六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版

六大数学思想之四：转化与化归

1.什么是转化与化归？

转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

2. 转化与化归的主要方式：

1、等价转化，

2、空间图形问题转化为平面图形问题，

3、局部与整体的相互转化，

4、特殊与一般的转化，

5、非等价转化，

6、换元、代换等转化方法的运用，

7、正与反的转化,8、数与形的转化，

9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、

11、实际问题与数学语言的转化等.

3.转化与化归思想的原则：

(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．

(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．

(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．

(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．

题型一正难则反的转化：

Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．

解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥3

2

}．

若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，

则⎩⎪⎨⎪⎧

m ∈U ，x 1

＋x 2

＝4m ≥0，⇒m ≥32

，

x 1x 2

＝2m ＋6≥0

所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．

Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不

为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－373，－5

解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①

g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，

即m ＋4≥2

x

－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，

所以m ＋4≥2

t

－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，

即m ≥－5；

由②得m ＋4≤2

x

－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，

则m ＋4≤23－9，即m ≤－37

3

.

所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－37

3

题型二 函数、方程、不等式之间的转化：

解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，

一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．

Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1

e f (x )－(x ＋1)．

(e ＝2.718……)

(1)求函数g (x )的极大值；

(2)求证：1＋12＋13＋…＋1

n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．

(1)解 ∵g (x )＝1

e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，

∴g ′(x )＝1

x

－1(x >0)．

令g ′(x )>0，解得01.

∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.

(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，

∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，

令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1

n

(n ∈N *)时，

则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝

⎛⎭

⎪⎫

n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝

⎛⎭

⎪⎫

n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋1

3＋…＋

1

n >ln(n ＋1)．

Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.

(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R

知f′(x)＝e x－2，x∈R.

令f′(x)＝0，得x＝ln 2.

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，

单调递增区间是(ln 2，＋∞)，

f(x)在x＝ln 2处取得极小值，

极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.

(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，

于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.

由(1)知当a>ln 2－1时，

g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.

于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，

所以g(x)在R内单调递增．

于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，

都有g(x)>g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.

即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.

题型三主与次的转化：

合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母