数学与物理学的关系

数学与物理学的关系

数学与物理学的关系

2011年06月14日

作者天津滨海新区李新民

人们往往分不清数学和物理的关系，科学家普遍分不清数学图像和物理图像，往往将数学问题与物理问题混为一谈。物理学家普遍用数学去发现和探索大自然，物理学家和科学工作者的一篇篇论文几乎都是数学强加给大自然的，数学已经成为他们创造世界和演义世界最强有力的工具。

数学被认为是一切科学的基础，数学被认定为最重要的自然科学，在科学的分类中，数学被划分在自然科学类中。“数学是自然科学吗？”这明显是一个傻子提出的问题。然而，科学中的很多东西往往被人们主观意识决定或认为是当然事，殊不知很多事情恰恰不是我们想象的那样。例如能量是一个极其简单的物理量，物理学没有对能量下定义，只是一种约定成俗的认识，即能量是一种不停地释放光和热的物质。原子能，光能，化学能，电能等都是从某种物质发出的光和热。然而，对能量这种约定成俗的认识是完全错误的，是物理学困惑与混乱的根源之一。数学也被人们想当然地认为是自然科学，是对客观世界的描述，并认为数学描述的就是真实的客观世界。数学能描述世界，但是数学也有不能描述客观世界的地方。数学不是万能的，数学只是一个工具，度量，计算和逻辑推理的工具。很多数学的东西，在现实世界是找不着对应物的。为了令人信服，不妨从数学的各个领域分析一下。

一数与算术

算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，自然界根本不存在数。数是因为计算的需要而产生的，在数学中的数，要求没有个体差异，在计数的个体中，个体是全同的，这是对个体必要的理想化和抽象。宏观世界根本不存在全同的个体系统，即，自然数是对个体理想化的抽象。除自然数的其他数是自然数间的增加，减少和比例关系。

二代数

代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分代数是全同个体的函数或方程关系，即是一种数理逻辑关系。初等代数与算术不同，主要区别在于代

数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。抽象代

数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，引入群的概念和逻

辑关系。逻辑属于方法论或工具学范畴，不属于自然科学。

三几何

几何，就是研究空间结构及性质的一门学科概念。几何分为平面几何，立体几何，解析几何，微分几何，内蕴几何和拓扑学。

平面几何中的点，线，面都是理想化的抽象。在自然界不存在绝对的

无体积的点，不存在没有宽度的线和无厚度的面。在平面几何中，一张纸是二

维的面；在现实中，纸有一定的厚度。立体几何，只不过是将纸的厚度考虑在内。解析几何是将平面几何和立体几何变化形式。微分几何是为了引入弯曲空

间的上的度量（长度、面积等等），用微积分的方法去局部分析空间弯曲的性质。内蕴几何是几何对象扩展到了流形（一种弯曲的几何物体）上。由此发展出了诸如张量几何、黎曼曲面理论、复几何、霍奇理论、纤维丛理论、芬斯勒

几何、莫尔斯理论、形变理论等等。拓扑学就是可折叠的平面几何，俗称橡皮筋几何。所有几何都是对点，线，面和体的函数，逻辑或极限关系，而点，线，面和体全都是对客观世界对象理想化的抽象的概念，即客观对象是全同化的。

例如，平面，圆，三角形等各种规则的几何图形，自然界根本不存在，只有在

数学和人工环境中才能找到。

四三角函数

三角函数包括它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。三角

函数就是边与边的比例与夹角的对应关系，而边与角是抽象化后的概念。自然

界也根本不存在三角函数关系。

五高等数学

高等数学是研究函数的微分、积分，方程以及有关概念有关应用的数

学分支。微积分主要是以数，线段，矩形平面为极限计算的。而数，线和面也

都是理想化后的抽象的概念，自然界没有对应物。

六数学物理方法

数学物理方法，它是物理学的数学处理工具。对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：

一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；

二、解该数学问题，其中解数学物理方程占有很大的比重，有多种解法；

三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。

因此，以往的物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高

等数学和物理学桥梁。数学是对客观理想化的抽象，因此在将物理问题或物理

概念代人数学方程，或物理量或物理问题经过方程运算后必须谨慎，防止经过

数学方程运算的物理问题背离实际。例如，

F=am=m△v/△t=m△v/△t △t= L/c 则

F△t=m△v FL/c =m△v FL=m△v c

其中，F是力，a是加速度，m是质量，v是速度，L是距离，c是光速，t是时间。以上数学推理和方程运一点错都没有，但是我们得出一个荒唐的结果：FL=m△v c，物质m的能量或功是m△v c，这是什么，根本没有物理意义。这么简单的方程如不注意，都会酿成错误，复杂的微分方程更要高度谨慎和注意。

七数学与物理学的关系

物理学是对客观的认识和描述，并给出给出相应的物理原理，物理定

律和物理图像；数学是提供描述物理过程的一种方法，物理过程是唯一的，而

数学过程是多值的，必须建立物理与数学的一一对应关系；有时数学过程根本

没有对应的物理过程与结果，这时我们就不能将数学强加给物理学，很多物理

难题和混乱就是由此造成的。数学是一个抽象的逻辑过程和证明，建立一些概

念和规定一定的形式体系与框架就是一门新数学，这门新数学不一定与客观有

一一对应的关系，有些数学形式体系是对客观不合理的理想化与抽象，这些数

学就是主观创造的数学，与客观根本不可能建立对应关系。有时，物理学家对

系统进行不合理的理想化而应用数学时，也会带来适得其反的作用。数学是具

有两方面内容的。它似乎是描述外部世界的语言，但它可能更适宜代表我们自己语言和意识。【从数学上说，光锥的不变性导致了洛伦兹（Lorentz）变换群。现在仅仅是为了数学上有趣，一个数学家可以假设例如频率保持不变，或者某

些其他类的简单物理关系不变。利用逻辑推演，人们可能看到在这样一个非

“现实”的宇宙图象下，将会有什么样的后果。】---引自美国数学家S. Ulam 文。爱因斯坦的格言：“自然不欣赏我们的神话，”我们现在的物理学，特别

是天文宇宙学不是正在书写神话吗？今天理论物理的理论和模型完全是数学方

程或模型，最近理论工作者常常发现，新的物理理论的数学语言并不是最恰当

的描述和认知；这一点并不奇怪，表现在各种场理论，引力理论，天体物理，

粒子物理等领域，其背景场只是形式问题，不是本质问题；只是保证方程可以

建立和求解。如今，数学完全统治了理论物理学的研究和理论建设，使人感觉

数学具有很大的功能，科学研究成了神论在科学的翻版，数学这个神通广大的

神具有创世，救世，无穷变化世界的能力。客观地说，数学就是事物数量，几

何关系之间的一种逻辑关系，这种关系不可能有改变物理概念和图像的功能；

同时，数学图像不是物理图像，数学图像是一种逻辑关系图像，有时它不是客

观存在的。例如，三角函数无非就是角与边的关系，而正弦函数和余弦函数图

像等根本不是客观存在的运动或存在图像，它只是我们描述角与边关系的图像，是理论图像。波粒二象性就是将客观存在图像和数学理论图像混为一谈带来的

认识。数学是我们的，不是世界的；数学是人造的，是代表一个人的世界观的；用个人对世界的认识，每个人都可以发明自己的一套数学。对世界的正确认识，就可以产生有用的数学，就可以辅助人们认识世界，理解世界；如果将这种有

用的数学乱用就起反作用。不可否认，数学根本不是什么自然科学的基础，它

只是一个人们认识世界的工具，属于工具学。世界不会因为我们的描述而变化，改变，也不会因为数学的描述而产生新的功能和作用。现在科学家普遍用数学

方法探索科学理论，是科学思想的匮乏；是认识的匮乏。【思想决定你的人生，那是哲学；上帝决定你的认识那是神学；方程决定你的认识那是数学；事实决