利用函数凹凸性质证明不等式

利用函数的凹凸性质证明不等式

内蒙古包头市第一中学 张巧霞

摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式. 关键词：凸函数；凹函数；不等式.

一． 引言

在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.

二． 凹凸函数的定义及判定定理

(1)定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，若对于I 上的任意两点21,x x 及实数()1,0∈λ总有

()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+

则称)(x f 为I 上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式

()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≥-+

则称)(x f 为I 上的凹函数（上凸函数）.

特别地，取21

=

λ，则有()()().2

)2(2121

x f x f x x f +≥≤+ 若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.

（2）判定定理 若函数)(x f 在区间 I 上是二阶可微的，则函数)(x f 是凸函数的充要条件是0)("≥x f ，函数)(x f 是凹函数的冲要条件是.0)("≤x f

三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式

设)(x f 是定义在区间I 上的一个凸函数，则对()1,

0,,,2,1,1

=≥=∈∀∑=n

i i

i i n i I x λ

λ 有

().)(1

1

i n

i i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ

特别地，当(),,,2,11

n i n

i ==

λ有 ()()()

.2

)2(

2121n n x f x f x f x x x f +++≤+++

琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它

在一些不等式的证明中有着广泛的应用.

四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.

（1）（调和——几何——算术平均不等式） 设(),,,2,1,0n i a i =≥则有

n

a

a a n

n

i i

n

n i i n

i i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤1

1

111

当且仅当n a a a === 21时，等号成立.

证明 设,ln )(x x f -=因为(),,0,01

)("2+∞∈>=

x x

x f 所以)(x f 是()+∞,0上的凸函数，那么就有().)(

1

1

i

n

i i

i

n i i x f x f ∑∑==≤λλ

现取(),,,2,1,1

,n i n

a x i i i ==

=λ 则有 (),ln ln 1

1ln 1111⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===n i n i i n i n i i a a n a n 得 ,ln 1ln 111⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫

⎝⎛∏∑==n i n i n i i a a n

由x ln 的递增性可得

n

n

i i i n i a a n 1

111

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥∏∑== （1） 同理，我们取01

>=

i

i a x ，就有

,1ln 1ln 111ln 1111⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===n

i n i i n i n i i a a n a

n 即

n

n

i i n

i i a a n

1

111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∏∑== （2） 由（1），（2）两式可得

n

a

a a n

n

i i

n

n i i n

i i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫

⎝⎛≤1

1111

（2）柯西——赫勒德尔不等式

q

n

i q i p

n i p i i n i i b a b a 1

11

11⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 其中()n i b a i i ,,2,1,, =是正数，又,1,0≠>p p p 与q 共轭，即

11

1=+q

p . 证明 首先构造函数()1,>=p x x f p 时，()()0,0">>x x f 所以()p

x x f =是()+∞,0上的凸函数，则有

p

i n

i i p

n i i i i n

i i x x x f ∑∑∑===≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛=111)(λλλ 令 ,1

∑==

n

i i

i

i p

p λ这里()n i p i ,,2,1,0 =>，

则 ∑∑∑∑====≤⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n

i i

n

i p i

i p

n

i i n

i i

i p

x

p p x p 1

1

1

1

即 1

111-===⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑p n

i i n i p i i p

n i i i p x p x p

由题设知

111=+q

p ，得1-=p p

q ，