第三章 复变函数的积分 第一节、柯西定理

第三章复变函数的积分
(Integration of function of thecomplex variable)
第一讲
授课题目：§3.1复积分的概念
§3.2柯西积分定理
教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.
学时安排：2学时
教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分
2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定
积分的概念
教学重点：复变函数积分的计算问题
教学难点：柯西积分定理
教学方式：多媒体与板书相结合
P思考题：1、2、习题三：1-10
作业布置：
75
76
板书设计：一、复变函数积分的计算问题
二、柯西积分定理
三、举例
参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育
出版社.
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高
等教育出版.
3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，
第二版）2005年5月.
4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等
教育出版社，2008年4月.
课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分
2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方
法掌握不理想
3、利用课余时间多和学生交流
教学过程：
§3.1 复积分的概念
(The conception of complex integration)
一、复变函数的积分的定义（Complex function of the
integral definition ）
定义（Definition ）3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中
),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=
在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式
))((11
-=-∑k n k k k z z f ς
（1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作
=⎰C z z f d )())((lim 110-=→-∑k n
k k k z z f ςλ
当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作⎰-
C z z f d )(
当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C
⎰ 定理(Theorem)3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且
,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C
C C ++-=⎰⎰⎰（2） 证明：
)
)((11-=-∑k n k k k z z f ς
)]())][(,(),([111k k n
k k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ
],
))(,())(,([)
)(,())(,(111111
1111∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ
由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有
0|}{|max 11→--≤≤k k n k x x 0|}{|max 11→--≤≤k k n
k y y 于是上式右端的极限存在，且有
,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C
C C ++-=⎰⎰⎰ 二、复变函数积分的计算
(Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,
即()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.由公式(2)我们有
[()()()()()()()()]dt
t y t y t x v t x t y t x u y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C
C C '-'=++-=⎰⎰⎰⎰β
α,,),(),(),(),()(d d d d d [()()()()()()()()]dt t y t y t x u t x t y t x v i '+'+⎰β
α,,
即
()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα (3) 或 ()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im βα (4)
用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.
注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例1 计算dz z C
⎰，其中C 是 （1） 从点1到i 的直线段1C ；
（2） 从点1到0的直线段2C ，再从点0到i 得直线段3C 所连
接成的折线段32C C C +=.
解：（1）)()(;1011≤≤+-==t it t t z C C ，有：
⎰⎰⎰⎰=+-=+---=10101
0)12()1)(1(i dt i dt t dt i it t dz z c （2）).10()(:),10(1)(:2312≤≤=≤≤-=t it t z C t t t z C ，有：
⎰⎰⎰⎰⎰=+--=+=101
00)1(32tdt dt t dz z dz z dz z c c c
例2 计算dz z i
i I ⎰-=其中C 是 (1)连接i i 到-的直线段；(2)连接i i 到-的单位圆的左半圆
(3)连接i i 到-的单位圆的右半圆
解： i t i tdt i idt it dz z i i I t it z i =⋅==-=-=≤≤-=-⎰⎰⎰1
2
21201211,11,)1( 于是程为：到i的直线段的参数方 i
e de idt e e dz z i i I ，t e z it it it it it 22322322
23,)2(223===⋅=-==⎰⎰⎰π
π
π
πππππ于是到从方程为单位圆的左半圆的参数 i e e d e dz z I ，
t e z it it it i i it 2)(20,)3(2222=====---⎰⎰π
π
ππ
π到从方程为单位圆的右半圆的参数
上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关
例3()0n C
dz z z -⎰，其中n 为任意整数，C 为以0z 为中心，
r 为半径的圆周.
解 C 的参数方程为0,02i z z re θθπ=+≤≤，由公式得
()22(1)1000221100cos(1)sin(1)2,1,0, 1.i i n n n in n C
n n dz ire i d e d r e r z z i i n d n d r r
i n n θππθθππ
θθθθθθπ-----==-=-+-=⎧=⎨≠⎩⎰⎰
⎰⎰⎰ 此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.
例4 计算C
zdz ⎰，其中C 为从原点到点34i +的直线段. 解： 此直线方程可写作
3,4,01x t y t t ==≤≤ 或 34,01z t i t t =+≤≤. 在C 上，(34),(34)z i t dz i dt =+=+，于是
()()()112220013434342
C zdz i tdt i tdt i =+=+=+⎰⎰⎰. 因
()()C C
C C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy =++=-++⎰⎰⎰⎰
易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，所以C zdz ⎰的值，不论是对怎样的连接原点到34i +的曲线，都等于()21342i +. 例5 设C 是圆ρα=-||z ，其中α是一个复数，ρ是一个正数，则按逆时针方向所取的积分
i z dz C πα
2=-⎰ 证明：令 θραi e z =-，
于是 θρθd d i ie z =，
从而 i id z dz C
πθαπ220⎰⎰==- 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature)
设)(z f 及)(z g 在简单曲线C 上连续，则有
（1）是一个复常数其中k z z f k z z kf C C
,d )(d )(⎰⎰= （2）;d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰±=±C C C z z g z z f z z g z f
（3）⎰⎰⎰⎰+++=n C C C C z z f z z f z z f z z f d )(...d )(d )(d )(21
其中曲线C 是有光滑的曲线n C C C ,...,,21连接而成；
（4）⎰⎰-=-
C C z z f z z f d )(d )( 定理3.2（积分估值） 如果在曲线C 上，()M z f ≤，而L 是曲线C 的长度，其中M 及L 都是有限的正数，那么有
()ML dz z f z z f C
C ≤≤⎰⎰|d )(|， （5） 证明：因为
ML z z M z z f k n k k k n k k k ≤-≤-∑∑-=+-=+|||))((|1
11111ζ
两边取极限即可得：()ML dz z f z z f C
C ≤≤⎰⎰|d )(| 例6 试证：⎰=→=+r z r dz z z 01lim 2
3
0 证:不妨设1<r ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，因为在r z =上，
⎰⎰==-≤+≤+r z r z r r dz z z dz z z 24
232312||1|1π
上式右端当0→r 时极限为0，故左端极限也为0，所以
⎰=→=+r z r dz z z 01lim 2
3
0 本节重点掌握： （1）复变函数积分的计算；
（2）复变函数积分的基本性质
§3.2 柯西积分定理
（Cauchy integral theorem)
下面讨论复变函数积分与路径无关问题
定理(Theorem)3.3设)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则)(z f 在D 内沿任意一条闭曲线C 的积分
0d )(=⎰C z z f ,
在这里沿C 的积分是按反时针方向取的.
此定理是1825年Cauchy 给出的.1851年Riemann 在)(z f '连续的假设下给出了简单证明如下 证明：已知)(z f 在单连通区域D 内解析，所以)(z f '存在，设)(z f '在区域D 内连续，可知u 、v 的一阶偏导数在区域D 内连续，
有0d )(=⎰C
z z f ⎰⎰⎰++-=⊂∀C C c udy
vdx i vdy udx dz )z (f D C ,，又⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=--=-D
y x c D y x c dxdy v u udy vdx dxdy u v vdy udx Green 0)(,0)(公式由
注1: 此定理证明假设“)(z f '在区域D 内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat ）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.
注2: 若C 是区域D 的边界，)(z f 在单连通区域D 内解析，在D 上连续，则定理仍成立.
定理(Theorem)3.4若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，1C 、1C 是在D 内连接0z 及z 两点的任意两条简单曲线，则
=⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f
证明：由柯西积分定理
-⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f ()021==⎰+dz z f C C
将柯西积分定理推广到多连通区域上
定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n +1条简单闭曲线,,...,,n C C C 1曲线n C C ,...,1中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的C 内区域，n C C C ,...,,1围成一个有界多连通区域D ，D 及其边界构成一个闭区域D .设f (z )在D 上解析，那么令Γ表示D 的全部边界，我们有
0=⎰Γdz z f )(
其中积分是沿Γ按关于区域D 的正向取的.即沿C 按逆时针方向，沿n C C ,...,1按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C 按所选
定取积分的方向一同运动时，区域D 总在它的左侧.因此
0 1
=+++=
⎰
⎰
⎰
⎰
--Γ
n
C C C
dz z f dz z f dz z f dz z f )()()()(
即 ⎰⎰⎰++=n
C C C
dz z f dz z f dz z f )(...)()(1
例7 计算dz z z e z
z ⎰-=)
1(2
3,其中C 是包含0与1、-1的简单闭曲线.
解：作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有
)
2()
2
2(21
)1(1)1(11)
1()1()1()1(11
122
2223
321
321-+=++=+⋅-+-⋅++⋅-=-+-+-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
e e i e e e i z dz
z z e z dz z z e z dz z dz z z e dz z z e dz z z e dz z z e z c
z c c z
c z c z c z z ππ
由柯西积分定理可知：若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则沿着区域D 内的简单闭曲线C 的积分
⎰
C
d f ςς)(
与路径无关，只与起点0z 及终点z 有关，此时也可写成
⎰
z
z d f 0
)(ζζ
在单连通区域D 内固定0z ，当z 在区域D 内变动时，
⎰
z
z d f 0
)(ζζ确定了上限z 的一个函数，记作
⎰=z z d f z F 0
)()(ζζ
定理(Theorem)3.6 设)(z f 是单连通区域D 的解析函数，则
⎰=z
z d f z F 0
)()(ζζ
也是区域D 内的解析函数，且)()('z f z F =
证明： D z z ∈∆+∀，得
⎰
z
z d f 0
)(ζζ
与路径无关，则
⎰⎰
-=-∆+∆+z z z
z z d f d f z F z z F 0
)()()()(ζζζζ=⎰∆+z
z z
d f ζζ)(
其中积分路径取z 到z z ∆+得直线段，有
()()()z
z f z z F z z F ∆=
-∆-∆+1
(
())⎰∆+-z
z z
d x f f ζζ)(
因)(z f 在D 内连续，δδε<∆>∃>∀z ,0,0，有
()()()
ε<-∆-∆+z f z
z F z z F
即)()('z f z F =
定义(Definition)3.2设在是单连通区域D 内，有
)()('z f z F =，则称()z F 是)(z f 的原函数.
定理(Theorem)3.7若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，()z F 是)(z f 的一个原函数.则
⎰
=z
z dz z f 0
)(()z F -()0z F
其中D z D z ∈∈,0
注3: 此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广. 例8 ( 重要积分)) 试证明:
⎩⎨⎧Z ∈≠==-⎰n n n i a z dz
c n ,1012)
(π 这里 C 表示绕行a 一周的简单闭曲线.
证明: 作圆周 1C : |z-a | = ρ, 使得 C 在 1C 的内区域中. 则有
=-⎰c n a z dz )(⎰-1
)(c n a z dz
由例5结果即得证.
例9 计算⎰+c
dz z )1ln(，其中C 是从-i 到i 的直线段
解 因为)1ln(z +是在全平面除去负实轴上一段1-≤x 的区域D 内为（单值）解析，又因为区域D 是单连通的，在D 内有
[]i
i i i i i i i z z i i i i dz
z
i i i i dz
z
z
z z dz z i
i
i i i
i i
i c )2
2ln 2()1ln()1ln(2)1ln()1ln()1ln()1ln()1ln()11
1()1ln()1ln(1|)1ln()1ln(π
+
+-=--++--++=+---++=+---++=+-+=+----⎰⎰⎰
本节重点掌握：1、柯西积分定理 2、柯西积分定理的推广 内容小结：
1、复变函数的积分的定义
2、复变函数积分的计算问题
()()[](),
dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰β
α
3、复变函数积分的基本性质
4、柯西积分定理
5、柯西积分定理的推广
2 1
§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数
柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.
1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法
2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理
柯西积分公式
解析函数的无穷可微性
讲授法多媒体与板书相结合
P思考题：1、2、习题三：11-15
75
76
一、柯西积分公式
二、解析函数的无穷可微性
三、举例
[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.
[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.
[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.
[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.
1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法
2、解析函数的无穷可微性理解很好
3、利用课余时间对学生进行答疑
第二讲
授课题目：§3.3柯西积分公式
§3.4解析函数的高阶导数
教学内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.
学时安排：2学时
教学目标：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法
2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理
教学重点：柯西积分公式
教学难点：解析函数的无穷可微性
教学方式：多媒体与板书相结合
作业布置：习题三：11-15
板书设计：一、柯西积分公式
二、解析函数的无穷可微性
三、举例
参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育
出版社.
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》高
等教育出版.
3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，
第二版）.
4、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育
出版社.
课后记事：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法
2、解析函数的无穷可微性理解很好
3、利用课余时间对学生进行答疑
教学过程：
§3.3 柯西积分公式 （Cauchy integral formula ）
柯西积分公式（Cauchy integral formula ）
设)(z f 在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，由柯西积分定理0d )(=⎰C
z z f 考虑
⎰-C d z f ζζζ)
(
设D z ∈，显然函数在
z
f -ζζ)
(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析. 以z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC .在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD .在ρD 上，函数)(ζf 以及
z
f -ζζ)
(解析，所以有 ⎰⎰-=-ρζζζζζζC C d z f d z f )
()(
于是又如下定理
定理(Theorem)3.8设)(z f 在在简单闭曲线C 所围成的区域
D 内解析
在C D D ⋃=上连续，0z 是区域D 内任一点，则有
dz
z z z f i z f C ⎰-=
0)
(21)(π （1）
其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，（1）式就是柯西
积分公式.它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具. 说明：
1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.
2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质.
推论1（平均值公式）设)(z f 在)(z f R z z C <-|:|0内解析，在R z z C =-|:|0上连续，则
π
21
)(0=
z f ⎰
+π
θθ20
0)Re (d z f i
推论 2 设)(z f 在由简单闭曲线1C 、2C 围成的二连通区域
D 内解析，并在曲线1C 、2C 上连续，2C 在1C 的内部，0z 为区域D 内一点，则
⎰-=
100)(21)(C dz z z z f i z f π⎰--20
)
(21C dz z z z f i π
例1 求下列积分的值
（1）()⎰⎰==+-22
2
.)
)(9(2;
sin z z dz i z z z
dz z
z 解：
(1)0|sin 2sin 02
====⎰z z z i dz z
z
π (2)
⎰⎰=-===-=---=+-212
2225|92)(9))(9(z z z z z i dz i z z z dz i z z z ππ 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.
解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常兆耀的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数.
定理(Theorem)3.9(最大模原理) 设)(z f 在区域D 内解析，)(z f 不是常数，则在区域D 内()z f 没有最大值. 推论1在区域D 内的解析函数，若其模在区域D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数
推论2设)(z f 在有界区域D 内解析，在D 上连续，则()z f 必在区域D 的边界上达到最大值.
证明：若)(z f 在区域D 内为常数，显然成立，若)(z f 在区域D 内不恒为常数，有连续函数的性质及本定理即可得证. 本节重点掌握：柯西积分公式
§3.4 解析函数的高阶导数
(The higher order derivative of analytic function) 一、解析函数的无穷可微性(Analytic functions of
infinitely differentiable)
定理(Theorem)3.10 设函数)(z f 在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析，在D 上连续，则)(z f 的各阶导数均在区域D 内解析，对区域D 内任一点z ，有
,...)3,2,1( )()
(2!)(1
)(=-=
⎰+n d z f i n z f C n n ζζζπ,
证明：先证明1=n 时的情形.对区域D 内任一点z ，设
D h z ∈+.
⎰
---=
C
d z h z f i
h ζζζζπ2
)
)(()
(2 现在估计上式右边的积分.设以z 为心，以δ2为半径的圆盘完全在D 内，并且在这个圆盘内取h z +，使得δ<<h 0，那么当
D ∈ζ时，,||,||δζδζ>-->-h z z
设()z f 在C 上的最大值是M ，并且设C 的长度是L ，于是由积分估值定理有
,2|||))(()(2|
22δπζζζζπML
h d z h z f i h
C ⋅≤---⎰ ])()
(2)(21)(21[1)
()
(21)()(22⎰⎰⎰⎰------=---+C C C C d z f i h d z f i d h z f i h d z f i h z f h z f ζζζπζζζπζζζπζζζπ
这就证明了当h 趋近于0时，积分⎰
---C
d z h z f i h
ζ
ζζζπ2
))(()
(2趋
于0.即当1=n 时定理成立.设k n =时定理成立.当1+=k n 时，对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.仿1=n 时的证明方法，可推得定理成立.证毕
例2 计算下列各积分
)
()
)
()
()
⎰⎰
⎰>==>=-+-1
2
2
3
2
2
1
5
111
21cos 1r z z z
r z dz
z z dz
z
e dz
z z
π
解：)()
()()()
⎰>=-==-=-1545
121cos !1521cos 1r z i z z i dz z z
ππππ
)()()()()()⎰⎰⎰+-+-+=+>=1
2
22
22
122
12C
C
z
z
r z z
dz i z i z e dz i z i z e dz z e
()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41sin 2222πππi i z i z e i z i z e i z z
3）被积函数
2
2)
1(1
-z z 有两个奇点：01=z 和12=z ，都在2=z 内，
2)1(1-z 在31=z 内解析，2
1z
在31
1=-z 内解析，作圆周3
113121=-=z c z c ：，：
，利用复合围线积分定理， ⎰⎰⎰⎰⎰=-==-==-+--=-+-=-3
112331323112
33123223)1(1
)0()1(1)1()1()1(z z z z z dz z z dz z z z z dz z z dz z z dz
由高阶导数公式，得
()0
661!1211!22)1(1
30
2223=-='
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+"
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===⎰i i z i z i z z dz
z z z ππππ
应用上述定理可得出解析函数的无穷可微性
定理(Theorem)3.11 设函数)(z f 在区域D 内解析，那么
)(z f 在D 内有任意阶导数.并且它们也在区域D 内解析
注3: 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；
二、柯西不等式与刘维尔定理(Cauchy inequality and Liouville's theorem)
柯西不等式（Cauchy inequality ） 设函数)(z f 在以
R z z <-||0内解析，在以R z z <-||0内()M z f ≤,则
,...)2,1,0(!!|)(|0)
(=≤n R
M
n n z f
n n 证明：令1R C 是圆)0(||110R R R z z <<=-，)(z f 在以
10||R z z ≤-上解析，由高阶导数公式，有
,2,1,0!22|
)()
(2!|
|)(|1
1111
00)
(1
==⋅⋅≤-=++⎰
n R M n R R M n!dz z z z f i
n z f
n
n C n n R πππ
令R R →1,得 ,2,1,0!|)(|1
0)
(=≤
n R M
n z f
n n
上述的不等式称为柯西不等式.
如果函数)(z f 在整个复平面上解析，那么就称)(z f 为一个
整函数，
例如z e z z ,cos ,sin 都是整函数.关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：
定理3.12（刘维尔Liouvlle 定理） 有界整函数一定恒等常数.
证明：设)(z f 是有界整函数，即存在),0(+∞∈M ，使得
M z f z <∈∀|)(|C,.),0(,C 0+∞∈∀∈∀R z ，)(z f 在R z z <-||0内
解析.由柯西公式，有
R
M z f ≤
|)('|0， 令+∞→R ， 0)(',C 00=∈∀z f z ，由此可知)(z f 在C 上恒等于常数.
三、莫勒拉定理(Mole La Theorem)：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理.
定理(Theorem)3.13如果函数)(z f 在区域D 内连续，并且对于D 内的任一条简单闭曲线C ，我们有
0)(=⎰
C
dz z f
那么)(z f 在区域D 内解析.
本节重点掌握：
（1） 解析函数的无穷可微性；（2）柯西不等式 内容小结： 1、柯西积分公式 2、解析函数的无穷可微性
3、柯西不等式与刘维尔定理
4、莫勒拉定理
5、柯西定理的逆定理。