人教版九上数学第24章 圆 24.1.3 弧 弦 圆心角教案+学案

人教版九年级数学（上）第24章圆
24.1圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角教案
【教材内容】
1．圆心角的概念；
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
【教学目标】
1．了解圆心角的概念;
2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
【教学重点】
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．
【教学难点】
弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．
【教学过程设计】
一、情境导入
人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？
二、合作探究
知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别
例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )
A ．∠ABC
B ．∠AOB
C ．∠OAB
D ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.
方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角
例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵
的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．120°
解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝1
3×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.
方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角
例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠B ＝70°，则∠A ＝________．
解析：由AB ︵＝AC ︵
，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.
方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．
【类型二】弧相等的简单证明
例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.
解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．
证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵
.
证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝1
2OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.
图①
图②
证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知
CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.
方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．
（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？
解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，
∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD
∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=
12AB ，CF=1
2
CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF
（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：
∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF
又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD
D
∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
∴AB=CD，∠AOB=∠COD
方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
三、教学小结
师生一起总结本节学习知识要点：
1．圆心角的概念；
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．
【板书设计】
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
1.圆心角的识别
2.圆心角的性质
3.弧、弦、圆心角之间的关系
4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算
【课堂检测】
1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．
2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

（1）如果AB=CD，那么，
⌒⌒
⌒ ⌒ ⌒
D
（2）如果AB=CD ，那么 ，
（3）如果∠AOB=∠COD ，那么 ，
（4）如果AB=CD ，OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F ，OE 与OF 相等吗？为什么？
4. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE ，∠COD=35 °，求∠AOE 的度数。

5. 如图(1)和图(2)，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ，
•∠APM=∠CPM ．
(1)由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．
(2)若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
P
N
(1) (2)
分析：(1)要说明AB=CD ，只要证明AB 、CD 所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：(1)AB=CD
B
理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F
∵∠APM=∠CPM
∴∠1=∠2
OE=OF
连结OD、OB且OB=OD
∴Rt△OFD≌Rt△OEB
∴DF=BE
根据垂径定理可得：AB=CD
(2)作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F
∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF
∴OE=OF
连接OA、OB、OC、OD
易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF
∴∠1+∠2=∠3+∠4
∴AB=CD
人教版九年级数学（上）第24章圆
24.1圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角学案
【学习目标】
知识与技能
1.理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算；
2.弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．
过程与方法
经历探索发现圆的旋转不变性，证明圆心角、弦、弧之间的关系．
情感、态度与价值观
在探索圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间关系感受求知的乐趣．
【学习重难点】
重点：弧、弦、圆心角之间的相等关系．
难点：弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、
线段相等的主要依据． 【自主探究】
一、自学指导．(10分钟)
自学：阅读教材P 85～87，完成下列问题． 归纳：
1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角． 2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．
3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．
4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．
5．圆内接四边形的对角__互补__． 二、自学检测
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)
1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数．
解：65°.
,第1题图) ,第2题图)
2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数． 解：50°.
3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数． 解：65°.
,第3题图),第4题图)
4．如图所示，已知AB是⊙O的直径，∠BAC＝32°，D是AC的中点，那么∠DAC 的度数是多少？
解：29°.
【合作探究】
一、小组合作
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟) 1．如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO＝25°，则∠C ＝__65°__．
,第1题图),第2题图)
2．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝__64°__．
3．如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∴BC＝AB2－AC2＝8 (cm)．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD.由AB为直径，知AD⊥BD，
∴△ABD 为等腰直角三角形， ∴AD 2＋BD 2＝2AD 2＝2BD 2＝AB 2， ∴AD ＝5 2 cm ，BD ＝5 2 cm .
点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形． 二、跟踪练习
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝__10_cm __．
点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．
,第1题图) ,第2题图)
2．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO ＝__30°__． 3．OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.
证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵
所对的圆心角， ∠ACB 是劣弧AB ︵
所对的圆周角， ∴∠AOB ＝2∠ACB.
同理∠BOC ＝2∠BAC ，∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠ACB ＝2∠BAC. 点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．
4．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A.
解：∠A＝50°
点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．
【学习总结】
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
圆周角的定义、定理及推论．
教师点拨：1.根据圆的旋转不变性，可以得出关于圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反过来也成立，也就是说：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等。

特别注意的是：运用本知识点时应注意其成立的条件：“同圆或等圆中”；本知识点是证明弦相等、弧相等的常用方法。

在同圆或等圆中，圆心角和弧间的倍分关系可以互相转化，但与弦之间倍分关系就不能互相转化。

2.本节学习的数学方法是归纳、化思想。