式与教材中的公式是不同的，不能随意套用。

解：当透镜与玻璃之间为空气时，k 级明纹的直径为
λR k r d k k ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-==2122
当透镜与玻璃之间为液体时，k 级明纹的直径为
22122λR k r d k k ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-='='
解上述两式得
2212
2.=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'=k k d d n
15-10 分析：本题也是一种牛顿环干涉现象，由于n 1 ＜n 2 ＜n 3 ，故油膜上任一点处两反射相干光的光程差Δ＝2n 2d 。

（1）令d ＝0，由干涉加强或减弱条件即可判断油膜周边是明环。

（2）由2n 2d ＝（2k ＋1）λ/2，且令d ＝d m 可求得油膜上暗环的最高级次（取整），从而判断油膜上完整暗环的数目。

解：（1）根据分析，由
()()()
,...,,210 12
22=⎩⎨⎧+=k k k d n 暗条纹明条纹λλ
油膜周边处d ＝0，即Δ＝0 符合干涉加强条件，故油膜周边是明环．
（2）油膜上任一暗环处满足
()(),...,,/2102
1222=+==∆k k d n λ
令d ＝d m ，解得k ＝3.9，可知油膜上暗环的最高级次为3，故油膜上出现的完整暗环共有4 个，即k ＝0，1，2，3。

15-11 解：因为有半波损失，所以反射光干涉加强的条件为
λ∆k nd ==2
4602.121
2⨯⨯⨯==
k
k nd λ 当k =2时，λ=552nm 的可见光反射最强。

15-12 分析：这是薄膜干涉问题，求正面呈现的颜色就是在反射光中求因干涉增强光的波长（在可见光范围），求背面呈现的颜色就是在透射光中求干涉增强（即反射减弱）光的波长。

解：根据分析对反射光加强，有
(),...,/2122==+k k ne λ
λ
()124-=k ne /λ
在可见光范围，k ＝2 时，nm 8668.=λ（红光）
k ＝3 时，nm 3401.=λ（紫光）
故正面呈红紫色。

同理，对透射光加强，有
2ne ＝kλ （k ＝1，2，…）
在可见光范围仅有k ＝2 时，λ＝501.6 nm （绿光）。

即背面呈绿色。

15-13 分析：迈克耳孙干涉仪的一条臂上的反射镜2M 移动2
λ
，则在该臂上的光程将改变一个波长λ，由此将引起一条条纹的移动。

解：由2λN d =
得nm N
d
9.5342==
λ 15-14 分析：迈克耳孙干涉仪中的干涉现象可以等效为薄膜干涉（两平面镜相互垂直）和劈尖干涉（两平面镜不垂直）两种情况，本题属于后一种情况。

在干涉仪一臂中插入介质片后，两束相干光的光程差改变了，相当于在观察者视野内的空气劈尖的厚度改变了，从而引起干涉条纹的移动。

解：插入厚度为d 的介质片后，两相干光光程差的改变量为2(n －1)d ，从而引起N 条条纹的移动，根据劈尖干涉加强的条件，有2(n －1)d ＝Nλ，得d ＝Nλ
()
m 101545126-⨯=-=
.n N d λ
15-15 解：设第一级暗纹的衍射角为θ1，则
λθ=1sin a
因而中央明纹的角宽度为
3101046.52arcsin
22-⨯=≈
==a
a
λ
λ
θθrad 设第k 级和第k +1级暗纹的衍射角为θk 和θ k +1，则第k 级明纹的角宽度为
)arcsin())1(arcsin(
1a
k a k k k k λ
λθθθ∆-+=-=+ 在衍射角很小时，311073.2)())1((
-+⨯=-+=-=a
k a k k k k λ
λθθθ∆（rad ） 15-16 分析：夫琅禾费衍射的明纹公式为2
)
12(sin λθ+=k a ，由题意0
λ的第三级明纹与波长
nm 600=λ的单色光的第二级明纹应有相同的衍射角θ。

解：设未知波长为0λ
由单缝衍射明纹条件：2
)
12(sin λθ+=k a
可有： 2
)132(s i n 0λθ+⨯=a 和 2)122(s i n
λθ+⨯=a 即可得 nm 6.4287
5
0==
λλ 15-17 分析：单缝衍射中的明纹条件为()
2
12sin λ
θ+±=k a ，在观察点P 确定（即θ确定）
后，由于k 只能取整数值，故满足上式的λ只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可确定入射光波长的取值。

此外，如点P 处的明纹级次为k ，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k ＋1），它们都与观察点P 有关，θ越大，可以划分的半波带数目也越大。

解：（1）透镜到屏的距离为f ，由于f ＞＞a ，对点P 而言，有f
x
≈θsin 。

根据单缝衍射明纹条件()
2
12sin λ
θ+=k a ，有
()2
12λ+=k f ax 将a 、d （d ≈f ）、x 的值代入，并考虑可见光波长的上、下限值，有
27
2nm 76075
4nm 400max max max min .,.,====k k 时时λλ
因k 只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k =4和k =3，它们所对应的入 射光波长分别为λ2＝466.7 nm 和λ1＝600 nm 。

（2）点P 的条纹级次随入射光波长而异，当λ1 ＝600 nm 时，k ＝3；当λ2 ＝466.7 nm 时，k ＝4。

（3）当λ1＝600 nm 时，k ＝3，半波带数目为（2k ＋1）＝7；当λ2＝466.7 nm 时，k ＝4，半波带数目为9。

15-18 分析：两物体能否被分辨，取决于两物对光学仪器通光孔（包括人眼）的张角θ 和光学仪器的最小分辨角θ0 的关系．当θ≥θ0 时能分辨，其中θ＝θ0 为恰能分辨．在本题中
D
λ
θ22
10.=为一定值，而d
l
≈
θ，式中l 为两灯间距，d 为人与车之间的距离．d 越大或l 越小，θ 就越小，当θ ＜θ0 时两灯就不能被分辨，这与我们的生活经验相符合．
解：当θ ＝θ0时，
D
d l λ
221.=，此时，人与车之间的距离为
m 4918221==
λ
.Dl
d
15-19 解：根据上题的分析：θ0 ＝1.22λ／D 。

这里D 是鹰的瞳孔直径。

而θ ＝L /h ，其中L 为小鼠的身长， h 为老鹰飞翔的高度。

恰好看清时θ ＝θ0， 则由L /h ＝1.22λ/D ，得飞翔高度：h ＝LD /（1.22λ）＝409.8 m 。

15-20 解：（1）光栅常数为
69
100.620
.0106002sin --⨯=⨯⨯==+k k b a θλm
（2）根据缺级条件
/k
k a b a =+ 取k /
=1，得 65
105.14
100.64--⨯=⨯=+=b a a m （3）在光栅公式中取sin θ≤1得
1010
600100.696
=⨯⨯=+=
--λ
b
a k 即k =0,±1, ±2, ±3, ±4, 5, ±6, ±7, ±8, ±9, ±10时出现明条纹，共有21条。

15-21 解：（1）根据光栅方程λθk d ±=sin
令sin θ=1得 93.3±=±
=λ
d
k
取整数k =3，最多能看到第三级光谱。

（2）由λθk d =s i n 和f
x
≈θsin ，可得第一级光谱在屏幕上的位置。

对应于λ1=400nm 和λ2=760nm 的明条纹位置分别为
211102-⨯==d
f
x λm 222108.3-⨯==
d
f
x λm
则第一级光谱的线宽度为∆x =x 2- x 1=1.8⨯10-2m （3）倾斜入射时，光栅明纹的条件为
()λθk i d ±=±sin sin
令1sin =θ，可求得位于中央主极大两侧，能观察到条纹的最大k m 值分别为k m1＝5和k m2＝1（已取整数值）。

故在法线两侧能观察到的最大级次分别为五级和一级。

15-22 解：（1）2211sin )(λλθk k b a ==+
1.6481.48634
2121=⨯==
λλk k nm 而f
x =
θsin 故 4
3
922221094.110
55.0101.4864sin )(---⨯=⨯⨯⨯⨯===+x f k k b a λθλm （2）λθk b a =+sin )(
λθ/sin k a =
所以
5/==+k k
a b a 51088.35
-⨯=+=
b
a a m 15-23 分析：由布拉格公式，把波带端的波长代入，求出k 的取值范围。

当k 取整数时，求出的λ在波带中即可产生X 射线衍射。

解：由布拉格公式 ,3,2,1,
sin 2==k k d λθ
级次k 的取值范围在
1
2sin 2sin 2λθ
λθ
d k d <
<
即09.499.2<<k
k 只能取整数，所以，3=k 时,nm d 13.03
sin 2==
θ
λ 4=k 时,nm d 097.04
sin 2'==
θ
λ 可产生衍射。

15-24分析：强度为1I 的自然光通过偏振片后，变为光强为
2
I 的线偏振光，线偏振光通过偏振片的强度取决于偏振片的偏振化方向与线偏振光的振动方向的夹角，根据马吕斯定律可进行求解。

解：(1)自然光通过第一偏振片后，其强度I 1=I 0/2
通过第二偏振片后，I 2＝I 1cos 245︒＝I 0/4 通过第三偏振片后，I 3＝I 2cos 245︒＝I 0/8
通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行。

(2)若抽去第2片，因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直，所以此时I 3=0, I 1仍不变。

15-25 解：（1）出射光强为：
00208
160cos 21I I I ==
故
125.00
=I I
（2）
101.0%)101(8
1
20=-=I I 15-26 分析：偏振片的旋转，仅对入射的混合光中的线偏振光部分有影响，在偏振片旋转一周的过程中，当偏振光的振动方向平行于偏振片的偏振化方向时，透射光强最大；而相互垂直时，透射光强最小。

分别计算最大透射光强I max 和最小透射光强I min ，按题意用相比的方法即能求解。

解：设入射混合光强为I ，其中线偏振光强为xI ，自然光强为（1－x ）I ．按题意旋转偏振片，则有最大透射光强 ()I x x I ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-=121max
最小透射光强 ()I x I ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=121min 按题意5min max =I I /，则有
()()x x x -⨯=+-12
15121
解得 x ＝2/3 即线偏振光占总入射光强的2/3，自然光占1/3。

15-27 解：由马吕斯定律
030302021.0)4
3
(21)30(cos 21I I I I ===
即有21%透过这组偏振片。

15-28 解：由布儒斯特定律
设玻璃折射率为2n ，水的折射率为1n
当光从水中射向玻璃反射时：'2648arctan 121︒==n n α
当光从玻璃射向水中反射时：'3441arctan 2
12︒==n n α
15-29 解：由布儒斯特定律 60.1tan ==n i b
15-30分析：由布儒斯特定律可知：自然光只有以布儒斯特角入射时，反射光才是线偏振光。

解:(1)由布儒斯特定律 43.1tan 1
2
==
n n i 所以︒=03.55i
(2)令在介质Ⅱ中的折射角为r , 则 i r -=
2
π
此r 在数值上等于介质Ⅱ、Ⅲ界面上的入射角, 由布儒斯特定律 2
3
t a n n n r =
得00.1cot tan 12
1
2
223=====n n n n i n r n n。