求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
特征值的快速求解技巧论文
特征值的快速求解技巧论文特征值问题是线性代数中一个重要的问题，涉及到矩阵的特征值和特征向量的求解。
求解特征值问题对于很多应用领域来说都是必不可少的，比如在机器学习、信号处理和图像处理中。
由于特征值问题的复杂性，研究人员一直在寻找快速求解特征值的方法。
本文将介绍一些特征值问题的快速求解技巧。
一、QR方法QR方法是一种常用的求解特征值问题的数值算法，它的基本思想是通过QR分解将一个矩阵转化为上三角矩阵，从而求解特征值。
QR方法可以分为隐式QR方法和显式QR方法。
隐式QR方法是通过不断迭代的方式求解特征值，在每次迭代中都会进行QR分解。
显式QR方法是直接计算出QR分解的结果，然后通过计算得到特征值。
二、幂方法幂方法是一种迭代法，主要用于求解矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。
它的基本思想是选择一个初始向量，通过不断迭代矩阵的幂次，最终得到矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂方法是一种简单而有效的求解特征值的方法，但它只能求解最大特征值及其对应的特征向量。
三、反迭代方法反迭代方法是对幂方法的改进，主要用于求解矩阵的特征值和特征向量。
它的基本思想是通过对幂方法的迭代结果应用逆迭代进行修正，从而得到更精确的特征值和特征向量。
反迭代方法通常比幂方法收敛更快，并且可以求解非对称矩阵的特征值和特征向量。
四、雅可比方法雅可比方法是一种常用的求解对称矩阵特征值的方法，它的基本思想是通过不断迭代地将矩阵中的非对角元素置为0，从而得到对称三对角矩阵。
然后，通过QR分解求解对称三对角矩阵的特征值，最终得到原矩阵的特征值。
雅可比方法可以保证得到的特征值是精确的，但是它的计算复杂度比较高，不适用于大规模矩阵的特征值求解。
五、奇异值分解方法奇异值分解方法是一种数值稳定的特征值求解方法，它可以求解任意矩阵的特征值和特征向量。
奇异值分解方法的基本思想是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，其对角线上的元素即为矩阵的奇异值，另外两个矩阵分别是特征向量矩阵和其转置。
数学实验“对称三对角矩阵特征值的二分法”实验报告(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901 学号0912020107 姓名李亚强实验课题对称三对角矩阵特征值的二分法实验目的熟悉对称三对角矩阵特征值的二分法运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中实验要求一种语言完成实验内容对称三对角矩阵特征值的二分法成绩教师实验十四实验报告一、实验名称：对称三对角矩阵特征值的二分法。
二、实验目的：熟悉对称三对角矩阵特征值的二分法。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验内容：%对称三对角矩阵特征值的二分法program ex0001integer nreal x1,x2,x,f1,f2,fx,epsreal,allocatable::d(,e(write(*,*) "Please enter n:"read(*,*) nallocate(d(n),e(n-1))eps=1.0E-6fx=1.0do j=1,nd(j)=-2end dodo j=1,n-1e(j)=1end do!write(*,*) "Please enter array d and e:"!read(*,*) d,ea1=d(1)-e(1)a2=d(1)-2*e(1)a3=d(1)+e(1)a4=d(1)+2*e(2)y1=min(a1,a2)y2=max(a4,a3)y=(y2-y1)/nx1=y1x2=y1+ywrite(*,*)"矩阵的特征值为:" do m=1,ntemp=x210 if(abs(fx)>eps) thenx=(x1+x2)/2f1=MValue(x1,n,d,e)f2=MValue(x2,n,d,e)fx=MValue(x,n,d,e)if (fx*f1>0) thenx1=xelsex2=xend ifgo to 10end ifprint*,"--------------------"write(*,*) xx1=tempx2=temp+yz=(x1+x2)/2fx=MValue(z,n,d,e)end doprint*,"--------------------" containsreal function mValue(x,n,d,e) Integer n,ireal xreal d(n),e(n-1),s(n)S(1)=x-d(1)S(2)=(x-d(1))*(x-d(2))-e(1)**2Do i=3,nS(i)=(x-d(i))*s(i-1)-e(i-1)**2*s(i-2) End domValue=s(n)returnEnd function mValueend。
三阶对称矩阵求特征值 例题
三阶对称矩阵求特征值例题下面是一个求解三阶对称矩阵的特征值的例题：例题：已知对称矩阵A = [1 2 3][2 4 5][3 5 6]求矩阵A的特征值和特征向量。
解答：首先，我们需要求解特征值。
设A的特征值为λ，特征向量为x。
根据特征值的定义，有Ax = λx。
根据矩阵乘法的定义，我们可以将上式改写为 (A - λI)x = 0，其中I是单位矩阵。
解这个齐次线性方程组可以得到特征向量。
对于一个3阶矩阵，我们需要求解一个3阶的特征多项式来得到特征值。
特征多项式的形式为 det(A - λI) = 0，即行列式等于零。
对于矩阵A，我们可以写出它的特征多项式：det(A - λI) = det([1-λ 2 3][2 4-λ 5][3 5 6-λ])根据行列式的计算，我们可以将其展开为λ的三次方程式，即：(1-λ)((4-λ)(6-λ)-(5)(5)) - (2)((2)(6-λ)-(5)(3)) + (3)((2)(5)-(4-λ)(3))= 0化简上式，我们得到特征多项式为：λ^3 - 11λ^2 + 21λ - 9 = 0由此可得特征方程的根，即特征值λ为1，2，3。
接下来，我们需要求解每个特征值对应的特征向量。
对于每一个特征值，我们将其代入方程(A - λI)x = 0，并解这个齐次线性方程组。
1. 对于特征值λ=1，我们有方程组(A - λI)x = (0 0 0)：[1-1 2 3] [x₁] [0][2 4-1 5] [x₂] = [0][3 5 6-1][x₃] [0]化简方程组，我们得到：[0 2 3] [x₁] [0][3 5 5] [x₃] [0]通过高斯消元法或其他方法，我们可以解得x₁= 1，x₂= -1，x₃ = 1。
所以，当λ=1时，特征向量x = [1 -1 1]。
2. 对于特征值λ=2，我们有方程组(A - λI)x = (0 0 0)：[1-2 2 3] [x₁] [0][2 4-2 5] [x₂] = [0][3 5 6-2][x₃] [0]化简方程组，我们得到：[-1 2 3] [x₁] [0][2 2 5] [x₂] = [0][3 5 4] [x₃] [0]通过高斯消元法或其他方法，我们可以解得x₁= 1，x₂= -3，x₃ = 2。
HouseholderQR法求实对称矩阵特征值和特
Householder QR法求实对称矩阵特征值和特Householder+QR法求实对称矩阵特征值和特征向量(C程序代码)2010-12-01 10：29嗯，上一个雅可比法求n xn实对称矩阵的特征值和特征向量，是很有限制的。
虽然这个方法可靠，精度好，但是对于高于十几阶的矩阵，它就显得力不从心了，因为收敛速度比较慢。
所以对于高阶的实对称阵的特征值和特征向量的求解，目前用得比较多的还是先Householder法把对称阵变成"三对角阵"，再用QR法求取特征值。
因为赶工的原因，这两个程序我没有亲自动手写(众：怎么每次都这么多理由捏)。
这里就顺便推荐一本书：《常用算法程序集(C语言描述)》，清华大学出版社出版。
这本书的内容比较广，虽然原理上讲得不详细，但是对于赶工的程序员来说那是一条不错的捷径。
有点可惜的是此书的代码写得比较凌乱，可读性极其糟糕，有空的话(又要等"有空")某U很想把里面的代码再改写封装一下…因为实在是太实用了…为了表示对作者的尊敬，这里贴出来的代码除了函数名之外，对内容就不作修改了。
#include stdlib.h#include math.h typedef double mydouble；int qr(int n,mydouble*b,mydouble*c,mydouble*q,mydouble eps,int l){int i,j,k,m,it,u,v；mydouble d,f,h,g,p,r,e,s；c[n-1]=0.0；d=0.0；f=0.0；for(j=0；j=n-1；j++){it=0；h=eps*(fabs(b[j])+fabs(c[j]))；if(h d)d=h；m=j；while((m=n-1)&&(fabs(c[m])d))m++；if(m！=j){do{if(it==l)return 1；it=it+1；g=b[j]；p=(b[j+1]-g)/(2.0*c[j])；r=sqrt(p*p+1.0)；if(p=0.0)b[j]=c[j]/(p+r)；else b[j]=c[j]/(p-r)；h=g-b[j]；for(i=j+1；i=n-1；i++)b[i]=b[i]-h；f=f+h；p=b[m]；e=1.0；s=0.0；for(i=m-1；i=j；i--){g=e*c[i]；h=e*p；if(fabs(p)=fabs(c[i])){e=c[i]/p；r=sqrt(e*e+1.0)；c[i+1]=s*p*r；s=e/r；e=1.0/r；}else{e=p/c[i]；r=sqrt(e*e+1.0)；c[i+1]=s*c[i]*r；s=1.0/r；e=e/r；}p=e*b[i]-s*g；b[i+1]=h+s*(e*g+s*b[i])；for(k=0；k=n-1；k++){u=k*n+i+1；v=u-1；h=q[u]；q[u]=s*q[v]+e*h；q[v]=e*q[v]-s*h；}}c[j]=s*p；b[j]=e*p；}while(fabs(c[j])d)；}b[j]=b[j]+f；}for(i=0；i=n-1；i++){k=i；p=b[i]；if(i+1=n-1){j=i+1；while((j=n-1)&&(b[j]=p)){ k=j；p=b[j]；j=j+1；}}if(k！=i){b[k]=b[i]；b[i]=p；for(j=0；j=n-1；j++){u=j*n+i；v=j*n+k；p=q[u]；q[u]=q[v]；q[v]=p；}}}return 0；}void householder(mydouble*a,int n,mydouble*q,mydouble*b,mydouble*c){int i,j,k,u；mydouble h,f,g,h2；for(i=0；i=n-1；i++){for(j=0；j=n-1；j++){u=i*n+j；q[u]=a[u]；}}for(i=n-1；i=1；i--){h=0.0；if(i 1){for(k=0；k=i-1；k++){u=i*n+k；h=h+q[u]*q[u]；}}if(h+1.0==1.0){c[i]=0.0；if(i==1)c[i]=q[i*n+i-1]；b[i]=0.0；}else{c[i]=sqrt(h)；u=i*n+i-1；if(q[u]0.0)c[i]=-c[i]；h=h-q[u]*c[i]；q[u]=q[u]-c[i]；f=0.0；for(j=0；j=i-1；j++){q[j*n+i]=q[i*n+j]/h；g=0.0；for(k=0；k=j；k++)g=g+q[j*n+k]*q[i*n+k]；if(j+1=i-1){for(k=j+1；k=i-1；k++)g=g+q[k*n+j]*q[i*n+k]；}c[j]=g/h；f=f+g*q[j*n+i]；}h2=f/(h+h)；for(j=0；j=i-1；j++){f=q[i*n+j]；g=c[j]-h2*f；c[j]=g；for(k=0；k=j；k++){u=j*n+k；q[u]=q[u]-f*c[k]-g*q[i*n+k]；}}b[i]=h；}}for(i=0；i=n-2；i++)c[i]=c[i+1]；c[n-1]=0.0；b[0]=0.0；for(i=0；i=n-1；i++){if((b[i]！=0.0)&&(i-1=0)){for(j=0；j=i-1；j++){g=0.0；for(k=0；k=i-1；k++)g=g+q[i*n+k]*q[k*n+j]；for(k=0；k=i-1；k++){u=k*n+j；q[u]=q[u]-g*q[k*n+i]；}}}u=i*n+i；b[i]=q[u]；q[u]=1.0；if(i-1=0){for(j=0；j=i-1；j++){q[i*n+j]=0.0；q[j*n+i]=0.0；}}}}参数说明：void householder(mydouble*a,intn,mydouble*q,mydouble*b,mydouble*c)；a-n xn实对称矩阵，用线性的方法存储(嗯，其实静态数组就是这样的)。
对称三对角矩阵的一类广义特征值反问题
（ ｃｏｌ ｆ ｔｅ ａ ｃ ｎ ｈｓ ｓ Ｊ ｎｓ ｎｖｒｉ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏ ｇ ，Ｚ ｅｊ ｎ ｉ ｇｕ２ ２ ０ ，Ｃ ｉａ Ｓｈ ｏ ｏ ｈ ｍ ｔｓａｄＰ ｙｉ ， ｉ ｇｕＵ ｉｅｓｙｏ ｉ ｅａｄＴ ｃｎ ｌ ｙ ｈｎｉ ｇＪａ ｓ １０ ３ ｈｎ ） Ｍａ ｉ ｃ ａ ｔ Ｓ ｎ ｏ ａ ｎ
ｎｎ １
ｂ １
一
如果 ｂ ＝Ｃ， ＝１２ … ， ｉ ， ， ｎ一１ 则 Ａ 称 为 对称 三 对 ，
角矩阵 ； ｂ＝ ０ ｉ １２ …， —ｌ则 Ａ称为 若 Ｃ＞ ， ＝ ， ， ｎ ， Ｊｃｂ矩阵． ａｏｉ 关于 Ｊ ｏｉ ａ ｂ 矩阵 的特征值反问题的研 ｃ 究 已有 许多 ¨ ． 献 ［ ３ 利 用 特 征 数 据 考 虑 了 文 １］
第２ ４卷第 １ 期
２１ ００年 ２月
江 苏科技 大学学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｉ ｇｕＵ ｉ ｒ ｔ ｏ ｃ ｎｅａ ｄＴ ｃｎｌ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ Ｊ ｎｓ ｎ ｅｓｙ ｆ ｉ ｃ ｎ ｅｈ ｏｏ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ａ ｖ ｉ Ｓ ｅ ｇ ｅ ｉ
ｆ ｒ ｌ ｏ ｈ ｏｕ ｉ ｎ ｗａ ｅ ｉｅ ． ｏ ｍｕ ａ ｆ ｒｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｄ ｒｖ ｄ Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ：ｔｉ ｉｇ ｎ ｌｓ ｍｍｅ ｒｃ ｍａ ｒｘ；ｅ ｇ ｎ ａ ｕ ｒｄ ａ ｏ ａ ｙ ｔ ｔｉ ｉ ｉｅ ｖ ｌ ｅ；ｉ ｖ ｒ ｅ ｐ ｏ ｌｍ ｎ ｅｓ ｒｂｅ
有限元模型 ， 一般对边界条件、 材料参数等做了简 化 而使其 分析 结果 往往 与实 际测量 结果 不一致 ． 为
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在许多科学领域中都有广泛的应用。
在矩阵中有两个与之相关的重要概念，即特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换中非常有用的性质，它们可以帮助我们理解和描述线性变换的特点。
本文将重点探讨矩阵的特征值和特征向量的定义、性质以及应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指满足方程Av=λv的非零向量v以及对应的常数λ。
其中v是特征向量，λ是特征值。
换句话说，特征向量是矩阵作用后与自身平行（或成比例）的向量，而特征值则表示该向量在作用后的缩放倍数。
2. 计算特征值与特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值与特征向量，需要解决特征值问题，即求解方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。
解这个方程可以得到特征值的集合。
对于每个特征值λ，再解方程(A-λI)v=0，可以得到特征向量的集合。
3. 特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有一些重要的性质：- 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
- 矩阵的特征值与它的转置矩阵的特征值是相同的。
- 对于n阶矩阵，特征值的个数不超过n个。
- 特征向量可以线性组合，线性组合后的向量仍然是对应特征值的特征向量。
4. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：- 特征值分解：通过特征值与特征向量的计算，可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积形式，这在数值计算和信号处理中非常有用。
- 矩阵对角化：特征值与特征向量可以将一个矩阵对角化，使得计算和处理更加简化和高效。
- 特征值的物理意义：在物理学中，特征值可以表示物理系统的某些性质，如量子力学中的能级等。
总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
通过计算特征值与特征向量，可以帮助我们理解和描述线性变换的性质，进行矩阵的对角化处理，以及在数值计算和信号处理中应用。
矩阵的特征值和特征向量是线性代数学习中不可或缺的内容，对于深入理解线性变换和矩阵的性质具有重要的作用。
用割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题
用割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题割线法是一种用于求解对称三对角矩阵特征值问题的迭代方法，它有效利用矩阵的对称性，以及三对角结构，大大减少了计算量。
割线法的原理是将对称三对角矩阵A按照行(或列)分解为无关子矩阵，通过改变矩阵A中的某些元素使之满足一定条件，然后再将矩阵A求解。
割线法的关键在于如何改变矩阵A中的元素。
割线法的思想是用一条割线将三对角矩阵A分割为上下两部分，并将矩阵A中的元素分别改变。
改变的方式是在矩阵A的上半部分中，将每一行中的元素加上割线处元素的值；在矩阵A的下半部分中，将每一行中的元素减去割线处元素的值，这样矩阵A就满足了一定的条件。
割线法的步骤是：1、将原来的对称三对角矩阵A分割为上下两部分，并将矩阵A中的元素分别改变；2、在矩阵A的上半部分中，将每一行中的元素加上割线处元素的值；3、在矩阵A的下半部分中，将每一行中的元素减去割线处元素的值；4、用新生成的矩阵替换原来的矩阵，计算新矩阵的特征值；5、如果计算出来的特征值满足要求，则停止求解；如果不满足要求，则重复步骤1-4，直到求得满足要求的特征值为止。
以上是割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题的基本步骤，但如何选择割线位置，以及如何改变矩阵A中的元素才能使矩阵A满足一定的条件，就是割线法的关键问题了。
一般而言，割线位置的选择应该尽可能在矩阵A的主对角线上，这样可以简化计算量，提高计算效率。
而在改变矩阵A中的元素时，应注意保持矩阵A的对称性，以及尽可能使主对角线上的元素不变。
割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题，其优点在于：一是它有效利用了矩阵的对称性，以及三对角结构，大大减少了计算量；二是它可以在每一次迭代后返回一个新的特征值，从而可以更快地收敛。
但割线法也有缺点，如：一是即使矩阵A在每一次迭代后都满足割线法的要求，也不能保证从这个新矩阵中求出的特征值是最精确的，这可能会导致最终求出的特征值和实际的特征值存在一定的差距；二是由于割线法需要迭代，当矩阵A较大时，可能会耗费较多时间。
线性代数第四章 矩阵的特征值和特征向量4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
1
1 1
（0，1 2
，1 2
）T ,
2
(1,0,0)T
,
3
(0,
1, 2
1 )T . 2
令矩阵
Q
(1,
2
,
3
)
0 1
2
1
1 0
0
0 1
2 1
,
0
1
, 1
2
2
则Q为正交矩阵，且Q1AQ . 因此A QQT
§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵. 一、实对称矩阵特征值的性质 定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数.
定理4.13 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向 量相互正交.
证明 设1, 2是A的不同特征值.1,2分别为A的属于
特征值1,2的特征向量.则
T
21
0,
由于
1
2，所以
T 2
1
0.即 2与1正交.
证毕
3 2 4 例1 在§4.1的例4中,矩阵 A 2 0 2
4 2 3 是实对称矩阵, 其特征值 1 2 （1 二重）和 3 8.
1 1
A的属于特征值1的全部特征向量为c1
设为 2 ,3 , 则 2和3都与1正交.
设与向量1正交的向量为 (x1, x2 , x3 )T，则
x1
1T
(0,1,1)x2
x2
x3
0.
对称三对角矩阵特征值
对称三对角矩阵特征值下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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三对角矩阵的特征值公式
三对角矩阵的特征值公式英文回答：The eigenvalue formula for tridiagonal matrices is a useful result in linear algebra. A tridiagonal matrix is a matrix in which the only non-zero elements are on the main diagonal, the diagonal above the main diagonal, and the diagonal below the main diagonal.To find the eigenvalues of a tridiagonal matrix, we can use the Thomas algorithm. The Thomas algorithm is an efficient method for solving tridiagonal systems of equations, but it can also be used to find the eigenvalues of a tridiagonal matrix.The eigenvalue formula for a tridiagonal matrix is given by the following equation:λ = d + 2√(bc)。
where λ is the eigenvalue, and d, b, and c are the elements of the tridiagonal matrix. The elements b and c are the non-zero elements on the diagonal above and below the main diagonal, respectively.This formula can be derived by solving the characteristic equation of the tridiagonal matrix. The characteristic equation is obtained by setting the determinant of the matrix minus λ times t he identity matrix equal to zero. By solving this equation, we can find the eigenvalues of the tridiagonal matrix.中文回答：三对角矩阵的特征值公式是线性代数中的一个重要结果。
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）摘要在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。
QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。
QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。
特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。
关键词：特征值；特征向量；QR分解Solve Real Symmetry Three Diagonal Matrix Eigenvalue AndEigenvectorABSTRACTValues in the feature, the QR method has milepost sense. QR method is a transformation method, is the calculation of the general matrix ( small and medium-sized matrix ) one of the most effective methods of eigenvalue problems. The QR method has fast convergence, algorithm stability. Because the eigenvalues and eigenvectors can reveal some important properties of matrix from the nature, and thus obtain their exact solutions is very important, but the calculation is very complicated mathematical problems. Especially when the high rank of matrix, the calculation is very large, and is not easy to find the exact solution.Key words:eigenvalue; eigenvector; QR decomposition目录1 绪论 (1)1.1 问题重述 (1)1.2研究方法 (1)2 QR方法 (3)2.1 QR分解的概念 (3)2.2 Givens方法 (3)2.3豪斯霍尔德方法（镜像变换） (5)2.2.1 Householder 矩阵和Householder变换 (5)2.2.2QR算法 (6)3 QR算法C实现过程 (8)3.1主要参数 (8)3.2组成模块 (8)3.3程序改错 (8)4 测试运行 (11)参考文献……………………………………………………………………………….…….. 附录…………………………………………………………………………….……………..1 绪论1.1 问题重述（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR 方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。
三对角矩阵的特征值及其应用
−c −b
= (λ − a) −c λ − a
− (−b) 0 λ − a
−b
−c λ − a n−1
−c
−b λ − a n−1
= (λ − a) Dn−1 − bcDn−2 ．
证毕．
引理 2：Dn 为三对角阵 An 的特征多项式,若α , β 分别为 x 2 − (λ − a)x + bc = 0
⎟ ⎟
引理
1：对 n
阶三对角阵
An
=
⎜ ⎜
⎜
ca
⎟ ,有 ⎟ b⎟
⎜⎝
c a ⎟⎠
Dn = (λ − )a Dn−1 − bcDn−2 ,其中 Dn 为 An 的特征多项式．
4
λ − a −b
−c λ − a −b
证明： Dn = λ E − An =
−c λ − a −b
−c λ − a n
λ − a −b
1 的三次单位根．
由(3-6)得与 u1 、 u2
、 u3
相应的 v
的三个解是 v1
=
−
p 3u1
, v2
=
v1w2 , v3
=
v1w ．因
此：
λ1
=
u1
+
v1
=
3
−
q 2
+
q2 + p3 + 3 − q −
4 27
2
q2 + p3 , 4 27
λ2
=
u2
+
v2
=
w⋅
3
−
q 2
+
q2 + p3 + w2 ⋅ 3 − q −
线性代数3.3实对称矩阵的特征值和特征向量
6 74 6 74 4n1 8 4n2 8 6 74 4nm 8 Λ = QT AQ = Q−1 AQ = diag(λ1,L, λ1 , λ2 ,L, λ2 ,L, λm ,L, λm )
附注： 主对角线元素（特征值！） ！）排列顺序 附注： 矩阵 Λ 主对角线元素（特征值！）排列顺序 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应 ！）排列顺序相对应。 与 Q 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。 这种对角化形式是唯一的 是唯一的。 这种对角化形式 是唯一的。 在不计排列顺序情况下， 在不计排列顺序情况下， ！！） （实对称矩阵A 的标准形！！） 实对称矩阵 的标准形！！
= ( A α 2 ) α1 = ( Aα 2 ) α1 = (λ2α 2 )
T T T T T
于是有
λ1α 2 α1 = λ2α 2 α1 ⇒ (λ1 − λ2 )α 2 α1 = 0 是正交的。 这样， 这样，由 λ1 ≠ λ2 得到 α 2T α1 = 0，即 α1 与 α2 是正交的。
T
实对称矩阵 A 的属于不同特征值的 【注】 特征向量相互正交的线性无关组。 特征向量相互正交的线性无关组。 例1 在§3.1中例 中，矩阵 中例4中 中例 3 2 4 A = 2 0 2 4 2 3 是实对称矩阵， 二重） 是实对称矩阵， 特征值 λ1 = λ2 = −1 （二重） 对应特征 向量 (2, 1, 2)T , (−1 2, 0)T 和 λ3 = 8 对应特征向量 (−1, 0, 1)T 都正交。 都正交。 当然， 当然，(2, 1, 2)T , (−1 2, 0)T 彼此不正交，但可以通过 彼此不正交， 把它们化为标准正交组。 标准正交化方法 把它们化为标准正交组。
det(λE − A) = 0
对称三对角矩阵特征值的二分法
数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901实验课题对称三对角矩阵特征值的二分法实验目的熟悉对称三对角矩阵特征值的二分法运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中实验要求一种语言完成对称三对角矩阵特征值的二分法实验内容成绩教师实验1对称三对角矩阵特征值的二分法1 实验原理对于对称三对角矩阵：111222111n n n n n c b b c b C b c b b c ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 设0i b ≠，1,2,,1i n =- ，记特征矩阵I C λ-的左上角的k 阶子式为()k p λ，设0()1p λ=，利用行列式的展开式，可得()k p λ的递推公式：0112112()1() 1,2,,()()()k k k k k p p a k n p a p b p λλλλλλ---=⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=--⎩ ()det()n p I C λλ=-为C 的特征多项式，n 个零点为矩阵C 的n 个特征值 2 实验程序程序：int ebstq(int n,double b[],double c[],double q[],double eps,int l) {int i,j,k,m,it,u,v;double d,f,h,g,p,r,e,s;c[n-1]=0.0;d=0.0;f=0.0;for (j=0; j<=n-1; j++){it=0;h=eps*(fabs(b[j])+fabs(c[j]));if (h>d){d=h;}m=j;while ((m<=n-1)&&(fabs(c[m])>d)){m=m+1;}if (m!=j){do{if (it==l){printf("fail\n");return(-1);}it=it+1;g=b[j];p=(b[j+1]-g)/(2.0*c[j]); r=sqrt(p*p+1.0);if (p>=0.0){b[j]=c[j]/(p+r);}else{b[j]=c[j]/(p-r);}h=g-b[j];for (i=j+1; i<=n-1; i++) {b=b-h;}f=f+h;p=b[m];e=1.0;s=0.0;for (i=m-1; i>=j; i--){g=e*c;h=e*p;if (fabs(p)>=fabs(c)) {e=c/p;r=sqrt(e*e+1.0);c[i+1]=s*p*r;s=e/r;e=1.0/r;}else{e=p/c;r=sqrt(e*e+1.0);c[i+1]=s*c*r;s=1.0/r;e=e/r;}p=e*b-s*g;b[i+1]=h+s*(e*g+s*b); for (k=0; k<=n-1; k++) {u=k*n+i+1;v=u-1;h=q;q=s*q[v]+e*h;q[v]=e*q[v]-s*h; }}c[j]=s*p;b[j]=e*p;}while (fabs(c[j])>d);}b[j]=b[j]+f;}for (i=0; i<=n-1; i++){k=i; p=b;if (i+1<=n-1){j=i+1;while ((j<=n-1)&&(b[j]<=p)){k=j;p=b[j];j=j+1;}}if (k!=i){b[k]=b;b=p;for (j=0; j<=n-1; j++){u=j*n+i;v=j*n+k;p=q; q=q[v];q[v]=p;}}}return(1);}。
三阶实对称矩阵特征值与特征向量的计算机实现
西安理工大学学报JOURNAL OF XI'AN UNIVERSITY OFTECHNOLOGY1999年第15卷第3期Vol.15No.31999三阶实对称矩阵特征值与特征向量的计算机实现郭俊杰田世杰封定廖勇摘要：提出一种通用的关于求解一般三阶实对称矩阵特征值与特征向量的快速直接计算方法。
首先使用高精度缩根法求出所给矩阵的特征方程，得到了3个特征根（包括重根）。
其次运用选主元与最小二乘法相结合的思想，获得了实际运用中较为理想的每个特征根所对应的全部特征向量。
关键词：特征值；特征向量；主元；最小二乘法中图分类号：TB931O241.6文献标识码：AThe Computer Method of Eigenvalues and Eigenvectorsof 3×3 Real Symmetric MatricesGUO Jun-jie，TIAN Shi-jie，FENG Ding, LIAO Yong(Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)Abstract：This paper suggests a common computation method, i.e. the solution eignvalues and eigenvectors of 3×3 real symmetric matrices. First, the characteristic equation of the matrix are obtained by using the method of highly accurate reduced root so as to achieve three eigenvalues (including heavy root). Second, all the eigenvectors of each eigenvalue which are more ideal for the purpose of accurate scientific computation are obtained by using the thought of combining of the pivote with the method of minimum squares. Key words: eigenvalue; eigenvector; pivot; method of minimum squares矩阵的特征值与特征向量是十分重要的概念。
计算广义实对称三对角矩阵特征值问题的分治算法
2002 年第 24 卷第 5 期 Vol 24, No 5, 2002
文章编号: 1007 130X( 2002) 05 0015 03
计算广义实对称三对角矩阵特征值问题 的分治算法
The Divide and Conquer Algorithm for Generalized Symmetric Tridiagonal Eigenvalue Problems
L ) ( x ) = x + n/ (- f ∗( x ) / f ( x ) )
( n - 1) [ ( n - 1) (- f ∗( x ) / f ( x ) ) 2 - n(f +( x ) / f ( x ) ) ] )
其中 f ( x ) 、f ∗( x ) 和 f +( x ) 均采用三项递推式, 且 计算量基本相同。当 x ( i , i + 1) 时, L + ( x ) 比 较接近 i + 1, L_( x ) 比较接近 i 。并且 Laguerre 迭 代是三次收敛的, 割线迭代法的渐进收敛率为 1. 618[ 3] 。显然, 要收敛到相同的精度, Laguerre 迭代 次数比割线迭代法少。但每迭代一次, Laguerre 迭 代算法的计算量显然要比割线法多。那么, 两者 比较, 到底有什么样的关系呢?
T^ - S^ 0
0T
W( )
定义 1[ 4] 对称矩阵 A 的惯性( v, !, ∀) 分别
表示矩阵 A 的小于 0、等于 0 和大于 0 的特征值 个数。
定理 1( Sylvester s 惯性定理[ 1] ) 如果 A Rn # n 是对称的, X Rn# n 是非奇异的, 那么矩阵
16
A 和 XT AX 有相同的惯性。 由引理 1 和定理 1 可得: 定理 2 设 不是( T^ , S^ ) 的特征值, 并令 V
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求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量要求求解一个实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
在介绍如何求解之前，首先我们来了解一下实对称三对角矩阵的定义。
实对称三对角矩阵是指矩阵的非零元素主对角线上的元素为a，副对角线上的元素为b，而其他元素均为0。
可以表示为如下形式：[a1b100...0]
[b1a2b20...0]
[0b2a3b3...0]
[00b3a4...0]
[..................]
[ 0 0 0 ... bn-1 an ]
下面我们将介绍如何求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量有多种方法，其中一种常用的方法是通过迭代法，特别是Householder迭代法。
下面我们将介绍这种方法的主要步骤。
1. 首先，将实对称三对角矩阵转化为对称上Hessenberg矩阵。
对称上Hessenberg矩阵是一个具有类似三对角矩阵结构的对称矩阵。
2. 在转化得到的对称上Hessenberg矩阵上应用QR迭代，不断迭代直到矩阵的对角线元素基本上收敛于特征值。
3. 在每次QR迭代中，我们通过施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization）来构建Q矩阵，然后计算出新的矩阵R，并将其与Q
相乘，得到下一次迭代的矩阵。
4.在QR迭代的最后一步，我们得到了一个上三角矩阵，其对角线上
的元素即为所求的特征值。
5. 然后，我们可以通过反复应用幂迭代法（power iteration method）来求解对应于这些特征值的特征向量。
幂迭代法是一种求解线性
代数特征向量的数值方法。
通过上述方法，我们可以求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
这种方法具有较高的数值稳定性和计算效率，因此在实际求解中被广泛采用。
需要注意的是，在特征值和特征向量的计算过程中，可能会出现一些
特殊情况。
比如矩阵中的主对角线元素不是严格递增或递减的时候，对于
这种情况，我们需要进行一些额外的处理。
比如，我们可以通过与
Givens旋转相似的方式来调整矩阵的主对角线元素的顺序，以确保它们
的递增或递减性质。
在实际的数值计算中，我们可以使用像MATLAB这样的数学软件包来
求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
这些软件包内置了高效的算法，可以对特征值和特征向量进行准确的计算。
总之，通过上述介绍，我们了解了如何求解实对称三对角矩阵的特征
值和特征向量，以及其中涉及的一些数值计算方法。
这些方法在实际应用
中具有重要的地位，并且在数学理论和计算机科学领域有深入的研究。