22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.1.2 导数的概念及其几何意义
5.1.2导数的概念及其几何意义高二下学期数学人教版选择性必修第二册
三、点拨精讲22’：
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角. 则 : MP x, MQ y,
y tan .
x
y
y=f(x)
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方 程.
yQ
解 : k lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y = x 2+1
(1 x)2 1 (1 1)
lim
Q
Pβ Δx
O
Δy
M x
请问：y 是割线PQ的什么? x
斜率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ的运
动趋势。
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
x
3
P
2
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 . 3 x0
y |x2 22 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
1
-2 -1 O -1 -2
x 12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计
5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学习了平均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 二、教学目标：1. 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；（2）体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
2. 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.3. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计 （一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h 与时间t 的函数为)(t h s =，则0t 到t 的平均速度为，t t h t t h v ∆-∆+=)()(00而在0t 时刻的瞬时速度为.)()(000lim t t h t t h t ∆-∆+→∆2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为)(x f y =，，，))((000x f x P ，，))((00x x f x x P ∆+∆+则割线P P 0的斜率为，x x f x x f k ∆-∆+=)()(00而在，，))((000x fx P 处切线的斜率为.)()(000limx x f x x f x ∆-∆+→∆3. 导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆（二）新知学习Δx )-f (x 0)导数)('0x f 表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况.那么导数)('0x f 平均变化率xy∆∆表示什么？ xx f x x f x y Q P PQ ∆-∆+=∆∆=)()(000表示割线P P 0的斜率.当点 ))(,(x f x P 沿着曲线无限接近于点))(,(00x f x P 割线P P 0称为曲线 )(x f y =在 0x x =的切线.割线P P 0的斜率00)()(x x x f x f k --=当 0→-=∆x x x在0x x =的导数)('0x f ，x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)('00000导数的几何意义：)('x f 是)(x f y =函数在0x x =处切线T P 0的斜率.0P 附近的曲线，将0P 附近的曲线不.因此，在0P 附近曲线可以用点0P 处的切线T P 0近例 1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数118.49.4)(2++-=t t t h的图象.根据图象，请描述、比较曲线)(t h 在210t t t t ，，=附近的变化情况.x处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当0t t= 时，曲线)(t h 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴，0)('0=t h 在0t t =附近曲线比较平坦；（2）当1t t =时，曲线h(t)在1t t = 处的切线1l 的斜率在1t t =附近单调递减, 下降缓慢；（3）当2t t = 时，曲线h(t)在2t t= 处的切线2l 的斜率在2t t =附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度)(t f c = (单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计 min 8.06.04.02.0，，，=t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t )在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f (t )在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如()0.910.7，则此刻切线的斜率，4.17.00.191.048.0-≈--=k .4.1)8.0('-≈f三、课堂总结导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆四、作业教材第70页，习题5.1复习巩固 1，2，3。
新人教版高中数学选择性必修第二册第五章导数的几何意义
即4x－y－4＝0.
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5.已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x) 的图象大致是
√
解析 由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正， 在x2处切线的斜率为负.
解 ∵P(2,4)在曲线 y＝13x3＋43上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k＝ lim Δx→0
132＋Δx3＋43－13×23＋43 Δx
＝ lim Δx→0
4＋2Δx＋31Δx2
＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
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6.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角
为π 的是 4
A.(0,0)
√B.(1，－1)
√C.(－1,1)
D.(1,1)
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例2 已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB)
√B.f′(xA)<f′(xB)
C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切 线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).
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人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2.1导数的几何意义【同步教学课件】
x0
有关，与
Δx
无关，因此使用导数的定义时
要明确公式的形式，当分子为 f(1－Δx)－f(1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注
意公式的变形.
索引
【训练 3】
(1)若函数
f(x)可导，则
lim
x0
f（1－Δx2）Δx－f（1）等于(
C
)
A.－2f′(1)
B.12f′(1)
C.－12f′(1)
D.f′12
＝
lim
x0
Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
2]
＝
lim
x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
2 2.
求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）；
∴
lim
x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴
lim
x0
f（x0＋Δx）－Δxf（x0－Δx）＝2k.
索引
思维升华
由 导 数 的 定 义 可 知 ， 若 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处 可 导 ， 则 f′(x0) ＝
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0），它仅与
(3)取极限，得导数
f′(x0)＝
lim
x0
ΔΔxy.
思维升华
索引
【训练 2】 求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数. 解 因为 Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔxΔx，
所以ΔΔxy＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx.
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义【教学课件】
1 ． 曲 线 y ＝ x2 － 2x ＋ 3 在 点 A( － 1,6) 处 的 切 线 方 程 是
________________．
4x＋y－2＝0 解析：由导数的定义知 y′|x＝－1
＝ lim Δx→0
－1＋Δx2－2－1＋Δx＋3－－12＋2×－1－3 Δx
＝－4，
∴所求切线方程为 y－6＝－4(x＋1)，
(2)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0，
即 k0＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
3．导数的概念
当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)的导函
数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝
得 f′(1)＝lim Δx→0
1＋ΔΔxx－1＝Δlixm→0
1＋1Δx＋1＝12，
∴f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝21(x－1)．
即 x－2y＋1＝0.
探究题 2 抛物线 y＝x2在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
求点 P 的坐标及切线方程．
解：设点 P 的坐标为(x0，y0)，
4．已知函数 f(x)＝lg(x＋1)，则 f′(2)的几何意义是
函数 f(x)＝lg(x＋1)的图象在点(2，lg 3)处切线的斜率． 5．曲线 y＝3x2－4x 在点(1，－1)处的切线方程为________．
y＝2x－3
解析：k＝f′(1)＝ lim Δx→0
31＋Δx2－41＋Δx－3×12－4×1 Δx
[(Δx)2－3Δx＋3]＝3，
所以切线的斜率为 3.
由点斜式可得切线方程为 y－1＝3(x＋1)，即 3x－y＋4＝0.
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义(1课时)
(3)平均变化率的几何意义：观察函数 f(x)的 图象(如图所示)，我们可以发现 x2－x1＝AC，f(x2) －f(x1)＝BC，所以平均变化率f（x2）x2－－fx（1 x1）表 示的是直线 AB 的斜率．
2．对导数概念的理解 (1)Δx→0 是指 Δx 从 0 的左右两侧分别趋向于 0，但永远不 会为 0. (2)若Δlxim→0 ΔΔyx存在，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并且导数即 为极限． (3)令 x＝x0＋Δx，得 Δx＝x－x0，于是 f′(x0)＝ xl→imx0 f（x）x－－fx（0 x0），与概念中的 f′(x0)＝ Δlxim→0 f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）意义相同．
课后巩固
2．函数
y＝
1 在自变量从 x
1
变化到
4
时的平均变化率为
( B) A.16
B．－16
1 C.2
D．－12
1．函数 y＝x2，当自变量从 1 变化到 1.2 时，函数值的变化
量 Δy 为( B )
A．0.2
B．0.44
C．0.04
D．0.4
3．如果一个函数的瞬时变化率处处为 0，那么这个函数的图
在
x＝2
附近的平均变化率为
k2
＝
f（2＋Δx）－f（2） Δx
＝
（2＋ΔΔx） x 2－22＝4＋Δx；
在
x＝3
附近的平均变化率为
k3
＝
f（3＋Δx）－f（3） Δx
＝
（3＋ΔΔx） x 2－32＝6＋Δx.
若 Δx＝13，则 k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133， k3＝6＋13＝139. 由于 k1<k2<k3，∴在 x＝3 附近的平均变化率最大．
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.2导数的概念及其几何意义要点一 导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二 导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一 求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二 求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)， 即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点． 【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)． 题型三 导数几何意义的应用 探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10， 即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直． 【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定 【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________． 【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)， 解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ， 即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（ ）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（ ）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（ ）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】 解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关， 故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】 由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+， 所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（ ）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误； 对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>； 记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（ ）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大 【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误； 由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（ ） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】 对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足； 对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足； 对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确 【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案． 【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。
5.1.2导数的概念及其几何意义 (解析版)
5.1.2导数的概念及其几何意义知识点一.割线的定义：，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为ΔyΔx点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．知识点二.切线的定义：切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．知识点三.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也=f'(x0)相就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点四.割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是Δy＝Δx当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f′(x 0)＝lim Δx→0知识点五.导函数的定义从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看出，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个唯一确定的数．这样，当x 变化时，y ＝f ′(x )就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数记作f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝Δx 注意：区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x )f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数题型1导数的几何意义-切线问题◆类型1在点“P ”处的切线【例题1-1】已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上的点A (1,2)处的切线斜率及切线方程．【解析】因为Δy Δx ＝3(1+△x)2−(1+△x)−3×12+1△x ＝5＋3Δx ，当Δx 趋于0时，5＋3Δx 趋于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.所以切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.【变式1-1】1.求曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1,2)处的切线方程．【解析】在曲线f (x )＝x 2＋1上的点A (1,2)的附近取一点B ，设B 点的横坐标为1＋Δx ，则点B 的纵坐标为(1＋Δx )2＋1，所以函数的增量Δy ＝(1＋Δx )2＋1－2＝(Δx )2＋2Δx ，所以切线AB 的斜率k AB ＝Δy Δx ＝Δx ＋2，∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx ＋2)＝2，这表明曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1,2)处的切线斜率k ＝2．∴所求切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.【变式1-1】2.求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．【解析】∵曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1+△x)2−4(1+△x)+2−3×12+4−2△x＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2，∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由直线的点斜式，得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0，∴所求直线的方程为2x －y ＋4＝0.【变式1-1】3.已知曲线C ：y ＝f(x)＝x 3＋x.(1)求曲线C 在点(1,2)处切线的方程；(2)设曲线C 上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．【解析】因为Δy Δx ＝(x+△x)3+(x+△x)−x 3+x △x ＝3x 2＋3x·Δx ＋1＋(Δx)2，所以f′(x)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx→0[3x 2＋3x·Δx ＋1＋(Δx)2]＝3x 2＋1.(1)曲线C 在点(1,2)处切线的斜率为k ＝f′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C 在点(1,2)处的切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.(2)曲线C 在任意一点处切线的斜率为k ＝f′(x)＝tan α，所以tan α＝3x 2＋1≥1.又α∈[0，π)，所以α∈π4，【变式1-1】4.曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．【答案】－3【解析】∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2+△x)2+1−22−1△x＝lim Δx →0(4＋Δx )＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.◆类型2过点“P ”处的切线【解析】所以可设切点为(x 0，x 20)，因为f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0+△x)2−x 02△x ＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0，所以该切线的斜率为2x 0(x 0，x 20)，所以x 20－6x 0－52＝2x 0，即x 20－5x 0＋6＝0，解得x 0＝2或x 0＝3，因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)，即y ＝4x －4，y ＝6x －9.【变式1-2】1.已知曲线f (x )＝1x .(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．【解析】(1)lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝－1x 2.设过点A (1,0)的切线的切点为f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1,0)，P 0在切线上，所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)，即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以－3故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)，即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.【变式1-2】2.求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程．【解析】设切点为Q (a ，a 2＋1)，f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝(a ＋Δx )2＋1－(a 2＋1)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22)．【变式1-2】3.求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．【解析】设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则切线的斜率为k ＝lim Δx→0(x 0+△x)2+x 0+△x+1−(x 02+x 0+1)△x＝2x 0＋1.又k ＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.题型2求切点坐标4A ．(－1,2)B ．(1，－3)C ．(1,0)D ．(1,5)【答案】C【解析】设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1，所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1.把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x ，得y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．【变式2-1】1．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________．【答案】(3,30)【解析】令f (x )＝2x 2＋4x ，设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f(x 0+△x ）−f(x 0)△x＝lim Δx →02(x 0+△x)2+4(x 0+△x)−2(x 0)2−4x 0△x＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．【变式2-1】2．已知直线y ＝4x ＋a (a <0)和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，则切点坐标为________，实数a 的值为________．【答案】(2,3)－5【解析】设直线与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝lim Δx →0(x+△x)3−2(x+△x)2+3−x 3+2x 2−3△x＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为－23(2,3)．－23，4927＝a ，∴a ＝12127(舍去)．当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，因此切点坐标为(2,3)，a 的值为－5.【变式2-1】3．(多选)下列各点中，在曲线y ＝x 3－2x 上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是()A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)【答案】BC【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则0=|x x y'＝lim Δx →0(x 0+△x)3−2(x 0+△x)−x 3+2x 0△x＝3x 20－2＝tan π4＝1，所以x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝－1.当x 0＝－1时，y 0＝1.【变式2-1】4．在抛物线y ＝x 2上哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？【解析】y ′＝lim Δx →0(x+△x)2−x 2△x＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则0=|x x y'＝2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝x 20＝4，即P (2,4)，经检验，符合题意．设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0，则1=|x x y'＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18，所以y 1＝x 21＝164，即－18，经检验，符合题意．故抛物线y ＝x 2在点(2,4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0－18，4x －y ＋1＝0.【变式2-1】5．点P 在曲线f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．【解析】设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1，f ′(x 0)＝lim Δx →0＝(x 0+△x)2+1−x 02−1△x＝2x 0，所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1＝2x 0x ＋1－x 20，＝－2x 2－1，得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0，则Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，则y 0＝73，所以点P －233，【变式2-1】6.过曲线y ＝x 2上某点P 的切线满足下列条件，分别求出P 点．(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．【解析】f ′(x )＝lim Δx →0(x+△x)2−x 2△x＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P －32，足条件的点．(3)∵切线与x 轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P －12，【变式2-1】7.已知曲线f (x )＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线g (x )＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值．【解析】对于曲线f(x)＝x2－1，k1＝limΔx→0f(x0+△x)−f(x0)△x＝2x0.对于曲线g(x)＝1－x3，k2＝limΔx→0g(x0+△x)−g(x0)△x ＝limΔx→01−(x0+△x)3−1+x03△x＝－3x20.由题意得2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－23.经检验，均符合题意．题型3利用图象理解导数的几何意义【方法总结】导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f(x)在x＝x0附近切线的斜率k切线的倾斜角f′(x0)>0上升k>0锐角f′(x0)<0下降k<0钝角f′(x0)＝0k＝0零角(切线与x轴平行)A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在【答案】C【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．【变式3-1】1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是() A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D ．不能确定【答案】B【解析】由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.【变式3-1】2.已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)【答案】C 【解析】k AB ＝f(3)−f(2)3−2＝f (3)－f (2)，f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率，f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率，根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．【变式3-1】3.函数f (x )的图象如图所示，则下列结论正确的是()A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a )D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)【答案】B【解析】f ′(a )，f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ，x ＝a ＋1处的切线的斜率，由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0，而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ，f (a ))与(a ＋1，f (a ＋1))两点连线的斜率，且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．【变式3-1】4.已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“＜”“＝”或“＞”)．【答案】＞【解析】[f′(a)与f′(b)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，由图像可得f′(a)＞f′(b)．]题型4函数的单调性与导数的关系的图象可能是()【答案】A【解析】依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．【变式4-1】1.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()【答案】D【解析】由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.【变式4-1】2．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是()【答案】D【解析】由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．【变式4-1】3.如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()【答案】D【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高中数学人教A版选择性必修第二册
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
人教版数学选择性必修二5_2导数的概念与运算、导数的几何意义课件
′ − ′
2
′＝______________________(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f [g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的
y′u·u′x ， 即 y 对 x 的 导 数 等 于
导 数 间 的 关 系 为 y ′ x ＝ ________
求切线方程
[例2] (202X全国卷Ⅰ，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的
3x－y＝0
切线方程为________________．
解题技法
➢ 求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f ′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
0处的导数，记作f
即f
0 + − 0
lim
→0
′(x0)＝ lim
＝_____________________．
→0
′(x0)或y′|x=x0，
2．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上
切线的斜率
点P(x0，y0)处的____________．相应地，切线方程为
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
考点微练
1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点
A(1，3)，则2a＋b＝________.
1
2．(202X届河南郑州一中高考适应性考试)已知l为曲线y＝
+ln
在(1，a)处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
例 5 下图是人体血管中药物浓度 c f (t) （单位： mg / mL ）随时间 t（单位：min） 变化的函数图象，根据图象，估计 t 0.2 ，0.4，0.6，0.8 min 时，血管中药物浓度 的瞬时变化率（精确到 0.1）.
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬吋变化率，就是药物浓度 f (t) 在此时刻的导
从 f (x0 ) 变化到 f (x0 Δx) . 这时，x 的变化量为 Δx ，y 的变化量
为 Δy f (x0 Δx) f (x0 ) .
把比值
Δy Δx
Δy ，即 Δx
f (x0
Δx) Δx
f (x0 )
叫做函数 y
f (x)
从 x0 到
x0 x 的平均变化率.
如果当 Δx 0 时，平均变化率 Δy 无限趋近于一个确定的值， Δx
答案：D 解析：由题意，得 f (5) 5 5 0 ， f (5) 1.故选 D.
2.若函数 f (x) 在 x x0 处存在导数，则 lim f x0 h f x0 的值( )
h0
h
A.与 x0 ，h 都有关
B.与 x0 有关，与 h 无关
C.与 h 有关，与 x0 无关
D.与 x0 ，h 都无关
1.4
，所以
f
(0.8)
1.4
.
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
t
0.2
0.4
0.6
0.
药物浓度的瞬时变化率 f (t)
0.4
0
-0.7
-1
5.导函数的概念
从求函数 y f (x) 在 x x0 处导数的过程可以看到，当 x x0 时， f (x0 ) 是一个
唯一确定的数. 当 x 变化时， y f (x) 就是 x 的函数，称它为 y f (x) 的导函数
高二数学课件(人教A版选择性必修第二册)5.1.2导数的概念及其几何意义(2课时)
数 = ()在 = 0 附近的变化情况.那么导数 ’ (0 )的几何意义是什么？
l
思考1：观察函数 = ()的图象，平均变化率
∆
∆
=
(0 +∆)−(0 )
∆
∆
∆→0 ∆
’ (0 ) =
表示什么？瞬时变化率
(0 +∆)−(0 )
表示什么？
=
(0 +∆)−(0 )
叫做函数∆=新知探索源自如果当∆∆∆
→l 0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称
∆
∆
= ()在 = 0 处可导，并把这个确定的值叫做
= ()在 = 0 处的导数(也
l
称为瞬时变化率)，记作 ’ (0 )或 ’ |=0 ，即 ’ (0 )
瞬时变化率(精确到0.1).
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()在此时刻的导数，
从图象上看，它表示曲线()在此点处的切线的斜率.
例析
l
l
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此
时药物浓度瞬时变化率的近似值.
作 = 0.8处的切线，并在切线上取两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则该切线的
l
l
对原油进行冷却和加热.已知在 ℎ 第时，原油的温度(单位：
℃)为 = () = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8).计算第2 ℎ与第
6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
同理可得 ’ (6) = 5.
在第2 ℎ和第6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率分别为−3℃/ℎ和5℃/ℎ.说明在第
这样，当变化时， = ’ ()就是的函数，我们称它为 = ()的导函数
高二下学期数学人教A版选择性必修第二册5.1.2第二课时导数的几何意义课件
1．导数的概念
如果当Δx→0
时，平均变化率Δy无限趋近于一个确定的值，即Δy有极限，则称
Δx
Δx
y＝
f (x)在 x ＝ x0 处 _可_导__ ， 并 把 这个 _确__定_的__值__ 叫 做 y＝ f (x) 在 x＝ x0 处 的 导数 ( 也 称 为
_瞬__时_变__化_率___)，记作 f
′(x0)或__y_′|x_＝__x_0 _，即 f ′(x0)＝Δlixm→0
Δy
Δx ＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
问题2：导数f ′(x0)表示函数y＝f (x)在x＝x0处
的瞬时变化率，反应函数y＝f (x)在x＝x0附近的 变化情况.那么导数的几何意义是什么？
二、 新课讲授
5.1.2导数的概念及其几何意义(第二课时)
学科版本：人教A版202X新课标 教材版本：人教A版（202X） 教材章节：选择性必修第二册5.1.2 学段学科：高中数学 年级学期：高二上学期
一、 新课引入
引导语：
问题1：根据平均变化率的概念回顾导数的概念.
二、 新课讲授
[新知初探]
知识点一 导数的几何意义
四、 知识点二
知识点二 导函数的概念 1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们称
它为 y＝f(x)的导函数(简称导数)． lim fx＋Δx－fx
2．记法：f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝_Δ_x→__0______Δ_x_____.
五、 例题练习，巩固新知
求曲线的切线方程 [例 1] 已知曲线 C：y＝x2，求曲线 C 上的横坐标为 2 的 点处的切线方程．
已知曲线上一点 P(x0，f(x0))，求在该点处切线方程的三个 步骤
高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.2 导数的概念及其几何意义》课件
－2＋1 Δx＝－12，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x
＋2y＋4＝0.
[方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的 3 个步骤
2．过曲线外一点 P 求切线方程的 6 个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlitm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
[学透用活]
[典例 3] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [解] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等
于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δt→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝lim Δt→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlitm→0
知识点二 导数的几何意义
(一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝__Δlit_m→_0__—__ fx0＋Δx－fx0
————Δx———＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 y′＝lim Δt →0
x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1 Δx
＝3x2－2x，
则 y′| x＝x0＝3x20－2x0＝1，
解得 x0＝1 或 x0＝－13.
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义(2课时)
例 4 求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数．
5．1.2 导数的概念及其几何意义 (第2课时)
导数的几何意义
要点 1 导数的几何意义 f′(x0)是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的__切__线_斜__率___．相应的 切线方程为__y－__f_(x_0)_＝__f′(_x_0)_(x_－__x_0)______． 要点 2 导数的物理意义 指如果物体运动的规律是 s(t)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度 即为 v＝_s_′(_t)___．
求曲线在点 P(x0，y0)处的切线的方程，即给出了切点 P(x0， y0)的坐标，求切线方程的步骤：
①求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； ②根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝ f′(x0)(x－x0)；
③若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的导数存在且 f′(x0)>0，切线与 x 轴正向夹角为锐角；f′(x0)<0，切线与 x 轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与 x 轴平行．
【解析】 由例 3 可知，点 P(x0，y0)处的切线的斜率为 2x0. 因为切线与直线 2x－y＋5＝0 垂直，所以 2x0×2＝－1， 得 x0＝－14，y0＝9176，即切点为－14，9176.
题型四 求导函数
互动 3 探究“导函数值”“导函数”“导数”的区别与联 系．
【解析】 (1)f′(x0)是在 x＝x0 处函数值的改变量与自变量的改 变量之比的极限，是一个常数，不是变量．
2022年高中数学选择性必修第二册：导数的概念及其几何意义
Δx
.
第1讲 描第述五运动章的基一本次概函念数的导数及其应用
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
1.函数y=
1 x
从x=1到x=2的平均变化率为
1 2
.
(
✕
)
提示:平均变化率为
Δy Δx
=
1 -1
2 2-1
=-
1 2
,故结论错误.
2.函数y=x- 1 在x=1处的瞬时变化率为1. ( ✕ )
-2Δx)-f Δx
(x0
)
;
(2)
lim
h 0
f
(x0
h)-f h
(x0
-h)
.
思路点拨
根据导数的概念求解,利用已知与所求之间的关系进行合理转化,进而求出极限
值.
第1讲 描第述五运动章的基一本次概函念数的导数及其应用
解析
(1)原式= lim Δx 0
f (x0 -2Δx)-f (x0 ) - 1 (-2Δx)
2
=-2 lim f (x0 -2Δx)-f (x0 ) (Δx→0时,-2Δx→0)
-2Δx 0
-2Δx
=-2f'(x0).
(2)原式=lim f (x0 h)-f (x0 ) f (x0 )-f (x0 -h)
h 0
h
= lim h 0
f (x0 h)-f (x0 ) h
f (x0 )-f (x0 -h)
陷阱分析 利用导数的定义解题时,要注意增量Δx的形式是多种多样的,但不论 Δx是哪种形式,Δy必须是与之对应的形式.解题时容易因不能准确分析和把握给定 的极限式与导数定义的关系,盲目套用导数的定义导致解题错误,解决这类问题 的关键就是等价变形,使问题转化.
5.1.2 导数的概念及其几何意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？1．导数的概念如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|，即f ′(x0)＝＝ .思考：f ′(x0)＞0和f ′(x0)＜0反映了怎样的意义？[提示] f ′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f ′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势．2．导数的几何意义(1)导数的几何意义如图，割线P0P的斜率k＝.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y ＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f ′(x0)．(2)切线方程曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．3．导函数对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝ .思考： f ′(x0)与f ′(x)有什么区别？[提示] f ′(x0)是一个确定的数，而f ′(x)是一个函数．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)．( )(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．( )(3)f ′(x0)就是导函数y＝f ′(x)在x0处的函数值．( )(4)若f ′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在．( )[提示] (1)根据导数的几何意义知正确．(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．(3)根据导函数的定义知正确．(4)若f ′(x0)＝0说明曲线在x＝x0处切线平行于x轴，不能说不存在．[答案] (1)√(2)×(3)√(4)×2．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＝0C．f ′(x0)＜0 D．f ′(x0)不存在C [由题意可知，f ′(x0)＝－2＜0，故选C.]3．(教材P70习题T6改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，下列描述错误的是( )A．x＝－5处比x＝－2处变化快B．x＝－4处呈上升趋势C．x＝1和x＝2处增减趋势相反D．x＝0处呈上升趋势D [根据导数的几何意义：f ′(－5)＞0，f ′(－4)＞0，f ′(－2)＝0，f ′(0)＜0，f ′(1)f′(2)＜0，故D错误，故选D.]4．已知函数f (x)在x0处的导数为f ′(x0)＝1，则函数f (x)在x0处切线的倾斜角为________．45°[设切线的倾斜角为α，则tan α＝f ′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]5．若函数f (x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．x＋y－3＝0 [切线的斜率为k＝－1.∴点 A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]求函数在某点处的导数【例1】(1)若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则等于( ) A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．(1)B [∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h.∴＝2 ＝2f ′(x0)．故选B.](2)解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx，∴f′(1)＝＝ (6＋3Δx)＝6.利用导数定义求导数，保证使Δx→0时分母不为0.x0处的导数f ′x0x0有关，与Δx无关.[跟进训练]1．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f (x)＝＋＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．[解] 根据导数的定义，得f ′(100)＝＝＝＝＝＝＋＝0.105.f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.导数几何意义的应用【例2】(1)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x)的图象可能是( )A B C D(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )A B C D[思路探究] (1)切线斜率大于零，则f ′(x)＞0；切线斜率小于零，则f ′(x)＜0；(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大．(1)B (2)B [(1)由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)＜0，故B符合．(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.]导数几何意义理解中的两个关键关键点一：y＝f xx＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f′x0k ＜0⇔f′x0k＝0⇔f′x0关键点二：|f ′x0⇔在x0处瞬时变化越快；|f ′x0⇔在x0处瞬时变化越慢.[跟进训练]2．(1)已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )A．f ′(xA)＞f ′(xB)B．f ′(xA)＜f ′(xB)C．f ′(xA)＝f ′(xB)D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f ′(xA)＜f ′(xB)．(2)由题意，知k＝y′|x＝0＝＝1，∴a＝1.又点(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]求切[探究问题]1．如何求曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程？[提示] y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？[提示] 曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f (x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．[思路探究] (1)―→―→(2)―→―→―→[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．y′|x＝1＝＝＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|＝3x，由题意可知kPQ ＝y′|，即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－.①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y －2＝0.②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x －4y＋1＝0.1．(变条件)把题中条件“y＝x3”改成“y＝x2”，求曲线在x＝1点处的切线方程[解] 把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1.即切点P(1，1)，y′|x＝1＝＝＝(Δx＋2)＝2，∴k＝y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x2在P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.2．(变条件、变结论)求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．[解] 设切点为Q，k＝＝ (2a＋Δx)＝2a.∴在Q点处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a)．(*)把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．解的a＝1±.再把a＝1±代入到(*)式中．即得y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．这就是所求的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．1．函数f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)＝0并不能说明函数图象的上升与下降发生了转变，若函数在x＝x0左右的导数都大于0，或者都小于0，则函数图象的走势并没有发生转变．如函数f (x)＝x3在x＝0处的导数等于0，但f (x)＝x3的图象一直上升．2．求切线方程时，不仅要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解．(1)若“在”，则该点为切点．(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点．3．曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．1．下面说法正确的是( )A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]2．已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则＝( ) A． B．2 C．1 D．－1C [由题意可得：＝＝f ′(1)，即：＝×2＝1.故应选C.]3．设曲线f (x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )A．1 B． C．－ D．－1A [因为f ′(1)＝＝＝ (2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.]4．曲线f (x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．x＋2y＋4＝0 [f ′(－2)＝＝＝＝－，∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]5．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．[解] 设切点P(m，n)，切线斜率为k，由y′＝＝＝ (4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝m＝4m.由题意可知4m＝8，∴m＝2.代入y＝2x2－7得n＝1.故所求切点P为(2，1)．5.1.2 导数的概念及其几何意义巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？ 思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？1．导数的概念如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y ＝f (x)在x ＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x)在x ＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|，即f ′(x0)＝ ＝ .思考：f ′(x0)＞0和f ′(x0)＜0反映了怎样的意义？[提示] f ′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f ′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势． 2．导数的几何意义 (1)导数的几何意义如图，割线P0P 的斜率k ＝.记Δx＝x －x0，当点P 沿着曲线y ＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k 无限趋近于函数y ＝f (x)在x ＝x0处的导数，因此，函数y ＝f (x)在x ＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T 的斜率k0，即k0＝ ＝f ′(x0)．(2)切线方程曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．3．导函数对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝ .思考： f ′(x0)与f ′(x)有什么区别？[提示] f ′(x0)是一个确定的数，而f ′(x)是一个函数．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)．( )(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．( )(3)f ′(x0)就是导函数y＝f ′(x)在x0处的函数值．( )(4)若f ′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在．( )[提示] (1)根据导数的几何意义知正确．(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．(3)根据导函数的定义知正确．(4)若f ′(x0)＝0说明曲线在x＝x0处切线平行于x轴，不能说不存在．[答案] (1)√(2)×(3)√(4)×2．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＝0C．f ′(x0)＜0 D．f ′(x0)不存在C [由题意可知，f ′(x0)＝－2＜0，故选C.]3．(教材P70习题T6改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，下列描述错误的是( )A．x＝－5处比x＝－2处变化快B．x＝－4处呈上升趋势C．x＝1和x＝2处增减趋势相反D．x＝0处呈上升趋势D [根据导数的几何意义：f ′(－5)＞0，f ′(－4)＞0，f ′(－2)＝0，f ′(0)＜0，f ′(1)f′(2)＜0，故D错误，故选D.]4．已知函数f (x)在x0处的导数为f ′(x0)＝1，则函数f (x)在x0处切线的倾斜角为________．45°[设切线的倾斜角为α，则tan α＝f ′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]5．若函数f (x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．x＋y－3＝0 [切线的斜率为k＝－1.∴点 A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]求函数在某点处的导数【例1】(1)若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则等于( )A ．f ′(x0)B ．2f ′(x0)C ．－2f ′(x0)D ．0 (2)求函数y ＝3x2在x ＝1处的导数． (1)B [∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h. ∴ ＝2 ＝2f ′(x0)．故选B.](2)解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx， ∴f ′(1)＝ ＝ (6＋3Δx )＝6.利用导数定义求导数，保证使Δx→0时分母不为0.x0处的导数f ′x0x0有关，与Δx 无关.[跟进训练]1．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x)＝＋＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义． [解] 根据导数的定义，得 f ′(100)＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＋ ＝0.105.f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.导数几何意义的应用【例2】(1)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则其导函数y＝f ′(x)的图象可能是( )A B C D(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )A B C D[思路探究] (1)切线斜率大于零，则f ′(x)＞0；切线斜率小于零，则f ′(x)＜0；(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大．(1)B (2)B [(1)由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)＜0，故B符合．(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.]导数几何意义理解中的两个关键关键点一：y＝f xx＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f′x0k＜0⇔f′x0k＝0⇔f′x0关键点二：|f ′x0⇔在x0处瞬时变化越快；|f ′x0⇔在x0处瞬时变化越慢.[跟进训练]2．(1)已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )A．f ′(xA)＞f ′(xB)B．f ′(xA)＜f ′(xB)C．f ′(xA)＝f ′(xB)D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f ′(xA)＜f ′(xB)．(2)由题意，知k＝y′|x＝0＝＝1，∴a＝1.又点(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]求切线方程[探究问题]1．如何求曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程？[提示] y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？[提示] 曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f (x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．[思路探究] (1)―→―→(2)―→―→―→[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．y′|x＝1＝＝＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|＝3x，由题意可知kPQ＝y′|，即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－.①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0.1．(变条件)把题中条件“y＝x3”改成“y＝x2”，求曲线在x＝1点处的切线方程[解] 把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1.即切点P(1，1)，y′|x＝1＝＝＝(Δx＋2)＝2，∴k＝y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x2在P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.2．(变条件、变结论)求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．[解] 设切点为Q，k＝＝ (2a＋Δx)＝2a.∴在Q点处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a)．(*)把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．解的a＝1±.再把a＝1±代入到(*)式中．即得y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．这就是所求的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．1．函数f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)＝0并不能说明函数图象的上升与下降发生了转变，若函数在x＝x0左右的导数都大于0，或者都小于0，则函数图象的走势并没有发生转变．如函数f (x)＝x3在x＝0处的导数等于0，但f (x)＝x3的图象一直上升．2．求切线方程时，不仅要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解．(1)若“在”，则该点为切点．(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点．3．曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．1．下面说法正确的是( )A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]2．已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则＝( )A． B．2 C．1 D．－1C [由题意可得：＝＝f ′(1)，即：＝×2＝1.故应选C.]3．设曲线f (x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )A．1 B． C．－ D．－1A [因为f ′(1)＝＝＝ (2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.]4．曲线f (x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．x＋2y＋4＝0 [f ′(－2)＝＝＝＝－，∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]5．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．[解] 设切点P(m，n)，切线斜率为k，由y′＝＝＝ (4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝m＝4m.由题意可知4m＝8，∴m＝2.代入y＝2x2－7得n＝1.故所求切点P为(2，1)．。
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5.1.2 导数的概念及其几何意义课标解读课标要求素养要求1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达;⒉.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 1.数学抽象——能通过瞬时变化率了解导数的概念;2.直观想象——能根据图形和导数的几何意义求切线斜率.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一 平均变化率对于函数y =f(x) ,设自变量x 从x 0 变化到x 0+Δx ,相应地,函数值y 就从f(x 0) 变化到f(x 0+Δx) .这时,x 的变化量为Δx ,y 的变化量为① Δy =f(x 0+Δx)−f(x 0) .我们把比值ΔyΔx ，即ΔyΔx =f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx叫做函数y =f(x) 从x 0 到x 0+Δx 的平均变化率.要点二 导数的概念与表示如果当Δx →0 时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个 确定的值 ,即ΔyΔx有极限,则称y =f(x) 在 x =x 0 处的②导数(也称为瞬时变化率),记作③ f ′(x 0) 或y ′|x=x 0 ，即f ′(x 0)=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx.要点三 切线如图,在曲线y =f(x) 上任取一点P(x,f(x)) ,如果当点P(x,f(x)) 沿着曲线y =f(x) 无限趋近于点P 0(x 0,f(x 0)) 时,割线P 0P 无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P 0T 称为曲线y =f(x) 在点P 0 处的④ 切线 .自主思考1.自变量的变化量Δx 能否为0?答案：提示由平均变化率的定义可知,|Δx|可以很小,但是Δx≠0.2.已知函数y=2x2,当x=a,Δx→0时，ΔyΔx无限趋近于多少?答案：提示当x=a时，ΔyΔx =2(a+Δx)2−2a2Δx=2(Δx)2+4aΔxΔx=2Δx+4a∵Δx→0,∴ΔyΔx无限趋近于4a名师点睛1.关于导数的概念的理解基于瞬时速度与切线斜率的计算公式具有共同点,即瞬时速度是平均速度的极限,切线斜率是割线斜率的极限,所以导数概念是瞬时速度与切线斜率的数学抽象与概括,表示为f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.2.导数的物理意义与几何意义（1）导数的物理意义就是位移时间函数s=s(t)在t=t0时刻的瞬时速度,同理也是速度时间函数v=v(t)在t=t0时刻的瞬时加速度.（2）导数的几何意义就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率.割线斜率k(P0(x0,f(x0)),P(x0+Δx,f(x0+Δx))切线斜率k0（切点P0(x0,f(x0))）k=ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δxk0=f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx3.导数定义公式的两种等价形式导数的定义公式为f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx若令x=x0+Δx,得Δx=x−x0,于是f′(x0)=lim x→x0f(x)−f(x0)x−x0互动探究·关键能力探究点一变化率与导数的概念精讲精练例1已知函数f(x)=2x+3,则f(−1)=1，的值为( )A.1B.2C.3D.-3答案：C解析：因为f(x)=2x+3,所以f(−1)=1,f′(−1)=limΔx→0f(−1+Δx)−f(−1)Δx=limΔx→02(−1+Δx)+3−1Δx=limΔx→02=2,所以f(−1)+f′(−1)=3.例2 （多选）下列关于函数f(x)=x2的变化率的叙述正确的是( )A.f(x)在[1,2]的平均变化率为1B.f(x)在x=1处的导数为2C.f(x)在x=1处的瞬时变化率为1D.f(x)在[x1,x2]的平均变化率为x1+x2答案：B; D解析：因为函数y=f(x)在[x1,x2]的平均变化率为ΔyΔx =y2−y1x2−x1=x22−x1x2−x1=x1+x2所以函数f(x)=x2在[1,2]的平均变化率为1+2=3,故A错误,D正确;函数f(x)在x=1处的瞬时变化率即f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=limΔx→0(2+Δx)=2，故B正确，C错误，故选BD解题感悟导数是瞬时速度与切线斜率的数学抽象,其本质是极限思想.解决导数问题运用了由“平均变化率"逼近“瞬时变化率”的思想方法.迁移应用1.（2020辽宁省实验中学高二质检）函数y=1x在x=1到x=3之间的平均变化率为( )A.23B.−23C.−13D.13答案：C解析：当x=1时,y=11=1;当x=3时,y=13,所以函数y=1x在x=1到x=3之间的平均变化率为ΔyΔx =13−13−1=−13.故选C.2.(★)（山东菏泽一中高二质检）已知曲线y=13x3+1上一点A(1,43),则点A处的切线斜率等于,切线方程为. 答案：1 ; 3x−3y+1=0解析：由Δy=13(1+Δx)3−13×13=13[1+3Δx+3(Δx)2+(Δx)3]−13=Δx+(Δx)2+13(Δx)3,得ΔyΔx =1+Δx+13(Δx)2,则limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0[1+Δx+13(Δx)2]=1,切线方程为y−43=x−1,即3x−3y+1=探究点二求函数在某点处的导数精讲精练例求y=2x2+4x在x=3处的导数.答案：∵Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)−(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,∴ΔyΔx=2Δx+16,即y′|x=3=16.变式求f(x)=2x2+4x在x=x0处的导数,并解方程f′(x0)=0.答案：∵Δy=2(x0+Δx)2+4(x0+Δx)−(2x02+4x0)=2(2x0+Δx)Δx+4Δx, ΔyΔx=2(2x0+Δx)+4,∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0[2(2x0+Δx)+4]=4x0+4，即f′(x0)=4x0+4由f′(x0)=0,得x0=−1.解题感悟计算函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有下列三个步骤:（1）先计算函数值的增量：Δy=f(x0+Δx)−f(x0)（2）再计算函数的平均变化率：ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δx（3）最后计算极限：f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx迁移应用1.求函数y=x2+1在x=−3处的导数．答案：∵Δy=(−3+Δx)2+1−[(−3)2+1]=(Δx)2−6Δx，ΔyΔx=Δx−6，∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(Δx−6)=−6，∴y′|x=−3=−6.探究点三导数的几何意义与应用精讲精练类型1 求函数的图象在某点处的切线斜率与切线方程例1 函数y=x2+x的图象在点P(1,2)处的切线斜率为,切线方程为.答案：3; 3x−y−1=0解析：解法一：根据导数的几何意义,曲线y=x2+x在点P(1,2)处的切线斜率k=y′|x=1=limΔx→0(1+Δx)2+(1+Δx)−2Δx=limΔx→0(3+Δx)=3所以切线方程为y−2=3(x−1),即3x−y−1=0.解法二：设曲线y=x2+x在点P(1,2)处的切线斜率为k,则切线方程为y−2=k(x−1),即y=kx+2−k,将其代入y=x2+x,整理得x2+(1−k)x+k−2=0,依题意,Δ=(1−k)2−4(k−2)=(k−3)2=0,解得k=3,所以切线方程为y−2=3(x−1),即3x−y−1=0.变式若本例函数不变,如何求此抛物线在顶点处的切线方程？过此抛物线顶点的切线有什么特点？答案：函数y=x2+x的图象是抛物线,顶点坐标为(−12,−14),解法一：函数y=x2+x的图象在顶点(−12,−14)处的切线斜率k=y′|x=−12=limΔx→0(−12+Δx)2+(−12+Δx)−(−14)Δx=limΔx→0(Δx)=0，所以抛物线在顶点处的切线方程为y=−14.过此抛物线顶点的切线是水平的直线.解法二：结合图象(图略)可知,抛物线在顶点处的切线是水平的直线,切线方程为y=−14.解题感悟导数的几何意义及其应用1.曲线的切线与曲线至少有一个公共点,其中必有一个公共点是切点,所以曲线必过切点,切线必过切点,斜率等于切点处的导数值.2.若曲线的切线方程与曲线方程联立所得的方程组可以化为一元二次方程,则可以运用一元二次方程的根的判别式等于0求切线斜率.类型2 求函数的图象过某点的切线斜率与切线方程例2 已知函数y=x3−x的图象为曲线C.（1）求曲线C在点(1,0)处的切线方程;（2）求曲线C过点(1,0)的切线方程.答案：（1）函数y=x3−x的图象在点(1,0)处的切线斜率为k=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(1+Δx)3−(1+Δx)−0Δx=limΔx→0(1+Δx)[2Δx+(Δx)2]Δx=limΔx→0(1+Δx)(2+Δx)=2,所以曲线C在点(1,0)处的切线方程为y=2x−2.（2）设函数y=x3−x图象上切点的坐标为P(x0,x03−x0),则切线斜率为k=limΔx→0[(x0+Δx)3−(x0+Δx)]−(x03−x0)Δx=limΔx→0Δx[3x02+3x0⋅Δx+(Δx)2]−ΔxΔx=limΔx→0[3x02+3x0⋅Δx+(Δx)2−1]=3x02−1.所以切线方程为y−(x03−x0)=(3x02−1)(x−x0),由于切线经过点(1,0),所以0−(x03−x0)=(3x02−1)(1−x0)，整理得2x03−3x02+1=0,即2(x03−1)−3(x02−1)=0,所以2(x0−1)(x02+x0+1)−3(x0+1)(x0−1)=0,所以(x0−1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=−12.所以P(1,0)或P(−12,38),所以切线方程为y=2x−2或y=−14x+14.解题感悟过点P(x1,y1)求曲线的切线方程步骤：（1）设切点坐标为Q(x0,y0);（2）求出函数y=f(x)在x=x0。
处的导数f′(x0);（3）利用Q在曲线上和f′(x0)=k PQ,解出x0,y0及f′(x0);（4）根据直线的点斜式方程,得切线方程为y−y0=f′(x0)(x−x0). 迁移应用1.求曲线y=x2上的哪一点的切线分别满足：（1）平行于直线y=4x−5;（2）垂直于直线2x −6y +5=0 ; （3）倾斜角为135∘ ． 答案： （1）f ′(x)=lim Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim Δx→0(x+Δx)2−x 2Δx=2x设P(x 0,y 0) 是满足条件的点．因为切线与直线y =4x −5 平行,所以2x 0=4 ,得x 0=2,y 0=4 ,即P(2,4) ． （2）因为切线与直线2x −6y +5=0 垂直,所以2x 0⋅13=−1 ,解得x 0=−32,y 0=94, 即P(−32,94) .（3）因为切线与x 轴成135∘ 的倾斜角,故其斜率为-1,即2x 0=−1 ,解得x 0=−12,y 0=14, 即P(−12,14) .2.求过曲线y =13x 3 上的点P(2,83) 的切线方程.答案：曲线y =13x 3 在x =x 0 处的切线斜率为 k =lim Δx→013(x 0+Δx)3−13x 03Δx=lim Δx→013[3x 02+3x 0⋅Δx +(Δx)2]=x 02若点P(2,83) 为切点,则切线的斜率为k =22=4 , 所以切线方程为y −83=4(x −2) ,即12x −3y −16=0 ;若点P(2,83) 不是切点,则设切点为Q(x 0,13x 03), 由上述可知切线方程为y −13x 03=x 02(x −x 0) ,由于该切线过点P(2,83) ，所以83−13x 03=x 02(2−x 0)整理得x 03−3x 02+4=0, 所以(x 0−2)2(x 0+1)=0 ，解得x 0=−1 或x 0=2 （舍去）,故切线方程为3x −3y +2=0 .综上所述,所求切线方程为12x −3y −16=0 或3x −3y +2=0 .评价检测·素养提升课堂检测1.函数f(x)=3x +2 在x =1 处的导数为( ) A.0B.2C.3D.5 答案： C2.设函数f(x) 在x =1 处的导数为2,则lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx= ( )A.23 B.6C.13 D.12答案： A3.（★）已知函数y =f(x) 的图象在x =3 处的切线方程为3x +y −15=0 ,则f(3)−f ′(3)= . 答案： 9解析： 由于函数y =f(x) 的图象在x =3 处的切线方程为3x +y −15=0 ,所以切线斜率k =f ′(3)=−3 ,切点坐标为(3,6),则f(3)−f ′(3)=6−(−3)=9 4.已知函数f(x)=2x +5 ,求f ′(−3) .答案： 解法一：∵Δy =[2(x +Δx)+5]−(2x +5)=2Δx , ∴Δy Δx=2 ,∴f ′(x)=lim Δx→0ΔyΔx =2 ,即f ′(−3)=2解法二：因为函数f(x)=2x +5 的图象是斜率为2的直线,该直线上每一个点处的切线都是这条直线,所以f ′(−3)=2 .素养演练直观想象——利用数形结合法计算三角形的面积1.求曲线y =1x 和y =x 2 在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解析：审：已知曲线y =1x和y =x 2 有交点,在交点处的切线与x 轴围成三角形,求该三角形的面积.联：将曲线方程联立得方程组求交点坐标,利用导数定义求切线斜率和切线方程,也可以运用判别式法求切线斜率,确定切线与x 轴围成的三角形的顶点坐标再求面积. 答案：解法一：联立两曲线方程{y =1x ,y =x 2,解得{x =1,y =1,即交点坐标为(1,1)．曲线y =1x在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x=1=① lim Δx→011+Δx−1Δx=lim Δx→0−11+Δx=−1所以曲线y =1x 在点(1,1)处的切线方程为y −1=−(x −1) ,即y =−x +2 . 同理,曲线y =x 2 在点(1,1)处的切线斜率为 y ′|x=1=lim Δx→0(1+Δx)2−12Δx=lim Δx→02Δx+(Δx)2Δx=lim Δx→0(2+Δx)=2 .所以曲线y =x 2 在点(1,1)处的切线方程为y −1=2(x −1) ,即y =2x −1 . 两条切线与x 轴所围成的图形如图所示（阴影部分）,所以所求三角形的面积S=12×1×(2−12)=34.解法二：联立两曲线方程{y=1x,y=x2,解得{x=1,y=1,即交点坐标为(1,1)．设曲线y=1x在点(1,1)处的切线斜率为k,切线方程为②y−1=k(x−1),即y=kx+ 1−k,代入y=1x ,得1x=kx+1−k,整理得kx2+(1−k)x−1=0,依题意,得Δ=(1−k)2+4k=(1+k)2=0,解得k=−1,所以曲线y=1x在点(1,1)处的切线方程为y=−x+2.同理,曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为③ 2 ,所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y−1=2(x−1),即y=2x−1.两条切线y=−x+2和y=2x−1与x轴所围成的图形如图所示（阴影部分),所以所求三角形的面积S=12×1×(2−12)=34.思：已知切点求曲线的切线方程的方法：（1）如果切线方程与曲线方程联立所得的方程组可以转化为一元二次方程,那么可以由根的判别式等于零求切线斜率.否则,就利用导数的几何意义计算导数求得斜率.（2）解题时要灵活运用函数图象或几何图形进行计算.迁移应用1.（2021山东枣庄高二质检）已知函数f(x)=x2−2x+1的图象为抛物线C,点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为C上两个不同的点,以P为切点的切线为l1,l1的倾斜角为45∘,以Q为切点的切线为l2,l1与l2的交点为M.（1）求点P的坐标与直线l1的方程;（2）若f(x1)=f(x2),求直线l2的方程与△PQM的面积.答案：（1）依题意,切线l1的斜率为k=tan 45∘=1,所以函数f(x)=(x−1)2在x=x1处的导数为1,得f′(x1)=limΔx→0(x1+Δx−1)2−(x1−1)2Δx=limΔx→0(2x1+Δx−2)=2x1−2=1解得x1=32,则f(x1)=14,所以点P的坐标为(32,14),直线l1的方程为y−14=x−32,即y=x−54.（2）因为f(x1)=f(x2),所以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))两点关于直线x=1对称,所以Q(12,14),如图,抛物线C：f(x)=(x−1)2在点Q(12,14)处的切线斜率为f′(12)=2×12−2=−1,所以切线l2的方程为y−14=−(x−12),即y=−x+34显然,切线l1与切线l2互相垂直,△PQM为等腰直角三角形,∠PMQ=90∘,|PQ|=1,所以△PQM的面积为12×1×12=14.课时评价作业基础达标练1.已知函数f(x)=−x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为( )A.3B.0.29C.2.09D.2.9答案：D2.若一质点按位移时间方程s=3+2t做直线运动,则在t=3 s时的瞬时速度是( )A.1 m/sB.2 m/sC.3 m/sD.4 m/s答案：B3.已知函数f(x)=x2+4x,则f(x)在x=−1处的导数为( )A.1B.2C.3D.4答案：B4.如图,函数f(x)的图象在点P(1,2)处的切线为直线l,且直线l经过原点,则f(1)+f′(1)的值为( )A.1B.2C.3D.4答案：D5.设函数f(x)的导数为f′(x),则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=( )A.f′(1)B.2f′(1)C.12f′(1)D.−12f′(1)答案：C6.已知y=√x+4,则y′=( )A.√x+4B.2√x+4C.√x+4D.2√x+4答案：D解析：Δy=√x+Δx+4−√x+4,Δy Δx =√x+Δx+4−√x+4Δx,limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0√x+Δx+4−√x+4Δx=lim√x+Δx+4+√x+4=2√x+4,∴y′=2√x+4.7.（多选）已知函数y=f(x)=3x2−1的图象上一点(1,1)及该点的邻近一点(1+Δx,1+Δy),函数f(x)在x=1处的瞬时变化率记为f′(1),则下列结论正确的是( )A.ΔyΔx =2+Δx B.ΔyΔx=3(2+Δx)C.f′(1)=2D.f′(1)=6答案：B; D解析：ΔyΔx =3(1+Δx)2−1−2Δx=3(2+Δx),f′(1)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(6+3Δx)=68.（多选）下列关于导数f′(3)的表示正确的是( )A.f′(3)=lim x→3f(x)−f(3)x−3B.f′(3)=limΔx→3f(3)−f(x)x−3C.f′(3)=limΔx→0f(3+Δx)+f(3)ΔxD.f′(3)=limΔx→0f(3+Δx)−f(3)Δx答案：A; D解析：f′(3)表示函数f(x)在x=3处的瞬时变化率,即f′(3)=limΔx→0f(3+Δx)−f(3)Δx,令x=3+Δx,得Δx=x−3,由Δx→0,得x→3,于是f′(3)=limΔx→0f(3+Δx)−f(3)Δx=lim x→3f(x)−f(3)x−3,故选AD9.（多选）（2020山东济南一中高二期末）过点(2,0)作曲线f(x)=x3的切线l,则直线l的方程可能为( )A.y=0B.x=0C.12x−y−24=0D.27x−y−54=0答案：A; D解析：∵f(x)=x3,∴f′(x)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔx→0[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2设切点坐标为(x0,x03),则k=f′(x0)=3x02,∴k=f′(x0)=3x02=x03−0x0−2,解得x0=0或x0=3,当x0=0时,切线方程为y=0;当x0=3时,切点为(3,27),斜率k=27,故切线方程为y−27=27(x−3),即27x−y−54=0.故选AD.10.设函数f(x)=ax+2,若f′(1)=3,则a=.答案：311.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+8,则f(5)+f′(5)=.答案： 2解析：由函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=−x+8,得切线斜率k= f′(5)=−1,又由切点P既在函数y=f(x)的图象上又在切线上,得f(5)=3,则f(5)+ f′(5)=3−1=2.12.若f(x)=x3,f′(x0)=3,则x0的值为,若满足f′(x)=x0,则x的值为 .答案：±1; ±√33解析：∵f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx =limΔx→0(x0+Δx)3−x03Δx=limΔx→0[(Δx)2+3x0Δx+3x02]=3x02=3,∴x 0=±1 .由f ′(x)=3x 2=x 0, 显然x 0=1, 得x 2=13, 所以x =±√33.素养提升练13.函数y =x 2+x 在x =1 到x =1+Δx 之间的平均变化率为( ) A.Δx +2 B.Δx +3C.2Δx +(Δx)2D.3Δx +(Δx)2 答案： B解析：Δy =(1+Δx)2+(1+Δx)−12−1=(Δx)2+3Δx ,所以ΔyΔx =(Δx)2+3ΔxΔx=Δx +3 .14.已知函数f(x)=2x 2+1 ,则f(−1)−f ′(−1) 的值为( ) A.0B.3 C.-6D.7 答案： D解析：因为f(x)=2x 2+1 ,所以f(−1)=3 ,f ′(−1)=lim Δx→0f(−1+Δx)−f(−1)Δx=lim Δx→02(−1+Δx)2+1−3Δx=lim Δx→0(−4+2Δx)=−4所以f(−1)−f ′(−1)=3−(−4)=7 .15.（2021山东日照一中高二质检）如图,函数f(x) 的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f ′(3)= ,lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx= .答案：1; -2解析： 由导数的概念和几何意义知,f ′(3)=k BC =4−06−2=1 ,lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f ′(1)=k AB =0−42−0=−2 .16.设函数f(x)=1x ,求lim x→af(x)−f(a)x−a.答案： 解法一：令x −a =Δx ,则x =a +Δx ,所以lim x→a f(x)−f(a)x−a=lim Δx→0f(a+Δx)−f(a)Δx=limΔx→01a+Δx−1aΔx=limΔx→0−1a(a+Δx)=−1a2.解法二：lim x→a f(x)−f(a)x−a =lim x→a1x−1ax−a=lim x→a(−1xa )=−1a2.17.求曲线y=x2+x过点P(1,1)的切线方程.答案：解法一：设曲线y=x2+x过点P(1,1)的切线的斜率为k,则切线方程为y−1=k(x−1),即y=kx+1−k,代入y=x2+x,整理得x2+(1−k)x+k−1=0,依题意,Δ=(1−k)2−4(k−1)=(k−1)(k−5)=0,解得k=1或k=5,所以切线方程为y=x或y=5x−4.解法二：由于曲线y=x2+x不过点P(1,1),所以设切点坐标为(x0,x02+x0),根据导数的几何意义,曲线y=x2+x在x=x0处的切线斜率k=y′|x=x=limΔx→0(x0+Δx)2+(x0+Δx)−(x02+x0)Δx=limΔ→0(2x0+1+Δx)=2x0+1所以切线方程为y−(x02+x0)=(2x0+1)(x−x0),将点(1,1)代入,整理得x02−2x0=0,解得x0=0或x0=2,所以切线斜率k=1或k=5,所以切线方程为y=x或y=5x−4.创新拓展练18.（2021山东济宁一中高二质检）已知函数f(x)=ax−bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0.（1）求函数f(x)的解析式;（2）求证:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值.解析：命题分析本题重点考查导数的概念与几何意义.与切线有关的参数问题以及切线与直线围成的图形的周长或面积的综合问题,能够全面考查逻辑推理和数学运算的素养.答题要领（1）利用导数的意义求切线的斜率,根据切点在曲线和切线上求参数的值. （2）设切点的坐标,表示曲线的切线方程,由直线方程与切线方程求三角形的顶点坐标,再计算三角形的面积,得出结论.答案：（1）依题意,切线斜率为f′(2)=74,f(2)=12.由导数的几何意义,得f′(2)=limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx=limΔx→0[a(2+Δx)−b2+Δx]−(2a−b2)Δx=limΔx→04a+2a⋅Δx+b4+2⋅Δx =a+b4.依题意,得a+b4=74,又f(2)=12=2a−b2,解得b=3,a=1,所以f(x)=x−3x.（2）证明：设曲线y=f(x)=x−3x上任意一点坐标为(x0,f(x0)),由导数的几何意义,得f′(x0)=limΔx→0(x0+Δx)−3x0+Δx−(x0−3x0)Δx=limΔx→0x02+x0⋅Δx+3x02+x0⋅Δx=1+3x02，所以曲线的切线方程为y−(x0−3x0)=(1+3x02)(x−x0),令x=0,则y=−6x0,令y=x,则x=y=2x0,所以所围成的三角形的顶点坐标分别为O(0,0),A(2x0,2x0),B(0,−6x0),S△OAB=12×|2x0|×|−6x0|=6,所以曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值6.方法感悟1.由导数的定义和几何意义可以解决曲线的切线斜率和切线方程问题,注意切点是曲线的切线和曲线的公共点,这是确定参数的值不可缺少的条件.2.定值问题的本质是运算后抵消或约分变量得到常量的解题过程.。