高考数学复习点拨：例析线性回归直线方程的求法
线性回归的求解方法
线性回归的求解方法线性回归是一种广泛应用于机器学习和数据分析领域的数学方法，它能从现有数据中分析出变量间的关系，从而预测未来的结果。
该方法在各行各业都得到了广泛应用，包括经济学、工程学、医学、生物学等领域。
本文将主要介绍线性回归的求解方法，包括最小二乘法和梯度下降法。
一、最小二乘法最小二乘法是一种常见的线性回归求解方法，它的基本思想是找到一条直线，使得这条直线与数据点之间的距离最短。
距离通常是指欧几里得距离或曼哈顿距离。
具体来说，最小二乘法的公式如下：$$\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^TY$$其中，$\hat{\beta}$表示回归系数的向量，$X$表示自变量的矩阵，$Y$表示因变量的向量。
最小二乘法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将自变量和因变量分别存储在矩阵$X$和向量$Y$中。
2. 计算$X^TX$的逆矩阵，如果逆矩阵不存在，则说明矩阵$X$线性相关，需要进行特征分解或奇异值分解来处理。
3. 计算$\hat{\beta}$的值，即$(X^TX)^{-1}X^TY$。
最小二乘法的优点在于简单易懂，求解速度较快。
但是，它也存在一些缺点，例如当数据集中存在极端值时，该方法会对这些极端值敏感。
二、梯度下降法与最小二乘法相比，梯度下降法在面对大规模数据时能够更好地处理。
梯度下降法的基本思想是根据误差的方向和大小不断更新回归系数的值，以达到最小化误差的目的。
梯度下降法的公式如下：$$\beta_{new}=\beta_{old}-\alpha\frac{\partial RSS}{\partial\beta}$$其中，$\beta_{new}$表示迭代后的回归系数向量，$\beta_{old}$表示迭代前的回归系数向量，$\alpha$表示学习率，$RSS$表示残差平方和。
梯度下降法的求解过程包括以下几个步骤：1. 初始化回归系数向量$\beta$和学习率$\alpha$。
2. 计算回归函数的预测值$y$3. 计算误差$e=y-y_{true}$4. 计算残差平方和$RSS=\sum_{i=1}^{n}e_i^2$5. 计算参数向量的梯度$\frac{\partial RSS}{\partial \beta}$6. 更新参数向量：$\beta_{new}=\beta_{old}-\alpha\frac{\partial RSS}{\partial \beta}$7. 通过迭代不断更新参数，直到误差达到最小值。
高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
线性回归方程是一种用于拟合一组数据的最常见的数学模型，它可以用来预测一个因变量（例如销售额）和一个或多个自变量（例如广告费用）之间的关系。
下面是线性回归方程的公式详解：
假设有n个数据点，每个数据点包含一个因变量y和k个自变量x1,x2,...,xk。
线性回归方程可以表示为：
y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βk*xk + ε
其中，β0, β1, β2, ..., βk是模型的系数，ε是误差项，用来表示实际数据和模型预测之间的差异。
系数β0表示当所有自变量均为0时的截距，而β1, β2, ..., βk 则表示每个自变量对因变量的影响。
当系数为正时，自变量增加时因变量也会增加；而当系数为负时，自变量增加时因变量会减少。
通常，我们使用最小二乘法来估计模型的系数。
最小二乘法就是通过最小化所有数据点与模型预测之间的距离来找到最优的系数。
具体来说，我们可以使用以下公式来计算系数：
β = (X'X)-1 X'y
其中，X是一个n×(k+1)的矩阵，第一列全为1，其余的列为自变量x1,x2,...,xk。
y是一个n×1的向量，每一行对应一个因
变量。
X'表示X的转置，-1表示X的逆矩阵，而β则是一个(k+1)×1的向量，包含所有系数。
当拟合出线性回归方程后，我们可以使用它来预测新的数据点的因变量。
具体来说，我们可以将自变量代入方程中，计算出相应的因变量值。
如果模型的系数是可靠的，我们可以相信这些预测结果是比较准确的。
回归直线方程公式详解及例题
回归直线方程公式详解及例题回归直线方程，听起来是不是有点严肃？这玩意儿就像是数学里的“小白兔”，看起来很复杂，但其实乍一看也不过是个简单的小家伙。
让咱们聊聊这个直线方程的由来，还有怎么用它解决问题。
说白了，就是用一条直线把一堆数据给“牵”起来，让我们看清楚它们之间的关系。
就像在赶集一样，把各种水果摆成一排，想要了解哪个最受欢迎。
这里，最常见的回归直线方程是y = mx + b。
听起来不算复杂吧？不过咱们慢慢来，不急。
y代表咱们要预测的东西，比如说，你想知道你的成绩和学习时间的关系，那y就可以是你的成绩；x就是你花在学习上的时间。
m，这个家伙叫做斜率，表示的是y和x之间的关系，简单来说就是学习时间每增加一个小时，成绩大概能提高多少分。
b则是当你啥都不做时，你的成绩是多少，这个也很重要，没错，人生不就是这么回事吗？想象一下，拿出一根铅笔和一张纸，把这些点点画出来。
每个点就代表了一次测量，比如说你在不同时间学习的成绩。
画得可真像一幅抽象画，虽然一开始没法看出什么，但如果仔细一看，就能发现某种趋势。
这就是回归分析的魔力，它能帮你找到这些点之间的规律。
慢慢地，这些点就会聚成一条线，给你展示出学习时间和成绩之间的关系。
再来聊聊如何计算这些参数。
有很多软件和工具可以帮你做这些。
但如果你想亲自尝试，手动计算也是个不错的选择。
先得算出这些数据的平均值，接着用这些平均值来计算m和b。
想象一下，m的计算就像是在算你朋友圈里哪个小伙伴总是抢着买单。
搞定这些，y = mx + b就能顺利出炉了。
说到这里，有些小伙伴可能会想，回归直线到底有什么用呢？这玩意儿其实是个超有用的工具。
比如说，商家可以用它预测销量，学校可以分析成绩趋势，甚至天气预报也会用到。
想想看，如果你知道晴天和下雨天的概率，你是不是就能提前决定穿哪双鞋？这不就是让生活更简单吗？回归直线也有它的局限性。
毕竟，生活可不是总那么简单。
数据点就像是小孩子一样顽皮，根本不愿意听话，完全不按常理出牌。
线性回归计算方法及公式
线性回归计算方法及公式线性回归是一种用于建立连续变量之间关系的统计模型。
它假设变量之间存在线性关系，并且通过最小化预测值和实际观测值之间的差异来确定最佳拟合线。
在本篇文章中，我们将讨论线性回归的计算方法和公式。
线性回归模型的数学表示如下：Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε在上述公式中，Y表示我们要预测的因变量，X1到Xn表示自变量，β0到βn表示线性回归模型的回归系数，ε表示误差项。
线性回归的目标是找到最佳拟合线，使预测值和实际值之间的平方差最小化。
最常用的方法是普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
它通过最小化残差平方和来确定回归系数的最佳值。
残差（Residual）指的是观测值与预测值之间的差异。
残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）表示所有残差平方的总和。
OLS的目标是通过最小化RSS来找到最佳的回归系数。
要计算OLS，我们需要以下步骤：1.准备数据：收集自变量和因变量的数据。
2.设定模型：确定线性回归模型的形式。
3.拟合模型：使用OLS估计回归系数。
4.评估模型：根据一些指标评估模型的表现。
下面我们将详细描述上述步骤。
1.准备数据：收集自变量和因变量的数据。
确保数据集包含足够的样本数量和各种数值。
常见的方法是通过观察和实验来收集数据。
2.设定模型：确定线性回归模型的形式。
根据问题的背景和数据的特点，选择适当的自变量和因变量。
确保自变量之间没有高度相关性（多重共线性）。
3.拟合模型：使用OLS估计回归系数。
OLS的公式为：β=(X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，β是回归系数矩阵，X是自变量矩阵，Y是因变量矩阵，并且^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆。
4. 评估模型：根据一些指标评估模型的表现。
常见的评估指标包括均方误差（Mean Squared Error, MSE）、判定系数（Coefficient of Determination, R^2）、残差分析等。
线性回归方程公式 求法是什么
线性回归方程公式求法是什么线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。
线性回归方程公式线性回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。
线性回归方程公式求法：第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值：x_=(x1+x2+x3+...+xn)/ny_=(y1+y2+y3+...+yn)/n其次：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n*x_^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估量参数b，设听从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。
其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线.顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。
先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)线性回归方程的应用线性回归方程是回归分析中第一种经过严格讨论并在实际应用中广泛使用的类型。
这是由于线性依靠于其未知参数的模型比非线性依靠于其位置参数的模型更简单拟合，而且产生的估量的统计特性也更简单确定。
线性回归有许多实际用途。
分为以下两大类：假如目标是猜测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个猜测模型。
当完成这样一个模型以后，对于一个新增的X值，在没有给定与它相配对的y的状况下，可以用这个拟合过的模型猜测出一个y值。
给定一个变量y和一些变量X1,...,Xp，这些变量有可能与y相关，线性回归分析可以用来量化y与Xj之间相关性的强度，评估出与y 不相关的Xj，并识别出哪些Xj的子集包含了关于y的冗余信息。
直线回归方程公式
直线回归方程公式直线回归方程是统计学中最基本的一种模型，在各个领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍直线回归方程的定义、求解方法以及应用场景。
一、定义直线回归方程是一种用来描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为Y=a+bX。
其中，a是截距，b是斜率，X和Y代表两个变量。
在实际应用中，我们通常会收集到一组数据，这些数据是由两个变量组成的二元组。
要根据这些数据求出直线回归方程，就需要用到回归分析的方法。
二、求解方法1. 一元线性回归一元线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况。
在求解一元线性回归方程时，我们需要先对数据进行线性拟合，即找到尽可能接近所有数据的一条直线。
通常使用最小二乘法来拟合这条直线。
最小二乘法是一种常见的数学优化方法，它的目标是让直线到所有数据点的距离平方和最小。
具体的计算公式如下：其中，y表示实际值，y'表示预测值，n表示样本数量。
常数a和斜率b的计算公式如下：2. 多元线性回归多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。
在求解多元线性回归方程时，我们需要先对所有自变量进行标准化处理，然后使用最小二乘法求出回归系数。
多元线性回归的计算公式为：其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn表示自变量，β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。
三、应用场景直线回归方程在各个领域都有广泛的应用，下面介绍几个常见的例子。
1. 金融领域直线回归方程可以用来建立股票价格和市场指数之间的关系模型。
通过回归分析，我们可以发现两者之间的关系并根据这个模型来预测股票价格的变化趋势。
2. 医疗领域直线回归方程可以用来建立身高和体重之间的关系模型。
通过回归分析，我们可以发现身高和体重之间的相关性，这可以帮助我们更好地了解人体的生理特征。
3. 生产和制造领域直线回归方程可以用来建立生产数量和销售额之间的关系模型。
通过回归分析，我们可以发现生产数量和销售额之间的关系，这可以帮助企业更好地规划生产计划和销售策略。
线性回归方程的求法
高考统计部分的两个重要公式 具体如何应用第一公式：线性回归方程为ˆˆˆybx a =+的求法： (1) 先求变量x 的平均值，即1231()n x x x x x n=+++⋅⋅⋅+ (2) 求变量y 的平均值，即1231()n y y y y y n=+++⋅⋅⋅+ (3) 求变量x 的系数ˆb，有两个方法 法1 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦（需理解并会代入数据）法2 1221ˆni ii nii x y n x ybxn x==-⋅⋅=-⋅∑∑（题目给出不用记忆）[]1122222212...,...n n n x y x y x y n x y x x x n x++-⋅⋅=⎡⎤+++-⋅⎣⎦（这个公式需要自己记忆，稍微简单些）(4) 求常数ˆa，既ˆˆa y bx =- 最后写出写出回归方程ˆˆˆybx a =+。
可以改写为：ˆˆy bx a =- 例．已知,x y 之间的一组数据：求y 与x 的回归方程：解：（1）先求变量x 的平均值，即(0123) 1.54x =+++= （2）求变量y 的平均值，即1(1357)44y =+++=（3）求变量x 的系数ˆb，有两个方法 []11223344222212342222()()()()()()()()ˆ1()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y bx x x x x x x x --+--+--+--=⎡⎤-+-+-+-⎣⎦--+--+--+--==⎡⎤-+-+-+-⎣⎦法法2 ˆb =[][]112222222222212...011325374 1.5457...01234 1.5n n n x y x y x y nx y x x x nx++-⋅⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==⎡⎤⎡⎤+++-+++-⨯⎣⎦⎣⎦ (4) 求常数ˆa，既525ˆˆ4 1.577a y bx =-=-⨯= 最后写出写出回归方程525ˆˆˆ77ybx a x =+=+第二公式：独立性检验两个分类变量的独立性检验：注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。
[高中数学线性回归方程]线性回归方程公式详解
![[高中数学线性回归方程]线性回归方程公式详解](https://img.taocdn.com/s3/m/c816a11004a1b0717ed5ddec.png)
[高中数学线性回归方程]线性回归方程公式详
解
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。
接下来为你整理了高中数学线性回归方程相关资料，欢迎阅读。
线性回归方程的分析方法
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
线性回归方程的例题求解
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b 的偏导数并令它们等于零，得方程组解得。
其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差。
先求x,y的平均值。
利用公式求解：b=把x,y的平均数带入a=y-bx。
求出a=是总的公式y=bx+a线性回归方程y=bx+a过定点。
(x为xi的平均数，y为yi的平均数)
线性回归方程两个重要公式。
高考线性回归知识点
高考线性回归知识点线性回归是高考数学中的一个重要知识点，它是一种统计学上常用的方法，用于分析两个变量之间的线性关系。
在高考中，线性回归经常被应用于解决实际问题和预测未知数据。
本文将介绍线性回归的基本概念、公式以及应用示例，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
一、线性回归的基本概念线性回归是建立一个自变量X和一个因变量Y之间的线性关系模型，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的误差，来拟合和预测因变量Y的值。
线性回归的模型可以表示为：Y = β0 + β1*X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是误差项，代表模型无法准确拟合数据的部分。
二、线性回归的公式1. 简单线性回归如果模型中只有一个自变量X，称为简单线性回归。
简单线性回归的公式为：Y = α + βX + ε其中，α表示截距，β表示斜率，ε为误差项。
我们利用给定的数据集，通过最小二乘法来估计α和β的值，从而得到一条最佳拟合直线。
2. 多元线性回归如果模型中有多个自变量X1、X2、X3...，称为多元线性回归。
多元线性回归的公式为：Y = α + β1*X1 + β2*X2 + β3*X3 + ... + ε同样，我们利用最小二乘法来估计α和每个β的值，从而得到一个最佳拟合的平面或超平面。
三、线性回归的应用示例线性回归在实际问题中有广泛的应用。
下面通过一个简单的例子来说明线性回归的具体应用过程。
例：某城市的房价与面积的关系假设我们要研究某个城市的房价与房屋面积之间的关系。
我们收集了一些房屋的信息，包括房屋的面积和对应的价格。
我们可以使用线性回归来建立一个房价和面积之间的模型，从而预测未知房屋的价格。
1. 数据收集首先，我们收集了一些房屋的面积和价格数据，得到一个数据集。
2. 模型建立根据数据集，我们可以建立一个线性回归模型：价格= α + β*面积+ ε通过最小二乘法，估计出α和β的值。
3. 模型评估为了评估模型的好坏，我们需要计算误差项ε。
高中数学知识点：线性回归方程
高中数学知识点：线性回归方程高中数学知识点：线性回归方程1.回归直线方程（1）回归直线：观察散点图的特征，发现各个大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
求出的回归直线方程简称回归方程。
2．回归直线方程的求法设与n 个观测点（,i i x y ）()1,2,,i n =最接近的直线方程为,y bx a =+，其中a 、b 是待定系数.则,(1,2,,)i i y bx a i n =+= .于是得到各个偏差(),(1,2,,)i i i i y y y bx a i n -=-+=.显见，偏差i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和.2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度.记21()ni i i Q y bx a ==--∑.上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即1122211()()()n n i i i i i i n n i ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑，∑==n i i x n x 11，∑==n i i y n y 11相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析上述求回归直线的方法是使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。
要点诠释：1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程.2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义.否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性.3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误.4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.。
回归直线方程计算
回归直线方程计算回归分析的目标是找到一个与给定数据集最符合的直线方程。
这可以通过最小二乘法来实现。
最小二乘法是一种通过最小化预测值与真实值之间的差异来估计模型参数的方法。
在开始计算回归直线方程之前，我们需要有一组已知的数据点。
假设我们有n个数据点，可以表示为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。
其中xi是自变量的取值，yi是因变量的取值。
我们的目标是找到一条直线y = mx + b，使得预测值和真实值的平方差之和最小。
为了计算回归直线方程，我们首先需要计算一些统计量。
这些统计量包括x和y的平均值（x̄和ȳ），以及x和y的协方差（cov(x,y)）。
平均值是一组数据的求和除以数据点个数的结果。
x的平均值可以表示为：x̄= (x1 + x2 + … + xn) / ny的平均值可以表示为：ȳ= (y1 + y2 + … + yn) / n协方差是一种度量x和y之间关系的统计量。
它的计算公式可以表示为：cov(x,y) = [(x1 - x̄)(y1 - ȳ) + (x2 - x̄)(y2 - ȳ) + … + (xn - x̄)(yn - ȳ)] / n通过计算平均值和协方差，我们可以计算直线方程的斜率m和截距b。
斜率可以表示为：m = cov(x,y) / var(x)截距可以表示为：b=ȳ-m*x̄其中var(x)是x的方差，可以表示为：var(x) = [(x1 - x̄)² + (x2 - x̄)² + … + (xn - x̄)²] / n 通过计算斜率和截距，我们可以得到回归方程的形式为：y = mx + b计算回归直线方程还涉及到误差的度量。
误差是预测值和真实值之间的差异。
一种常用的误差度量是均方根误差（Root Mean Square Error, RMSE）。
RMSE可以表示为：RMSE = sqrt[(1/n) * (Σ(y - y')²)]其中n是数据点的个数，y表示真实值，y'表示预测值。
线性回归直线方程公式 解题方法是什么
线性回归直线方程公式解题方法是什么
线性回归建模直线观察到的数据通过使用一个线性方程变量之间的关系是一种方法，下文是回归直线方程公式及解题方法，快来参考吧！
线性回归直线方程公式解题方法是什么
1回归直线方程公式
线性回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。
回归直线方程指在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，一条最好地反映x与y之间的关系直线。
离差作为表示Xi对应的回归直线纵坐标y与观察值Yi的差，其几何意义可用点与其在回归直线竖直方向上的投影间的距离来描述。
数学表达:Yi-y^=Yi-a-bXi.
总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即(Yi-a-bXi)^2计算。
2线性回归方程怎么解
第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值
第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子
第三：计算b：b=分子/分母
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。
先求x,y的平均值X,Y
再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)
后把x,y的平均数X，Y代入a=Y-bX
求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程
(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)。
回归直线计算公式
回归直线计算公式回归直线在统计学中可是个相当重要的概念呢！咱们今天就来好好聊聊回归直线计算公式。
咱先来说说啥是回归直线。
打个比方，你观察一群学生的学习时间和考试成绩，会发现这两者好像有点关系。
学习时间长，成绩可能就高；学习时间短，成绩可能就低。
那怎么找到能最好地表示这种关系的直线呢？这就得靠回归直线了。
回归直线的计算公式看起来可能有点复杂，但其实道理并不难懂。
就拿一个简单的例子来说，假设我们有一组数据，记录了不同温度下某种物质的溶解度。
温度就是自变量 x，溶解度就是因变量 y 。
那回归直线计算公式到底是啥呢？一般来说，它是这样的：y = a + bx 。
这里的 a 是截距，b 是斜率。
计算 a 和 b 的公式就稍微复杂一点啦，b = [∑(xi - x 均值)(yi - y 均值)] / [∑(xi - x 均值)²] ，a = y 均值 - b * x 均值。
可能这时候您会觉得，哎呀，这一堆公式，头都大了！别着急，咱们慢慢捋一捋。
我之前教过一个学生，叫小李。
他一开始对这个回归直线计算公式那是一头雾水。
有一次上课，我就拿了他们班每次考试的成绩和复习时间做例子。
我把数据列在黑板上，一步一步地带着他们计算。
小李特别认真，眼睛一直盯着黑板，手里的笔不停地记。
算到中间的时候，他突然举手说：“老师，我这一步好像算错了。
”我走过去一看，原来是他在求均值的时候出了点小差错。
我给他指出来，他恍然大悟，接着往下算。
最后，当我们算出回归直线的方程，用它来预测下一次考试成绩可能和复习时间的关系时，小李兴奋得不行。
他说：“原来数学这么有用，可以帮我们预测好多事情呢！”这就是回归直线计算公式的魅力所在，它能从看似杂乱无章的数据中找出规律。
再比如说，在市场调研中，我们想知道商品价格和销量之间的关系，也能用上回归直线计算公式。
通过收集大量的数据，计算出回归直线，就能大致了解价格变动会对销量产生怎样的影响，从而帮助商家做出更合理的定价策略。
求回归直线方程的步骤
求回归直线方程的步骤
嘿，咱今儿就来唠唠求回归直线方程的那些事儿！你说这求回归直线方程啊，就像是搭积木，一块一块得放对地方才行呢！
先得收集一堆数据，就好像是准备一堆各种各样的积木块儿。
这些数据可重要啦，它们就像是搭积木的基础材料呢！然后呢，得计算平均数啥的，这就好比是给这些积木块找个中心位置，让它们能围绕着这个中心来搭建。
接下来就是关键的一步啦，要找到那个最合适的斜率！你想想，这斜率就像是积木塔的倾斜度，要是找不对，那整个塔可就歪啦！这可得仔细着点儿，一点点地算，一点点地琢磨。
再然后呢，根据找到的斜率和平均数这些，就能求出截距啦！这截距呀，就像是给积木塔找个稳稳的落脚点，让它能立得住。
哎呀，你说这求回归直线方程不就跟搭个漂亮的积木塔一样嘛！得精心挑选材料，找好角度，放对位置。
要是哪一步马虎了，那可就全乱套咯！
你看啊，要是数据收集得不对，那不就跟拿了些奇奇怪怪的积木块一样，怎么可能搭出好看的塔呢！要是计算平均数的时候出了错，那塔的中心位置就歪了呀，还怎么立得稳呢！还有那斜率和截距，一个不对，整个塔要么歪歪扭扭，要么直接就倒啦！
所以啊，求回归直线方程可不能小瞧了它，每一步都得认真对待，就跟对待宝贝似的。
咱得有耐心，有细心，才能求出那准确又好用的回归直线方程呀！
你说是不是这个理儿？咱可别嫌麻烦，别嫌累，好好地把这每一步都走踏实了。
等求出了准确的回归直线方程，那感觉，就像是自己搭出了一个超级棒的积木塔一样，心里可得意啦！
这就是求回归直线方程的步骤啦，虽然听起来好像有点复杂，但只要咱一步一步来，肯定能搞得定！加油吧，朋友们！让我们一起把这回归直线方程求个明明白白！。
高考数学复习点拨 两种回归方程的求解策略
两种回归方程的求解策略准确确定回归直线方程，有利与进一步加强数学应用意识，培养运用所学知识解决实际问题的能力，正确的求出回归直线方程也是本节的重点。
一、线性回归方程的确定策略线性回归方程的确定主要策略有：通过散点图来描述出变量间的图形；或利用样本相关关系数r来判断两个变量之间是否具有线性相关关系时，可以依据|r|>0.75时，我们认为有很强的线性相关关系，可以求回归直线方程。
例1、10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 Y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72 其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩。
（1）y与x是否具有相关关系；（2）如果y与x是相关关系，求回归直线方程。
解（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得，，，，。
，.r=由于，由0.780 297>0.75，知，有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系。
（2）y与x 具有线性相关关系，设回归直线方程＝a＋bx，则，＝72.3－1.22×71＝－14.32，所以y关于x的回归直线方程为y＝1.22x－14.32.二、非线性回归方程的确定策略两变量之间不光有线性回归关系，还有非线性回归关系，非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合的最好的函数，然后，采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使其得到解决，残差分析是对回归方程有效性进行检测，是回归思想的主要内容。
例2：如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x的地震个数为N，试建立回归方程表述二者之间的关系。
震级x3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0地震数N28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973震级x5.2 5.4 5.6 5.8 66.2 6.4 6.6 6.8 7地震数N746 606 435 274 206 148 98 57 41 25解：由表中数据得散点图如下：从散点图中可以看出，震级x与大于该震级的地震次数N之间不呈线性相关关系，随着x的减少，所考查的地震数N近似地以指数形式增长，做变换得到的数据如下表所示.x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 y 4.453 4.309 4.170 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431 3.283 3.132 2.988 x 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7y 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314 2.170 1.991 1.756 1.613 1.398 x和y的散点图如下：从这个散点图中可以看出x和y之间有很强的线性相关关系，因此可以用线性回归模型拟和它们之间的关系。
高考数学复习点拨 回归直线方程的推导
回归直线方程的推导设x 与y 是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的n 个点的坐标分别是：112233()()()()n n x y x y x y x y ，，，，，，，，，下面给出回归方程的推导．设所求的回归方程为i i y bx a =+，(123)i n =，，，，．显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一局部，因此他们的和不能代表n 个点与回归直线的整体上的接近程度，因而采用n 个偏差的平方和Q 来表示n 个点与相应直线〔回归直线〕在整体上的接近程度，即22222223311()()()()()nni i i n n i i i Q y y y bx a y bx a y bx a y bx a ===-=--+--+--++--∑∑．求出当Q 取最小值时的a b ，的值，就求出了回归方程．一、先证明两个在变形中用到的公式 公式〔一〕22211()nni i i i x x x nx ==-=-∑∑，其中12nx x x x n+++=证明：2222121()()()()ni n i x x x x x x x x =-=-+-++-∑∵22211()n ni i i i x x x nx ==-=-∑∑∴．公式〔二〕11()()n ni i i i i i x x y y x y nx y ==--=-∑∑证明：11221()()()()()()()()ni i n n i x x y y x x y y x x y y x x y y =--=--+--++--∑∵112n ni i i i i i x y nxy nxy x y nxy ===-+=-∑∑，11()()nni i i i i i x x y y x y nx y ==--=-∑∑∴．二、推导：将Q 的表达式的各项先展开，再合并、变形2222121122()[2()2()]n y y y y bx a y bx a =+++-+++展开 222211111222n n nnni i i i ii i i i i i y b x y a y bxab x na ======--+++∑∑∑∑∑合并同类项22221111122nnii n n ni i i i i i i i i y x na na b b x b x y y nn =====⎛⎫ ⎪ ⎪=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑以a b ，的次数为标准整理 22221112()2nn nii i i i i i na na y bx bxb x y y ====--+-+∑∑∑转化为平均数x y ，22222111[()]()2nnni i i i i i i n a y bx n y bx bxb x y y ====----+-+∑∑∑配方法2222222111[()]22nnnii i i i i i n a y bx ny nbxy nb x bxb x y y ====---+-+-+∑∑∑展开222222111[()]()2()()nn ni i i i i i i n a y bx b x nx b x y nxy y ny ====--+---++∑∑∑整理2222111[()]()2()()()nnnii i i i i i n a y bx bxx b x x y y y y ====--+----+-∑∑∑用公式〔一〕、〔二〕变形22212111()()[()]()()()ni i n n i i i ni i i i x x y y n a y bx x x b y y x x ====⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=--+--+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑配方22212212211111()()()()()()()()()n ni i i i n n i i i i n n i i i i i x x y y x x y y n a y bx x x b y y x x x x ======⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=--+---+-⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑配方法在上式中，共有四项，后两项与a b ，无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得Q 取得最小值，当且仅当前两项的值都为0．所以a y bx =-，121()()()nii i nii xx y y b xx ==----∑∑或1221ni ii nii x ynxyb xnx==-=-∑∑用公式〔一〕、〔二〕变形得三、总结规律上述推导过程是围绕着待定参数a b ，进行的，只含有i i x y ，的局部是常数或系数，用到 的方法有：①配方法，有两次配方，分别是a 的二次三项式和b 的二次三项式；②变形时，用到公式〔一〕、〔二〕和整体思想；③用平方的非负性求最小值．④实际计算时，通常是分步计算：先求出x y ，，再分别计算1()()ni i i x x y y =--∑，21()ni i x x =-∑或1ni i i x y nx y =-∑，221ni i x nx=-∑的值，最后就可以计算出a b ，的值．。
求线性回归直线方程的步骤
请同学们回忆一下,我们以前是否学过 变量间的关系呢?
两个变量间的函数关系.
相关关系与函数关系的异同点:
相同点:两者均是指两 个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系; 相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非 随机变量的关系,而相关关系是随机变量 与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系 不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.
20
30
40
^ （4）当x=2时，y=143.063, 因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。
小结：
（1）判断变量之间有无相关关系，简便方 法就是画散点图。 （2）当数字少时，可用人工或计算器，求 回归方程；当数字多时，用Excel求回归方 程。 （3）利用回归方程，可以进行预测。
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一
般规律； (3)求回归方程； (4)如果某天的气温是 2 C,预测这天卖出的热饮杯数。
0
解: (1)散点图
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0
10x y
2
x
i 1
2 i
10 x
110 10 0 1 110 10 0
a y bx 0 b 0 0
∴所求回归直线方程为 ^ y=x
小结：求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表 x , y , x y ；
i i i i
第二步：计算
x, y, xi , xi y
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
(完整word版)线性回归方程的求法(需要给每个人发)
耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用第一公式：线性回归方程为ˆˆˆybx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n =+++⋅⋅⋅+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n=+++⋅⋅⋅+ （3） 求变量x 的系数ˆb，有两个方法 法1121()()ˆ()ni ii n ii x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦（需理解并会代入数据） 法2121()()ˆ()ni ii n ii x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数ˆa ，既ˆˆa y bx =- 最后写出写出回归方程ˆˆˆybx a =+。
可以改写为：ˆˆy bx a =-（ˆy y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据：求y 与x 的回归方程：解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x =+++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44y =+++= （3）求变量x 的系数ˆb，有两个方法法1ˆb = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=⎡⎤-+-+-+-⎣⎦--+--+--+--==⎡⎤-+-+-+-⎣⎦法2ˆb =[][]11222222222212...011325374 1.5457...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-⋅⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==⎡⎤⎡⎤+++-+++⎣⎦⎣⎦ (4)求常数ˆa ，既525ˆˆ4 1.577a y bx =-=-⨯= 最后写出写出回归方程525ˆˆˆ77ybx a x =+=+第二公式：独立性检验两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。
高考数学复习点拨：例谈直线回归方程的求解方法
例谈直线回归方程的求解方法山东 孙道斌在求具有线性相关关系的两个变量之间的回归方程时，由于所给两个变量的数据较多并且量大,致使运算量大且繁杂,常常使我们望而生“畏”，望而生“烦”．那么,如何尽快的求出回归直线方程呢？下面,结合一个实例谈谈回归直线方程的求解方法,以供参考． 例：测得某地10对父子身高（单位：英寸）如下：父亲身高（x ） 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74儿子身高（y ）63.６ 65。
2 66 65。
5 66。
9 67.1 67。
4 68。
3 70.1 70如果x 与y 之间具有线性相关关系，求回归直线方程;如果父亲的身高为78英寸，试估计儿子的身高．分析：对于两个变量，在确定具有线性相关关系后，可以利用“最小二乘法”来求回归方程．用“最小二乘法”求回归直线方程的关键在于正确地利用回归方程中系数公式1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx =-求出系数a b ，，这样回归方程也就建立起来了．为了使计算更加有条理，我们通过制作表格来先计算出221111nnnni i i ii i i i x y x y ====∑∑∑∑，，，；再计算出11nii y y n ==∑，11n ii x x n ==∑；最后利用公式221nxxii L xnx==-∑，221nyy i i L y n y==-∑,1nxyi ii L x y nx y ==-∑，列式计算，再利用公式计算xyxxL b L=；最后写出回归直线方程：y bx a =+．解法:先将两个变量的数字在表中计算出来，如下表所示：上表可计算，66866.810x ==,670.167.0110y ==，10144842.4i ii x y==∑，102144794ii x==∑， 102144941.93i i y ==∑，代入公式101221i ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑244842.41066.867.0179.720.4646449741066.8171.6-⨯⨯==≈-⨯。
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例析线性回归直线方程的求法
山东 杨道叶
一、求回归直线方程的步骤: 第一步：列表i
x ,i
y ,i i
x y ；
第二步：计算x ，y ，21
n i
i x =∑，21
n i
i y =∑，1
n
i i
i x y =∑；
第三步:代入公式计算b ，a 的值； 第四步：写出直线方程。
二、范例剖析
例1 测地某地10对父子身高(单位：英寸）如下:
如果x 与y 之间具有线性相关关系,求回归直线方程;如果父亲的身高为78英寸，试估计儿子的身高。
分析：对于两个变量，在确定具有线性相关关系后，可以利用“最小二乘法”来求回归直线方程。
为了使计算更加有条理,我们通过制
作表格来先计算出1
n
i i x =∑，1n
i i y =∑，2
1n
i
i x =∑，21n
i
i y =∑和1n
i i i x y =∑；再计算出11n
i i x x n ==∑，
2
1
1n i i y y n ==∑，再利用公式12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑和a y bx =-来计算回归系数，最后写
出回归直线方程y bx a =+。
解析：先将两个变量的数字在表中计算出来，如下表所示：
由上表可得
66866.8
10
x ==，
670.167.01
10
y ==，10
21
44794
i
i x
==∑，
10
2144941.93i
i y
==∑,10
1
44842.4i i i x y ==∑。
代入公式得2
44842.41066.867.010.4646447941066.8b -⨯⨯=≈-⨯，
67.010.464666.835.975a =-⨯≈,
故所求回归直线方程为0.464635.945y x =+。
当78x =时，0.46467835.97572.2138y =⨯+=，
所以当父亲的身高为78英寸时,估计儿子的身高约为72.2138英寸。
评注：注意回归直线方程中一次项系数为b ，常数项为a ，这与一次函数的习惯表示不同。
例2 有一台机床可以按各种不同的速度运转，其加工的零件有一些是二级品,每小时生产的二级品零件的数量随机床运转的速度
而变化。
下面是实验的步骤：
128
149
1611
（1)作出散点图；
（2)求出机床运转的速度x与每小时生产二级品数量y的回归直线方程；
（3)若实际生产中所允许的二级品不超过10个，那么机床的运转速度不得超过多少转/秒？
分析:散点图形象地反映了各对数据的密切程度，通常在尚未判断两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验，在确认具有线性相关关系后，再求其回归直线方程。
解析：（1）散点图如下图所示：
（2）易求得12.5
y=，b＝0。
7286，a＝－0.8571,
x=，8.25
∴所求回归直线方程为0.72860.8571
=-。
y x
（3）依题意，要使10
y≤，只要0。
7286x－0.8571≤10，解得x≤14。
9013，即机床的运转速度不能超过14。
9013转/秒.
评注：利用最小二乘法求线性回归直线方程有着广泛的应用，请同学们联系实际,熟练掌握.
三、知能展示
1．为了研究三月下旬的平均气温(x）与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日（y）的关系，某地区观察了1996年至2001年的情况，得到下面的数据：
据气象预测，该地区在2002年三月下旬平均气温为027C，试估计2002年四月化蛹高峰日为哪天。
2．某地区第一年到第六年的用电量y与年次x的统计数据如下表：
用电单位：亿度
（1）y与x是否具有线性相关关系？
（2）如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程。
答案：
1．提示：估计该地区2002年4月12日或13日为化蛹高峰日。
2．（1）线性相关；（2） 1.049.66
=+
y x。