2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练(32)(含答案解析)
甘肃省张掖市2021届新高考数学三模考试卷含解析
甘肃省张掖市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，则31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱11B C 上任意一点，则22PM MN +的最小值为（ ）A ．22B ．2C 3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM AEM ∆≅∆，可得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 22MF MN =，故()12222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，22MF MN =， 故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A．36 cm3B．48 cm3C．60 cm3D．72 cm3【答案】B【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A．15B．120C．112D．340【答案】C【解析】【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：310120C 种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种，所以目标事件的概率10112012P ==. 故选：C. 【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.5．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】由11a ，31a ，41a 构成等差数列可得 31431111a a a a -=- 即13341413341422a a a a d da a a a a a a a ----=⇒=⇒= 又()4111323a a d a a d =+⇒=+ 解得：16a d =- 又[]12(1)(12(1))(13)222n n n nS a n d d n d d n =+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.6．在边长为2的菱形ABCD中，BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D--的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π【答案】D 【解析】 【分析】取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为ADC V 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程222r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭即可得解. 【详解】如图，由题意易知ABC V 与ADC V 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ， 则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角， 过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ，由BN ND ==1cos 3BND ∠=可得cos ON BN BND =⋅∠=，OD =，3OB ==， ∴13ON ND =即点O 为ADC V 的中心，∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，∴11BO DO r ==，1OO r =-,∴222r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得2r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为234462S r πππ==⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 7．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．8．已知,a b r r 为非零向量，“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的定义可得220a a =>r r ,为实数,则由22a b b a =r r r r 可得22a b b a =r r r r ,根据共线的性质,可判断a b =r r ；再根据a a b b =r r r r 判断a b=r r ,由等价法即可判断两命题的关系. 【详解】若22a b b a =r r r r 成立,则22a b b a =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b b a =r r r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r ； 若a a b b =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b =r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r .所以“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件.故选:B 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为3π，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=，所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈，当3k =时，43x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ）A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.5【答案】A 【解析】 【分析】计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 由题意01231.54x +++==，3 5.5715.544m m y ++++==，∴15.52.1 1.50.854m +=⨯+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ．11．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<， 所以当a 最小时，12a =， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根， 等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<．故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目. 12．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 计算3121ii i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121ii i+=+-Q，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省漳州市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析
福建省漳州市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B【解析】【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数202123234m C C C C =+=，∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2 【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义直接计算即可.【详解】 {}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =I ，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ）A B ．3 C D ．4【答案】B【解析】由正弦定理及条件可得()2sin cos sin cos sin B A A B c C +=，即()2sin 2sin sin A B C c C +==. sin 0C >Q ，∴2c =， 由余弦定理得2222212cos 2322393a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=。
2021年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)[附答案]
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三基小题训练一欧阳光明（2021.03.07）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y=2x+1的图象是（ ）2.△ABC 中，cosA=135，sinB=53,则cosC 的值为 （ ） A.6556B.－6556C.－6516 D.65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a,0）和(0,b)，且a,b ∈N*，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f(x)=logax(a ＞0且a≠1)对任意正实数x,y 都有 （ ）A.f(x·y)=f(x)·f(y)B.f(x·y)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)·f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F1，F2是双曲线42x －y2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n(m,n ∈N*)的展开式中x 的系数为13，则x2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l是公路，图中所标线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形.已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（）A.P点B.Q点C.R点D.S点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y2=2x上到直线x－y+3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=1,且当x∈［1,2］时，f(x)=2－x,则f(8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲成绩（秒）12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2乙成绩（秒）12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5 根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________.答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15.21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ．21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a2－312a )n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（）A ．4B ．5C ． 6D ． 84．从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（） A ．203B ．103 C ．201 D ．1015．抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（）A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0） 6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（）A.（a ，－b ）B.（－a ，b ）C.（b ，－a ）D.（－b ，－a ） 7. 如果S=｛x ｜x=2n+1,n ∈Z ｝,T=｛x ｜x=4n±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S≠TEF D O C B A8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种 9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m ⊂β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m;(2)若l ⊥m,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m;(4)若l ∥m,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log2(x2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（）A.(－∞，4)B.(－4，4] C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cosα的值等于A.6162-B.6162+C.4132+D.3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．13．在等差数列｛an ｝中，a1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A1B1C1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB1与CA1所成的角为。
2021届高三高考数学复习压轴题专练32—椭圆(4)【含答案】
2021届高三高考数学复习压轴题专练32—椭圆（4）【含答案】1．直线10x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，交y轴于C 点，若2FC AC =，则该椭圆的离心率是( ) A ．1022- B ．312- C ．222- D ．21-解：如图所示：对直线10x y -+=，令0x =，解得1y =，令0y =，解得1x =-， 故(1,0)F -，(0,1)C ，则(1,1)FC =， 设0(A x ，0)y ，则00(,1)AC x y =--， 而2FC AC =，则00212(1)1x y -=⎧⎨-=⎩，解得001212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点A 又在椭圆上，所以222211()()221a b-+=，222(1,)c a b c ==+， 整理得4224421a a a -=-， 所以235a +=所以241245(102)102354435c e a ---=-+．故选：A ．2．已知椭圆2214x y +=的上顶点为A ，B 、C 为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点( ) A ．(1,0)B ．(3，0)C ．1(0,)2D ．3(0,)5-解：因为AB AC ⊥，所以10AB AC k k =-<，所以直线BC 斜率存在，设直线:(1)BC l y kx m m =+≠，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 消y 得222(41)8440k x kmx m +++-=，122814kmx x k -+=+，21224414m x x k -=+，(*) 又1212111AB AC y y k k x x --=⋅=-， 整理得1212(1)(1)0y y x x --+=， 即1212(1)(1)0kx m kx m x x +-+-+=，所以221212(1)(1)()(1)0(*)k x x k m x x m ++-++-=，代入得：2222224(1)(1)8(1)(1)01414k m k m m m k k+---+-=++， 整理得530m +=得35m =-，所以直线BC 过定点3(0,)5-．故选：D ．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若OAB ∠，OAF ∠的平分线分别交x 轴于点D ，E ，且222||||||2||||AD AE DE AD AE +-=⋅，则椭圆C 的离心率为( ) A ．22B ．312- C ．512- D ．32解：如下图所示： 因为222||||||2|||AD AE DE AD AE +-⋅，所以由余弦定理得222||||||2||||22||||AD AE DE AD AE AD AE +-⋅=⋅，又(0,)2DAE π∠∈，所以45DAE ∠=︒．因为AD ，AE 分别为OAB ∠，OAF ∠的平分线，所以290BAF DAE ∠=∠=︒， 所以AB AF ⊥．由题意可知，点(,0)F c -，(0,)A b ，(,0)B a ，则(,),(,)AF c b AB a b =--=-． 由20AF AB ac b ⋅=-+=，可得220a c ac --=，即220c ac a +-=， 在等式220c ac a +-=的两边同时除以2a ，可得210e e +-=， 因为01e <<，解得512e -=． 故选：C ．4．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，P 是椭圆上一点，//AP BF ，||||AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2(e = )A ．22B ．1718- C ．12D ．1518- 解：(0,)B b -，(,0)F c ，则BFb kc =，∴直线:bAP y x b c=+， 与椭圆方程联立，可得2222()20a c x a cx ++=，可得P 点的横坐标为2222a c x a c =-+，则322b y a c =-+，即2222(a c P a c -+，322)b a c -+，由||||AF PB =，得22||PB a =，即2322222222()()a c b b a a c a c+-+=++， 整理为：6244264320c a c a c a --+=，则64243210e e e --+=，即242(1)(41)0e e e -+-=， 210e -≠，42410e e ∴+-=，解得2171e -=或2171e --=． 故选：B ．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 和B ，P 是椭圆上不同于A ，B的一点．设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当239(3)(||||)32a ln m ln nb mn mn -+++取最小值时，椭圆C 的离心率为( ) A ．223B ．45C ．32 D ．15解：(,0)A a -，(,0)B a ，设0(P x ，0)y ，则2222002()b y a x a=-，则00y n x a =-，200y m x a =+，2202220y b mn x a a∴==--，则222222239239(3)(||||)(3)3232a a a a b ln m ln n ln b mn mn b b b a -+++=+-+ 322()3()393a a a a ln b b b b=-+-． 令322()3393f t t t t lnt =-+-，(1)t >，322292639(3)(23)()263t t t t t f t t t t t t-+--+'=-+-==， 故3t =时，()f t 取最小值， 椭圆C 22221b a -故选：A ．6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．2解：设左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 的中点为坐标原点， 1F ，2F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则1(1,0)F -，2(1,0)F ．设曲线上任意一点(,)P x y ，则2222(1)(1)1x y x y ++⋅-+=， 化简得该卡西尼卵形线的方程为22222()2()x y x y +=-，显然其对称中心为(0,0)．由22222()2()x y x y +=-得222222()2()40x y x y y +-+=-， 所以22222()2()x y x y ++， 所以2202x y +，所以222x y +．当且仅当0,2y x ==±时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为2． 故选：B ．7．已知椭圆22143x y +=上有三个点A 、B 、C ，AB ，BC ，AC 的中点分别为D 、E 、F ，AB ，BC ，AC 的斜率都存在且不为0，若3(4OD OE OF k k k O ++=-为坐标原点），则111(AB BC ACk k k ++= ) A ．1 B ．1-C ．34-D ．34解：如图，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，则 2211143x y +=，2222143x y +=， 两式作差得，12121212()()()()43x x x x y y y y -+-+=-，∴121212124()3()x x y y y y x x -+=--+，即143OD AB k k =-． 同理可得，143OE BC k k =-，143OF AC k k =-， ∴111443()()1334OD OE OF AB BC AC k k k k k k ++=-++=-⨯-=， 故选：A ．8．已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆222()4b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF ∆面积的最小值大于28b ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．102(0,)3- B ．102(,1)3- C ．51(0,)3- D ．51(,1)3- 解：因为四边形OABE 为平行四边形， 所以//BE AO ，||||BE AO a ==，设E 点纵坐标为m ，代入椭圆的方程得22221x m a b+=，解得22a x b m b=-2222()a a b m b m a b b--=，解得3m =， 当3m =，可得223()22a ax b b b -=， (2aE 3)，(,0)A a -， 所以直线AE 的方程为332())32b y x a x a a =+=+，3330bx ay ab -=，所以||min PF 即为点F 到直线AE 的距离223()39b a c d b a+=+，所以22221||4PQ d R d b =-=-，所以222111()||22248PFQ minb b S PQ R d b ∆=⋅=⋅⋅->， 整理得2212d b >，故22222222222223()3()(1)1393()942b a c a c b e b b b a a c a e +++==>+-+-， 所以221(1)(4)2e e +>-，所以23420e e +->， 所以210(3e s --<舍去）或1023e ->，所以e 的取值范围为102(3-，1)． 故选：B ． 二、多选题9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q 点处变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则( )A ．椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为2RB ．椭圆轨道Ⅱ的焦距为R r -C ．若r 不变，则R 越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短D ．若R 不变，则r 越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大 解：由题可知椭圆轨道Ⅰ的半径为R ，Ⅱ为椭圆，设为22221x y a b+=，所以a c R +=①，Ⅲ为圆形轨道，半径为r ，所以a c r -=②，对于A ：由题可知椭圆Ⅱ上任意两点最大距离为22a R r R =+≠，故A 不正确； 对于B ：椭圆Ⅱ的焦距为2c ， ①-②得，2c R r =-，故B 正确； 对于C ：由①②得2R ra +=，2R r c -=，所以2222()()222244R r R r b a c Rr +-=-=-=， 若r 不变，R 越大，2b 越大，故C 不正确；对于222:1112R rc R r r D e R r R a R r R r r--====-=-++++， R 不变，r 越小，Rr 越大，21R r+越小，则e 越大，故D 正确．故选：BD ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆22:(3)(4)4E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若||||PQ PF -的最小值为256-，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆C 的短轴长为3C ．||||PQ PF +的最小值为23D ．过点F 的圆E 的切线斜率为473-± 解：对于A ：因为椭圆C 的长轴长与圆E 的直径长相等， 所以24a =，即2a =， 设椭圆的左焦点(,0)F c '-，由椭圆的定义可知||||24PF PF a '+==，所以||||||(4||)||||4||4||24256PQ PF PQ PF PQ PF QF EF -=--'=+'-'-'--=， 所以22||25(3)(40)EF c '=-++-1c =或5， 因为2c a <=，所以1c =，即椭圆的焦距为22c =，故A 正确， 对于B ：由2222213b a c =-=-=， 所以椭圆的短轴长为23，故B 错误， 对于22:||||||||||(13)(04)422C PQ PF QF EF EQ +-=++-=-，故C 错误，对于D ：设过点F 的切线方程为(1)y k x =-， 则2|(31)4|21k k ---=+，解得473k -±=，故D 正确， 故选：AD ．11．如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M ，N两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A ，B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，.OAB S ∆则下列命题：A ．若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的大小是定值14-B ．OAB ∆的面积OAB S ∆是定值1C ．线段OA ，OB 长度的平方和22||||OA OB +是定值5D ．设OMNOABS S λ∆∆=，则5λ其中正确的命题有( )A ．AB ．BC ．CD ．D解：(0,1)F ，设直线MN 方程为1y k =+，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则124x x k +=，124x x =-，1212121211164y y k k x x x x ===-，A 正确． 设直线OA 的方程为：1y k x =，由对称性令10k >， 代入椭圆的方程得：12211(1414A k k++，同理可得，22222(1414B kk++，212121||14k OA k+=+点B 到直线OA 的距离122221141d kk++，22121222221111214()4()1||12(14)(14)4(2)OABk k k k S OA d k k k k k k ∆--==++-+，B 正确． 22221222124444||||1414k k OA OB k k +++=+++ 222212212212(1)(14)(1)(14)4(14)(14)k k k k k k +++++=⨯++ 22122212555245244k k k k ++=⨯=++，C 正确． 221212||||||(14)(14)||||||A B x x OM ON k k OA OB x x λ⋅===++⋅2222121224()2422k k k k =+++⨯⋅=，当且仅当12k k =-时等号成立．D 不正确． 故选：ABC ．12．已知椭圆22:14x C y +=的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A 、B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．若1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积为36B ．四边形12AF BF ，可能为矩形C ．直线BE 的斜率为12kD ．若P 与A 、B 两点不重合，则直线PA 和PB 斜率之积为4-解：由椭圆22:14x C y +=，得2a =，1b =，3c =在△12PF F 中，由余弦定理可得，222121212||||||2||||cos60F F PF PF PF PF =+-︒， 即2212443||||c a PF PF =-，解得124||||3PF PF =， ∴12143323F PF S=⨯=，故A 错误； 若四边形12AF BF 为矩形，则11AF BF ⊥，即110F A F B ⋅=， 即()()0A B A B x c x c y y +++=， 联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)4k x +=， 得0A B x x +=，2441A B x x k =-+，22441A B k y y k =-+，即22244304141k k k -+-=++，得2810k -=，该方程有实根，故B 正确；由22(41)4k x +=，得2141x k =±+0k >，得21(241A k +241k +，21(41B k -+241k +，则21(241E k +0)，则22414241BE kk k k +==-+，故C 正确；A PB P B PPA A P B P B Py y y y y y k x x x x x x ---+===---+，BE 所在直线方程为22()241k y x k =-+，与椭圆2214x y +=联立， 可得22222()4041x k x k +--=+，即22222244(1)404141k k k x x k k +-+-=++． 得22214141B P k x x k k +=⋅++， 2222221442()214141(1)41B P k k ky y k k k k k -+=⋅-=+++++，故12PA k k =-，则11224PA PB k k k k ⋅=-⋅=-，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题13．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为 ．解：△12F PF 的外接圆的半径R ，由正弦定理1212||22sin sin 3F F cR F PF π==∠，所以23R =， 又由于4R r =，所以3r =， 在△12F PF 中，由余弦定理可得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，而123F PF π∠=，所以2212443||||c a PF PF =-，所以可得：22124||||()3PF PF a c =-，由三角形的面积相等可得：1212121211(||||||)||||sin 22PF PF F F r PF PF F PF ++⋅=∠，所以2243(22)()3a c r a c +=-所以223432(()3a c a c +=-， 整理可得：2320e e --=，解得23e =或1e =-， 故答案为：23． 14．已知(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过E 的下顶点B 和F 的直线与E的另一交点为A ，若45BF FA =，则a = ．解：法（1）由椭圆的方程可得(0,)B b -，(1,0)F ，所以0()10BF b k b --==-， 所以直线:(1)BF y b x =-，联立2222(1)1y b x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得222(1)20a x a x +-=，可得0x =或2221a x a =+， 所以2221A a x a=+，所以22(1)1A b a y a -=+， 因为45BF FA =，则4(1，222)5(11a b a =-+，22(1))1b a a -+，所以22(1)451b a b a-=⋅+，解得29a =，即3a =， 法（2）作AH 垂直于x 轴于H ，易知Rt AHF Rt BOF ∆∆∽， 因为45BF FA =，所以||4||||||||5||||AF AH AH FH BF BO b OF ====， 所以A 的纵坐标为45b ，A 的横坐标为491155+⋅=，所以A 的坐标为：9(5，4)5b ，将A 点的坐标代入椭圆的方程：222294()()551b a b+=，解得29a =，即3a =，故答案为：3．15．曲面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，则椭圆上的点到原点距离的取值范围是 ．解：设椭圆上的点(x ，y ，)z ，则椭圆上的点到原点的距离2222d x y z =++， x ，y ，z 满足的条件为：22z x y =+，1x y z ++=，作拉格朗日函数22222()(1)L x y z z x y x y z λμ=+++--+++-， 22022020x y zL x x L y y L z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎨⎪=++=⎩，可得(1)()0x y λ--=， 所以有1λ=或x y =，有10λμ=⇒=，12z =-，不符合题意，所以舍弃，将x y =代入22z x y =+和1x y z ++=可得：22z x =，2212210x z x x +=⇒+-=， 解得：13x y -±==，3z =+ 113(M -+13-+23)-，213(M --13--23)， 由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取到处取得，而22132()3)95-±++=+3 所以最大值和最小值分别为：1953max M d d =+，2953min M d d ==-故答案为：[953-953]+．16．已知A 、B 为椭圆22:143x y C +=上两点，线段AB 的中点在圆221x y +=上，则直线AB 在y 轴上截距的取值范围为 ．解：设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，线段AB 的中点为(,)m n ，则221m n +=， ∴22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减整理得，121212123()4()y y x x x x y y -+=--+ ①当0n ≠，即10n -<或01n <时，121234y y mx x n-=--，此时直线AB 的方程为3()4my n x m n-=--， 令0x =，则222343(1)313()44444m n n n y n n n n n n +-=+==+=+，若10n -<，则13()4y n n=+在[1-，0)上单调递减，1y ∴-；若01n <，则13()4y n n =+在(0，1]上单调递减，1y ∴，(y ∴∈-∞，1][1-，)+∞；②当0n =时，直线AB 过点(1,0)或(1,0)-，且垂直于x 轴，在y 轴上无截距． 综上所述，直线AB 在y 轴上截距的取值范围为(-∞，1][1-，)+∞． 故答案为：(-∞，1][1-，)+∞．。
2021年新高考数学选择填空专项练习题二(附答案解析)
2021年新高考数学选择填空专项练习题二一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，若复数z ＝2＋a i2－i(a ∈R)的实部与虚部相等，则a 的值为( )A ．2 B.32 C.23 D ．－2C [∵z ＝2＋a i 2－i ＝(2＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝4－a 5＋2a ＋25i 的实部与虚部相等，∴4－a ＝2a ＋2，即a ＝23.故选C.]2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆BB [A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜0或2＜x ＜3}，A ∪B ＝R ，故选项B 正确．]3．已知矩形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，现向矩形ABCD 内随机投掷质点M ，则满足MB →·MC→≥0的概率是( )A.π4 B.4－π4 C.π2D.π－24B [建立如图所示的直角坐标系，则B (0,0)，C (4,0)，A (0,2)，D (4,2)．设M (x ，y )，则MB →＝(－x ，－y )，MC →＝(4－x ，－y )，由MB →·MC→≥0得(x －2)2＋y 2≥4，由几何概型概率公式得：p ＝S 阴S 矩＝1－2π8＝4－π4，故选B.] 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＝6，S 10＝100，则a 5＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 3＝6，S 10＝100，∴2a 1＋2d ＝6 ,10a 1＋10×92d ＝100，联立解得a 1＝1，d ＝2.则a 5＝1＋2×4＝9.故选B.] 5．根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝b x ＋a .若a ＝7.9，则x 每增加1个单位，y 就( ) A ．增加1.4个单位 B ．减少1.4个单位C ．增加1.2个单位D ．减少1.2个单位B [设变量x ，y 的平均值为：x ，y ， ∴x ＝15(3＋4＋5＋6＋7)＝5， y ＝15(4.0＋2.5－0.5＋0.5－2.0)＝0.9， ∴样本中心点(5,0.9)，∴0.9＝5×b ＋7.9，∴b^＝－1.4，∴x 每增加1个单位，y 就减少1.4个单位．故选B.] 6．(2019·泰安二模)如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是( )D [由题意可知经过P 、Q 、R 三点的平面如图，可知N 在经过P 、Q 、R 三点的平面上，所以B 、C 错误；MC 1与QE 是相交直线，所以A 不正确；故选D.]7．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12 B [设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m ＞c ，又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1≥c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，e 4－3e 2＋1≥0，e 2≤3－52＝⎝⎛⎭⎪⎫5－122，∴0＜e ＜5－12，故选B.] 8．下列函数既是奇函数，又在[－1,1]上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|sin x | B ．f (x )＝lne －xe ＋xC ．f (x )＝12(e x －e －x ) D ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )C [f (x )＝|sin x |为偶函数，故A 不符合题意；对于B ，f (x )＝lne －x e ＋x ，其定义域为(－e ，e)，有f (－x )＝ln e ＋x e －x ＝－ln e －xe ＋x＝－f (x )，为奇函数，设t ＝e －x e ＋x ＝－1＋2ex ＋e，在(－e ，e)上为减函数，而y ＝ln t 为增函数，则f (x )＝lne －x e ＋x在(－e ，e)上为减函数，不符合题意；对于C ，f (x )＝12(e x －e －x )，有f (－x )＝12(e －x －e x )＝－12(e x －e －x )＝－f (x )，为奇函数，且f ′(x )＝12(e x ＋e －x )＞0，在R 上为增函数，符合题意； 对于D ，f (x )＝ln(x 2＋1－x )，其定义域为R ，f (－x )＝ln(x 2＋1＋x )＝－ln(x 2＋1－x )＝－f (x ) ，为奇函数，设t ＝x 2＋1－x ＝1x 2＋1＋x，y ＝ln t ，t 在R 上为减函数，而y ＝ln t 为增函数，则f (x )＝ln(x 2＋1－x )在R 上为减函数，不符合题意．故选C.]9．若函数f (x )＝12cos 2x －2a (sin x ＋cos x )＋(4a －3)x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥32 B.32＜a ＜3 C ．a ≥1D ．1＜a ＜3A [∵f (x )＝12cos 2x －2a (sin x ＋cos x )＋(4a －3)x ， ∴f ′(x )＝－sin 2x －2a (cos x －sin x )＋4a －3. ∵函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，可得f ′(0)≥0，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin 0－2a (cos 0－sin 0)＋4a －3≥0，－sin π－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2－sin π2＋4a －3≥0， 解得a ≥32.∴实数a 的取值范围为a ≥32.故选A.]10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≤1ln x ，x ＞1，g (x )＝f (x )－ax ＋a ，若g (x )恰有1个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0,1]C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)A [由g (x )＝f (x )－ax ＋a ＝0得f (x )＝a (x －1)， ∵f (1)＝1－3＋2＝0， ∴g (1)＝f (1)－a ＋a ＝0，即x ＝1是g (x )的一个零点，若g (x )恰有1个零点， 则当x ≠1时，函数f (x )＝a (x －1)，没有其他根， 即a ＝f (x )x －1没有根， 当x ＜1时，设h (x )＝f (x )x －1＝x 2－3x ＋2x －1＝(x －1)(x －2)x －1＝x －2，此时函数h (x )为增函数，则 h (1)→－1，即此时h (x )＜－1，当＞1时，h (x )＝f (x )x －1＝ln xx －1，h ′(x )＝1x ·(x －1)－ln x (x －1)2＜0，此时h (x )为减函数， 此时h (x )＞0，且h (1)→1， 即0＜h (x )＜1，作出函数h (x )的图象如图： 则要使a ＝f (x )x －1没有根，则a ≥1或－1≤a ≤0， 即实数a 的取值范围是[－1,0]∪[1，＋∞)，故选A.]二、多选题：本题共3个小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分．11．已知圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，则下列说法中正确的是( )A ．圆M 的圆心为(4，－3)B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8C ．圆M 的半径为25D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6ABD [圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0， 则圆M 的标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 圆M 的圆心坐标(4，－3)，半径为5.显然选项C 不正确，ABD 均正确．故选ABD.]12．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有( )A ．C 13C 12C 11C 13 B ．C 24A 33C ．C 13C 24A 22D ．18BC [根据题意，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个．有2种解法：法一：(先分组，再排列)：先将四个不同的小球分成3组，有C 24种分组方法，再将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A 33种放法，则没有空盒的放法有C 24A 33种．法二：(先选，再排列)：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C 13C 24种情况，将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A 22种放法，则没有空盒的放法有C 13C 24A 22种，故选BC.]13．已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)且满足a n ＋4S n －1S n ＝0(n ≥2)，a 1＝14，则下列说法错误的是( )A ．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4nB ．数列{a n }的通项公式为a n ＝14n (n ＋1)C ．数列{a n }为递增数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为递增数列ABC [由a n ＋4S n －1S n ＝0(n ≥2)，得S n －S n －1＝－4S n －1S n ，∴1S n －1S n －1＝4(n ≥2)，∵a 1＝14，∴1S 1＝4，则1S n＝4＋4(n －1)＝4n ，则S n ＝14n ，S 1＝a 1＝14成立，∴S n ＝14n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14，n ＝1－14n (n －1)，n ≥2.故选ABC.]三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．14．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝____________.23 [设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝21×4＋5＝23.]15．在△ABC 中，三边长分别为a ，a ＋2，a ＋4，最小角的余弦值为1314，则a ＝________；这个三角形的面积为________．31534 [设最小角为α，故α对应的边长为a ，则cos α＝(a ＋4)2＋(a ＋2)2－a 22(a ＋4)(a ＋2)＝a 2＋12a ＋202a 2＋12a ＋16＝1314，解得a ＝3.∵最小角α的余弦值为1314， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.∴S △ABC ＝12×(a ＋4)(a ＋2)sin α＝12×35×3314＝1534.]16．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为棱AA 1上任意一点，则四棱锥P -BDD 1B 1的体积为________．13 [VABD -A 1B 1D 1＝12V 正方体＝12， VP -BDD 1B 1＝23VABD -A 1B 1D 1＝13.]17．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为________．y ＝±3x [如图： ∵|NF 1|＝2|MF 1|， ∴M 为NF 1的中点． 又OM ⊥F 1N ， ∴∠F 1OM ＝∠NOM . 又∠F 1OM ＝∠F 2ON ， ∴∠F 2ON ＝60°，∴双曲线的渐近线斜率为k ＝tan 60°＝3，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .]。
2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练(27)(含答案解析)
2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练（27）1. 已知全集U 为实数集，集合{}|13A x x =-<<，(){}|ln 1B x y x ==-，则集合A B 为（ ）A. {}|13≤<x xB. {}|3x x <C. {}|1x x ≤-D. {}|11x x -<<【答案】D 【解析】分析：由题意首先求得集合A 和集合B ，然后结合集合运算的定义进行交集运算即可求得最终结果. 详解：求解对数函数()ln 1y x =-的定义域可得：{}|1B x x =<， 结合交集的定义可得：集合A B ⋂为{}|11x x -<<. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查结合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12z z =（ ） A 1- B. 1C. 3455i -+ D.3455-i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到22z i =--，再根据复数的乘除法运算法则可得结果. 【详解】依题意可得22z i =--，所以122(2)(2)342555z i i i i z i ---+===-+--， 故选：C .【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.3. 已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l ⊥，则sin 2α=（ ）A.23B. 35±C.35D.35【答案】D 【解析】分析：根据直线的垂直，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出． 详解：因为l 1⊥l 2，所以sinα﹣3cosα=0， 所以tanα=3， 所以sin2α=2sinαcosα=2222sin cos 2tan 3.sin cos 1tan 5αααααα==++故选D ．点睛：本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式，本题利用了sin 2θ+cos 2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.4. 泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A. 甲走桃花峪登山线路 B. 乙走红门盘道徒步线路 C. 丙走桃花峪登山线路 D. 甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】 【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.5. 已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a =“0OA OB ⋅=”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420,0y xy a -+-=∆>，由121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=，可得()21212520y y a y y a -++=，根据韦达定理解出a ，进而可得结果.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420y xy a -+-=， 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <，2121242,55a a y y y y -∴+==， 121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=， ()()1212220y a y a y y ∴--+=， ()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a aa a -∴⨯-⨯+=，解得a =则“a =0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义、直线与圆的位置关系，以及平面向量数量积公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.6. 如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A. (2,6)B. (6,8)C. (8,12)D. (10,14)【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义可得2A AF x =+，从而FAB 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+，确定B 点横坐标的范围，即可得到结论． 【详解】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，），由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+，由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B 点横坐标的范围是关键，属于中档题.7. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π,设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V =（ ）A. 2B.32C. 1D.34【答案】A 【解析】 【分析】先求出酒杯下部分（半球）的表面积为22R π，得到圆柱侧面积为283R π，进一步得到酒杯上部分（圆柱）的高为43R ，然后分别求出1V ，2V ，得到答案. 【详解】设酒杯上部分（圆柱）的高为h球的半径为R ，则酒杯下部分（半球）的表面积为22R π酒杯内壁表面积为2143R π，得圆柱侧面积为223214R R ππ-=283R π，酒杯上部分（圆柱）的表面积为2283R h R ππ⨯=，解得43h R =酒杯下部分（半球）的体积332142233V R R ππ=⨯⨯= 酒杯上部分（圆柱）的体积2314433R V R R ππ=⨯= 所以133224323R V V R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积和体积、圆柱侧面积和体积，属于中档题.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是（ ）A.B.C.D.53【答案】B 【解析】 【分析】先由120MF MF ⋅=，得12F MF ∠为直角，可得1212OM F F =，即可得(),M a b ，然后利用直线斜率公式求解即可.【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为120MF MF ⋅=，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上， 解得m a =，故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率23b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率22211c bea a==+=.故选：B.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，重点考查了双曲线渐近线方程及直线的斜率公式，属中档题. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（）A. P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商B. 三家设备商的产品组合指标得分相同C. 在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商D. 除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商【答案】ABD【解析】【分析】根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD均正确.【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，P 设备商的研发投入在最外边，即P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商，故A 正确； 三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B 正确；R 设备商的研发投入优于Q 设备商，故C 错误；除产品组合外，P 设备商其他4项指标均在最外边，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.10.已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，12,,FP FP 3,FP ⋅⋅⋅组成公差为()0d d >的等差数列，则（ ）A. 该椭圆的焦距为6B. 1FP 的最小值为2C. d 的值可以为310D. d 的值可以为25【答案】ABC 【解析】 【分析】先由椭圆2212516x y +=，得到焦距，判断A 是否正确，椭圆上的动点P ，分析1||PF 的取值范围，判断BCD 是否正确，得到答案.【详解】由椭圆2212516x y +=，得5a =，4b =，3c =，故A 正确； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有12||8PF ≤≤， 故1FP 的最小值为2，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12,8n a a ≥≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310， 故C 正确，D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题. 11.对于四面体ABCD ，下列命题正确的是（ ） A. 由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD 的垂心B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点C. 若分别作ABC 和ABD △的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面D. 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意画出图形，数形结合一一分析可得；【详解】解：如图取AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、DC 的中点,,,,,F E I J H G对于A .三角形的垂心是三条高线的交点，而A 点的位置可以任意变化，故A 错误；对于B.////EI CD JH ，////JE AB IH ，JEIH 为平行四边形，同理EFGH 也是平行四边形，FG ，EH 的交点为平行四边形EFGH 对角线EH 的中点，EH ，JI 的交点为平行四边形JEIH 对角线EH 的中点，故三条线段交于一点，故B 正确；若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于AB 的中点，故C 为错误；对于D.假设D 错误，设AB 最长，则AC AD AB +≤，BC BD AB +≤，相加得2AC AD BC BD AB +++≤，在ABC ，ABD △中，AC BC AB +>，AD BD AB +>，所以2AC AD BC BD AB +++>矛盾， 故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题． 12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.己知函数()421xxe f x e =-+，则（ ）A. x R ∀∈，[][]1x x x ≤<+B. ()()g x f x =⎡⎤⎣⎦是偶函数C. ,x y R ∀∈，[][][]x y x y +≤+D. 若()f x 的值域为集合M ，t M ∃∈，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】ACD 【解析】 【分析】由取整函数的定义判断.【详解】由定义得[][]1x x x ≤<+，故 A 正确；因为()442211x x xe f x e e=-=-++.易知()421x f x e =-+在R 上是增函数； ∵0x e >，∴11x e +>，∴()22f x -<<，∴()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域为{}2,1,0,1--，故B 错误.,x y R ∀∈，[]x x a =+，[]y y b =+，[),0,1a b ∈，∴[][]x y x a y b +=+++，[][][]x y x y +=++[]a b +， ∴[][][]x y x y +≤+，故C 正确；若t M ∃∈，()2,2M =-，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则1t ≤<t ≤<t ≤<t <…t ≤<=若6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <只有5n ≤时，存在t ∈故D 正确； 故答案为：ACD .【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan 1α=，则2cos sin cos 3sin αααα+=+______.【答案】34【解析】 【分析】利用商数关系，由tan 1α=得到sin cos αα=代入2cos sin cos 3sin αααα++求解.【详解】方法一：sin tan 1sin cos cos ααααα==⇒=，则2cos sin 2cos cos 3cos 3sin cos 3cos 4αααααααα++==++. 方法二：分子分母同除cos α，得2cos sin 2tan 213cos 3sin 13tan 134αααααα+++===+++.故答案为：34【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.已知单位向量a ，b 满足3a b -=，则向量a 与b 的夹角为______.【答案】23π 【解析】 【分析】首先根据平面向量的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量a ，b 满足3a b -=，得23a b -=，所以2223a a b b -⋅+=，12a b ⋅=-，所以1cos ,2a ba b a b⋅==-⋅，又[],0,πa b ∈,所以2,3a b π=. 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律以及夹角的计算，属于基础题.15.设函数()()142302x x xf x x +-+=≤的最小值为m ，且()()()1101112mx x a a x +++=+++()()()2101121011222a x a x a x ++⋅⋅⋅++++，则m =______，1a =______.【答案】 (1). 2 (2). 9【分析】化简函数()f x ，换元后利用32y t t=+-的单调性求出最小值即可得出2m =，将()()21111x x +++转化为()()2112121x x +-++-，再利用展开式的通项即可得到答案.【详解】由()142332222x x xx xf x +-+==+-， 令(]20,1xt =∈，因为函数32y t t=+-，(]0,1t ∈为减函数， 所以当1t =时，min 2y =， 即2m =，所以()()()()11211112121mx x x x +++=+-++-， 因为()1121x +-的展开式通项为：()()111121rrrC x -+⨯-，所以当111r -=，即10r =时，展开式的项为()112x +， 又()()()22212221x x x +-=+-++，所以11129a =-=. 故答案为：2；9【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项展开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题.16.已知函数()cos2f x x =，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作yg x ，己知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,n π内恰有2021个零点，则n =______. 【答案】1347【分析】先求出()sin g x x =，()22sin sin 1F x x x λ=-++，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，则关于t的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ，又1212t t =-，则1t 、2t 异号，再对1t 、2t 分四种情况讨论得解.【详解】将函数()cos2y f x x ==的图象向右平移4π个单位，得到函数 cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，令()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ，又1212t t =-，则1t 、2t 异号， （ⅰ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅱ）当101t <<且21t >时，则方程1sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 有偶数个根，2sin x t =无解，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅲ）当11t =，则2102t =-<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上只有一个根，在区间()1347,1348ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数解，在区间()1347,1348ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合题意； （ⅳ）当11t =-时，则212t =， 当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数根，在区间()1347,1348ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上有两个实数解，在区间()1347,1348ππ上无实数解，因此关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根， 此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-. 所以1347n =. 故答案为：1347.【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2025高考数学一轮复习课件题组层级快练33
因为 CF＝ 2BF，所以 sin∠CBF＝ 22，
又∠CBF<∠ABC＝2π 3 ，所以∠CBF＝π4 ，
所以∠ABF＝2π 3 －π4 ＝51π2 ，∠AFB＝π－51π2 －π6 ＝51π2 ，
则在△ABF 中，∠ABF＝∠AFB，所以 AF＝AB＝2，
所以 S△ABF＝12×2×2×sin
3. 小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一
个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧 C，D 两点间的
距离，除了观测点 C，D 外，他又选了两个观测点 P1，P2，且
P1P2＝a，已经测得∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的
角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出 C，D
√B．A，D 之间的距离为 15 2海里 √C．A，B 两处岛屿间的距离为 15 6海里
D．B，D 之间的距离为 30 3海里
解析 由题意可知 CD＝30，∠ADC＝90°＋15°＝105°， ∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝90°－∠BCA＝90° －60°＝30°，所以∠CAD＝180°－∠ADC－∠ACD＝180 °－105°－30°＝45°≠60°，故 A 错误；∠ADB＝15°＋ 45°＝60°，在△ACD 中，由正弦定理得sinA3D0°＝sin3405°，
题组层级快练(三十三)
一、单项选择题 1．如图，一架飞机从 A 地飞往 B 地，两地相距 500 km.飞行员为了避开某一区域的雷 雨云层，从 A 点起飞以后，就沿与原来的飞行方向 AB 成 12°角的方向飞行，飞行到中途 C 点．再沿与原来的飞行方向 AB 成 18°角的方向继续飞行到终点 B 点，这样飞机的飞行 路程比原来的路程 500 km 大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)( )
【高三】2021年5月高考理科数学三轮考试题(带答案福建师大附中)
【高三】2021年5月高考理科数学三轮考试题（带答案福建师大附中）福建省福建师大附中2021届5月高考三轮模拟试卷数学科学试题注意事项：1.本科考试分为试卷和答卷。
考生必须在答题纸上作答。
答题前，请在答题纸的密封行填写学校、班级、入学证号码和姓名；2．本试卷分为第ⅰ卷()和第ⅱ卷(非)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：第ⅰ卷（选择题共50分）一、多项选择题（本主题共有10个子题，每个子题得5分，共50分。
如果每个子题中给出的四个选项中只有一个符合问题的要求，请在答题表的相应位置填写答案。
）1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（）a、第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．设，则“”是“直线与直线平行”的（）a、充分和不必要的条件B.必要和不充分的条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件3.已知集合、和，然后（）a.4b.5c.6d.74.设z=x+y，其中x和y满足当z的最大值为6时，的值为（）a.3b.4c.5d.65.按照下面的程序框图运行相应的程序。
如果输入，输出值为（）a.12b.6c.3d.06.如果三个内角的对应边按等差顺序排列，则该角度等于（）a.b.c、 d。
7．设，则二项式展开式中的项的系数为（）a、 b.20c.d.1608.如下图所示，如果在边长为2（包括立方体表面）的立方体中取任意点，则概率（）a.b.c.d.9.给定平面上的线段和点，在任意点取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记录为。
设其为长度为2的线段，点集表示的图形面积为（）a.b.c.d.10.如下图所示，有三个针和一个金属片套在一个针上。
按照以下规则将所有金属片从一根针移动到另一根针。
（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每个针上较大的金属片不能放在较小的金属片上。
若将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则=（）a、 33b。
31c。
2021高三数学(理)人教版一轮复习专练32 数列求和
专练32 数列求和命题范围：数列求和常用的方法[基础强化]一、选择题1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2 2．[2020·山东临沂高三测试]等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)23．[2020·河南平顶山高三测试]数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n 项和为( )A.n n ＋1B.2n n ＋1C.4n n ＋1D.n 2(n ＋1)4．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n ＋1＋n 的前2 018项的和为( ) A. 2 018＋1 B. 2 018－1 C. 2 019＋1 D. 2 019－1 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ＝2，则其前100项和为( ) A ．250 B ．200 C ．150 D ．1006．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．07．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1a 1＋a 2＋…＋a n，则数列{b n }的前n 项和T n 为( )A.n ＋12(n ＋2)B.34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)C.n －1n ＋2D.34－2n ＋3(n ＋1)(n ＋2)8．[2020·资阳一中高三测试]已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( ) A ．1 121 B ．1 122C ．1 123D ．1 1249．设函数f (x )＝12＋log 2x1－x ，定义S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ，其中，n ∈N *，n ≥2，则S n 等于( )A.n (n －1)2B.n －12－log 2(n －1) C.n －12 D.n －12＋log 2(n －1) 二、填空题10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝________.11．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和为________．12．[2020·河南郑州一中高三测试]在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝0，a 2＋a 4＝－2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前10项和是________．[能力提升]13．已知数列{a n }满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N )，且a 1＝1，a 5＝9，b n ＝C n －199·a n ，则数列{b n }的前100项的和为( ) A ．100×299 B ．100×2100 C ．50×299 D ．50×210114．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( ) A.110 B.15 C.111 D.21115．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.16．[2020·湖南郴州高三测试]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则数列{na n }的前n 项和T n 为________．专练32 数列求和1．C S n ＝(2＋22＋ (2))＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝2(1－2n )1－2＋(1＋2n －1)n 2＝2n ＋1－2＋n 22．A ∵a 2，a 4，a 8成等比，∴a 24＝a 2a 8， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，得a 1＝d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n ＋1)．3．B ∵11＋2＋3＋…＋n ＝2(1＋n )n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋14．D ∵1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，∴S 2 018＝2－1＋3－2＋…＋ 2 019－ 2 018＝ 2 019－15．D 当n ＝2k －1时，a 2k ＋a 2k －1＝2，∴{a n }的前100项和S 100＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 99＋a 100)＝50×2＝100，故选D.6．A ∵a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2018＝336×0＋a 2017＋a 2018＝a 1＋a 2＝3.故选A.7．B 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)，所以b n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，故T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)，故选B.8．C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.选C.9．C ∵f (x )＋f (1－x )＝1＋log 2x1－x＋log 21－x x ＝1，又S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ， ∴S n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ， ∴2S n ＝n －1，∴S n ＝n －12. 10．18解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.11.2011解析：∵a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，∴a n －a 1＝(2＋n )(n －1)2，∴a n ＝1＋(n ＋2)(n －1)2＝n 2＋n2(n ≥2) 又当n ＝1时a 1＝1符合上式，∴a n ＝n 2＋n 2∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 12.5256解析：∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 3＝2a 2＝0， ∴a 2＝0，a 2＋a 4＝2a 3＝－2，∴a 3＝－1，∴d ＝a 3－a 2＝－1，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2－n ，∴S n ＝120＋021＋…＋2－n 2n －1，∴12S n ＝121＋022＋…＋3－n 2n －1＋2－n 2n ，∴12S n ＝120＋⎝⎛⎭⎪⎫－121＋－122＋…＋－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，∴S n ＝n 2n －1，S 10＝1029＝5256.13．A 由2a n ＝a n ＋1＋a n －1知{a n }为等差数列，又a 1＝1，a 5＝a 1＋4d ，∴d ＝2，｀∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴{b n }的前100项的和S 100满足：S 100＝C 099a 1＋C 199a 2＋…＋C 9999a 100，∴S 100＝C 9999a 100＋C 9899a 99＋…＋C 099a 1＝C 099a 100＋C 199a 99＋…＋C 9999a 1，∴2S 100＝(a 1＋a 100)(C 099＋C 199＋C 299＋…＋C 9999)＝200×299， ∴S 100＝100×299.14．C ∵2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)， ∴2a 1＋22a 2＋…＋2n －1a n －1＝n －1(n ≥2)，∴2na n ＝1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，故a n ＝12n ，故1log 2a n log 2a n ＋1＝1log 22－n log 22－(n ＋1)＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，∴S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝111，选C.15．－1n解析：∵a n ＋1＝S n S n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴1S n ＋1－1S n＝－1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列，∴1S n ＝1S 1＋(n －1)×(－1)＝－n .∴S n ＝－1n .16．(n －1)2n ＋1解析：∵S n ＝2a n －1(n ∈N *)，∴n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n－1－(2a n －1－1)，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1.∴na n ＝n ·2n －1.则数列{na n }的前n 项和T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1. ∴2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ，∴－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴T n ＝(n －1)2n ＋1.。
2021年新高考数学选择填空专项练习题(附答案解析)
2021年新高考数学选择填空专项练习题一、选择题1．已知集合A ＝{2,3,4}，集合B ＝{m ，m ＋2}，若A ∩B ＝{2}，则m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4A [因为A ∩B ＝{2}，所以m ＝2或m ＋2＝2.当m ＝2时，A ∩B ＝{2,4}，不符合题意；当m ＋2＝2时，m ＝0.故选A.]2．若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋4i|，则z 的虚部为( ) A ．5 B.52 C ．－52D ．－5B [由(1＋i)z ＝|3＋4i|＝32＋42＝5，得z ＝51＋i ＝5(1－i )(1＋i )(1－i )＝52－52i ， ∴z ＝52＋52i ，其虚部为52.故选B.]3．已知a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋3)，c ＝(m －2，－1)，若a ∥b ，则b ·c ＝( ) A ．－7 B ．－3 C ．3D ．7B [由a ∥b ，得2m －(m ＋3)＝0，则m ＝3，b ＝(3,6)，c ＝(1，－1)，所以b·c ＝－3.故选B.]4．已知集合M ＝{x |x ＜2}，N ＝{x |x 2－x ＜0}，则下列正确的是( ) A ．M ∪N ＝R B ．M ∪∁R N ＝R C ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝MB [因为N ＝{x |x 2－x ＜0}＝{x |0＜x ＜1}，所以∁R N ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以M ∪∁R N ＝R.故选B.]5．设a ∈R ，i 为虚数单位．若复数z ＝a －2＋(a ＋1)i 是纯虚数，则复数a －3i 2－i 在复平面上对应的点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－85 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－75，－45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，75D.⎝ ⎛⎭⎪⎫75，－45 D [因为复数z ＝a －2＋(a ＋1)i 是纯虚数，所以a －2＝0，解得a ＝2，所以复数a －3i 2－i ＝2－3i 2－i ＝75－45i ，所以复数a －3i 2－i 在复平面上对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫75，－45.故选D.]6．(2019·泸州二诊)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝3，AC ＝4，则BC→在CA →方向上的投影是( ) A ．4 B ．－4 C ．3D ．－3B [在△ABC 中，∵|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2＝AB →2－2AB →·AC →＋AC →2， ∴AB →·AC →＝0， ∴AB→⊥AC →. 又AB ＝3，AC ＝4，∴BC →在CA →方向上的投影是|BC →|·cos 〈BC →，CA →〉＝|BC →|·cos(π－∠ACB )＝－|BC →|·cos ∠ACB ＝－|AC→|＝－4.如图所示，故选B.] 7．(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB→＋AC →|＞|BC →|”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件C [若|AB →＋AC →|＞|BC →|，则|AB →＋AC →|2＞|BC →|2，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＞|BC →|2，∵点A ，B ，C 不共线，∴线段AB ，BC ，AC 构成一个△ABC ，设内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，AB→2＋AC →2＋2AB →·AC →＞|BC →|2，即c 2＋b 2＋2bc ·cos A ＞c 2＋b 2－2bc ·cos A ，∴cos A ＞0，又A ，B ，C 三点不共线，故AB →与AC →的夹角为锐角．反之，易得当AB →与AC →的夹角为锐角时，|AB→＋AC →|＞|BC →|，∴“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的充分必要条件，故选C.]8.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．134B ．67C ．200D ．250B [设大正方形的边长为2x ，则小正方形的边长为3x －x ，向弦图内随机抛掷500颗米粒(大小忽略不计)，设落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为a ，则a 500＝(3x －x )2(2x )2，解得a ＝500×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－234≈67.故选B.] 9．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9C [由x ＋y ＝(x ＋1)＋y －1＝[(x ＋1)＋y ]·1－1＝[(x ＋1)＋y ]·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y －1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋1＋x ＋1y －1≥3＋4y x ＋1·x ＋1y＝7. 当且仅当x ＝3 ，y ＝4时取得最小值7.故选C.]10．[新题型：多选题]若b ＜a ＜0，则下列结论正确的是( ) A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C.1a ＜1bD ．|a |＋|b |＞|a ＋b |ABC [A 项，∵b ＜a ＜0，∴a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )＜0，故A 正确， B 项，∵b ＜a ＜0，∴ab －b 2＝b (a －b )＜0，故B 正确，C 项，∵b ＜a ＜0，两边同除以ab ，可得1a ＜1b ，故C 正确， D 项，|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误，故选ABC.]11．(2019·上饶市二模)多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中x 3的系数是( )A ．－184B ．－84C ．－40D ．320A [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中各项系数和为3，令x ＝1，得(1＋a )(1－2)6＝3，解得a ＝2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6＋x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中含x 4的项的系数为C 16(－2)1＝－12，常数项为C 36(－2)3＝－160，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中x 3项的系数是2×(－12)＋1×(－160)＝－184.故选A.]12．(2019·潮州模拟)若A 、B 、C 、D 、E 五位同学站成一排照相，则A 、B 两位同学至少有一人站在两端的概率是( )A.15B.310C.710D.35C [五名同学站成一排照相，共有A 55＝120种排法. A 、B 两位同学都不站在两端的排法有A 23A 33＝36种，∴A 、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为P＝1－36120＝84120＝710.故选C.]二、填空题13．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9·(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．1或－3 [令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.]14．(2019·滨州模拟)若关于x 的不等式x 2＋mx ＋2＞0在区间[1,2]上有解，则实数m 的取值范围为________．(－3，＋∞) [x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋2＞0可化为m ＞－x －2x ， 设f (x )＝－x －2x ，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]内的最小值为f (1)＝f (2)＝－3，∴关于x 的不等式x 2＋mx ＋2＞0在区间[1,2]上有解， 实数m 的取值范围是m ＞－3.]15．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．甲说：“乙或丙当选．”乙说：“甲、丙都未当选．”丙说：“我当选了．”丁说：“乙当选了．”若四位同学中只有两人说的是真话，则当选的同学是________．丙 [若甲当选，则四人都说假话，不符合题意；若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意；若丙当选，则甲、丙都说真话，乙、丁都说假话，符合题意；若丁当选，则甲、丙、丁都说假话，乙说真话，不符合题意．综上，当选的同学是丙．]16．(2019·怀化一模)已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，则(P A →＋PB →)·(PC→＋PD →)的最小值为________． －4 [由题意，以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，建立平面直角坐标系，如图．因为正方形ABCD 的边长为2，所以A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，－y )，PB→＝(2－x ，－y )，PC→＝(2－x,2－y )，PD →＝(－x,2－y )， 所以P A →＋PB →＝(2－2x ，－2y )， PC→＋PD →＝(2－2x,4－2y )， 因此(P A →＋PB →)·(PC→＋PD →)＝4(1－x )2－4y (2－y )＝4(x －1)2＋4(y －1)2－4≥－4，当且仅当x＝y＝1时，取最小值．]。
新高考2021年高三数学高考三模试题卷三附答案解析
新高考2021年高三数学高考三模试题卷三第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足，则z 的虚部是（ ） A ．B ．1C ．D ．i3．“”是“函数在上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．5．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解（分解率为）至少需要经过（ ）（参考数据） A ．120个月B ．64个月C ．52个月D ．48个月6．如图，是的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ） A ．12B ．10C ．8D ．98．，，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（ ）{}ln 1A x x =>{B x y ==()A B =R {}21x x -≤≤{}2x x e -≤≤{}21x x -<≤{}2x x e -<≤2i z z -=1-i -0m ≤()ln f x x mx =-(]0,122sin 2cos 3y x x =+-1-112-5-v t t v a b =⋅a b 10%20%100%lg 20.3≈AB O C D AB AB =a AC =bAD 12-a b 12-a b 12+a b 12+a b 2(0xy aa -=>1a ≠A A 221x y m n+=m n +A B C D E A C BA ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等比数列的公比为q ，其前n 项和为，前n 项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．在中，如下判断正确的是（ ） A ．若，则为等腰三角形 B ．若，则C ．若为锐角三角形，则D ．若，则11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则（ ）A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线有2条12．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（ ） A ．0 B ． C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程中，当变量x 增加一个单位时，平均减少个单位． 161331035{}n a n S n T 11a >201920201a a >20192020101a a -<-20192020S S <2019202110a a -<2020T {}n T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =ABC △A B >sin sin A B >ABC △sin cos A B >sin sin A B >A B >xOy P ()1F )2F 13P E ():2l y k x =-E A B E 2213x y -=E E 2221x y AB =l ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+a 12-1-13-ˆˆˆybx a =+(),x y r ˆ20.5yx =-ˆy 0.5其中说法正确的是__________． 14．若，则被4除得的余数为__________． 15．有以下四个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线； ②是偶函数；③在上不是单调函数； ④恰有两个零点．若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式_____________．16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使得， 则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则； ④若函数具有性质，则． 其中，正确结论的序号是________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①，；②，，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列为等差数列，数列为等比数列，数列前项和为，数列前项和为，，，______．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．()20222202201220222x a a x a x a x +=++++0242022a a a a +++()f x R ()f x ()f x ()0,∞+()f x ()f x =()g x =()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-M 2x x e e y -+=M 8log (2)y x =+[0,]x t ∈M 510t =3sin 4x ay +=M 5a =226a b +=3311+=a b 312S =531T ={}n a {}n b {}n a n n S {}n b n n T 11a =11b ={}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n18．（12分）的内角，，的对边分别是，，． （1）求角的大小；（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积．(从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)19．（12分）在年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了年前个月份企业的利润，如下表所示：（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润（万元）关于月份的回归直线方程，并预测年月份该企业所获得的利润；（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三个环节中生产的产品合格的概率为，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为元，第四个环节中产品合格的概率为，不合格产品需要的修复费用为元，设每件产品修复的费用为元，写出的分布列，并求出每件产品需要修复的平均费用．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，为样本数据的平均值．20．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E 与F 重合，如图2． （1）设平面平面，证明：；（2）若二面角的余弦值为，求长．ABC △A B C a b c sin cos c B C -=B 3b =D AC 2BD =ABC △BD B D AC 202020205ˆˆˆybx a =+202012121003450ξξˆˆˆybx a =+1221ˆni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑ˆˆay bx =-x y ABCD ABE Rt △CDF Rt △2AB =ABE △CDF △,AB CD ABECDE l =//l CD A BE D --5AE21．（12分）已知函数，其中实数． （1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．22．（12分）已知椭圆的左焦点为F ，过F 的直线与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形． （1）求椭圆的方程；（2）若的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由． 答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意，，所以，因为，故，故选B ．2．【答案】A【解析】设，因为，可得， 则，可得，所以复数的虚部是，故选A ． 3．【答案】A【解析】由可得， 若在上为增函数，则在恒成立， 即在恒成立，则， ()axf x e ex =-0a ≠()f x 0x ≥()()21f x x ≥-a 22221(0)x y a b a b+=>>0x -=MFO ABC △ABC △ABC △{}{}ln 1A x x x x e =>=>{|}A x x e =≤R{{}2B x y x x ===≥-(){}2A B x x e =-≤≤R ()i ,z a b a b =+∈R 2i z z -=()i i 2i 2i z z a b a b b -=--+=-=22b -=1b =-z 1-()ln f x x mx =-1()f x m x'=-()ln f x x mx =-(]0,1()0f x '≥(]0,11m x≤(]0,11m，则可得“”是“函数在上为增函数”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】C【解析】，因为，所以当时等号成立， 所以函数的最大值是，故选C ． 5．【答案】C【解析】依题设有，解得，， 故．令，得，故，故选C ． 6．【答案】D【解析】连接、、，如图．由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则，，则、均为等边三角形，，，，同理可知，(](],0,1-∞-∞0m ≤()ln f x x mx =-(]0,1()222sin 2cos 321cos 2cos 3y x x x x =+-=-+-22112cos 2cos 12(cos )22x x x =-+-=---1cos 1x ≤≤－1cos 2x =22sin 2cos 3y x x =+-12-()()1224120.1240.2v ab v ab ⎧==⎪⎨==⎪⎩1122b =0.05a =()1120.052tv t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭()1v t =112220t⎛⎫= ⎪⎝⎭()11212121210.3lg 201lg 2log205210.3lg 2lg 212t ⨯++===≈=CD ODOC C D AB 60BOD COD AOC ∠=∠=∠=︒OA OC OD ==AOC △COD △60OAC OCD ∴∠=∠=︒OAC BOD ∴∠=∠//OD AC ∴//CD AB所以，四边形为平行四边形，所以，， 故选D ． 7．【答案】D【解析】由于函数，且）向右平移两个单位得，且），即为函数，且），所以定点，由于点在椭圆，所以，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故选D ． 8．【答案】B【解析】和分别站在的两边，则只能在中间3个位置，分类说明： （1）若站在左2位置，从，选一个排在左侧，剩余的3个人排在右侧， 故有种排法；（2）若站在3位置，从，选一个，从，选一个排在左侧，并排列，剩余的2个人排在右侧，故有种排法；（3）若站在右2位置，排法与（1）相同，即有12种排法； 所以和分别站在的两边的排法总共有种排法；，，，，五个人站成一排有种排法，故和分别站在的两边的概率，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】AB【解析】当时，，不成立； 当时，，，不成立；故，且，，故，A 正确；AODC 12AD AO AC =+=+a b 1(0x y a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠21(0x y a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠2(0xy aa -=>1a ≠()2,1A A 221x y m n +=411m n +=0m >0n >()414559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4n mm n=6m =3n =A C B B B A C B B 1323C A 232112=⨯⨯⨯=B A C D E B B 11222222C C A A 222216=⨯⨯⨯=B A C B 12161240++=A B C D E 55A 54321120n ==⨯⨯⨯⨯=A C B 4011203P ==0q <22019202020190a a a q =<1q ≥20191a ≥20201a >20192020101a a -<-01q <<20191a >202001a <<20202019S S >，故B 正确；是数列中的最大值，C 、D 错误，故选AB ． 10．【答案】BCD【解析】选项A ．在中，若，则或， 所以或，所以为等腰或直角三角形，故A 不正确； 选项B ．在中，若，则，由正弦定理可得，即，故B 正确； 选项C ．若为锐角三角形，则， 所以，所以，故C 正确； 选项D ．在中，若，由正弦定理可得， 即，所以，故D 正确， 故选BCD ． 11．【答案】CD【解析】令，即得，∴A 错误；又，，即，故B 错误， 由E 的渐近线为，而圆心为，半径为1，∴到距离为，故的渐近线与圆相切，故C 正确；联立曲线E 与直线的方程，整理得，，∴，，而代入整理2201920212020110a a a -=-<2019T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=A B =2πA B +=ABC △ABC △A B >a b >2sin 2sin R A R B >sin sin A B >ABC △π2A B +>ππ022A B >>->πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭ABC △sin sin A B >22a bR R>a b >A B >(,)P x y 13=221,3x y x -=≠a =2c =3e =y x =2221x y (2,0)(2,0)y =1d ==E 2221xy l 2222(13)123(41)0k x k x k -+-+=210Δk =+>21221231k x x k +=-21223(41)31k x x k +=-12|AB x x =-=22)|||31|k AB k +==-即有或(由与)，故，∴D 正确， 故选CD ． 12．【答案】BD【解析】画出函数的图象：函数有零点，即方程有根的问题． 对于A ：当时，，故，，故，，，， 故方程有4个不等实根； 对于B ：当时，，故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根； 对于C ：当时，， 故，，， 当时，由图象可知，有2个根， 当时，由图象可知，有2个根，21k =20k =0y =221,3xy x -=≠1k =±ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+(())0f f x a +=0a =(())0f f x =()1f x =-()1f x =0x =2x =-1=x ex e =(())0f f x a +=12a =-1(())2f f x =1()2f x =-()f x =()f x =1()2f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=1a =-(())1f f x =()0f x =()f x e =1()f x e=()0f x =()f x e =当时，由图象可知，有3个根， 故方程有7个不等实根； 对于D ：当时，， 故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根， 故选BD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】①②④【解析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1， 所以是正确的；对于③中，根据平均数的计算公式可得，根据方差的计算公式，所以是不正确的； 对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，所以是正确的， 故答案为①②④． 14．【答案】1【解析】由题知，时，①，时，②，由①+②，得， 1()f x e=(())0f f x a +=13a =-1(())3f f x =2()3f x =-()f x =()f x =2()3f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=ˆˆˆybx a =+(,)x y ||r 744471x ⨯+==+()2217244 1.7528s ⎡⎤=⨯+-=<⎣⎦ˆ20.5yx =-x ˆy0.51x =-0123202120221a a a a a a -+-+-+=1x =2022012320223a a a a a +++++=()2022024********a a a a ++++=+故， 所以被4除得的余数是1，故答案为1．15．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）【解析】根据条件②④可得（答案不唯一），根据函数同时满足条件①②③④，可得（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一），（答案不唯一）．16．【答案】①③【解析】依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质．①函数，定义域是R ，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确；②是单调增函数，定义域是R ，， 当且仅当时等号成立，即值域为．对任意的，，要使得，则需，而不存在，使，故不具备性质，故②错误；③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为． 要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，， 即，即，即，202210110242022111()(31)(91)488a a a a ++++=+=+()()101101011110101010110111011101110111011C 118118C 8C 8C 188⎡⎤=++=+++++⎣⎦()010*******10101101110111011118C 8884C C =++++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-10x =∈R 2x ∈R ()()121f x f x =M 2x x e e y -+=12x xe e y -+=≥=0x =[)1,+∞1>0x ()11f x >()()121f x f x ⋅=()21f x <2x ∈R ()21f x <2x xe e y -+=M ()8log 2y x =+[]0,t []0,t ()88log 2,log 2t ⎡⎤+⎣⎦M []10,x t ∈()()188log 2,log 2f x t ⎡⎤∈+⎣⎦[]20,x t ∈()()()()288188111,log 2,log 2log 2log 2f x t f x t ⎡⎤⎡⎤=∈⊆+⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≥⎪+⎪⎨⎪≤+⎪⎩8888log 2log (2)1log 2log (2)1t t ⨯+≤⎧⎨⨯+≥⎩()88log 2log 21t ⨯+=故，即，故，故③正确； ④若函数具有性质，定义域是R ，使得， 一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而， 故或，在此条件下， 另一方面，的值域是值域的子集．的值域为；的值域为， 要满足题意，只需，， 时，，即； 时，，即， 故，即， 即，即，故．故④错误， 故答案为①③．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1），；（2）．【解析】选择①：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）()8821log 2log log 328t +===328t +=510t =3sin 4x ay +=M []sin 1,1x ∈-3sin 0x a +≠x []3sin 3,3x ∈-3a >3a <-43sin y x a =+3sin 4x ay +=3sin 4x a y +=33,44a a -+⎡⎤⎢⎥⎣⎦43sin y x a =+44,33a a ⎡⎤⎢⎥+-⎣⎦3434a a -≥+3434a a +≤-3a <-441,1334334a a a a ⋅≤⋅≥+-+-44133a a ⋅=+-3a >441,1334334a a a a ⋅≥⋅≤+-+-44133a a ⋅=+-44133a a ⋅=+-()()3316a a -+=2916a -=225a =5a =±32n a n =-12n nb -=()8682nn --+{}n a d {}n b ()0q q ≠11a =11b =226a b +=3311+=a b 2161211d q d q ++=⎧⎨++=⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯（1）（2），得， 所以， 所以，所以．选择②：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且． 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）（1）（2），得， 所以， 所以，所以．18．【答案】（1）；（2）选择①：；选择②：． 【解析】（1，，，，则有， 又因为，所以． -()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+{}n a d {}n b ()0q q ≠1q ≠11a =11b =312S =531T =()533121311d q q +=⎧⎨-=-⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯-()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+π3B =2ABC S =△8ABC S =△sin cos c B C -()sin sin cos B C C B B C +-=sin sin sin B C C B =sin 0C ≠tan B =()0,πB ∈π3B =（2）选择条件①为的平分线，因为为的平分线，所以， 又因为， 所以， 又根据余弦定理得，即， 则有，即，解得或(舍)， 所以． 选择②为的中点，则，，， 则有，可得， 又根据余弦定理得，解得， 则． 19．【答案】（1），万元；（2）分布列见解析，修复的平均费用为元． 【解析】（1）由表格数据知，，， 由回归直线经过样本点的中心可知：，，则回归直线方程为， BD B BDB π6ABD DBC ∠=∠=ABC ABD BDC S S S =+△△△1π1π1πsin 2sin 2sin 232626ac a c =⨯+⨯()2a c =+2222cos b a c ac B =+-()293a c ac =+-()23934ac ac =-()24120ac ac --=6ac =2ac =-1sin 2ABCSac B ==D AC 32AD DC ==πBDA BDC ∠=-∠cos cos BDA BDC ∠=-∠22222233222233222222c a ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯22252a c +=229a c ac +-=72ac =1sin 28ABC S ac B ==△9173ˆ22yx =+140.532521234535x ++++==90951051001101005y ++++==()()515222222221519029531054100511053100ˆ12345535i ii ii x y xy b x x==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯∴==++++-⨯-∑∑459102==(),x y 9ˆ10032a =⨯+173ˆ2a ∴=9173ˆ22yx =+预测年月份该企业所获得的利润为（万元）．（2）根据题意知所有可能取值为，，，，，，，，；；；；；；；，的分布列为：，即每件产品需要修复的平均费用为元．20．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）因为，，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，过E作于点O，则O是的中点，因为平面平面，平面，所以平面，以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，202012917312140.522⨯+=ξ050100150200250300350 ()31332432Pξ⎛⎫∴==⨯=⎪⎝⎭()3111502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()2231139100C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2231113150C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131139200C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131113250C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()31333002432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()31113502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ξ∴()05010015020025030032323232323232Eξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+135032⨯3252=3252//CD AB AB ABE CD⊂/ABE//CD ABECD⊂ECD ABE ECD l=//l CD//AB CD CD DE⊥AB DE⊥AB AE⊥AE DE E=AE⊂ADE DE⊂ADEAB⊥ADEAB ABCD ABCD⊥AED⊥EO AD ADABCD AED AD=EO⊂ADEEO⊥ABCDAB OD OEO xyz-设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量；，，设平面的法向量为，则，即，取，则，同理可求得平面的一个法向量为， 所以，解得，当时，，二面角的平面角为钝角，舍去， 所以，此时，所以．21．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1），当时，，故在上单调递减；EO h =(0,1,0)A -(0,1,0)D (2,1,0)B -(0,0,)E h (2,0,0)AB =(0,1,)AE h =(0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-ABE 1(,,)x y z =n 1100AB AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 200x y hz =⎧⎨+=⎩0,x y h ==1z =-ABE 1(0,,1)h =-n (0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-BDE 2222(,,)x y z =n 220ED BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220220y hz x y -=⎧⎨-+=⎩2x h =22,1y h z ==BDE 2(,,1)h h =n 121212cos ,⋅===⋅n n n n n n 2h =3h =21212122cos ,0-⋅====<⋅n n n n n n A BE D --2h =(0,1,2)AE =5AE =AE [)1,+∞()axf x ae e '=-0a <()0f x '<()f x (),-∞+∞当时，令，解得． 即在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）当时，，则．下证：当时，不等式在上恒成立即可．当时，要证，即，又因为，即只需证．令，， 令，则，解得．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，故．因此存在，使得．故在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．，，故成立．综上，的取值范围为．22．【答案】（1）；（2，理由见解析．【解析】（1）直线过左焦点F，则有， 所以且右焦点， 又，得， 代入直线方程有，所以．∴为直角三角形且，由椭圆定义，知，即， ∴椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，0a >()0f x '=1ln e x aa=()f x 1,ln e a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,e a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x =0a e e -≥1a ≥1a ≥()2(1)f x x ≥-[)0,+∞1a ≥()()21f x x ≥-2(1)0axe x ex ---≥ax x e e ≥2(1)0x e x ex ---≥2()(1)(0)xg x e x ex x =---≥()22xg x e x e '=-+-()22xh x e x e =-+-()20xh x e '=-=ln 2x =()g x '()0,ln 2()ln 2,+∞(0)30g e '=->(1)0g '=()ln 20g <()00,ln 2x ∈()00g x '=()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞(0)0g =(1)0g =()0g x ≥a [)1,+∞2214x y +=0x -=(F c =F '124OMF M S y ==△12My =M x =12M ⎫⎪⎭FMF '△90MF F '∠=︒12||||42a MF MF '=+==2a =2214x y +=BC BC 1x x =若，则，∵O 为的重心，可知，代入椭圆方程，得，， 即有A 到BC 的距离为， ∴； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，由，得，显然， ∴，， 则，∵O 为的重心，可知， 由A 在椭圆上，得，化简得，∴，由重心的性质知：A 到直线的距离d 等于O 到直线距离的3倍，即，∴， 综上得，．()11,B x y ()11,C x y -ABC △()12,0A x -211x =2134y =1||2||BC y ==3d =11||322ABC S BC d =⋅==△BC BC y kx m =+()11,B x y ()22,C x y 2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=0Δ>122841km x x k -+=+21224441m x x k -=+()121222241my y k x x m k +=++=+ABC △2282,4141km m A k k -⎛⎫⎪++⎝⎭2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22441m k =+1222||||414BC x x k m =-===+BC BC d =1||2ABC S BC d =⋅=△ABC △。
山东省莱芜市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析
山东省莱芜市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A ．8πB ．34πC ．2πD ．4π 【答案】D【解析】【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解.【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得，将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为函数()g x 的图象关于y 轴对称， 所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D【点睛】 本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.2．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果.【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x ∴=--=++<， 由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U .故选：B .【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.3．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 【答案】A【解析】【分析】 根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与11,2对比，即可求出结论. 【详解】由题知105441551,1log log 22a b =>=>=>=，51log 2log 2c =<=，则a b c >>. 故选:A.【点睛】 本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..4．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.5．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A【解析】【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>. 故选:A.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．128【答案】C【解析】【分析】 根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==；第2次循环，满足判断条件，2,2S k ==；第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==；第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==；不满足判断条件，输出64S =.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n n n n na ab b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n ac b =，当34c c +最小时，5c 的值为( ) A ．2B ．145C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n n n na ab b ++=++，即1911n nc c +=++，所以得3433911c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c .【详解】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111n n n n n n n n n n n n a a a b b a a b a b b b ++++===++++， 即1911n n c c +=++， 34339161c c c c ∴+=++≥+，当且仅当32c =时取得最小值， 此时45349914141115，c c c c =+==+=++. 故选：B【点睛】 本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力. 8．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4a mB ．2a m +C ．2a m m +D ．42a m m+ 【答案】D【解析】【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x yx yxy⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩，其面积142 Sπ=-；则有142amπ=-，解得42a mmπ+=故选：D．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 9．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．325C．10 D．185【答案】D【解析】【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型：809200Sp==，故185S=.故选：D.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．已知函数()f x满足当0x≤时，2(2)()f x f x-=，且当(2,0]x∈-时，()|1|1f x x=+-；当0x>时，()log(0af x x a=>且1a≠).若函数()f x的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）A．(625,)+∞B．(4,64)C．(9,625)D．(9,64)【答案】C【解析】【分析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点；当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.11．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D【解析】【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】 对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确；对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=， 乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确； 对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.12．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，∴①不正确；对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=， 即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；()10,0,0A ， )13,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， )3,1,1D ； ()10,2,2AC =-u u u u r ， )3,1,1CD =--u u u r ； 异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||AC CD AC CD θ==u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ，故90θ=︒．④不正确． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学三轮冲刺专题回归分析及独立性检验练习(含解析)(2021年整理)
回归分析及独立性检验一、选择题（本大题共12小题，共60分）1。
设某中学的高中女生体重单位：与身高单位:具有线性相关关系,根据一组样本数据2，3，,，用最小二乘法近似得到回归直线方程为,则下列结论中不正确的是A。
y与x具有正线性相关关系B。
回归直线过样本的中心点C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加D。
若该中学某高中女生身高为160cm,则可断定其体重必为（正确答案)D【分析】本题考查了回归分析与线性回归方程的应用问题,是基础题目根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点,因此B正确;由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加,C正确；当某女生的身高为160cm时,其体重估计值是，而不是具体值,因此D错误．故选:D．2. 为了研究某班学生的脚长单位：厘米和身高单位：厘米的关系,从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，,该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为A。
160 B. 163 C。
166 D. 170（正确答案）C解：由线性回归方程为,则，，则数据的样本中心点，由回归直线方程样本中心点,则，回归直线方程为，当时，，则估计其身高为166，故选C．由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得,将代入回归直线方程即可估计其身高．本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．3. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下收入x 万元支出y 万元据上表得回归直线方程，其中，，据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为A. 万元B. 万元C. 万元 D。
万元（正确答案）B解：由题意可得，，代入回归方程可得，回归方程为，把代入方程可得，故选:B．由题意可得和，可得回归方程,把代入方程求得y值即可．本题考查线性回归方程,涉及平均值的计算，属基础题．4. 下列说法错误的是A。
2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练(17)(含答案解析)
2021届高三数学新高考三轮复习小题狂练（17）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项符合题目要求．）1. 已知集合{1,3,4,5}A =，集合2{}450|B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】试题分析：由2450x x --<，解得15x -<<，所以{}0,1,2,3,4B =，所以{}1,3,4A B ⋂=，所以A B ⋂的子集个数为328=，故选C ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集． 2. 已知函数g （x ）=3x +t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为 A. t≤–1 B. t<–1 C. t≤–3 D. t≥–3【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的性质，可得函数()g x 恒过点坐标为(0,1)t +，且函数()g x 是增函数，图象不经过第二象限，得到关于t 的不等式，即可求解.【详解】由指数函数性质，可得函数g （x ）=3x +t 恒过点坐标为（0，1+t ），函数g （x ）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A ．【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3. 在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ，1x ，2x …n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线y=3?x+1-上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A. -3B. 0C. -1D. 1【答案】C 【解析】因为所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线31y x =-+上，所以回归直线方程是31y x =-+，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点()(),1,2,..,i i x y i n =，都在直线上，则有1,r =∴相关系数1r =-，故选C.4. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =，若2sin 5sin a C A =,22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ）A .2B.C.12D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理可求得ac ,进而可求得2226a c b +-=代入“三斜求积”公式即可求得结果. 【详解】2sin 5sin a C A =，25a c a =，5ac =,因为22()16a c b +=+，所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC2=.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.5. 如图是当σ取三个不同值1σ，2σ，3σ时的三种正态曲线，那么1σ，2σ，3σ的大小关系是（ ）A. 1320σσσ>>>B. 1320σσσ<<<C. 1230σσσ>>>D. 1230σσσ<<<【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布曲线性质，可得结论．【详解】由图可知，三种正态曲线的μ都等于0由μ一定时，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，则1230σσσ<<< 故选：D【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用，属于基础题.6. 设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若2334n n S n T n -=+，则55a b =（ ）A.719B.1531C.1734D.1937【答案】B 【解析】 【分析】由数列{}n a ，{}n b 为等差数列，根据等差数列的前n 项和公式和性质，可得5959S a T b =，即得答案. 【详解】数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，()()19195519195599922922a a S a a a ab b T b b b b ++∴====++. 9595231515,,343131n n S S a n T n T b -=∴=∴=+. 故选：B .【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和性质，属于中档题.7. 双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，且2F 恰好为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若212AF F F =，则双曲线C 的离心率为（）A.1 B. 1+ C. 2+ D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得双曲线、抛物线焦点，求出点A 坐标，再由双曲线定义求得a 的值，继而求出双曲线的离心率【详解】2F 为抛物线24y x =的焦点，()210F ∴，，()110F -，2122AF F F ==， 故A 点坐标为()12，或()12-，1AF ==则22a =解得1a =，又1c =1c e a ===, 故选A【点睛】本题主要考查了求双曲线离心率问题，运用双曲线定义结合已知条件即可得到结果，较为简单8. 设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x =-的零点个数为（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()31F x x f x =-，可得出()()3F x g x x=，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数()()3F x g x x=的零点个数.【详解】设()()31F x x f x =-，则()()()()()32333f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，()()30f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点，故()()()331F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D.【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）9. 在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为)[4050，，)[5060，，)[6070，，)[7080，，)[8090，，[90]100，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）A. 成绩在)[7080，的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000 C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】ABC 【解析】 【分析】因为成绩出现在[70，80]的频率最大，故A 正确；不及格考生数为10×（0.010+0.015）×4000＝1000，故B 正确；根据频率分布直方图估计考试的平均分为70.5，C 正确；估计中位数为71.67，D 错误．【详解】由频率分布直方图可得，成绩在[7080，）的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确； 成绩在[4060，）的频率为0.01100.015100.25⨯+⨯=，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B正确；考生竞赛成绩的平均分约为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；因为成绩在[4070，）的频率为0.45，在[7080，）的频率为0.3， 所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误. 故选ABC.【点睛】本题考查了频率分布直方图，以及用频率分布直方图估计样本的平均数与中位数等，考查计算能力．属于基础题．10. 已知函数()()sin 0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>⎛⎫< ⎪⎝>⎭，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结论正确的是（ ）. A. 函数()f x 的图像关于直线5π12x =对称B. 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x的最小值为2-C.若65f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则44sin cos αα-的值为45- D. 要得到函数()f x 的图像，只需要将()g x x 的图像向右平移6π个单位 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据函数()f x的最大值得到A =，根据图像相邻的两条对称轴之间的距离得到2ω=，再根据()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称得到6π=ϕ，从而得到()2 6f x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭.对选项A，因为512f π⎛⎫ ⎪⎭≠⎝，故A 错误.对选项B ，根据题意得到2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，从而得到()f x的最小值，故B 正确.对选项C，根据6f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭3cos 25α=，再计算44sin cos αα-的值即可判断B 错误.对选项D ，将()g x x =的图像向右平移6π个单位，得到26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可判断D 正确.【详解】由题知：函数()f xA =. 因为函数()f x 图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π， 所以22T π=，2T ππω==，2ω=，()()2 f x x ϕ=+.又因为()f x 的图像关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称，所以 =0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+，6k ππϕ-+=，k Z ∈.所以6k πϕπ=+，k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ. 即()2sin 2 6f x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭.对选项A ，2sin 02512f ππ==⎫⎪⎝⎭≠±⎛，故A 错误.对选项B ，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ266x时，()f x 取得最小值2 故B 正确. 对选项C ，322sin(2)2262f ππααα⎛⎫-=-==⎪⎝⎭， 得到3cos 25α=. 因为()()4422223sin cos sin cos sin cos cos 25ααααααα-=+-=-=-， 故C 错误. 对选项D ，()2g x x 的图像向右平移6π个单位得到 2222222263236y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查()sin y A ωx φ=+的图象性质，同时图象的平移变换，属于中档题. 11. 在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ）A. 0AB AC AD+-= B. 0DA EB FC++=C. 若3 ||||||AB AC ADAB AC AD+=，则BD 是BA在BC的投影向量D. 若点P是线段AD上的动点，且满足BP BA BCλμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD【解析】【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC∠的平分线，即AD BC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤，再根据已知得到12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228ty t t，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：对选项A，20AB AC AD AD AD AD+-=-=≠，故A错误.对选项B，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB++=-+-+-+111111222222AB AC BA BC CA CB=------1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确. 对选项C ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为3||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BA BBABD BA，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线，设(1)BP tBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBABC . 因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤.令21111()2228ty tt ， 当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题. 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( )A. 20192g =B. ()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C. 12320192688g g g g ++++=D. 22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【解析】 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确； 对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确；对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-，()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。
安徽省淮南市2021届新高考三诊数学试题含解析
安徽省淮南市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （ ） A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4] 【答案】B【解析】【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I .故选：B .【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.2．已知x ，y 满足不等式00224x y x y tx y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】 画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.3．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数 4 3 3 5 2 2 1 0A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】C【解析】【分析】根据表中数据，即可容易求得中位数.【详解】由图表可知，种子发芽天数的中位数为343.5 2+=，故选：C. 【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.4．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】B【解析】【分析】 计算抛物线的交点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入计算得到答案. 【详解】 22y x =可化为212x y =，焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，故12m =-. 故选：B .【点睛】 本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.5．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm【答案】D【解析】【分析】 过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，利用直线三角形中的边角关系，将,AB BC 用α表示出来，根据AB BC =，列方程求出α，进而可得正方形的边长.【详解】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，则CFQ α∠=，60MEF QFE α∠=∠=-o，则()sin sin 60sin AB AM MN NB AE EF FC ααα=++=+-+o ()3350sin 40sin 6030sin 40sin 2ααααα⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭o ， ()cos cos cos 60CB BP PC AE FC EF ααα=+=+--o()3350cos 30cos 40cos 6040cos 2ααααα⎛⎫=+--= ⎪ ⎪⎝⎭o 因为AB CB =，则333340sin 40cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理化简得sin 23cos αα=，又22sin cos 1αα+=， 得31sin 22α-= ，31cos 22α+= 33333340sin 4020622222222AB αα⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝即该正方形的边长为206cm .故选：D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.6．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ） A 3B ．6 C 3D 23【答案】D【解析】 双曲线的渐近线方程是1y x a=±，所以13a =3,1a b == ，2224c a b =+= ，即2c = ，c e a == D. 7．已知函数()(N )k f x k x +=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．5 【答案】A【解析】【分析】 根据条件将问题转化为ln 11x k x x+>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1()1x h x x x +=⋅-，然后求出()h x 的范围，进一步得到k 的最大值.【详解】()(N )k f x k x+=∈Q ，ln 1()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，∴易得()()()g c f b f c =>，即ln 11c k c c+>-恒成立， ln 11x k x x+∴>-，对于1x >恒成立, 设ln 1()1x h x x x +=⋅-，则22ln ()(1)x x h x x --'=-， 令()2ln q x x x =--，1()10q x x '∴=->在1x >恒成立， (3)32ln30(4)42ln 40q q =--<=-->Q ，，故存在0(3,4)x ∈，使得()00q x =，即002ln x x -=，当0(1,)x x ∈时，()0q x <，()h x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0q x >，()h x 单调递增.000min 00ln ()()1x x x h x h x x +∴==-,将002ln x x -=代入得： 000min 000(2)()()1x x x h x h x x x -+∴===-， N k +∈Q ，且min 0()k h x x <=，3k ∴≤故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 8．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞【答案】C【解析】【分析】根据A φ≠，得到2()1f x ax x x =-+≤有解，则440a ∆=-≥，得01a <≤，1211,x x a a+==，得到12{|()}[]11,[A x f x x x x a a -≤===，再根据{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，有(())()f f x f x ≤，即()()22212110a ax x ax x -+--++≤，可化为()()2222110ax x a x a +-+-≤，根据A B φ=≠，则2210a x a -≥+的解集包含11[,]a a +求解，【详解】因为A φ≠，所以2()1f x ax x x =-+≤有解，即2()210f x ax x =-+≤有解，所以440a ∆=-≥，得01a <≤，12x x ==所以12{|()}[]11,[A x f x x x x a a-≤===， 又因为{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，所以(())()f f x f x ≤，即()()22212110a ax x ax x -+--++≤，可化为()()2222110ax x a x a +-+-≤，因为A B φ=≠，所以2210a x a -≥+的解集包含11[a a-+，所以1a a ≤或1a a≥， 解得314a ≤≤， 故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题， 9．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,-B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C【解析】【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求．【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-． z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．10．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（ ）A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}【答案】C【解析】【分析】先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：∵集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}＝{y|y ＞﹣1}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B ＝{0，1，2，3}，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．11．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为A ．12m >B ．12m ≥C ．1m >D ．m 1≥【答案】D【解析】【分析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解.【详解】解：Q 命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<， p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ．【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯-【解析】【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k ，v 的值，当1k =-时，不满足条件0k …，跳出循环，输出v 的值．【详解】解：初始值10v =，2x =，程序运行过程如下表所示：9k =，1029v =⨯+，8k =，2102928v =⨯+⨯+，7k =，2310292827v =⨯+⨯+⨯+，6k =，4321029282726v =⨯+⨯+⨯+⨯+，5k =，4325102928272625v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，4k =，6543210292827262524v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，3k =，6574321029282726252423v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，2k =，7654328102928272625242322v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，1k =，4987653210292827262524232221v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，0k =，98765432101029282726252423222120v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，1k =-，跳出循环，输出v 的值为其中98765432101029282726252423222120v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+①10987651143221029282726252423222120v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+②①—②得41711098653210212121212121212121212v -=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()111021210212v --=-⨯+-11922v =⨯+．故选：C ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到k ，v 的值是解题的关键，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练(29)(含答案解析)
2021届新高考“8+4+4”小题狂练（29）一、单选题1. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.32fB.322f C.1252fD.1272f【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以1212(2,)n n a a n n N -+=≥∈，又1a f =，则127771281(2)2a a q f f === 故选D.点睛：此题考查等比数列实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.2. （2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.3. 已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．4. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=，则31323339log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 7【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质可求得5a ，结合对数的运算法则可求得结果.【详解】由等比数列下标和的性质可得：246375218a a a a a +==， 等比数列{}n a 的各项均为正数，53a ∴=，93132333931293535log log log log log log 9log 9a a a a a a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅===.故选：C【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，涉及到对数的运算，属于基础题. 5. 等差数列{}n a 中，100a <，110a >且1110a a >，n S 为其前n 项和，则（ ）A. 100S < ，110S >B. 190S <，200S >C. 50S < ，60S >D. 200S <，210S >【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得：由等差数列的性质可得101120191020()01902a a S S a +==⋅＞，＜ ．即可得到答案.【详解】由题意可得：因为a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，所以由等差数列的性质可得：101120191020()01902a a S S a +==⋅＞，＜．故选B ．【点睛】本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前n 项和公式． 6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项,m n a a ，使得64m n a a =，则19m n+的最小值为（ ）A.145B.114C.83D.103【答案】B 【解析】 【分析】由22n n S a =-，可得1122n n S a --=-两式相减可得公比的值，由11122S a a =-=可得首项的值，结合64m n a a =可得6m n +=，()191196m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取得最小值83，结合,m n 为整数6m n +=，检验即可得结果. 【详解】因为22n n S a =-，所以1122n n S a --=-.两式相减化简可得12n n a a -=， 公比12nn a q a -==， 由11122S a a =-=可得12a =，()()111164,64m n m n a a a q a q --=∴=，则24264m n +-⨯=，解得6m n +=，()19119191810106663n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ,m n 取整数，∴均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当2,4m n ==时，19m n+取最小值为114，故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 7. 已知正项等比数列{}n a 满足2019201820172a a a =+，若存在两项m a ，n a12a =，则14m n+的最小值为（ ） A. 9 B.73C.94D.133【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的知识求出m 与n 的关系，再利用基本不等式求解出最值. 【详解】因为2019201820172a a a =+，所以22q q =+，解得2q或1q =-，0,2q q >∴=，12a =，所以22112222m n a a +-=，22,4,m n m n ∴+-=∴+=因此123,,321m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩依次代入14m n +得当1,3m n ==时，取最小值73.故选：B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单. 8. 数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，则{a n }的前60项和为（ ） A. 3690 B. 3660C. 1845D. 1830【答案】D 【解析】【详解】由于数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，故有 a 2﹣a 1=1，a 3+a 2=3，a 4﹣a 3=5， a 5+a 4=7，a 6﹣a 5=9，a 7+a 6=11，…a 50﹣a 49=97．从而可得 a 3+a 1=2，a 4+a 2=8，a 7+a 5=2，a 8+a 6=24，a 9+a 11=2，a 12+a 10=40，a 13+a 15=2，a 16+a 14=56，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． {a n }的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，故选D ．9. 已知数列{}n a 满足()12323213nn a a a na n ++++=-⋅．设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），*n N ∈，则λ的最小值是（ ）A.32B.94C.3112D.3118【解析】 【分析】当2n ≥时，类比写出()()11231231233n n a a a n a n --++++-=-⋅，两式相减整理得143n n a -=⋅，当1n =时，求得1=34a ≠，从而求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式.；再运用错位相减法求出n S ，结合n S 的性质，确定λ的最小值.【详解】()12323213n n a a a na n ++++=-⋅ ①当2n ≥时，类比写出()()11231231233n n a a a n a n --++++-=-⋅ ②由①-②得 143n n na n -=⋅ ，即143n n a -=⋅.当1n =时，134a =≠，131432n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩，141323n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩210214231123333333333n n n n nS --=++++=+++++③ 23111123-1+3933333n n n n nS -=+++++④ ③-④得，023*******1+-39333333n n n n S -=+++++11-23-1931-3n n n =+316931-124312n nn S +∴=<⋅ n S λ<（常数），*n N ∈，∴λ的最小值是3112【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n 项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用. 1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（2）当1n =时， 11a S =求出1a ；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．2、错位相减法：若n n n c a b =⋅，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为1q ≠的等比数列，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求．数列前n 项和1122-1-1n n n n n S a b a b a b a b =++++，则12231n n n qS a b a b a b -=+++1n n a b ++，两式错位相减并整理即得.10. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A. 440 B. 330C. 220D. 110【答案】A 【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、多选题11. 设{}n a 是等差数列，n S 是其前项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ）A. 0d <B. 70a =C. 95S S >D. 6S 与7S 均为n S 的最大值【答案】ABD 【解析】 【分析】由{}n a 是等差数列，n S 是其前项的和，且56S S <，678S S S =>，则60a >，70a =，80a <，780a a +<，再代入逐一检验即可得解.【详解】解：由{}n a 是等差数列，n S 是其前项的和，且56S S <，678S S S =>， 则6650a S S =->，7760a S S =-=，8870a S S =-<，78860a a S S +=-<， 则数列{}n a 为递减数列，即选项A ，B 正确，由959876872()0S S a a a a a a -=+++=+<，即95S S <，即选项C 错误，由126789...0...a a a a a a >>>==>>>，可得6S 与7S 均为n S 的最大值，即选项D 正确， 故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题. 12. 已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A. 1{}na B. 22log ()n a C. 1{}n n a a ++ D. 12{}n n n a a a ++++【答案】AD 【解析】 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定．【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列，1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列．故选AD ．【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列．三、填空题13. （2017新课标全国II 理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑____________． 【答案】21n n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk k n S n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 点睛:等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．14. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 112a =-，若6378S S =，则3a =______【答案】18- 【解析】 【分析】 由等比数列的求和公式及6378S S =得12q =-，再利用通项公式求23118a a q ==-即可 【详解】由题知公比1q ≠，所以()()61363311711811a q S q q S a q q--==+=--，解得12q =-，所以23118a a q ==-. 故答案为18- 【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题15. 数列{}n a 的首项12a =，且()132n n a a n *+=+∈N ，令()3log 1n n b a =+，则1220182018b b b +++=______． 【答案】20192【解析】【分析】构造数列{}1n a +，并求得数列{}n a 的通项公式；再代入对数中求得数列{}n b 的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列{}n b 的前n 项和．【详解】因为132n n a a +=+所以113213(1)n n n a a a ++=++=+ 所以1131n n a a ++=+ 且12a =所以数列{}1n a +是以3为首项，公比为3的等比数列所以13n n a += 即31n n a =-代入()3log 1n n b a =+得 3log 3n n b n ==设数列{}n b 的前n 项和为n S则201812320172018S =+++⋅⋅⋅+()2018120182+= 则1220182018b b b +++=()2018120182019220182+=⨯ 【点睛】本题考查了数列的综合应用，关键是构造出数列，并求得数列{}n a 的通项公式，等差数列求和的应用也是重点，属于中档题．16. 已知数列{}n a 中，12a =，1(1) 1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n N ∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为___________． 【答案】(][),22,-∞-+∞ 【解析】【分析】 由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n a n ++，再由不等式恒成立问题可得2321t at ≤+-恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围．【详解】由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++，即1(1)1n n na n a +-+=，则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++， 则有11111111n n n n n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝221122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭ (111111111)233112121n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+=-< ⎪ ⎪ ⎪+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立， 即2321t at ≤+-对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，即2240ta t +-≥对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，则2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得2t ≤-或2t ≥. 故答案为：(][),22,-∞-+∞.【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++．。
2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练(11)(含答案解析)
2021届高三数学新高考三轮复习小题狂练（11）一､单选题1. 已知函数y =的定义域为集合M ，集合N ＝{}02x x ≤≤，则M N ⋂＝（ ） A. [﹣1，3] B. [0，2]C. [0，1]D. [﹣1，4]【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件求出集合M ，结合集合N ＝{}02x x ≤≤，由交集的性质可得M N ⋂的值.【详解】解：由题意：令2230x x -++得13x -， 所以{}|13M x x =-，所以{}|02M N x x ⋂=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查交集的性质，考查学生对基础知识的理解，属于基础题. 2. 已知条件p ：|1|2x -<，条件q ：2560x x --<，则p 是q 的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】:212,13p x x -<-<-<<；:16q x -<<， 所以p 是q 的充分而不必要条件.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 3. 命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是（ ）A. 2[2,),4x x ∀∈+∞<B. 2(,2),4x x ∀∈-∞≥ C 200[2,),4x x ∃∈+∞< D. 200[2,),4x x ∃∈+∞≥【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式书写.【详解】命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是[)02,x ∃∈+∞，204x <.故选C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.4. 已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 79-B.79C.89D. 89-【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得sin 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】2sin 2sin 2cos 212cos 66266πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2171239⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式和诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.5. 已知二次函数()()()1f x x m x n =--+，且1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，则1x ，2x ，m ，n 的大小关系可能是（ ） A. 12x x m n <<<B. 12x m x n <<<C. 12m n x x <<<D. 12m x x n <<<【答案】D 【解析】 分析】根据题意，结合二次函数解析式和零点的定义，可知()()1f m f n ==，()()120f x f x ==，而抛物线()y f x =开口向上，可得m ，n 在两根12,x x 之外，结合选项即可得出答案.【详解】解：由题可知，()()()1f x x m x n =--+，并且12,x x 是方程()0f x =的两根， 即有()()1f m f n ==，()()120f x f x ==，由于抛物线()y f x =开口向上，可得m ，n 在两根12,x x 之外， 结合选项可知A ，B ，C 均错，D 正确，如下图. 故选：D.【点睛】本题考查函数的零点的定义以及二次函数的图象与性质，属于基础题. 6. 已知函数()()sin 30f x x x ωωω=>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是( ) A. 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B. 其图象关于直线2x π=对称C. 函数()g x 是偶函数D. 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤⎣⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】化简f （x ）=2sin （ωx π3+），由三角函数图象的平移得：g （x ）＝2sin2x ， 由三角函数图象的性质得y ＝g （x ）的单调性，对称性，再由x π2π63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求得函数g （x ）值域得解.【详解】f （x）＝sinωx 2sin （ωx π3+）， 由函数f （x ）的零点构成一个公差为π2的等差数列， 则周期T ＝π，即ω＝2， 即f （x ）＝2sin （2x π3+）， 把函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象， 则g （x ）＝2sin[2（x π6-）π3+]＝2sin2x ， 当π2k π2+≤2x≤3π2k π2+,即πk π4+≤x≤3πk π4+, y ＝g （x ）是减函数，故y ＝g （x ）在[π4，π2]为减函数， 当2x=πk π2+即x k ππ24=+（k∈Z ）,y ＝g （x ）其图象关于直线x k ππ24=+（k∈Z ）对称,且为奇函数， 故选项A ，B ，C 错误，当x π2π63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，2x∈[π3，4π3]，函数g （x ）的值域为[2]，故选项D 正确， 故选D ．【点睛】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题7. 已知符号函数()1,?0sgn 0,?01,?0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()2f x x =，若()(3)()x f x f x ϕ=-，则（ ） A. ()2sgn f x x x = B. ()2sgn f x x x =- C. [][]sgn ()sgn ()f x x ϕ=D. [][]sgn ()sgn ()f x x ϕ=-【解析】 【分析】根据题意，求出()ϕx 的解析式，根据新函数的定义，分类讨论可得1,0[()][()]0,01,0x sgn f x sgn x x x ϕ->⎧⎪===⎨⎪<⎩，即可得出答案．【详解】解：根据题意，()2f x x =，()(3)()624x f x f x x x x ϕ=-=-=，当0x >时，可知()0f x >，()0x ϕ>，则[][]sgn ()sgn ()1f x x ϕ==，当0x =时，可知()0f x =，()0x ϕ=，则[][]sgn ()sgn ()0f x x ϕ==，当0x <时，可知()0f x <，()0x ϕ<，则[][]sgn ()sgn ()1f x x ϕ==-，则有1,0[()][()]0,01,0x sgn f x sgn x x x ϕ->⎧⎪===⎨⎪<⎩，所以[][]sgn ()sgn ()f x x ϕ=. 故选：C.【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及新函数的定义，属于基础题．8. 若定义域为R 的函数()f x 的导函数为()'f x ，并且满足()()2f x f x '<-，则下列正确的是（ ）A. (2021)(2020)2(1)f ef e -<-B. (2021)(2020)2(1)f ef e ->-C. (2021)(2020)2(1)f ef e ->+D. (2021)(2020)2(1)f ef e -<+【答案】B 【解析】根据题意，可知()()20f x f x '-->，构造函数()2()xf xg x e+=，利用导数研究函数的单调性，可知()g x 在R 上单调递增，得出(2021)(2020)g g >，整理即可得出答案． 【详解】解：由题可知()()2f x f x '<-，则()()20f x f x '-->，令()2()xf xg x e +=， 而0x e >，则()()2()0xf x f xg x e '--'=>，所以()g x 在R 上单调递增，故(2021)(2020)g g >，即20212020(2021)2(2020)2f f e e ++>，故(2021)2(2020)2f ef e +>+， 即(2021)(2020)22f ef e ->-， 所以(2021)(2020)2(1)f ef e ->-.故选：B.【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小，考查构造函数和利用导数解决函数单调性问题，属于中档题．二､选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A. 1104ab <≤ 2<C.111a b+≥ D.22118a b ≤+【答案】CD 【解析】根据均值不等式及不等式的性质分析即可求解. 【详解】A 选项由22a b ab +≤=知4ab ≤，因为0ab >，所以114ab ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故A 选项错误； B 选项，因为22a bab +≤=，当且仅当2a b ==时等号成立，故B 选项错误； C 选项，111112212a b a b ab+≥⋅=≥⨯=，当且仅当2a b ==时等号成立，故C 正确； D 选项，由222()82a b a b ++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以22118a b ≤+正确， 故选：CD【点睛】本题主要考查了均值不等式，重要不等式的应用，考查了不等式等号成立的条件，属于中档题.10. 将函数()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（）A. ()g x 为奇函数B. π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 当5ω=时，()g x 在()0,π上有4个极值点D. 若()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为5【答案】BCD 【解析】 【分析】利用题目已知条件，求出ω，再结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】∵()()πcos sin 02f x x x ωωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭∴()sin ()2g x x πω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，且(0)1g =-， ∴()1222k k Z πωπ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，即14k ω=-为奇数， ∴()sin ()cos 2g x x x πωω⎡⎤=-=±⎢⎥⎣⎦为偶函数，故A 错. 由上得：ω为奇数，∴()cos 022g ππω⎛⎫-=±-= ⎪⎝⎭，故B 对.由上得，当5ω=时，5()sin(5)cos52g x x x π=-=-，25T π=,由图像可知()g x 在()0,π上有4个极值点,故C 对，∵()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以π052T πω-≤=,解得：05ω<≤，又∵14k ω=-，∴ω的最大值为5，故D 对 故选：BCD.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.11. 已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（ ）A. 若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43B. 若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2C. AB 的最短长度为323D. 满足11AB =的直线有4条 【答案】BD 【解析】 【分析】设直线l 的方程为5x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误. 【详解】易知双曲线C 的右焦点为()5,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为5x my =+， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1k m=， 联立225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得()221691602560m y my -++=. 则()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩，解得34m ≠. 对于A 选项，当0m =时，直线l x ⊥轴，则A 、B 两点都在双曲线的右支上，此时直线l 的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，min 532F c a A =-=-=，B 选项正确； 对于C 选项，当直线l 与x 轴重合时，32263AB a ==<，C 选项错误；对于D 选项，当直线l 与x 轴重合时，2611AB a ==≠；当直线l 与x 轴不重合时，由韦达定理得122160169m y y m +=--，122256169y y m =-， 由弦长公式可得()()22221212122961114169m AB m y y m y y y y m +=+⋅-=+⋅+-=-()226161611169m m +==-，解得374m =±或51m =±. 故满足11AB =的直线有4条，D 选项正确. 故选：BD.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.12. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC ==，3AB =，90BAC ∠=︒，点D ，E 分别是线段BC ，1BC 上的动点(不含端点)，且1EC DCB C BC=，则下列说法正确的是（ ）A. //ED 平面1ACCB. 四面体A BDE -的体积是定值C. 异面直线1BC 与1AA 13D. 二面角A EC D --的余弦值为413【答案】ACD 【解析】 【分析】说明四边形11BCC B 是矩形，然后证明ED ∥1BB ∥1AA ，推出//ED 平面1ACC ，判断A ；设ED m =，然后求解四面体A BDE -的体积可判断B ；说明异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠，然后求解三角形，判断C ；利用空间向量求解二面角A EC D --的余弦值【详解】解：对于A ，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，因为1EC DCB C BC=，所以ED ∥1BB ∥1AA ， 所以//ED 平面1ACC ，所以A 正确；对于B ，设ED m =，因为90BAC ∠=︒，12AA AC ==，3AB =，所以BC ==因为ED ∥1BB ，所以1DE DC BB BC =，所以1DE BC DC BB ⋅==，所以BD =，所以1233(1)22ABDm S =⨯⨯=-，四面体A BDE -的体积为2113(1)322m m m m ⨯-=-，所以四面体A BDE -的体积不是定值，所以B 错误； 对于C ，因为1BB ∥1AA ，所以异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC中，12,B B BC =所以11tan 2BC BB C BB ∠==C 正确；对于D ，如图，以A 为坐标原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，所以1(0,2,0),(3,0,2)AC AB ==，设平面1ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则120320n AC y n AB x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2x =，则3z =-，所以(2,0,3)n =-， 同理可求得平面1BB C 的一个法向量为(2,3,0)m =，所以二面角A EC D --的余弦值为4131313=⨯，所以D 正确，故选：ACD【点睛】此题考查立体几何中的关每次和计算，二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，属于中档题三､填空题：13. 高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种. 【答案】9 【解析】【分析】分三类考虑，语文安排在第二节, 语文安排在第三节，语文安排在第四节，分别求出各类的安排方法，相加即可.【详解】第一类：语文安排在第二节,若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节; 若数学安排在第三节，则英语安排在第四节,体育安排在第一节; 若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节; 第二类：语文安排在第三节，若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节; 若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节; 若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节; 第三类：语文安排在第四节，若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节; 若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节; 若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节; 所以共有9种方案. 故答案为：9.【点睛】本题考查有限制的元素排列问题，属于基础题.14. 已知四面体A BCD -中，5AB CD ==10AC BD ==13BC AD ==，则其外接球的体积为______.714【解析】 【分析】由题意可采用割补法，构造长宽高分别x ，y ，z 51013，，解出x ，y ，z ,求长方体的体对角线即可.【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为51013，，，则四面体A BCD-的外接球即为此长方体的外接球，设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R则2222225,10,13x y y z x z+=+=+=，所以2222225,10,13x y y z x z+=+=+=,则222214(2)x y z R++==，解得142R=所以3471433V Rπ==.714π【点睛】本题主要考查了球的内接四面体的性质，考查了构造法求球的半径，球的体积公式，属于中档题.15. 已知数列{}n a满足()sin1cos cos1nan n=-，{}n a的前n项的和记为n S，则6030SS=______.【答案】3【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简得出()tan 1tan n a n n =--+，可求得n S ，进而可计算得出6030S S 的值. 【详解】()()()()()()sin 1sin cos 1cos sin 1sin1cos cos 1cos cos 1cos cos 1n n n n n n n a n n n n n n ⎡⎤-----⎣⎦===---()()tan tan 1tan 1tan n n n n =--=--+，()()()()tan 0tan1tan1tan 2tan 2tan3tan 1tan n S n n ⎡⎤∴=-++-++-+++--+⎣⎦tan n=，因此，6030tan 6033tan 303S S ===. 故答案为：3.【点睛】本题考查裂项相消法求和，同时也考查了利用两角差的正弦公式化简求值，考查计算能力，属于中等题.16. 某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为1，31(单位：cm )，则三个圆之间空隙部分的面积为______2cm .【答案】(10π3-【解析】 【分析】由已知可得AB =2BC =,4AC cm =,得到=2B π∠，,63AC ππ∠=∠=，求出ABCS，A 中的小扇形的面积，B 中的小扇形的面积，C 中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三个扇形的面积即可得到答案.【详解】如图，A的半径为)1cm,B 的半径为)1cm,C 的半径为(3-cm,11AB ∴==,132cm BC +=,31334AC cm =++-=, 222=2AB BC AC B π∴+∠=，,又2AC BC =,可得,63A C ππ∠=∠=,()21122323cm 22ABCSBC AB =⋅=⨯⨯=， A 中的小扇形的面积为()22123(31)cm 26ππ+⨯⨯+=，B 中的小扇形的面积为()22123(31)cm 22ππ-⨯⨯-=， C 中的小扇形的面积为()()221(33)23cm 23ππ⨯⨯-=-，则三个圆之间空隙部分的面积为()()()2104323π232323233cm πππ+-------=故答案为：()104323π3--【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.。
2021届新高考小题解析版 (32)
2021届新高考“8+4+4”小题狂练（32）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1|1B=x|x -<，则AB =（ ）A. {}|02x x <<B. {}1|0x x <<C. {}|2x x <D. {}|12x x <<【答案】D 【解析】 【分析】解出集合A 、B 中的不等式即可.【详解】因为{}{}2|320|12A x x x x x =-+<=<<，{}{}|1|102B=x|x x|x<-<=<所以A B ={}|12x x <<故选：D【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的运算，较简单. 2. 已知()2i i 2iz +=-，则z =（ ）A. 3B. 2C. 1D.12【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可根据复数的四则运算得出4355z i =-+，然后根据复数的模的相关计算即可得出结果. 【详解】()()()()()2221222122222i i i i i i i z iii i i +-++-====----+224224224343441555i i i i i i i i +------+====-+-+，故1z ==， 故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的模，若复数z a bi =+，则z =是简单题.3. 下列结论正确的是（ ）A. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.B. 在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%.C. 已知随机变量2(2,)XN σ，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.2P X >=.D. 设,a b 均为不等于1的正实数，则“log 2log 2b a >”的充要条件是“1a b >>”. 【答案】B 【解析】 【分析】根据残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合效果越好、精度越高可知，选项A 正确；根据相关指数意义可知，选项B 正确；根据正态曲线的对称性可知，故选项C 错误；根据对数的性质以及对数函数的单调性可知，选项D 错误.【详解】对于A ，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故选项A 错误； 对于B ，在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%，故选项B 正确；对于C ，因为2μ=且(02)0.4P X <<=，所以(24)0.4P X <<=，所以(4)(2)(02)0.50.40.1P X P X P X >=>-<<=-=，故选项C 错误；对于D ，log 2log 2b a >2211log log b a ⇔>101b a >⎧⇔⎨<<⎩或1a b >>或01b a <<<，故选项D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了回归分析，考查了正态分布，考查了对数的性质以及对数函数的单调性，考查了充要条件，属于基础题.4.若nx ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，则展开式中x 的系数是（ ）A. 54B. 81C. 96D. 106【答案】A 【解析】【分析】先由题意求出n ，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为nx ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，所以8(213)256n +==，解得4n =，因此4x ⎛+ ⎝的展开式的通项是432442214433r r r r r r r r T C x x C x -----+==，由3212r -=得2r ，所以，展开式中x 的系数为224354C ⨯=.故选：A.【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.5. 若圆锥的侧面展开图是半径为l 的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是（ ） A.32B. 2C.43D.53【答案】A 【解析】 【分析】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意可得r l 2π=π，所以2l r =，然后根据圆锥的表面积公式计算即可.【详解】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意可得r l 2π=π，所以2l r = 所以这个圆锥的表面积与侧面积比值是()222:2:32:3rl rl rrr πππππ+==故选：A 【点睛】本题考查的是圆锥的表面积公式，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 6. 已知点00(,)M x y 在直线320x y ++=上，且满足001x y >-，则y x 的取值范围为（ ） A. 1(3,]3-- B. ()1,3(,)3-∞--+∞ C. 1(,3](,3+)-∞--∞ D. 1(3,)3--【答案】B 【解析】 【分析】由001x y >-，求出0x 的取值范围，再求y x 的范围． 【详解】由题意00320x y ++=，0032y x =--， ∵001x y >-，∴00321x x >---，解得034x >-， 000003223y x x x x --==--， ∵034x >-，∴0143x <-或010x >， ∴0233x --<-或02133x -->-，所以01(,3)(,)3y ∈-∞--+∞． 故选：B ．【点睛】本题考查直线方程，考查不等式的性质，解题过程是利用点在直线上，且满足的不等关系求出0x 的范围，然后再利用不等式的性质求解．7. 函数()cos 2lg 22x xx f x π-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-在区间[)(]3,00,3-上的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()y f x =的解析式，判断函数()y f x =的奇偶性及()3f 的符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】()cos sin 2lg 22lg 22x x x xx x f x π--⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，()()()sin sin lg 22lg 22x x x x x xf x f x ----==-=---，函数()y f x =为奇函数，排除A 、D 选项；()sin 3301lg 88f =>⎛⎫- ⎪⎝⎭，排除B 选项. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行分析，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题. 8. 已知函数4(),[,)af x x b x b x=++∈+∞，其中0,b a R >∈，记M 为()f x 的最小值，则当2M =时，a 的取值范围为（ ）A. 13a >B. 13a < C. 14a > D. 14a <【答案】D 【解析】 【分析】根据a 的正负以及与b 大小关系分类讨论()f x 单调性，再根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值求结果.【详解】①当0a ≤时，()f x 在[,)+∞b 上单调递增，所以min 4()()220a f x f b b b b b==+=>∴=因此0a ≤满足题意；②当0a >时，()f x在)+∞上单调递增，在上单调递减因此⑴当b ≤时，()f x 在[,)+∞b上单调递增，所以2min 4()()2220180,af x f b b b b a a b b==+=-+=∴∆=-≥=≥， 222121182()042432b b aa ba b b b bb +-≤∴≤∴-≤>∴≥∴=11811016a +-≥⇒<≤或11618161a a a⎧>⎪⇒⎨⎪-≥-⎩1016a <≤或11169a <<109a ∴<≤⑵当b >时，()f x在)+∞上单调递增，在[,b 上单调递减 ，所以min 11()202094f x f b b a ===<<>->∴<<；综上，a 的取值范围为14a <， 故选：D【点睛】本题考查函数最值、分式函数单调性，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）A. 此数列的第20项是200B. 此数列的第19项是182C. 此数列偶数项的通项公式为222n a n =D. 此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-【答案】AC 【解析】 【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．【详解】观察此数列，偶数项通项公式为222n a n =，奇数项是后一项减去后一项的项数，2122n n a a n -=-，由此可得220210200a =⨯=，A 正确；192020180a a =-=，B 错误；C 正确；2(1)n S n n n n =-=-是一个等差数列的前n 项，而题中数列不是等差数列，不可能有(1)n S n n =⋅-，D 错．故选：AC ．【点睛】本题考查数列的通项公式，要求从数列的前几项归纳出数列的通项公式．这里我们只能从常见的数列出发，寻找各项与项数n 之间的关系，归纳结论．有时需要分奇数项与偶数项分别讨论归纳出结论，或者寻找两者的关系，从而得出结论． 10. 已知1F 、2F 是双曲线22:142y x C -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线C 的渐近线方程为y =B. 以12F F 为直径的圆的方程为222x y += C. 点M 的横坐标为D. 12MF F △的面积为【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，以12F F 为直径的圆的方程，M 点坐标，12MF F △的面积然后判断各选项．【详解】由双曲线方程22142-=y x知2,a b ==y轴，渐近线方程为a y x b =±=，A 正确；c =12F F 为直径的圆的方程是226x y +=，B 错；由226x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩M点横坐标是，C 正确；12121122MF F M S F F x ==⨯=△，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题时可根据双曲线方程确定,,a b c ，同时注意焦点据的轴，然后根据,,a b c 求解其他量．11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0,(6)()f x +f x f x f x -=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A. 函数()f x 是偶函数B. 函数()f x 在[]9,6--单调递增 C. 3x =是函数()f x 的对称轴 D. 函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD 【解析】 【分析】由()+()0f x f x -=得函数为奇函数，判断A 选项；通过(6)()f x f x +=-得函数的最小正周期，判断D 选项；通过题意得(6)()f x f x +=-，进而得函数的对称轴，判断C 选项；化简11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+为()()()()12120x x f x f x -⋅-<得到函数在[]3,0-上的单调性，结合奇偶性、对称轴、周期得[]9,6--上的单调性，判断B 选项即可.【详解】解：因为()+()0f x f x -=，即()()f x f x -=-，所以函数为奇函数，故A 选项错误； 因为(6)()f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以(6)()f x f x +=-，所以函数的对称轴为6032x +==，故C 选项正确；因为(6)()f x f x +=-，所以()(12)(6)f x f x f x +=-+=，即()(12)f x f x +=， 所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确；因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+， 由11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+化简得()()()()12120x x f x f x -⋅-<， 所以3,0x时，()f x 为减函数.因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数，又因为函数()f x 关于3x =对称， 所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数.因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，奇偶性，对称轴和周期，属于中档题.12. 如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A. CQ ⊥平面PADB. PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C. 三棱锥B ACQ -的体积为D. 四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD 【解析】 【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在直线为x 轴，y 轴 ，z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则36022260n AQ x z n AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以cos 3θ=，所以B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABC V V S OP --==⋅1116322=⨯⨯⨯=， 所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236x ⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成________个三位正整数.【答案】100【解析】【分析】用分步乘法原理计数．【详解】用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成三位数的个数为455100⨯⨯=．故答案为：100．【点睛】本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成这件事的方法，是分步还是分类．14. 函数()2sin cos sin 222x x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]0,π上的最小值是________. 【答案】212-【解析】【分析】 利用三角恒等变换思想化简得出()21242f x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由0x π≤≤计算得出4x π-的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的最小值.【详解】()2211cos sin cos sin sin cos sin sin 22222222x x x x x x x f x x π-⎛⎫=+-=--=-- ⎪⎝⎭1111sin cos 222242x x x π⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0x π≤≤时，3444x πππ-≤-≤，所以当42x ππ-=时，函数()y f x =取得最小值，即()min 11222f x =--=-.故答案为：12-. 【点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.15. 已知一袋中装有红，蓝，黄，绿小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回.当四种颜色的小球全部取出时即停止，则恰好取6次停止的概率为______. 【答案】75512【解析】【分析】事件“恰好取6次停止”是第4种颜色第6次才取到，前5次只出现3种颜色，求出它的方法数，再求出取6次球的总方法数，由概率公式可计算出概率．【详解】取球6次，总的方法为64，记“恰好取6次停止”为事件A ，事件A 的发生，前5次取球只出现3种颜色，第6次取出的是第4种颜色，而前5次出现3种颜色又可从3种颜色出现的次数分成两类，1、1、3和1、2、2，因此事件A 的方法数为223335345322600C C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以660075()4512P A ==． 故答案为：75512． 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定事件发生的过程，即怎样完成事件“恰好取6次停止”．是分类还是分步，根据不同的方法选择不同的计数方法．16. 已知圆F ：()2231x y ++=，直线:2l y =，则与直线l 相切且与圆F 外切的圆的圆心M 的轨迹方程为_________.点P 是圆心M 轨迹上的动点，点A 的坐标是()0,3，则使|PF||PA|取最小值时的点P 的坐标为__.【答案】 (1). 212x y =- (2). ()6,3±-【解析】【分析】根据直线与圆位置关系以及圆与圆位置关系列式，再化简得结果；根据两点间距离公式化简，再根据基本不等式确定最小值取法，即得结果.【详解】因为圆M 与直线l 相切且与圆F 外切，所以||1M l MF d -=+设(,)|2|1M x y y =-+当2y ≤2312y x y =-∴=-当2y >21880y x y =-∴=--<，舍综上，圆心M 的轨迹方程为212x y =-设2(,)12,0P m n m n n ∴=-≤|PF||PA|∴===当0n =时，1|PF||PA|= 当0n <时，|PF||PA |=≥= 当且仅当23,3,36,6n n m m -==-==±时取等号 综上，使|PF||PA|取最小值时的点P 的坐标为()6,3±- 故答案为：212x y =-，()6,3±-【点睛】本题考查求动点轨迹方程、利用基本不等式求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.。
上海市金山区2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析
上海市金山区2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ）A ．21B ．22C ．11D ．12 【答案】A【解析】【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值.【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.2．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A ．6B ．13C ．3D ．1【答案】B【解析】【分析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案.【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ，所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HF AD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离.易证平面EFH ⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.因为1122EHF S EF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅，所以21sin sin h θθ⋅+=， 所以222211sin 1sin h θθ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.3．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．55【答案】B【解析】【分析】先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是57.故选：B.【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 4．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D【解析】【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126C C C C +++=++=（种），故选：D.【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.5．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．22log log b a <B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．33b a >D ．2ab b < 【答案】D【解析】【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】∵0b a <<，∴22log log b a >，1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33b a <，2ab b <. 故选：D.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.6．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个 【答案】D【解析】【分析】运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.【详解】 ()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-，(0)0f =，又(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的函数，(4)(0)0()f k f k Z ==∈，所以函数()f x 的零点有无穷多个；因为(2)()f x f x +=-，[(1)1]()f x f x ++=-，令1t x =+，则(1)(1)f t f t +=-，即(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于1x =对称，由题意无法求出()f x 的值域，所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.7．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R （ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞ B ．(,1][3,)-∞+∞ C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(1,3) 【答案】A【解析】【分析】算出集合A 、B 及A B ，再求补集即可.【详解】 由2230x x --<，得13x ，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥，所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R {|1x x <或3}x ≥.故选：A.【点睛】 本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.8．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D 【答案】C【解析】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为b y x a =±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形.∴BOF BOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒∴tan 60b a=︒=223b a =.∴双曲线的离心率为22c a e aa==== 故选C. 点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．9．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞【答案】A【解析】【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1b a=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.【详解】由0ax b ->的解集为1,，可知0a >且1b a=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞，故选：A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题. 10．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项； 当0πx <<时，cos 0x e>，sin 0x >，则()cos 0sin x e f x x=>，排除B 选项. 故选：A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴= 故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.12．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断g t 的零点的个数,即为所求.【详解】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭, 依题意可得1ln 03t t +=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增, 所以min 1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭, 1()ln 03g t t t ∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练（32）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1|1B=x|x -<，则A B =（ ）A. {}|02x x <<B. {}1|0x x <<C. {}|2x x <D. {}|12x x << 【答案】D【解析】【分析】 解出集合A 、B 中的不等式即可.【详解】因为{}{}2|320|12A x x x x x =-+<=<<，{}{}|1|102B=x|x x|x<-<=< 所以A B ={}|12x x <<故选：D【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的运算，较简单.2. 已知()2i i 2iz +=-，则z =（ ） A. 3B. 2C. 1D. 12【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据复数的四则运算得出4355z i =-+，然后根据复数的模的相关计算即可得出结果. 【详解】()()()()()2221222122222i i i i i i i z i i i i i +-++-====----+ 224224224343441555i i i i i i i i +------+====-+-+，故1z ==， 故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的模，若复数z a bi =+，则z =是简单题.3. 下列结论正确的是（ ）A. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.B. 在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%.C. 已知随机变量2(2,)X N σ，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.2P X >=.D. 设,a b 均为不等于1的正实数，则“log 2log 2b a >”的充要条件是“1a b >>”.【答案】B【解析】【分析】根据残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合效果越好、精度越高可知，选项A 正确；根据相关指数意义可知，选项B 正确；根据正态曲线的对称性可知，故选项C 错误；根据对数的性质以及对数函数的单调性可知，选项D 错误.【详解】对于A ，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故选项A 错误；对于B ，在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%，故选项B 正确；对于C ，因为2μ=且(02)0.4P X <<=，所以(24)0.4P X <<=，所以(4)(2)(02)0.50.40.1P X P X P X >=>-<<=-=，故选项C 错误；对于D ，log 2log 2b a >2211log log b a ⇔>101b a >⎧⇔⎨<<⎩或1a b >>或01b a <<<，故选项D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了回归分析，考查了正态分布，考查了对数的性质以及对数函数的单调性，考查了充要条件，属于基础题.4.若nx ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，则展开式中x 的系数是（ ） A. 54B. 81C. 96D. 106 【答案】A【解析】【分析】先由题意求出n ，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为n x ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，所以8(213)256n +==，解得4n =，因此4x ⎛+ ⎝的展开式的通项是432442214433r r r r r r r r T C x x C x -----+==， 由3212r -=得2r ，所以，展开式中x 的系数为224354C ⨯=.故选：A.【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.5. 若圆锥的侧面展开图是半径为l 的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是（ ） A. 32 B. 2 C. 43 D. 53【答案】A【解析】分析】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意可得r l 2π=π，所以2l r =，然后根据圆锥的表面积公式计算即可.【详解】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意可得r l 2π=π，所以2l r =所以这个圆锥的表面积与侧面积比值是()222:2:32:3rl rl r r r πππππ+== 故选：A【点睛】本题考查的是圆锥的表面积公式，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.6. 已知点00(,)M x y 在直线320x y ++=上，且满足001x y >-，则00y x 的取值范围为（ ） A. 1(3,]3-- B. ()1,3(,)3-∞--+∞ C. 1(,3](,3+)-∞--∞ D. 1(3,)3-- 【答案】B【解析】【分析】由001x y >-，求出0x 的取值范围，再求00y x 的范围．【详解】由题意00320x y ++=，0032y x =--，∵001x y >-，∴00321x x >---，解得034x >-， 000003223y x x x x --==--， ∵034x >-，∴0143x <-或010x >， ∴0233x --<-或02133x -->-，所以01(,3)(,)3y ∈-∞--+∞． 故选：B ．【点睛】本题考查直线方程，考查不等式的性质，解题过程是利用点在直线上，且满足的不等关系求出0x 的范围，然后再利用不等式的性质求解．7. 函数()cos 2lg 22x x x f x π-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-在区间[)(]3,00,3-上的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化简函数()y f x =的解析式，判断函数()y f x =的奇偶性及()3f 的符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】()cos sin 2lg 22lg 22x x x xx x f x π--⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，()()()sin sin lg 22lg 22x x x x x x f x f x ----==-=---， 函数()y f x =为奇函数，排除A 、D 选项；()sin 3301lg 88f =>⎛⎫- ⎪⎝⎭，排除B 选项. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行分析，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题.8. 已知函数4(),[,)a f x x b x b x=++∈+∞，其中0,b a R >∈，记M 为()f x 的最小值，则当2M =时，a 的取值范围为（ ）A. 13a >B. 13a <C. 14a >D. 14a < 【答案】D【解析】【分析】根据a 的正负以及与b 大小关系分类讨论()f x 单调性，再根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值求结果.【详解】①当0a ≤时，()f x 在[,)+∞b 上单调递增，所以min 4()()220a f x f b b b b b ==+=>∴=因此0a ≤满足题意；②当0a >时，()f x 在)+∞上单调递增，在上单调递减 因此⑴当b 时，()f x 在[,)+∞b 上单调递增，所以2min 4()()2220180,a f x f b b b b a a b b ==+=-+=∴∆=-≥=≥ 222121182()042432b b a a b ab b b bb +-≤∴≤∴-≤>∴≥∴=11811016a +-≥⇒<≤或11618161a a a⎧>⎪⇒⎨⎪-≥-⎩1016a <≤或11169a <<109a ∴<≤⑵当b >时，()f x在)+∞上单调递增，在[b 上单调递减 ，所以min 11()202094f x f b b a ===<<-∴<<； 综上，a 的取值范围为14a <， 故选：D 【点睛】本题考查函数最值、分式函数单调性，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属较难题.二、多项选择题9. 下列说法正确的是（ ）A. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为12C. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得x =3，y =3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是y =0.4x +2.3D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件【答案】ABC【解析】【分析】根据分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念分别进行判断．【详解】A ．由分层抽样，应制取人数为6300906554⨯=+++，A 正确； B ．恰好取到1件次品的概率为317341012C C P C ==，B 正确； C ．∵3.50.43 2.3=⨯+，直线y =0.4x +2.3过中心点(3,3.5)，可能是回归直线方程，C 正确；D ．一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球，也是至少有一个黑球，因此它们不互斥，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需掌握分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念等知识，要求较高，属于中档题．10. 已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( ) A. 264f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2364ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【解析】【分析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=， 又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>， 即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ>； 又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ． 故选：CD ．【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x =，并借助导数分析其单调性，属于中档题．11. 设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A. f (x )的图象关于直线2x π=对称B. f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C. f (x )在(0,)10π上单调递增D. ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD【解析】 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确，对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确； 对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确； 故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.12. 如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将△AMB 沿直线AM 翻折成△AB 1M ，连接B 1D ，N 为B 1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 存在某个位置，使得CN ⊥AB 1B. CN 的长是定值C. 若AB =BM ，则AM ⊥B 1DD. 若AB =BM =1，当三棱锥B 1－AMD 的体积最大时，三棱锥B 1－AMD 的外接球的表面积是4π【答案】BD【解析】【分析】A 中，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，由题意判断三线NE ，NF ，NC 共面共点，得出A 不成立；B 中，利用余弦定理可得NC 是定值，判断B 正确；C 中，取AM 中点O ，连接1B O ，DO ，由题意判断C 不成立；D 中，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，求出该三棱锥外接球的表面积即可．【详解】解：对于A ：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，则1//NE AB ，1//NF MB ，如果1CN AB ⊥，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，则A 错误．对于B ：如图1，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 由余弦定理可得2222cos MC NE EC NE EC NEC =+-∠，所以NC 是定值，则B 正确．对于C ：如图2，取AM 中点O ，连接1B O ，DO ，由题意得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，由题意不成立，可得C 错误．对于D ：当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大，由题意得AD 中点H 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π，则D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解题关键是正确理解线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，属于中档题．三、填空题13. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _________．【答案】18【解析】【分析】由频率=频数样本容量以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则200.240.160.4,50.nn=+=∴=所以第3小组的人数为500.36=18⨯人.故答案为18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.14. 41()(1)x x x--的展开式中x 3的系数为_______． 【答案】5【解析】【分析】利用二项式定理求解即可.【详解】4(1)x -的通项为4441()()11r r r r r r r T C x C x +-=-=- 令2r ，此时3x 的系数为224(1)6C -=令4r =，此时3x 的系数为444(1)1C --=-则3x 的系数为615-=故答案为：5【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.15. 已知函数3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩，则(2020)f -=________． 【答案】1-【解析】【分析】根据题意，由函数解析式可得(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=，进而计算得到答案.【详解】根据题意，当0x <时，()(3)f x f x =+，所以(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=， 当0x ≥时，3()log (1)2f x x =+-，所以3log (21)(22)1f +-=-=.故答案为：1-.【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.16. 已知直线l ：340x y m ++=，圆C ：22420x y x +-+=，则圆C 的半径r =______；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______．【答案】 (1). 2 (2). []16,4-【解析】【分析】把圆方程配方后可得圆心坐标和半径，由P 作圆C 的两条切线，这两条切线的夹角不小于90°，由此可得m 的取值范围．【详解】圆的标准方程为22(2)2x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为2r =，若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，过P 作圆的两条切线,PM PN （,M N 为切点），则90MPN ∠≥︒，而当CP l ⊥时，MPN ∠最大，只要此最大角90≥︒即可，此时，圆心C 到直线l 的距离为65m d CP +==．所以226r m d =≥+，解得164m -≤≤． 故答案为：2；[16,4]-．【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，解题关键是问题的转化，本题考查了等价转化思想，运算求解能力．属于中档题．。