七级数学培优提高讲义：相交线与平行线(一)

七年级数学：相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3.垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。

.方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。

二、例题精讲例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度数。

∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)∴∠1＝∠2 (等式性质) 则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142°∴∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF 的度数。

解：∵AB ∥EF ∥CD∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质）∵∠B-∠D=24°（已知） 图(2)∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF （已知）∴∠GEF=21∠BEF=30°（角平分线定义）GA例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。

解：过E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行公理）∴∠BEF=∠B=40°∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）∵∠DEB=∠DEF-∠BEF∴∠DEB =∠D-∠B=30°评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。

图（3）例4．已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，求证：ha+hb+hc＜a+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，ha＜c ，hb＜a，hc ＜b以上三式相加得ha+hb+hc＜a+b+c bach a研究垂直关系应掌握好垂线的性质。

1．以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。

2．垂线段最短。

例5．如图（4），直线AB与CD相交于O，EF⊥AB于F，GH⊥CD于H，求证EF与GH必相交。

可考虑用反证法。

证明：假设EF与GH不相交。

∵EF、GH是两条不同的直线∴EF∥GH∵EF⊥AB∴GH⊥AB又因GH⊥CD 故AB∥CD (垂直于同一直线的两直线平行)图（4）这与已知AB和CD相交矛盾。

所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交评注：本题应用结论：(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。

(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例6．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；…1n(n-1)则n条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=2评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。

例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。

另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1n(n-1)1+2+3+…+(n-1)=2例8．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域； 同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；…∴10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域 推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+21n(n+1)=21(n2+n+2)块不同的区域思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例9．平面上n 条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n180证明：平面上n 条直线两两相交最多得对顶角2)1( n n ×2＝n(n-1)对，即2n(n-1)个角平面上任取一点O ，将这n 条直线均平行移动过点O ，成为交于一点O 的n 条直线，这n 条直线将以O 为顶点的圆周角分为2n 个（共n 对）互不重叠的角：α1、α2、α3、…、α2n由平行线的性质知，这2n 个角中每一个都和原来n 条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n 个角均是原2n(n-1)个角中的角。

若这2n 个角均大于n 0180，则α1+α2+α3+…+α2n ＞2n×n180=360°,而 α1+α2+α3+…+α2n =360°,产生矛盾故 α1、α2、α3、…、α2n 中至少有一个小于n 0180，即 原来的2n(n-1) 中至少有一个角不小于n180评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。

例10．（a ）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。

Ol 3l 2l n（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。

过A作两直线m1与n1。

在n1 上取两点B，C，在m1上取两点D，G。

过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示。

由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。

（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。

理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。

根据直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点21＝分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为2 10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。

所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。

三、巩固练习F1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．92．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，33．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ）A ．36条B ．33条C ．24条D ．21条4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）125．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ）A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对 6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90°B ．135°C ．150°D ．180°第 5 题第 6 题第7题7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系；8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有交点9．平面上3条直线最多可分平面为个部分。

10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则∠PSQ ＝。