利用函数凹凸性质证明不等式

利用函数的凹凸性质证明不等式
内蒙古包头市第一中学 张巧霞
摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式. 关键词：凸函数；凹函数；不等式.
一． 引言
在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.
二． 凹凸函数的定义及判定定理
(1)定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，若对于I 上的任意两点21,x x 及实数()1,0∈λ总有
()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+
则称)(x f 为I 上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式
()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≥-+
则称)(x f 为I 上的凹函数（上凸函数）.
特别地，取21
=
λ，则有()()().2
)2(2121
x f x f x x f +≥≤+ 若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.
（2）判定定理 若函数)(x f 在区间 I 上是二阶可微的，则函数)(x f 是凸函数的充要条件是0)("≥x f ，函数)(x f 是凹函数的冲要条件是.0)("≤x f
三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式
设)(x f 是定义在区间I 上的一个凸函数，则对()1,
0,,,2,1,1
=≥=∈∀∑=n
i i
i i n i I x λ
λ 有
().)(1
1
i n
i i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ
特别地，当(),,,2,11
n i n
i ==
λ有 ()()()
.2
)2(
2121n n x f x f x f x x x f +++≤+++
琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它
在一些不等式的证明中有着广泛的应用.
四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.
（1）（调和——几何——算术平均不等式） 设(),,,2,1,0n i a i =≥则有
n
a
a a n
n
i i
n
n i i n
i i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤1
1
111
当且仅当n a a a === 21时，等号成立.
证明 设,ln )(x x f -=因为(),,0,01
)("2+∞∈>=
x x
x f 所以)(x f 是()+∞,0上的凸函数，那么就有().)(
1
1
i
n
i i
i
n i i x f x f ∑∑==≤λλ
现取(),,,2,1,1
,n i n
a x i i i ==
=λ 则有 (),ln ln 1
1ln 1111⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===n i n i i n i n i i a a n a n 得 ,ln 1ln 111⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫
⎝⎛∏∑==n i n i n i i a a n
由x ln 的递增性可得
n
n
i i i n i a a n 1
111
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥∏∑== （1） 同理，我们取01
>=
i
i a x ，就有
,1ln 1ln 111ln 1111⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===n
i n i i n i n i i a a n a
n 即
n
n
i i n
i i a a n
1
111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∏∑== （2） 由（1），（2）两式可得
n
a
a a n
n
i i
n
n i i n
i i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫
⎝⎛≤1
1111
（2）柯西——赫勒德尔不等式
q
n
i q i p
n i p i i n i i b a b a 1
11
11⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 其中()n i b a i i ,,2,1,, =是正数，又,1,0≠>p p p 与q 共轭，即
11
1=+q
p . 证明 首先构造函数()1,>=p x x f p 时，()()0,0">>x x f 所以()p
x x f =是()+∞,0上的凸函数，则有
p
i n
i i p
n i i i i n
i i x x x f ∑∑∑===≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111)(λλλ 令 ,1
∑==
n
i i
i
i p
p λ这里()n i p i ,,2,1,0 =>，
则 ∑∑∑∑====≤⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n
i i
n
i p i
i p
n
i i n
i i
i p
x
p p x p 1
1
1
1
即 1
111-===⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑p n
i i n i p i i p
n i i i p x p x p
由题设知
111=+q
p ，得1-=p p
q ，
所以 q
n
i i p
n
i p i i n i i i p x p x p 111
11⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫
⎝⎛
∑∑∑===， 现取q
i i i p
i i p b x p a 11,==，()n i ,,2,1 = 则p
i p i i i i q
i
i p
i i i a x p x p p x p b a ===,11，代入上式得
q
n
i q i p
n
i p i i n i i b a b a 111
11⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 命题得证.
在柯西赫勒德尔不等式中，若令2==q p 时，即得到著名的不等式——柯西不等式
2
1122
1
121⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n
i i n
i i i n i i b a b a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i i n
i i b a b a 12122
1)(
这里()n i b a i i ,,2,1,, =为两组正实数，当且仅当i i b a =时等号成立.
五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.
例1.求证在圆的内接n 边形中，以正变形的面积最大.
证明 设圆的半径为r ，内接n 边形的面积为S ，各边所对的圆心角分别为n θθθ,,,21 ，则
(),sin sin sin 2
1212
n r S θθθ+++=
因为()0sin "<-=x x f ， 所以()x x f sin =是[]π,0上的凹函数，由琴生不等式可得
().1
)(11
i n
i n
i i
f n
n f θθ∑∑
==≥ 即 n
n
n
i i
n
i i
∑∑-=≥
1
1
s i n
s i n
θθ
n
n n
i i π
θ2sin
sin 1
≤∑= 上式只有在n θθθ=== 21时等号才成立，也即正n 边形的面积最大.
特别地，若A,B,C 为三角形的三个内角时，由上式可得323
sin sin sin =
++C B A . 例2 求证对任意的0,0>>y x ，下面的不等式2
ln )(ln ln y
x y x y y x x ++≥+成立.
证明 我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，
令()0,ln >=t t t t f ，因().01
">=t
t f 故()t t t f ln =是()+∞,0上的凸函数， 所以有
()()(),,0,,22+∞∈∀+≤
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+y x y f x f y x f 即
(),ln ln 2
12ln 2y y x x y x y x +≤++ (),ln ln 2
ln )(y y x x y
x y x +≤++
所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.
例3 设i i i i d c b a ,,,都是正实数，证明∑∑∑∑∑=====≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛n
i i n i i n i i n i i n i i i i i d c b a d c b a 14
1414144
1.
分析 本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办
法将其变成标准形式。

证明 ()()4
141⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==i i n i i i n i i i i i d c b a d c b a
()
()2
12
2
2
1
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡
≤∑∑==n i i i n
i i i d c b a
=()
()
2
1222
122⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑==n
i i i n i i i d c b a ≤
∑∑∑∑====n
i i n
i i
n
i i
n
i i
d c b a 1
4
1
4
1
4
1
4
通过以上例子我们可得出结论，运用柯西不等式的关键是对照柯西不等式的标准形式，构造
出两组适当的数列，然后列出式子.
例4 设d c b a ,,,都是正实数，且(
)
.3
22
2
2
b
a d c +≤+证明13
3≥+
d
b c a . 证明 首先由均值不等式得
()4
33433b c bda d acb a bd ac d b c a +++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ 4
2
2
4
2b b a a ++≥
=()222b a +
再由柯西不等式得
()()()
2
12
2
2
122
d
c
b
a bd ac ++≤+
(
)()
2
322
2
122
d
c
b a ++≤
=()2
2
2b a +
即 ()
≥+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2
2
233b a d b c a ()bd ac d b c a +⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+33 ()2
2
2b a +≥
所以 133≥+d
b c a 六．总结
由上面的分析我们看到，虽然利用函数的凹凸性来证明不等式有它的局限性，但是往
往是其它方法不可代替的，我们可以充分感受到利用函数的凹凸性解决问题的方便和快捷，丰富了不等式的常规证法，开阔了解题思路.
参考文献
【1】 谢惠民.数学分析习题课讲义【M 】.高等教育出版社，2003.
【2】 王仁发.高观点下的中学数学代数学【M 】.高等教育出版社，1999. 【3】 席博彦.不等式的引论【M 】.内蒙古教育出版社，2000.
【4】
华东师范大学数学系.数学分析【M 】.高等教育出版社，1991.。