面面垂直的定理判定定理
面面垂直判定定理
C D
面面 垂直
例1.A是Δ BCD所在平面外一点，AB=AD，BC=CD,E是BD 的中点，求证：平面AEC⊥平面BCD
A
B E
C
D
例2 如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O 所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意 一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
A A O
l
O B
B
哪个对?怎么画才对?
10
(4)二面角的范围
[0 ,180 ]
A
。
。
(5)直二面角 平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
归纳：求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义(垂直于棱)；
（
两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面 相互垂直.
记作:
(1)除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
l α l 符号表示： αβ B l β
面面垂直的判定定理
复 习
1．线面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，则称直线 l 和平面 互相垂直． 记作：l⊥
2．线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂 直．
1 二面角及二面角的平面角
(1)半平面: 平面的一条直线把平面分 为两部分，其中的每一部 分都叫做一个半平面。 (2)二面角:从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平ab a //面平行。
符合表示：a// b2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：aa//a // bab二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n // b m // aa b M //mnN符号表示：2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
//符号表示：l l// d （更加实用的性质：一个平d面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直a c线垂直这个平面。
符号表示： a b ab c M＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直aoApoa oA A2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平 面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、 判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a , a2、 性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一 个平面。
， b, a ,a b a 符号表示:a PA。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。
智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。
然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
面面垂直的判定定理和一般性质
面面垂直的判定定理和一般性质一、面面垂直的判定定理和一般性质1、二面角（1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
（3）二面角的表示方法①棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。
②棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。
③棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。
（4）二面角的平面角在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。
2、平面与平面垂直定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作$α⊥β$。
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
平面与平面垂直的一般性质和结论（1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。
（2）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内。
（3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
（4）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。
二、面面垂直的判定定理的相关例题在正四面体$P-ABC$中，$D$、$E$、$F$分别是$AB$、$BC$、$CA$的中点，下面四个结论中不成立的是___A．$BC$ $∥$ 平面$PDF$B．$DF⊥$ 平面$PAE$C．平面$PDF⊥$ 平面$ABC$D．平面$PAE⊥$ 平面$ABC$答案：C解析：对于A选项，∵$D$、$F$分别为$AB$、$AC$的中点，∴$BC∥DF$，∵$BC\not\subset$平面$PDF$，$DF\subset$平面$PDF$，∴$BC$ $∥$ 平面$PDF$，A选项正确；对于B选项，∵$△ABC$是等边三角形，$E$为$BC$的中点，∴$AE⊥BC$，同理$PE⊥BC$，∵$AE∩PE=E$，∴$BC⊥$平面$PAE$，∵$DF∥BC$，∴$DF⊥$平面$PAE$ ， B选项正确；对于C选项，设$DF∩AE=G$ ，连接$PG$，假设平面$PDF⊥$ 平面$ABC$成立，∵$D$、$F$分别为$AB$、$AC$的中点，∴$DF∥BC$，且$DF∩AE=G$，则$G$为$AE$的中点，由B选项知，$DF⊥$平面$PAE$ ，∵$PG\subset$平面$PAE$，$PG⊥DF$，若平面$PDF⊥$ 平面$ABC$，由于平面$PDF∩$ 平面$ABC=DF$，$PG\subset$平面$PDF$，∴$PG⊥$ 平面$ABC$，过点$P$作$PO⊥$平面$ABC$，重足为点$O$，则$O$为等边$△ABC$的中心，则$AO=\frac{2}{3}AE≠AG$，矛盾，所以，平面$PDF⊥$ 平面$ABC$不成立，C选项错误；对于D选项，由B选项知，$BC⊥$平面$PAE$，∵$BC\subset$平面$ABC$，∴平面$PAE⊥$平面$ABC$，D选项正确。
面面垂直的性质定理
例1如：图:已知平面α，β，α⊥β,直线a满足
a⊥β，a α ，判断直线a与平面 α 的位置关系。
分析:在 内作垂直于 与β交线的直线b。 α
∵ ⊥β
ba
∴b ⊥β(平面与平面垂直的性质定理)
∵ ⊥β
β
∴a//b(直线与平面垂直的性质定理)
又∵a
∴a// (直线与平面平行的判定定理)
即直线a与平面 平行。
练习：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，已知平面PAC⊥平面ABC。 (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
P
C
A
O
B
思考题：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
与个另平一面内个的平直面线垂与直另.
l
一符个号平表面示的：有哪些位
b面bb简面述垂为：直该命题正确线吗？面垂直
面面垂直性质的证明：
已知α β,α β CD, AB β, AB CD于B.
求证:AB α.
证明:在平面 α内作BE⊥CD,垂足为B。
则∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角。
ABE 900 AB BE
AB BE
AB CD BE CD B
AB
BE
CD
A D
BE C
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知:平面α⊥平面β,α∩β＝L,则
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（ ×）
(2)垂直于交线L的直线必垂直于平面β
（ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
P
面与面垂直的判定定理的证明
面与面垂直的判定定理的证明引言在几何学中，面与面的垂直关系是一个重要的概念。
本文旨在探讨面与面垂直的判定定理，并给出其证明过程。
本文按照以下结构进行论述：1.定义与性质2.面与面垂直的判定定理1.方向向量法判定2.法向量法判定3.定理的证明1.方向向量法判定的证明2.法向量法判定的证明定义与性质在几何学中，面通常由平面上的点组成。
面的垂直关系是指两个面之间的夹角为90度的关系。
下面给出一些相关的定义与性质：定义1：面面是由平面上的点组成的集合。
定义2：夹角夹角是由两条射线形成的角度。
性质1：垂直关系的特性如果两个面是垂直的，则它们的法向量互相垂直。
性质2：垂直关系的传递性如果面A垂直于面B，并且面B垂直于面C，则面A必定垂直于面C。
面与面垂直的判定定理1. 方向向量法判定给定两个面A 和B ，我们可以通过判断它们的方向向量是否垂直来判断它们是否垂直。
具体地，我们可以通过以下步骤进行判定：步骤1：计算面A 的方向向量。
在二维空间中，我们可以从面A 上的两个线段得到两个方向向量，分别为A 1⃗⃗⃗⃗ 和A 2⃗⃗⃗⃗ 。
在三维空间中，我们可以从面A 上的三个线段得到三个方向向量，分别为A 1⃗⃗⃗⃗ 、A 2⃗⃗⃗⃗ 和A 3⃗⃗⃗⃗ 。
步骤2：计算面B 的方向向量。
同样地，我们可以从面B 上的线段得到相应的方向向量。
步骤3：判断方向向量是否垂直。
如果面A 的方向向量与面B 的方向向量垂直，则面A 与面B 垂直；否则，面A 与面B 不垂直。
2. 法向量法判定给定两个面A 和B ，我们也可以通过判断它们的法向量是否垂直来判断它们是否垂直。
具体地，我们可以通过以下步骤进行判定：步骤1：计算面A 的法向量。
在二维空间中，我们可以通过计算面A 上任意两个非共线的向量的叉积得到法向量。
在三维空间中，我们可以通过计算面A 上任意三个非共面的向量的叉积得到法向量。
步骤2：计算面B 的法向量。
同样地，我们可以通过类似的方法计算面B 的法向量。
立体几何面面垂直判定定理
立体几何面面垂直判定定理
立体几何面面垂直判定定理是指，如果两个不共面的平面上的任意一条直线垂直于两个平面的交线，则这两个平面互相垂直。
这个定理可以帮助我们在解决立体几何问题时判断两个平面是否垂直。
要理解这个定理，首先需要明确什么是不共面的平面和交线。
不共面的平面是指两个平面不在同一个平面上，它们之间有一定的夹角。
交线是指两个平面的交集，通常是一条直线。
例如，有两个平面A和B，它们不在同一个平面上，它们的交线是直线L。
如果我们能够证明直线L垂直于平面A和平面B的交线，那么就可以得出平面A和平面B互相垂直的结论。
证明方法可以使用向量法或坐标法。
向量法是基于向量的投影和内积来判断平面的垂直关系，而坐标法则是基于平面的法向量来判断平面的垂直关系。
除了理论证明，这个定理还可以应用到实际问题中。
例如，在建筑设计中，如果需要在墙面上嵌入一个电视墙架，需要确保墙面和墙架垂直，否则会影响安装效果。
通过使用面面垂直判定定理，可以准确判断墙面和墙架之间的垂直关系，从而确保安装效果。
总之，立体几何面面垂直判定定理是一个重要的判定工具，可以帮助我们解决立体几何问题中的垂直关系。
熟练掌握这个定理，可以更快地解决立体几何问题，并在实际应用中提高工作效率。
- 1 -。
面面垂直的判定及性质
ED C BA PABCDABC DE F 线面垂直、线面夹角垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小： （1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --.例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点， （1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 DNCBMAP新课标高考真题例6. （2011.18．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．例7. （2012全国）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C 的侧面11BCC B 是菱形，11B CA B证明：平面1ABC 平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，AB=AD=1，AA1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D 是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC. SAB7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ，2,4AB AD ,将CBD 沿BD 折起到EBD 的位置，使平面EDB 平面ABD .求证：AB DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9、如图，在四棱锥ABCD P 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD10、如图，在三棱锥ABC S中，平面SAB 平面SBC ,AB AS BC AB ,.过A 作SB AF ，垂足为F ,点G E,分别是棱SC SA ,的中点。
面面垂直判定定理的证明
面面垂直判定定理的证明在几何学中，面面垂直判定定理是一个非常重要且基础的定理，它可以帮助我们判断两个平面是否垂直。
在这篇文章中，我们将详细证明这个定理，以便读者更好地理解和掌握这一概念。
我们来看一下面面垂直判定定理的表述：如果两个平面相交于一条直线，并且这两个平面与另一平面的截痕相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
这个定理的证明并不复杂，但需要一些基本的几何知识和推理能力。
为了证明这个定理，我们可以采用间接证明的方法。
假设两个平面A和B相交于一条直线l，并且这两个平面与另一平面C的截痕相互垂直。
我们假设平面A和平面C不垂直，即它们的截痕不垂直。
那么根据垂直平面的定义，平面A和平面C的截痕应该是平行的。
同理，我们假设平面B和平面C也不垂直，那么平面B和平面C的截痕也应该是平行的。
现在，我们来考虑平面A和平面B在直线l上的投影。
由于平面A 和平面B相交于直线l，它们在直线l上的投影是相交的。
而根据垂直平面的性质，如果两个平面在一条直线上的投影相交，那么这两个平面是垂直的。
因此，根据这一推理，我们可以得出结论：如果平面A和平面B与另一平面C的截痕相互垂直，那么平面A和平面B也是垂直的。
通过上面的推理过程，我们可以证明面面垂直判定定理的正确性。
这个定理在几何学中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解空间中平面的关系。
希望通过这篇文章的介绍，读者能够对面面垂直判定定理有一个更清晰的认识，并能够灵活运用这一定理解决实际问题。
总的来说，面面垂直判定定理是几何学中一个基础且重要的定理，通过简单的推理和证明，我们可以得出结论：如果两个平面与另一平面的截痕相互垂直，那么这两个平面也是垂直的。
这个定理的证明并不复杂，但需要我们对几何学的一些基本概念有一定的了解和掌握。
希望本文能够帮助读者更好地理解面面垂直判定定理，并能够在实际问题中灵活运用这一定理。