专题12：文科立体几何高考真题大题(全国卷)赏析(解析版)

专题12：文科立体几何高考真题大题（全国卷）赏析（解析版） 题型一：求体积
1，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题
如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【详解】
分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． （2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可． 详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．
因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．
证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．
MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．
点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．
2，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）
如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，
且2
3
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．
【答案】(1)见解析. (2)1. 【解析】
分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；
(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°
，BA AC ⊥．
又BA ⊥AD ，且AC AD A =，所以AB ⊥平面ACD ．
又AB ⊂平面ABC ，
所以平面ACD ⊥平面ABC ．
（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32．
又2
3
BP DQ DA ==
，所以22BP =． 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE = 1
3
DC ．
由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为
1
11
1322sin4513
32
Q ABP ABP
V QE S
-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=． 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可. 3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18 【分析】
（1）先由长方体得，11
B C ⊥平面11AA B B ，得到11B C BE ⊥，再由1BE EC ⊥，根据线面
垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先设长方体侧棱长为2a ，根据题中条件求出3a =；再取1BB 中点F ，连结EF ，证明EF ⊥平面11BB C C ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】
（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，11
B C ⊥平面11AA B B ；
BE ⊂平面11AA B B ，所以11B C BE ⊥，
又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，且1EC ⊂平面11EB C ，11B C ⊂平面11EB C ，
所以BE ⊥平面11EB C ；
（2）设长方体侧棱长为2a ，则1AE A E a ==，
由（1）可得1EB BE ⊥；所以22211EB BE BB +=，即22
12BE BB =， 又3AB =，所以222
122AE AB BB +=，即222184a a +=，解得3a =；
取1BB 中点F ，连结EF ，因为1AE A E =，则EF AB ∥； 所以EF ⊥平面11BB C C ， 所以四棱锥11E BB C C -的体积为
11111111
36318333
E BB C C BB C C V S E
F BC BB EF -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=矩形.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
4．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷） 四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD ,01
,90.2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;
（2）若△PCD 面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）43【分析】
试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取AD 中点M ，由于平面PAD 为等边三角形，则PM AD ⊥，利用面面垂直的性质定理可推出PM ⊥底面ABCD ，设BC x =，表示相关的长度，利用PCD ∆的面积为27.
试题解析：
（1）在平面内，因为,所以
又平面平面故平面
（2）取的中点，连接
由及
得四边形为正方形，则.
因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，
所以底面
因为底面，所以,
设，则，取的中点，连接，则,所以，
因为的面积为，所以，
解得（舍去），
于是
所以四棱锥的体积
【详解】
题型二：求距离
5．2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ）
如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
【答案】（1）详见解析（245
【解析】
分析：（1）连接OB ，欲证PO ⊥平面ABC ，只需证明,PO AC PO OB ⊥⊥即可；（2）过点C 作CH OM ⊥，垂足为M ，只需论证CH 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =3 连结OB ．因为AB =BC 2
AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =
1
2
AC =2． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC=1
2
AC=2，CM=
2
3
BC=42
3
，∠ACB=45°．
所以OM=25
，CH=
sin
OC MC ACB
OM
⋅⋅∠
=
45
．
所以点C到平面POM的距离为45
．
点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.
6．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）
如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.
（1）证明：
（2）若,求三棱柱的高.
【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱111ABC A B C -的高为21
. 【解析】
试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，又因为侧面11BB C C 为菱形，对角线相互垂直11B C BC ⊥;又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，根据线面垂直的判定定理可得：1B C ⊥平面ABO ，结合线面垂直的性质：由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O 到平面ABC 的距离，即：作
OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，则由线面垂直的判定定理可
得OH ⊥平面ABC ，再根据三角形面积相等：OH AD OD OA ⋅=⋅，可求出OH 的长度，最后由三棱柱111ABC A B C -的高为此距离的两倍即可确定出高． 试题解析：（1）连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点. 因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥. 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥， 故1B C ⊥平面ABO.
由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥.
（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H. 由于，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥， 又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC.
因为0
160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得3OD
. 由于1AC AB ⊥，所以11122
OA B C =
=,
由OH AD OD OA ⋅=⋅，且227
4
AD OD OA =+=
，得2114
OH ， 又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为
217
. 故三棱柱111ABC A B C -的高为
217
. 考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用 7．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC ; （2）设1AP =，3AD =
，
三棱锥P ABD -的体积 3
4
V =，求A 到平面PBC 的距离．
【答案】（1）证明见解析 （2） A 到平面PBC 的距离为313
13
【详解】
试题分析：（1）连结BD 、AC 相交于O ，连结OE ，则PB ∥OE ，由此能证明PB ∥平面ACE ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离
试题解析：(1）设BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB 又EO
平面AEC ，PB
平面AEC
所以PB ∥平面AEC ． （2）13
6V PA AB AD AB =
⋅⋅=
由，可得. 作交于． 由题设易知，所以
故
， 又31313PA AB AH PB ⋅==所以到平面的距离为
法2：等体积法
136V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得.
由题设易知,得BC
假设到平面的距离为d ，
又因为PB=
所以
又因为(或)，
，
所以
考点 ：线面平行的判定及点到面的距离
8．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；
（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）41717
. 【分析】
（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果.
【详解】
（1）连接ME ，1B C
M ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线
1//ME B C ∴且112
ME B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112
ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形
//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE
//MN ∴平面1C DE
（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥， 根据题意有3DE =，117C E =，
因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，
所以1DE EC ⊥，所以113172
DEC S ∆=⨯⨯， 设点C 到平面1C DE 的距离为d ，
根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有11113171343232d ⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯， 解得41717
d ==， 所以点C 到平面1C DE 的距离为
417. 【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.
题型三：求面积
9．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）
如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）623+.
【详解】 试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且22,AD a PO a ==
，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四棱锥的侧面积.
试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．
由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．
又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．
（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．
由（1）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．
设AB x =，则由已知可得2AD x =，22
PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=
⋅⋅=． 由题设得31833
x =，故2x =． 从而2PA PD ==，22AD BC ==22PB PC ==．
可得四棱锥P ABCD -的侧面积为
111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅ 21sin606232BC +︒=+10．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）
如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，
（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为
6，求该三棱锥的侧面积.
【答案】（1）见解析（2）5【分析】
（1）由四边形ABCD 为菱形知AC ⊥BD ，由BE ⊥平面ABCD 知AC ⊥BE ，由线面垂直判定定理知AC ⊥平面BED ，由面面垂直的判定定理知平面AEC ⊥平面BED ；
（2）设AB =x ，通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来，在Rt ∆AEC 中，用x 表示EG ，在Rt ∆EBG 中，用x 表示EB ，根据条件三棱锥E ACD -6求出x ，即可求出三棱锥E ACD -的侧面积.
【详解】
（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，
因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED .
又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED
（2）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由 ∠ABC =120°，可得AG =GC =32
x ,GB =GD =2x .
因为AE ⊥EC ，所以在 Rt ∆AEC 中，可得EG =3x . 连接EG ，由BE ⊥平面ABCD ，知 ∆EBG 为直角三角形，可得BE =
22x .
由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x -=
⨯⋅⋅==.故 x =2 从而可得AE =EC =ED 6.
所以∆EAC 的面积为3， ∆EAD 的面积与∆ECD 的面积均为 5故三棱锥E -ACD 的侧面积为3+25【点睛】
本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.
11．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
图1是由矩形,ADEB Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中
1,2AB BE BF ===， 60FBC ∠=，将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.
（1）证明图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；
（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.
【答案】(1)见详解；(2)4.
【分析】
(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角，所以
//AD BE ，//BF CG 依然成立，
又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2) 欲求四边形ACGD 的面积，需求出CG 所对应的高，然后乘以CG 即可．
【详解】
(1)证：//AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.
∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.
又,AB BE AB BC ⊥⊥.
AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.
(2)取CG 的中点M ，连结,EM DM .因为//AB DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE CG ⊥，
由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=得EM CG ⊥，故CG ⊥平面DEM ． 因此DM CG ⊥．
在Rt DEM △中，DE=1，3EM =，故2DM =．
所以四边形ACGD 的面积为4.
【点睛】
很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间想象能力.。