2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2

4．1 指数

4．1.1 n次方根与分数指数幂4．1.2 无理数指数幂及其运算性质

内容标准学科素养1.理解方根及根式的概念．

数学抽象

2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义．

3.掌握幂的运算.

授课提示：对应学生用书第50页

[教材提炼]

知识点一n次方根及根式

预习教材，思考问题

如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？

知识梳理(1)n次方根

定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.

个

数

n是

奇数

a＞0x＞0

x仅有一个值，记为

n

a

a＜0x＜0

n是

偶数

a＞0

x有两个值，且互为相反数，记为±

n

a

a＜0x不存在

,

(2)根式

①定义：式子

n

a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

②性质：(n ＞1，且n ∈N ＋)

(ⅰ)(

n

a )n ＝a .

(ⅱ)

n

a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.

知识点二 指数幂及运算 知识梳理 (1)分数指数幂的意义 ①规定正数的正分数指数幂的意义是：

a m n

＝n

a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)． ②规定正数的负分数指数幂的意义是：

a －m n ＝1a

m

n

＝1

n a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s ； ②(a r )s ＝a rs ； ③(ab )r ＝a r b r . (3)无理数指数幂

无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

[自主检测]

1．已知x 5＝6，则x 等于( )

A.6

B.5

6

C ．－5

6D ．±5

6

答案：B

2．23

4化成根式形式为( )

A.3

24B.4

23

C.

4

32D.

2

43

答案：B

3．(0.027)－2

3的值是( )

A.1009

B.9100

C.103

D.310

解析：(0.027)－23＝[(0.3)3]－23＝0.33×(－23)＝0.3－2＝

1

0.32＝1

0.09＝100

9

. 答案：A

4．当8

解析：由8

x －82＋x －102＝|x －8|＋|x －10|

＝(x －8)＋(10－x )＝2. 答案：2

授课提示：对应学生用书第51页

探究一 利用根式的性质化简求值

[例1](1)化简a ＋4

1－a 4的结果是( )

A ．1

B ．2a －1

C ．1或2a －1

D ．0

(2)当a 、b ∈R 时，下列各式总能成立的是( )

A ．(6

a －

6

b )6＝a －b B.8

a 2＋

b 28＝a 2＋b 2

C.4

a 4－4

b 4＝a －b D.

10

a ＋

b 10＝a ＋b

(3)设－3＜x ＜3，求

x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．

[解析](1)a ＋4

1－a 4＝a ＋|1－a |＝1或2a －1，故选C.

(2)取a ＝0，b ＝1，A 不成立． 取a ＝0，b ＝－1，C 、D 不成立． ∵a 2＋b 2≥0，∴B 正确，故选B. (3)原式＝

x －12－x ＋32

＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3＜x ＜3， ∴当－3＜x ＜1时，

原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x ＜3时，

原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，

∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧

－2x －2，－3＜x ＜1，

－4，1≤x ＜3.

[答案](1)C (2)B (3)见解析

(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．

(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：

从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x ＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．

若n

A ．2m

B ．2n

C ．－2m

D ．－2n 解析：m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2 ＝

m ＋n

2－

m －n 2

＝|m ＋n |－|m －n |.

∵n 0，

∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－m －n －m ＋n ＝－2m . 答案：C

第四章 指数函数与对数函数 数学 必修 第一册 探究二 根式与分数幂的转化 [例2]用分数指数幂形式表示下列各式(式中a >0)：

(1)a 2·a ；(2)a 3·

3

a 2；(3) a a ；(4)

y 2x

x 3y

3y 6x 3

.

[解析](1)a 2·a ＝a 2·a

12＝a 2＋12＝a 52

.