面面垂直的定理判定定理
面面垂直的定理判定定理
面面垂直有三个判定定理:
1在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。
2.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，面面垂直。
3.如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα I 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??αα α 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
面面垂直判定定理的证明
面面垂直判定定理的证明 一、引言 面面垂直判定定理是平面几何中的一个重要定理，它用于判断两个面是否垂直。本文将对面面垂直判定定理进行证明，并详细探讨其原理和应用。 二、面面垂直判定定理的定义 面面垂直判定定理是指：如果两个平面相交于一条直线，且这两个平面与另一平面的两个相交线都是垂直的，那么这两个平面是垂直的。 三、证明过程 为了证明面面垂直判定定理，我们需要先证明两个命题： 1. 命题一：两个平面与同一平面的两个相交线垂直 假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。 首先，我们可以得出m和l在P平面上的一个交点A，以及n和l在Q平面上的一 个交点B。由于m都与P平面垂直，那么P平面上的任意一条直线都与m垂直。同理，n与Q平面垂直，那么Q平面上的任意一条直线都与n垂直。 考虑平面R上的一条直线s，它与m交于点C，与n交于点D。由于m与l垂直， 所以线段AC与线段AD是两条垂直直线上的线段，即AC和AD垂直。又因为n与l 垂直，所以线段AD与线段BD也是两条垂直直线上的线段，即AD和BD垂直。 由于AC和AD垂直，且AD和BD垂直，根据垂直的传递性，可以得出AC和BD垂直。 综上所述，我们可以得到结论：平面P上的任意一条直线与平面Q上的任意一条直线都垂直。即命题一得证。 2. 命题二：两个平面与同一平面的两个相交线垂直，那么这两个平面是垂直的 假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。
为了证明P和Q是垂直的，我们假设有一条直线s在平面P上，且与平面Q相交于点E。要证明P和Q是垂直的，我们需要证明s与l垂直。 通过平面P上s与l的交点F，我们可以找到平面R上与F相交的一条直线g。由 命题一可知，直线g与平面Q的两个相交线都是与l垂直的，即g与平面Q垂直。 考虑平面Q上的一条直线h，它与g交于点I。由于g与平面Q垂直，所以平面R 上与I相交的一条直线j也与g垂直。 假设j与平面Q相交于点K，我们可以发现线段FK和线段IK是相互垂直的。由于 线段FK在平面P上，线段IK在平面Q上，根据垂直传递性，可以得出FK与IK垂直。 综上所述，我们证明了P与Q是垂直的。 四、面面垂直判定定理的应用 面面垂直判定定理在几何学中有广泛的应用，特别是在三维几何中。它允许我们通过一些已知条件来推断两个平面是否垂直，从而简化了很多几何证明的过程。 此外，面面垂直判定定理也为我们提供了一种方法来判断三维物体的垂直关系。我们可以通过判断两个平面与另一平面的两个相交线是否垂直，来确定两个平面是否在垂直的方向上。 五、总结 通过本文的论述，我们证明了面面垂直判定定理，并探讨了该定理的原理和应用。面面垂直判定定理在几何学中有着重要的地位，它为我们提供了一种简便的方法来判断平面的垂直关系。在实际应用中，我们可以利用该定理来简化几何证明的过程，并判断物体之间的垂直方向关系。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。 −→− 判定 性质线面垂直（2 2、如图，棱柱 111 ABC A B C -的侧面 11 BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC
4是PB 5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论
7 8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位 置，使平面EDB ⊥平面ABD . 求证：AB DE ⊥ B
9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、 AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD 10SB ⊥，垂足为求证：（（2） 11、如图，在三棱锥ABC P -中，F E D ,,分别是棱AB AC PC ,,的中点，已知 5,8,6,===⊥DF BC PA AC PA . 求证：（1）直线//PA 平面DEF ; （2）平面⊥BDE 平面ABC
12AE 将 ADE ∆（1（2 13、如图，在四棱锥ABCD P -中，CD AB PA AB AC AB //,,⊥⊥,CD AB 2=, N M G F E ,,,,分别是PC PD BC AB PB ,,,,的中点。 （1）求证：//CE 平面PAD ； （2）求证：平面EFG ⊥平面EMN
高中面面垂直的判定定理
高中面面垂直的判定定理 高中面面垂直的判定定理 在平面直角坐标系中，如果两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线 互相垂直。这就是高中数学中常见的“面面垂直”的判定定理。下面 将从定义、证明、应用三个方面详细介绍这一定理。 一、定义 在平面直角坐标系中，如果有两条不重合的直线L1和L2，它们的斜 率分别为k1和k2，且k1×k2=-1，则称L1与L2互相垂直。 二、证明 要证明“斜率之积为-1时，两条直线互相垂直”，我们需要用到向量 的知识。设向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2表 示向量a和向量b的数量积。同时，向量a和向量b垂直可表示为a·b=0。 现在考虑两条不重合的直线L1:y=k1x+b1和L2:y=k2x+b2 （k1≠k2）。分别取L1上一点A(x0,y0)和L2上一点B(x3,y3)，则有：
AB^→=AO^→+OB^→=(x0-b1,y0)-(x3-b2,y3)=(x0-x3-b1+b2,y0-y3) 其中，^→表示向量，O为坐标系原点。由于L1和L2垂直，所以向量AB^→与向量L1的方向向量a=(1,k1)垂直，即： AB^→·a=0 展开得： (x0-x3-b1+b2)+k1(y3-y0)=0 将L2的斜率k2=-1/k1代入得： (x0-x3-b1+b2)-(y3-y0)/k2=0 也就是： (x0-x3-b1+b2)+k2(y3-y0)=0 这表明向量AB^→与向量L2的方向向量b=(1,k2)垂直。因此，L1和L2互相垂直。
三、应用 面面垂直定理在高中数学中经常用于解决两条直线是否垂直的问题。例如，在解决平面几何中的证明题目时，我们需要判断两条线段是否相互垂直。此时，可以通过计算两条线段所在的直线的斜率之积是否为-1来判定它们是否垂直。 同时，在解决函数图像问题时，也需要运用面面垂直定理。例如，在求解过给定点且与一条已知直线垂直的函数图像时，可以通过计算该函数图像所在直线与已知直线斜率之积是否为-1来确定该函数图像的斜率。 总之，面面垂直定理是高中数学中非常重要的定理之一，它不仅在解决平面几何问题时有广泛应用，在函数图像问题中也有着重要作用。
(完整版)面面垂直的判定+性质定理(例题)
面面垂直的判定 1、 如图,棱柱111C B A ABC -的侧面11B BCC 是菱形，且11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 2、如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是 圆周上不同于A ，B 的任意一点,求证：平面PAC ⊥平面PBC. 3、如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，求证：平面PBE ⊥平面PAB ； 4、如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1）直线EF ∥平面ACD ；(2）平面EFC ⊥平面BCD .
5、如图,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N. (I）求证:SB∥平面ACM；（II）求证:平面SAC⊥平面AMN. 面面垂直的性质 1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，求证AB ⊥BC.
2、 在四棱锥中,底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD 3、如图,平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD 。求证:AB DE ⊥ w 。w 。w 。k 。s 。5.u 。c 。o 。m 4、如图，在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ， ∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD V D C B A S A C B
证明面面垂直的方法及定理五篇
证明面面垂直的方法及定理五篇 证明面面垂直的方法1 CD=BD-BC,AC=BC-BA,AD=BD-BA. 对角线的点积：AC·BD=(BC-BA)·BD=BC·BD-BA·BD 两组对边平方和分别为： AB2+CD2=AB2+(BD-BC)2=AB2+BD2+BC2-2BD·BC AD2+BC2=(BD-BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2BD·BA 则AB2+CD2=AD2+BC2等价于BD·BC=BD·BA等价于AC·BD=0 所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的'垂线在另一个平面内，即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 平面平行与平面垂直的知识点2 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行。 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行。(“线面平行，面面平行”) 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行。 [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面。 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。(“面面平行，线线平行”) 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条
直线的平面垂直于这个平面。(“线面垂直，面面垂直”) 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系。 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面。 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面。 证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于， 因为则。 6. 两异面直线任意两点间的距离公式：(为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有) 面面垂直学生如何证明3 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
高中面面垂直的判定定理
高中面面垂直的判定定理 1. 定义和背景 在高中数学中，面面垂直是一个非常重要的概念。直观上来讲，两个平面如果垂直，则它们相交的直线与两个平面的法线垂直。 垂直是一种关系，是数学中的一个基本概念。在我们的日常生活中，垂直关系是无处不在的。比如，我们身边的建筑物，墙壁和地板就是垂直的。 在高中阶段的几何学中，我们学习了很多关于垂直的内容，其中一个重要的内容就是高中面面垂直的判定定理。 2. 定理的表述 高中面面垂直的判定定理可以表述为：如果平面A与平面B相交于直线l，并且直 线l与平面C相交于点P，则平面A与平面C垂直。 3. 定理的证明 为了证明高中面面垂直的判定定理，我们可以使用向量的方法。 设平面A的法线向量为n1，平面B的法线向量为n2，平面C的法线向量为n3。 由于平面A与平面B相交于直线l，所以直线l可以被平面A和平面B的法线向量 表示为： l = n1 x n2 而直线l与平面C相交于点P，所以点P在平面C上，点P的位置可以用点P与平 面C的法线向量的点乘来表示： n3 · P = d3 其中d3表示平面C到原点的距离。 由于直线l在平面C上，所以直线l的向量与平面C的法线向量点乘为0： l · n3 = 0 将直线l用n1和n2表示，并将其代入上式：
(n1 x n2) · n3 = 0 展开运算得到： n1 · (n2 x n3) = 0 由于n1是平面A的法线向量，而n1与n2 x n3垂直，所以平面A与平面C垂直。综上所述，我们证明了高中面面垂直的判定定理。 4. 应用举例 高中面面垂直的判定定理在实际问题中有很多应用。 例如，我们在学习三视图时，可以利用面面垂直的判定定理来判断三视图中的平面是否垂直。三视图是将一个立体物体的三个不同面分别投影到三个相互垂直的平面上得到的图形。利用面面垂直的判定定理，我们可以验证三视图中的平面是否满足垂直关系。 另外，当我们在进行空间解析几何的问题时，面面垂直的判定定理也经常被用到。通过判断不同平面之间的垂直关系，我们可以得到更多几何信息，从而解决问题。 5. 总结 高中面面垂直的判定定理是高中几何学中的一个重要定理，它描述了平面与平面之间的垂直关系。该定理的表述简洁明了，并且可以通过向量的方法进行证明。在实际应用中，高中面面垂直的判定定理具有广泛的应用价值，可以帮助我们解决各种与垂直关系相关的几何问题。 希望通过本文的介绍，读者对高中面面垂直的判定定理有了更深入的了解。
证明面面垂直的判定定理
证明面面垂直的判定定理 引言 面面垂直是几何中经常遇到的一个概念。在解决几何问题的过程中，判断两个平面是否垂直是非常重要的一步。本文将介绍证明面面垂直的判定定理的方法和原理。 理论基础 首先我们需要了解一些关于平面和向量的基本概念。 平面 在三维空间中，平面可以由一个点和一个法向量来确定。我们可以将平面上的所有点都表示为这个点加上法向量的线性组合。如果一个平面上的向量与该平面的法向量垂直，那么这个向量被称为平面的法向量。 向量 向量是几何中的一个基本概念，它可以用来表示空间中的方向和大小。在三维空间中，一个向量可以由三个实数组成，分别表示在 x、y 和 z 方向上的分量。 面面垂直的判定定理 理论述述 面面垂直的判定定理是指：如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面是垂直的。 证明过程 我们将通过以下步骤证明面面垂直的判定定理： 1.假设有两个平面，分别为平面 P1 和平面 P2。 2.假设平面 P1 的法向量为 n1，平面 P2 的法向量为 n2。
3.要证明平面 P1 和平面 P2 是垂直的，我们需要证明 n1 和 n2 是垂直的。 4.假设 n1 和 n2 不垂直，即存在一个向量 v，使得 v 不同时与 n1 和 n2 垂直。 5.根据向量的定义，如果一个向量与一个平面垂直，那么向量与平面的法向量 的点积为零。 6.因此，如果 v 与平面 P1 和平面 P2 的法向量 n1、n2 分别的点积均不为 零，那么 v 既不与 P1 垂直也不与 P2 垂直，与假设矛盾。 7.由此可得，如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面是垂直的。 总结 面面垂直的判定定理是几何中常用的一个定理。通过证明了两个平面的法向量互相垂直可以导出这两个平面是垂直的。这个定理在解决几何问题的过程中经常会用到，因此掌握这个定理对于解题非常重要。 在证明过程中，我们运用了向量的基本定义和性质，并通过推理和逻辑来证明了定理的正确性。这种证明方法可以应用于其他几何定理的证明中。 从实际应用的角度来看，面面垂直的判定定理在建筑、工程、物理等领域都有重要的应用。通过判断不同平面之间的垂直关系，可以帮助我们设计和解决实际问题中的几何难题。 在实际问题中，我们可以利用面面垂直的判定定理来判断两个平面是否垂直，进而解决与平面相关的几何问题。 参考资料 •李寿松. (2018). 《高中数学定理：平面几何篇》. 中国画报出版社. •唐青. (2016). 《线性代数基础教程》. 人民邮电出版社.
证明面面垂直的判定定理
证明面面垂直的判定定理 一、引言 在几何学中，面面垂直的判定定理是一个非常重要的定理。该定理指出，如果两个平面相交且其交线与第三个平面垂直，则这两个平面是相互垂直的。这个定理在计算机图形学、建筑设计和机械制造等领域都有广泛的应用。本文将详细介绍如何证明这个定理。 二、定义 在证明该定理之前，我们需要先了解一些相关的定义。 1. 平面：平面是一个无限大的、完全平坦的表面，可以看作是由无数条平行于同一方向的直线组成。 2. 直线：直线是一个无限长的、完全笔直的线段，可以看作是由无数个点组成。 3. 垂直：两条线或两个平面相互垂直意味着它们之间存在一个90度角度。
三、证明 现在我们来证明该定理。为了方便起见，我们假设有三个不共面的点A、B和C，并且有两个不重合但相交的平面P和Q。我们需要证明如果交线AB与第三个平面R垂直，则P和Q也相互垂直。 1. 画图 首先，在纸上画出三条互不相交的直线，分别标记为AB、AC和BC。然后在这些直线上随意选择三个点，分别标记为A、B和C。接下来，画出两个平面P和Q，并使它们相交于一条直线AB。最后，在平面P 和Q上各选择一个点，并将它们标记为D和E。 2. 找到垂足 根据题目条件，我们已知交线AB与平面R垂直。因此，我们可以从 点D到AB上的垂足H画一条垂线。同样地，我们可以从点E到AB 上的垂足K画一条垂线。 3. 证明两个角度相等 由于AH与AK都是R平面上的垂线，所以它们在R平面内是相等的。又因为AD与AE都在PQ平面内，所以它们也是相等的。因此，我们
可以得出AHK是一个等腰三角形。 4. 证明两个角度之和为90度 由于AHK是一个等腰三角形，所以角DAH+角EAK=180度- 2*DAK=90度（其中DAK表示角DAH或EAK）。又因为AD与AE 都在PQ平面内，所以它们也是相互垂直的。 5. 证明PQ互相垂直 由于角DAH+角EAK=90度，所以它们是互相补充的。因此，我们可以得出角DAP和角EAQ是互相补充的。由于PQ平面内的两个角度之和为180度，所以角DAP和角EAQ互相垂直。 6. 结论 因此，我们可以得出结论：如果交线AB与第三个平面R垂直，则P 和Q也相互垂直。 四、总结 综上所述，面面垂直的判定定理是一个非常重要的定理，它在几何学中有着广泛的应用。本文详细介绍了如何证明这个定理。通过画图、
面与面垂直的判定定理的证明
面与面垂直的判定定理的证明 引言 在几何学中，面与面的垂直关系是一个重要的概念。本文旨在探讨面与面垂直的判定定理，并给出其证明过程。本文按照以下结构进行论述： 1.定义与性质 2.面与面垂直的判定定理 1.方向向量法判定 2.法向量法判定 3.定理的证明 1.方向向量法判定的证明 2.法向量法判定的证明 定义与性质 在几何学中，面通常由平面上的点组成。面的垂直关系是指两个面之间的夹角为90度的关系。下面给出一些相关的定义与性质： 定义1：面面是由平面上的点组成的集合。 定义2：夹角夹角是由两条射线形成的角度。 性质1：垂直关系的特性如果两个面是垂直的，则它们的法向量互相垂直。 性质2：垂直关系的传递性如果面A垂直于面B，并且面B垂直于面C，则面A必定垂直于面C。
面与面垂直的判定定理 1. 方向向量法判定 给定两个面A 和B ，我们可以通过判断它们的方向向量是否垂直来判断它们是否垂直。具体地，我们可以通过以下步骤进行判定： 步骤1：计算面A 的方向向量。 在二维空间中，我们可以从面A 上的两个线段得 到两个方向向量，分别为A 1⃗⃗⃗⃗ 和A 2⃗⃗⃗⃗ 。在三维空间中，我们可以从面A 上的三个线段 得到三个方向向量，分别为A 1⃗⃗⃗⃗ 、A 2⃗⃗⃗⃗ 和A 3⃗⃗⃗⃗ 。 步骤2：计算面B 的方向向量。 同样地，我们可以从面B 上的线段得到相应的方向向量。 步骤3：判断方向向量是否垂直。 如果面A 的方向向量与面B 的方向向量垂直，则面A 与面B 垂直；否则，面A 与面B 不垂直。 2. 法向量法判定 给定两个面A 和B ，我们也可以通过判断它们的法向量是否垂直来判断它们是否垂直。具体地，我们可以通过以下步骤进行判定： 步骤1：计算面A 的法向量。 在二维空间中，我们可以通过计算面A 上任意两个非共线的向量的叉积得到法向量。在三维空间中，我们可以通过计算面A 上任意三个非共面的向量的叉积得到法向量。 步骤2：计算面B 的法向量。 同样地，我们可以通过类似的方法计算面B 的法向量。 步骤3：判断法向量是否垂直。 如果面A 的法向量与面B 的法向量垂直，则面A 与面B 垂直；否则，面A 与面B 不垂直。 定理的证明 1. 方向向量法判定的证明 首先，我们证明如果面A 的方向向量与面B 的方向向量垂直，则面A 与面B 垂直。 假设面A 的方向向量为A ，面B 的方向向量为B ⃗ 。根据向量的内积的几何定义，向量A 与B ⃗ 垂直等价于A ⋅B ⃗ =0。