实数知识点及易错题型

《实数》复习与回顾

一、知识梳理

1.平方根

（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的的算术平方根是_____。

（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于，即_____，那么这个数x就叫做的_______。

（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。

（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。

2.立方根

（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于，即_____，那么这个数x就叫做的立方根。

（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。

（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。

3.实数

（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。

（2）实数的定义： _____和_____统称实数。

（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。

（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。

（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有

理数范围内的意义_____。

4.实数的运算：

（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。

（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为

__________；__________。

二、考点例析

考点1 平方根、立方根的定义与性质

例1 （1）下列各数是否有平方根若有，求出其平方根；若没有，说明理由。

①625 ②（－2）2③（－1）3

（2）下列各数是否有立方根若有，求出其立方根。

① ②－343 ③－22

分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。

（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方

根。

解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±=±25；②因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±=±2；③因为（－1）

3=－1<0, 故其不存在平方根。

（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。

①；② ；

③－22的立方根。

说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。

考点2 实数的分类与性质

例2 下列各数中：

－，，, －π,,－,0,0.,,,2.…

其中有理数有__________________________；

无理数有__________________________。

分析：对于、等应先化简再判断。

解：有理数：－，,0,,,

无理数有：,－π,,－,2.……

说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。

例3 的相反数是；的绝对值是；－的倒数是

。

分析：如果表示一个正实数，那么－就表示一个负实数，与－互为相反数；0的相反数依然是0。一个正实数的绝对值是它本身；

一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。非零实

数a的倒数是。

解：的相反数是1－；的绝对值是；－=－，所以－的倒数是－。

说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。

考点3 实数的运算

例4 （1）计算：

（2）化简得（）

（A）－2 （B）（C）2 （D）

分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。

（1）=×=；

（2）=－2。故选（A）。

说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。值得注意的是，在进行开方运算时，正

实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。考点4 非负数

例5 已知，为实数，且，则的值为（）.

（A）3 （B）－3 （C）1 （D）－1分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实

数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：

若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。利用这个性质

可解本题，

解：由题意，得，，即，，所以。故选（D）。

说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。

考点5 数形结合题

例6 已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a－b｜－｜a＋b｜

分析：要化简｜a－b｜－｜a＋b｜，需根据数轴上a、b的位置判断a－b和a+b的符号。

解：因为a>0，b<0，且∣a∣<∣b∣，所以a－b>0，a+b<0，所以原式=（a－b）+（a+b）=a－b+a+b=2a

说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。

考点6 探究题

例7 阅读下列解题过程：

请回答下列问题：

（1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：

（2）、利用上面所提供的解法，请化简：

分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。

解：（1）。

==。

说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。

三、易错点例析

1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透

理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根

时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“”成了平方根等等。

例1 （1）求6的平方根（2）求的算术平方根

错解：（1）；（2）的算术平方根是9