线性方程组的几种求解方法

甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。

关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。

首先，我们讨论一般线性方程组，这里所指的一般线性方程组形式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................... (22112222212111212111)(1)式中(1,2,,)i x i n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n ==称为方程组的系数，(1,2,,)j b j n =称为常数项.则线性方程组(1)称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s b b b ====.令111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则可用矩阵乘法表示为AX B =，,,.m n n m A C X C B C ⨯∈∈∈第二章 线性方程组的几种解法2.1 高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。

现举例说明如下 :⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=++)3(2224)2(4222)1(623321321321xx x x x x x x x2.1.1 消元过程第一步：将(1)÷3使1x 的系数化为1 得23132321=++x x x （1） 再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)得由(3)-4×(2)得第二步：将(3)除以32，使x 2系数化为1得 再将(4)式中x 2系数化为零，即由(4)-(-314)⨯(5)，得 )6( (63)183-=x 第三步：将(6)除以318，使x 3系数化为1，得 经消元后，得到如下三角代数方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+=++)3(1)2(02)1(23132332321x x x x x x 2.1.2 回代过程 由(7)得 x 3=-1, 将x 3代入(5)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(2)得x 2=1所以，本题解为（x ）=（1,2,-1）T 2.1.3 解的判断设方程组的增广矩阵记为A ，则A 经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(必要是可重新排列未知量的顺序)：)7(......13-=x )5(......0232=+x x )4( (63)1031432-=--x x )3( (03)43232=+x x )2( (23)132321=++x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++00...0...00...0...0.........0...0.........0...00...00...00 0...0...0......122112222111111211r r rn n rn r rr r n r rd d d c c c c c c cd c c c c c A其中c ii ≠0(i =1，2，…，r )．于是可知： (1)当d r +1=0，且r =n 时，原方程组有唯一解． (2)当d r +1=0，且r <n 时，原方程组有无穷多解． (3)当d r +1≠0，原方程组无解． 2.2 克莱姆法则定理 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式111212122212det 0n n n n nna a a a a a A a a a =≠，那么线性方程组（2）有唯一解：det (1,2,,),det j j B x j n A==其中j B det 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项n b b b ........,21所成的矩阵的行列式，即111,111,11222,122,121,1,1det ,1,2,,.j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组b AX =的系数矩阵的行列式0det ≠A ，则线性方程组b AX =一定有解，且解是唯一的. 例: 解线性方程组12342341242342344,3,31,73 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩解 由已知可得系数行列式12341234123401110111111det 16013015352073173148A ---------====≠----,因此线性方程组有唯一解.又因124234143431110311det 128,det 48,1301110137310331B B -------==-==-341244123401310113det 96,det 0.1311130107310733B B ------====--故线性方程组的解为1234(,,,)(8,3,6,0)T Tx x x x =-.克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的.2.3 LU 分解法求解线性代数方程组除了高斯消元法外，还常用LU 分解法（三角形分解法）。

LU 分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组。

设n 阶线性方程组Ax=b ,假设能将方程组左端系数矩阵A ，分解成两个三角阵的乘积，即A=LU ，式中L 为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵, 且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U 为主对角线以下的元素均为零。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n nn n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a ......0.....1.........011 (212212)112121212222111211所以有，LUx=b令 Ux=y 则 Ly=b由A=LU,由矩阵的乘法公式：a 1j = u 1j , j=1,2,…,n a i1 = l i1u 11 , i=1,2,…,n 推出u 1j = a 1j , j=1,2,…,nl i1 = a i1/u 11, i=1,2,…,n这样就定出了U 的第一行元素和L 的第一列元素。

设已定出了U 的前k-1行和L 的前k-1列，现在确定U 的第k 行和L 的第k 列。

由矩阵乘法：当r>k 时，l kr =0, 且l kk =1，因为所以，∑=+=-=nr rjkr kj kj nk k j u l a u 1,...,1,∑=+=nr rjkr kj kj u l u a 1∑==nr rjkr kj u l a 1同理可推出计算L 的第k 列的公式：因此得到如下算法——杜利特（Doolittle ）算法: (1)将矩阵分解为A=LU,对k=1,2,…,n⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=-=∑∑==1,...,1,/)(,...,1,111kk nr kkrj kr ik ik nr rjkr kj kj l n k k i u u l a l n k k j u l a u ：公式 (2)解Ly=b(3)解Ux=y例: 求解线性方程组1231212321,42,227.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=-⎨⎪-++=⎩解 由直接三角分解法第二、三步可得211100211410210012221131004A LU ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是线性方程组变为b LUx =，求解线性方程组T Ly )7,2,1(-=，得T y )4,4,1(--=； 求解线性方程组T Ux )4,4,1(--=，得T x )1,2,1(-=.2.4 追赶法在许多实际问题中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组∑-==-=11,...,2,1:2k r r kr k k nk y l b y 公式∑+=-=-=nk r kkr krk k n n k u x uy x 11,...,1,/)(3：公式∑=+=-=nr kkrj kr ik ik nk k i u u l a l 1,...,1,/)(11112222211111iiii i n n n n n nn n n x k b c x k a b c a b c x k a b c x k a b x k -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 简记作 Ax k =，其中A 满足下列对角占优条件：(1)110b c >>;(2)i i i b a c ≥+, i a ,i c 0≠(i =2,3, ,1n -);(3)0n n b c >>.由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角矩阵的乘积，即A LU =， 其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵.求解线性方程组Ax k =等价于解两个三角方程组Ly k =与Ux y =，先后求y 与x ，从而得到以下解三角方程组的追赶法公式：第一步：计算的递推公式111c β=，1()i i i i i c b a ββ-=-，(2i =，3，，1)n -; 第二步：解Ly k =：111y k b =，11()()i i i i i i i y k a y b a β--=--，(2,3,,)i n =;第三步：解Ux y =：n n x y =，1i i i i x y x β+=-，(1,2,,2,1)i n n =--.例 : 求解三对角线性方程组123421001131020111200210x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解 设有三角分解111122222233333344441111b c p q a b c a p q a b c a p q a b a p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由矩阵乘法易得 111,,1,2,3.,2,3,4.i i i ii i i p b q c p i p b a q i -=⎧⎪==⎨⎪=-=⎩将已知系数矩阵的元素代人上式有 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=======3735,5352,2521,24332211p q p q p q p 解线性方程组 112233441121220p y py p y p y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得 2,37,53,214321====y y y y再解线性方程组 111222333441111x y q x y q x y q x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得原线性方程组的为 1234(,,,)(0,1,1,2)T T x x x x =-.第三章 结束语本文针对不同的线性方程组给出了一些计算方法，及线性方程组的应用实例. 高斯消元法是通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量;LU 分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组；追赶法是以LU 分解为基础的求解方法，因此它的不足之处是当某个0=k u 时，就不能进行，但是当方程组的系数矩阵A 中有很多零元素时，利用三对角方程组系数矩阵的稀疏性，使零元素不参加运算，可以类似于追赶法来简化计算过程，从而极大地节省了计算量和存储量.这也是追赶法的最大特点.根据线性方程组自身所具有的特点，可以选择相应合适的方法，而对于那些特殊类型的线性方程组的解法，有待进一步的讨论与研究。