高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

数列知识点总结

一、等差数列与等比数列

等差数列 等比数列

定义 1+n a -n a =d

n

n a a 1

+=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +（n-1）d

n a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d

n a =1-n a q n a =m a m n q -

中项

A=2

b

a + 推广：A=2a k n k n a +-+（n,k

∈N +

;n>k>0）

ab G =2。推广：G=k n k n a a +-±（n,k ∈N + ;n>k>0）。任意两数a 、c 不一定

有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个

前n 项和

n S =2

n

（1a +n a ）

n S =n 1a +2

)

1(n -n d

n S =q q a n --11()1

n S =q

q a a n --11

性质

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，

232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；

（3）若三个成等差数列，可设为

a d a a d -+，，

（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

21

21

m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2

n S an bn

⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d=

n

m a n

m --a (m ≠n)

(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列

（1）若m n p q +=+，则

m

n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q 二、求数列通项公式的方法

1、通项公式法：等差数列、等比数列

2、涉及前ｎ项和S n 求通项公式，利用a n 与S n 的基本关系式来求。即

例1、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且2

n n S =,求通项n a . 例2、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且n n a 32S -=,求通项n a 3、已知递推公式，求通项公式。

⎩⎨

⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n

（1）叠加法：递推关系式形如()n f a a n 1n =-+型

例3、已知数列｛n a ｝中，1a 1=，n a a n 1n =-+，求通项n a 练习1、在数列｛n a ｝中，3a 1=，n

n 1n 2a a +=+，求通项n a

（2）叠乘法：递推关系式形如

型 例4、在数列｛n a ｝中，1a 1=， ，求通项n a 练习2、在数列｛n a ｝中，3a 1=，n

n 1n 2a a ∙=+，求通项n a （3）构造等比数列：递推关系式形如B Aa a n 1n +=+(A,B 均为常数，A ≠1,B ≠0) 例5、已知数列｛n a ｝满足4a 1=，2a 3a 1n n -=-，求通项n a 练习3、已知数列｛n a ｝满足3a 1=，3a 2a n 1n +=+，求通项n a （4）倒数法

例6、在数列{a n }中，已知1a 1=, ,求数列的通项n a

四、求数列的前n 项和的方法

1、利用常用求和公式求和： 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

2、错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列 .[例1] 求数列

⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. [例2] 求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S

3、倒序相加法：数列｛n a ｝的第m 项与倒数第m 项的和相等。即：

1m n m 1n 2n 1a a a a a a +--+==+=+ [例3] 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++⋅⋅⋅+++的值 [例4] 函数()x f 对任R x ∈都有()()2

1

x 1f x f =-+，求： ()()1f n 1n f n 2f n 1f 0f +⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫

⎝⎛+ 4、分组求和法：主要用于求数列{a n +b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列

()n f a a n

1n =+n 1

n a 1

n n

a +=+2

a a 2a n n

1n +=+