实数知识点及易错题型
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
实数题型分类归纳
精品文档《实数》知识点比较：类型一：求值例1、求下列各数的算术平方根。
499??26-）（72 ）0 （6）5）（1）100（2）（3）（40.0025 （1 6416例2、求下列各数的平方根。
499??2-6（1）100 （2）（3）（4）0.0025 （5）0 （6）2 （7）1 6416精品文档．精品文档、求下列各数的立方根。
例3108??36-）2 （7）（1）1000 （2）（3）（4）0.001 （5）0 （622727类型二：化简求值、求下列各式的值。
例11692-01960.= （（12）= （3））= 22562233324--2551272927-?-= = ）6）（4）（= （52例、求下列各式的值222242-6）25-4（?-2）?0100.0001?.?（））（2（1a?0??类型三：算术平方根的双重非负性a0??0?a的非负性被开方数一、、下列各式中，有意义的有哪些？例1122a6-a a6--6)?(62 x。
2、若下列各式有意义，在后面横线上写出的取值范围例xx-5__________ （2）1（）_________x，求都是实数，且例3、若、的立方根。
83?3?x?xy??yx?3y0a?的非负性二、算术平方根a2?1a?的取值是______（4例、1）。
______,的最小值是此时精品文档．精品文档a1a? ______的最大值是______,）此时2-。
的取值是（22例5、若，求的值。
02?3?x?1?y）yx?222例6的平方根。
、已知，求）?yx（0??33y2(x?2)27?类型四、位，算术平方根的小数点向两算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动位。
右（左）移动一位，立方根的小数点向右（左）立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三移动一位。
84.5.217?2.284，521.7?22观察：已知例1、填空：__0.05217?______52170?____8584.12.36?.536，23.6?则令例2、②若①__________x?,?________x?04858236?_______;0.0023661536??10a，求a③若的值。
(完整版)实数知识点和练习
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类,7等；（1）开方开不尽的数，如32π+8等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）是有理数，而不是无判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a 的算术平方根，记作“a ”。
（2）a(a ≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
实数知识点归纳及典型例题
第十三章实数----知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于a ，即，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2(x ≥0)中，规定a x =。
理解：a x =2(x ≥0)a x =a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的算术平方根a 的算术平方根是x 2.a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
3.当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：）二、平方根1.平方根的定义：如果的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的．即：如果，那么x 叫做a 的． 理解：a x =2<—>a x ±=a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的平方根a 的平方根是x2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才有意义。
3.平方与开平方：±3的平方等于9，9的平方根是±34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根1.立方根的定义：如果的等于a ，这个数叫做a 的（也叫做），即如果，那么x 叫做a 的立方根。
2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
理解：a x =3<—>3a x =a 是x 的立方x 的立方是ax 是a 的立方根a 的立方根是x3.一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
实数_知识点+题型归纳
第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应二、相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。
数a的相反数是-a。
正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
非0实数a的倒数为 . 0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.三、平方根与立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。
数a的平方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。
负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。
数a的立方根用表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。
绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为04.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
八上数学 第二章实数知识点归纳+易错例题精选(含答案)
八年级数学上册 第二章 实数知识点+易错题精选一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数概念：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算 逐步逼近法的正确使用 三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a”，读作“正、负根号a ”。
专题6.6 实数章末八大题型总结(培优篇)(人教版)(解析版)
专题6.6实数章末八大题型总结（培优篇）【人教版】【题型1实数的概念辨析】 (1)【题型2直接求平方根、立方根】 (4)【题型3由平方根、立方根，求该数】 (5)【题型4估算算术平方根的取值范围】 (7)【题型5利用平方根、立方根解方程】 (9)【题型6由平方根、立方根求参数的值】 (11)【题型7实数的大小比较】 (14)【题型8实数与数轴综合运用】 (16)【题型1实数的概念辨析】【例1】（2023春·全国·七年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里：38，3，−32，−78，0，−0.2.2.，1.414，−7．(1)有理数集合：{________________…}；(2)负无理数集合：{______________…}；(3)正实数集合：{________________…}．【答案】(1)38，−78，0，−0.2.2.，1.414(2)−32，−7(3)38，3，1.414【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解；（2）根据负无理数的定义，即可求解；（3）根据正实数的定义，即可求解．【详解】（1）解：38=2，有理数集合：{38，−78，0，−0.2.2.，1.414，……}；故答案为：38，−78，0，−0.2.2.，1.414；（2）解：负无理数集合：{−32，−7，……}；故答案为：−32，−7；（3）解：正实数集合：{38，3，1.414，……}．故答案为：38，3，1.414．【点睛】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数．【变式1-1】（2023秋·河北承德·七年级校考期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个【答案】B【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；③﹣2是无理数，所以原说法错误；④237是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误；⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；故其中错误的说法的个数为6个．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．【变式1-2】（2023春·全国·七年级期中）对于−3+5的叙述，下列说法中正确的是（）A．它不能用数轴上的点表示出来B．它是一个无理数C．它比0大D．它的相反数为3＋5【答案】B【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．【详解】A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；B．−3+5是一个无理数，故该说法正确，符合题意；C．−3+5<0，故该说法错误，不符合题意；D．−3+5的相反数为3−5，故该说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的定义，相反数的定义，牢记相关概念是解答本题的关键．【变式1-3】（2023秋·浙江温州·七年级统考期中）小聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上分别填上一个适合的数．【答案】见解析【分析】根据实数的分类填写即可．【详解】解：实数分为有理数与无理数，也可分为正实数，0，负实数，所以实数下横线填负数；正数分为正有理数，正无理数，正数下的横线上填正有理数；整数分为正整数，0，与负整数，整数下横线填0与负整数；无理数分为正无理数，负无理数，无理数下横线填负无理数，整数与正数公共部分填正整数，无理数与正数公共部分填正无理数，填数如下：【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．【题型2直接求平方根、立方根】【例2】（2023春·四川广元·七年级校联考期中）下列式子正确的是（）A．49=±7B．−32=−3C．−−52=5D．−3−5=35【答案】D【分析】分别根据算术平方根的性质、立方根的性质化简即可．【详解】解：A、49=7，故该选项错误；B、−32=3，故该选项错误；C、−−52无意义，故该选项错误；D、−3−5=35，故该选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根的性质、立方根的性质，熟记运算法则是关键．【变式2-1】（2023春·广西河池·七年级统考期末）下列说法中，错误的是（）A．2的平方根是±4B．0的平方根是0C．1的平方根是±1D．−1的立方根是−1【答案】A【分析】利用平方根和立方根的定义进行判断即可．【详解】解：A.2的平方根是±2，则A符合题意；B.0的平方根是0，则B不符合题意；C.1的平方根是±1，则C不符合题意；D.−1的立方根是−1，则D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．【变式2-2】（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）若−4+5−2=0，则+的平方根是．【答案】±3【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．【详解】解：∵−4+5−2=0，∴−4=0，5−=0，∴=4，=5，∴+=9，∴B的平方根是±3．故答案为：±3．【点睛】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．【变式2-3】（2023春·吉林松原·七年级校联考期中）已知64的立方根是m，m的平方根是n，求+的值．【答案】+的值为6或2【分析】由64的立方根是m，可得=364=4，由m的平方根是n，可得=±=±2，然后计算求解即可．【详解】解：∵64的立方根是m，∴=364=4，∵m的平方根是n，∴=±=±2，∴当=2，+=6；当=−2，+=2；∴+的值为6或2．【点睛】本题考查了立方根，平方根，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【题型3由平方根、立方根，求该数】【例3】（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第二十二中学校考期末）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为−8.69；x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，则（）A．=1100s=−1000B．=1100s=100C．=100s=1100D．=11000s=−100【答案】A【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴=1100s=−1000．故选：A．【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．【变式3-1】（2023春·福建南平·七年级统考期中）已知的平方根为±3，+的算术平方根为2，求−的平方根．【答案】±14【分析】根据题意，先求得和+的值，进而求得的值，再代入求得−的平方根即可．【详解】解：∵的平方根为±3，∴=9，∵+的算术平方根为2，∴+=4，∴=−5；当=9，=−5时，−=14，∴−的平方根为±14．【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解题的关键．【变式3-2】（2023春·湖北孝感·七年级统考期末）某正数的两个平方根分别是+3、2−15，则这个正数为．【答案】49【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可求出的值，再根据平方根即可求出这个正数．【详解】解：∵正数的两个平方根分别是+3、2−15，正数的两个平方根互为相反数，∴+3+2−15=0，解得：=4，∴+3=4+3=7，则这个正数为72=49，故答案为：49．【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，两个平方根互为相反数，是解答本题的关键．【变式3-3】（2023春·云南普洱·七年级校考期中）已知的平方根是±5，2+4的立方根是2，3=．（1）求s s的值；（2）求+2+的算术平方根．【答案】（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2）10或3．【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a、b的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c；（2）分c=0和c=1两张情况分别解答即可．【详解】解：（1）∵的平方根是±5，2+4的立方根是2∴a=5，2b+4=8，即b=2∵3=∴c=1或c=0∴a=5、b=2、c=1或c=0；（2）当c=1时，+2+=5+2×2+1=10当c=0时，+2+=5+2×2+0=3；∴+2+的算术平方根为10或3．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c的值成为解答本题的关键．【题型4估算算术平方根的取值范围】【例4】（2023春·湖北荆州·七年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9=18，则大正方形的边长为：18，∵16<18< 4.52，∴4＜18＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．【变式4-1】（2023春·天津·七年级统考期末）估计7−2的值在（）A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3至4之间【答案】A【分析】先判断7的取值范围，从而得出7−2的取值范围．【详解】∵22<(7)2<32∴2<7<3，∴0<7−2<1，即7−2在0到1之间，故选A．【点睛】本题考查二次根式的估算，常见方法有2种：平方法去根号比较、将整数转化到根号内比较．【变式4-2】（2023春·新疆塔城·七年级统考期末）已知是整数，当−的值是() A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】根据绝对值的意义，找到与30最接近的整数，可得结论．【详解】解：∵25<30<36，∴5<30<6，且与30最接近的整数是5，∴当−的值是5，故选A．【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．【变式4-3】（2023春·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）已知2＜21，若+2是整数，则＝．【答案】-1，2，-2.【分析】根据题意可知m是整数，然后求出m的范围即可得出m的具体数值，然后根据+2是整数即可求出答案．【详解】解：∵+2是整数，∴m是整数，∵2＜21，∴m2≤4，∴-2≤m≤2，∴m=-2，-1，0，1，2当m=±2或-1时，+2是整数，故答案为：-1，2，-2【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是根据条件求出m的范围，本题属于中等题型．【题型5利用平方根、立方根解方程】【例5】（2023秋·江苏盐城·七年级校联考期中）求下列式子中的x(1)2−12=8(2)3−33+81=0【答案】(1)=3或=−1(2)=0【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；（2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．【详解】（1）解：2−12=8(−1)2=4，−1=±2，−1=2或−1=−2，=3或=−1；（2）解：3(+1)3+81=0，(−3)3=−27，−3=−3，=0．【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键．【变式5-1】（2023春·广西玉林·七年级统考期中）求下列各式中x的值．(1)25−2=0；(2)(+1)3=64．【答案】(1)=±5(2)=3【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；（2）根据立方根的定义解答即可．【详解】（1）解：25−2=0移项，得：2=25，解得：=±5；（2）+13=64开立方得：+1=4，解得：=3．【点睛】本题考查了用平方根，立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．【变式5-2】（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）求x的值：(1)252−36=0(2)(+1)3−3=38【答案】(1)=65或=−65(2)=12【分析】（1）先把方程化为2=3625,再利用平方根的含义解方程即可；（2）先把方程化为(+1)3=278，再利用立方根的含义解方程即可．(1)解：252−36=0∴2=3625,解得：=±65，即=65或=−65(2)解：(+1)3−3=38移项得：(+1)3=278∴+1=32解得：=12【点睛】本题考查的是利用平方根的含义，立方根的含义解方程，掌握“平方根与立方根的含义”是解本题的关键．【变式5-3】（2023秋·江苏·七年级期中）解方程：32(−1)2=327．【答案】=1±2【分析】先根据立方根的定义得出32(−1)2=3，再两边都乘以23，继而根据平方根的定义计算即可．【详解】解：∵32(−1)2=327，∴32(−1)2=3，∴−12=2，则−1=±2，∴=1±2．【点睛】本题主要考查立方根、平方根、等式的基本性质等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键．【题型6由平方根、立方根求参数的值】【例6】（2023春·重庆彭水·七年级统考期中）已知−4的立方根是1，3−−2的算术平方根是3，13的整数部分是c．(1)求a，b，c的值．(2)求2−3+的平方根．【答案】(1)=5，=4，=3(2)±1【分析】根据立方根、算术平方根的概念可得−4、3−−2的值，进而可得、的值，接着估计13的大小，可得的值，进而可得2−3+，再根据平方根的求法可得答案．【详解】（1）解：∵−4的立方根是1，3−−2的算术平方根是3，∴−4=1，3−−2=9，解得：=5，=4；∵9<13<16，∴3<13<4，∴=3．（2）解：由（1）得：2−3+=10−12+3=1；故2−3+的平方根为±1．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，求一个数的平方根，灵活运用。
专题01 实数(重点+难点)(解析版)
专题01实数（重点+难点）一、单选题1．下列各数中：﹣227，﹣39，0，0.15，3π，﹣49，1.010010001……（0的个数依次加一个），23.1313313332中，无理数有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】无限不循环小数称为无理数，根据此概念判断即可．【解析】根据无理数的概念知：无理数有﹣39，3π， 1.010010001……（0的个数依次加一个）三个；故选：C ．【点睛】本题考查了无理数的含义，常见三类无理数：不能开尽方的平方根或立方根；π与有理数的和差积商；形如1.010010001……（0的个数依次加一个）的数．2．下列说法中，不．正确的是（）A ．4的平方根是2±B ．8的立方根是2C ．64的立方根是4±D ．9的算术平方根是3【答案】C【分析】根据平方根和立方根的定义进行计算，一个正数的平方根有正负两个，正的平方根是该数的算术平方根，所有实数的立方根只有一个，然后进行逐一判断即可．【解析】A.4的平方根是2±，原选项不合题意；B.8的立方根是2，原选项不合题意；C.64的立方根是4，原选项符合题意；D.9的算术平方根是3，原选项不合题意．故选：C【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．3．如图，数轴上点P 表示的数可能是（）A．①②【答案】D【分析】根据运算规则即可求解．【解析】解：①x的值不唯一．②输入值x为16时，③对于任意的正无理数④当x=1时，始终输不出其中错误的是①③．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：及像0.1010010001…，等有这样规律的数．二、填空题11．比较大小：6【答案】<【分析】根据实数的大小比较方法求解即可．<，【解析】解：∵67∴67<，1615>故答案为：<，>．【点睛】本题考查实数的大小比较，三、解答题(1)已知点A、B表示两个实数﹣3、2，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；(2)O为原点，求出O、A两点间的距离．(3)求出A、B两点间的距离．【答案】(1)见解析；（2）解：∵表示点A的数为﹣3，表示点O的数为0，∴OA=0﹣（﹣3）=3；（3）解：∵表示点A的数为﹣3，表示点B的数为2，∴AB=2﹣（﹣3）=2+3．【点睛】本题考查了实数与数轴以及两点间的距离，在数轴上准确表示出点∴103823的立方根的十位数字是4，又∵103823的立方根的个位数字是7，∴103823的立方根是47．【点睛】考查了立方根的概念和求法，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．一、单选题A．216【答案】D【分析】由4A纸张的宽为【解析】解：由图得，当∵纸张长与宽的比为∴0A纸的长为42x米，∵0A纸面积为1平方米，∴421x x⋅=，∴2²32x=，∴x的值为232的算术平方根．故选：D．【点睛】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出二、填空题三、解答题。
实数期末常考题型总结
实数期末常考题型总结一、实数的性质1. 实数的分类：有理数和无理数的概念，以及它们在数轴上的位置。
2. 实数集的完备性：介绍实数集的上确界、下确界、最大值、最小值等概念，并在数轴上进行图示。
3. 实数的比较和大小：掌握实数的大小比较，通过数轴的位置进行判断。
二、实数的运算1. 实数的加、减、乘、除运算：熟练掌握实数四则运算的规则，注意有理数和无理数运算的特点。
2. 实数的幂运算：知道实数的幂运算的定义、性质和计算法则。
3. 符号函数：了解符号函数的性质和运算规律，进行计算和简化表达式。
三、实数的表示1. 实数的小数表示和数轴表示：熟悉实数的小数表示法，掌握无限不循环小数和无限循环小数的表示方法。
2. 实数的近似表示和有效数字：了解实数的近似表示法和有效数字的概念，计算近似值和有效数字的位数。
四、实数的性质证明1. 实数的有序性证明：通过实数的定义和性质，证明实数的大小关系。
2. 实数的不等式证明：根据实数的性质，推导和证明实数的不等式关系。
3. 实数的有理数性质证明：利用有理数性质和实数的定义，证明某个数是有理数。
4. 实数的无理数性质证明：利用无理数性质和实数的定义，证明某个数是无理数。
五、实数的绝对值和距离1. 实数的绝对值：根据绝对值的定义和性质，计算实数的绝对值。
2. 实数的距离：了解实数之间的距离概念，计算实数之间的距离。
六、实数的逼近和误差估计1. 实数的逼近和截断误差：了解逼近的概念和方法，估计实数的截断误差。
2. 误差的运算和估计：掌握误差运算和误差估计的方法，确定结果的精确性。
七、实数的方程和不等式1. 实数方程：解实系数的一元一次方程和二次方程。
2. 实数不等式：解实系数的一元一次不等式和二次不等式，并求解其解集。
八、实数数列和级数1. 实数数列的定义、性质和分类：熟悉数列的概念和定义，了解等差数列、等比数列等常见数列的性质。
2. 实数数列的极限和收敛：了解数列极限的概念和性质，计算数列的极限值。
《实数》题型分类归纳
精心整理《实数》知识点比较：（1）100 （2）6449（3）1691（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例2、求下列各数的平方根。
（1）100（2）6449（3）1691（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例3、求下列各数的立方根。
（1）1000（2）278（3）27102（4）0.001（5）0（6）2（7）()36-类型二：化简求值例1、 求下列各式的值。
（1）22=（2）256169-=（3）0196.0= （4）2224-25-=（5）327--=（6）33512729+= 例2、求下列各式的值（1）一、 例1例2（1）例3二、 例4例5例6算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。
立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。
例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空：______52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==，则①________00236.0_______;236==②若__________,04858x ==x③若153610a 6=⨯，求a 的值。
例3、若b ==337,a 15，则____37000____,15.03==。
类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。
例1、 一个非负数的两个平方根是 12-a 和5-a ，这个非负数是多少？ 例2、 已知一个数的两个平方根分别是13+a 和11+a ，求这个数的立方根 类型六、解方程。
例1、求下列各式中的x 的值：（1）2x =196；（2）010x 52=-；（3）0253362=--）（x 。
（4）3x 3例1例2、求A B -例1、 例2、例3A 、2与例4例5例1、下列判断错误的是()A 、若b a =，则b a =B 、若33b a =，则b a =C 、若3333b a =，则b a =D 、若22b a =，则b a =例2、如图实数 a 、b 对应数轴上的点A 和点B ,化简：2222)()(a b a b a b +---+ 提示：|a |＝算；())0(2≥=a a a类型八、平方运算与开平方运算互为逆运立方运算与开立方运算互为逆运算。
初中数学实数易错题汇编含答案
【解析】
分析：根据平方根的意义，由16＜17＜25估算出 的近似值进行判断.
详解：∵16＜17＜25
∴4＜ ＜5
∴3＜ -1＜4
因此 -1在3到4之间.
故选：C.
点睛：此题主要考查了无理数的估算，根据平方根的被开方数的大小估算是解题关键.
3．把 中根号外的因式移到根号内的结果是( )
A． B． C． D．
【详解】
仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；
立方根等于本身的有：±1和0，②错误；
20．下列式子中，计算正确的是()
A．－ ＝－0.6B． ＝－13
C． ＝±6D．－ ＝－3
【答案】D
【解析】
A选项中，因为 ，所以 ，故A中计算错误；
B选项中，因为 ，所以B中计算错误；
C选项中，因为 ，所以C中计算错误；
【分析】
由于 ，于是 ，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
【详解】
由于 ，于是 ，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与 最接近的是3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
17．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为（ ）
D选项中，因为 ，所以D中计算正确；
故选D.
解得：x＝1+ （1﹣ <0，不符合舍去）；
②当﹣x＞x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣x﹣1，
解得：x＝﹣1（1>0，不符合舍去），
实数的题型总结
实数的题型总结一、实数的概念题型1. 判断有理数与无理数- 题目：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？√(2)，0，π，-(22)/(7)，0.333·s，1.41421356（这个数是√(2)的近似值，但这里是有限小数）。
- 解析- 有理数是整数和分数的统称。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。
- 0是整数，所以是有理数；-(22)/(7)是分数，是有理数；0.333·s是无限循环小数，是有理数；1.41421356是有限小数，是有理数。
- 无理数是无限不循环小数。
√(2)是开方开不尽的数，是无限不循环小数，所以是无理数；π是一个无限不循环小数，是无理数。
2. 确定实数的分类- 题目：把下列实数分别填入相应的集合里：-√(5)，(22)/(7)，π，-sqrt[3]{27}，0，√(16)，-3.14159，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
- 有理数集合{(22)/(7),-sqrt[3]{27},0,√(16), - 3.14159}；- 无理数集合{-√(5),π,0.1010010001·s}。
- 解析- 先化简-sqrt[3]{27}=-3，√(16) = 4。
- 有理数包括整数和分数，(22)/(7)是分数，-sqrt[3]{27}=-3是整数，0是整数，√(16)=4是整数，-3.14159是有限小数，所以它们是有理数。
- 无理数是无限不循环小数，-√(5)开方开不尽，π是无限不循环小数，0.1010010001·s是无限不循环小数，所以它们是无理数。
二、实数的性质题型1. 相反数、倒数、绝对值- 题目：求√(3)-2的相反数、倒数和绝对值。
- 解析- 相反数：-(√(3)-2)=2 - √(3)。
- 倒数：(1)/(√(3)-2)=(√(3)+2)/((√(3)-2)(√(3)+2))=(√(3)+2)/(3 - 4)=-2-√(3)（利用平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2对分母进行有理化）。
绝对值、实数易错点
《绝对值》在有理数的学习中，绝对值是一个重要的知识点，也比较难。
由于接触绝对值概念的时间比较短，对其认识不深刻，常见的错误有：1. 一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数。
分析：正数的绝对值等于其本身，但0的绝对值也等于其本身，所以，绝对值等于其本身的数可能是正数，也可能是0。
正确的说法是：一个数的绝对值等于本身，这个数是非负数。
2. 一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数。
分析：正确的回答是：绝对值等于它的相反数的数是负数或0（也就是非正数）。
3. 如果两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等。
分析：错。
两个有理数的绝对值相等，这两个数不一定相等，如||||3333=-=，，即3和-3的绝对值相等，但3不等于-3。
4. 如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值一定不等。
分析：错。
由3知，两个数不等，它们的绝对值有可能相等。
5. 有理数的绝对值一定是正数。
分析：错。
因为0的绝对值是0，0既不是正数也不是负数，所以有理数的绝对值是非负数。
6. 没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数。
分析：没有最小的有理数。
但负数与正数的绝对值都是正数，而0的绝对值是0。
0小于一切正数，所以绝对值最小的数是0。
7. 当||a a =时，a >0；当||a a =-时，则a <0。
分析：错。
||a a =表示的意义是一个数的绝对值等于本身，这个数是非负数，所以这时a ≥0；||a a =-说明一个数的绝对值等于它的相反数，此时a ≤0。
8. 绝对值不大于5的整数有8个。
分析：错。
一是错把不大于理解为小于了；二是漏掉了0。
正确的答案是绝对值不大于5的数有11个，分别为-----54321，，，，，0，1，2，3，4，5。
9. 两个有理数为a ，b ，若a b >，则||||a b >。
分析：错。
当a b >≥00，时，则||||a b a b >><；当，00时，则不一定有||||a b >，如23>-，而||||23<-；当a ≤0，b <0时，若a b >，则||||a b <，如->-47，而||||-<-47。
实数知识点易错点
实数知识点易错点实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数。
在学习实数的过程中，常常会遇到一些易错点。
本文将从易错点的角度介绍实数的知识点，并提供一些解决这些易错点的方法。
一、实数的定义实数是指包括有理数和无理数的数集。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，包括无限不循环小数和根号数。
易错点：有理数和无理数的区分解决方法：有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数不能表示为两个整数的比值。
当题目给出的数无法表示为两个整数的比值时，可以判断其为无理数。
二、实数的性质1.实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
易错点：混淆加法和乘法的性质解决方法：加法满足交换律和结合律，乘法满足交换律、结合律和分配律。
在运算中，需要正确理解并运用这些性质。
2.实数中存在唯一的零元素和单位元素。
易错点：混淆零元素和单位元素的概念解决方法：零元素是加法中的元素，它与任何实数的和都等于该实数本身。
单位元素是乘法中的元素，它与任何实数的积都等于该实数本身。
在题目中出现相关概念时，需要正确理解并运用。
三、实数的大小比较实数的大小可以通过大小关系符号进行比较。
常用的大小关系符号有“<”、“>”、“≤”和“≥”。
易错点：混淆大小关系符号的使用解决方法：在比较实数的大小时，需要根据实数的性质正确选择大小关系符号。
例如，当两个实数的大小无法确定时，可以使用“≤”或“≥”来表示。
四、实数的运算1.实数的加法和乘法运算是封闭的。
易错点：混淆实数运算的封闭性解决方法：实数的加法和乘法运算是封闭的，即两个实数的和（积）仍然是实数。
在运算中，需要注意运算结果是否在实数范围内。
2.实数的除法运算存在除数不能为零的限制。
易错点：忽略实数除法的除数不能为零的规定解决方法：在进行实数的除法运算时，需要注意除数不能为零。
如果题目中出现除数为零的情况，需要指出该运算无定义。
(易错题精选)初中数学实数知识点总复习含答案解析(1)
（易错题精选）初中数学实数知识点总复习含答案解析(1)一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根有两个B ．只有正数才有平方根C ．负数既没有平方根，也没有立方根D ．一个非负数的平方根的平方就是它本身【答案】D【解析】A 、O 的平方根只有一个即0，故A 错误；B 、0也有平方根，故B 错误；C 、负数是有立方根的，比如-1的立方根为-1，故C 错误；D 、非负数的平方根的平方即为本身，故D 正确；故选D ．2．在整数范围内，有被除数=除数⨯商+余数，即a bq r a b =+≥（且)00b r b ≠≤<，，若被除数a 和除数b 确定，则商q 和余数r 也唯一确定，如：11,2a b ==，则11251=⨯+此时51q r ==,．在实数范围中，也有 (a bq r a b =+≥且0b ≠，商q 为整数，余数r 满足：0)r b ≤<，若被除数是，除数是2，则q 与r 的和（ ）A ．4B ．6C ．4D ．4 【答案】A【解析】【分析】根据2=q 即可先求出q 的值，再将a 、q 、b 的值代入a =bq +r 中即可求出r 的值，从而作答．【详解】∵2=7=45，的整数部分是4， ∴商q =4，∴余数r =a ﹣bq =2×4=8，∴q +r =4+8=4．故选：A ．【点睛】本题考查了整式的除法、估算无理数的大小，解答本题的关键理解q 即2的整数部分．3．在3.14，237，π这几个数中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】3.14，237，π中无理数有:, π,共计2个. 故选：B.【点睛】 考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4．1，0( )AB ．﹣1C ．0D 【答案】B【解析】【分析】将四个数按照从小到大顺序排列，找出最小的实数即可．【详解】四个数大小关系为：10-<<<则最小的实数为1-，故选B ．【点睛】此题考查了实数大小比较，将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键．5．设,a b 是不相等的实数，定义W 的一种运算；()()()2a b a b a b a b =+-+-W ，下面给出了关于这种运算的四个结论：①()6318-=-W ；②a b b a =W W ；③若0a b =W ，则0b =或0a b +=；④()a b c a b a c +=+WW W ，其中正确的是 （ ）A ．②④B ．②③C ．①④D ．①③【答案】D【解析】【分析】 先化简()()()2a b a b a b +-+-，然后各式利用题中的新定义化简得到结果，即可作出判断．【详解】解：()()()222222222=+-+-=++-+=+a b a b a b a b a ab b a b ab b W ， ①()2632(6)323361818-=⨯-⨯+⨯=-+=-W ，故①正确； ②∵222=+b a ba a W ，当a b ¹时，≠a b b a WW ，故②错误； ③∵0a b =W ，即2222()0+=+=ab b b a b ，∴2b =0或a +b =0，即0b =或0a b +=，故③正确；④∵()2222()2()22242a b c a b c b c ab ac b bc c +=+++=++++W 222222222222+=+++=+++a b a c ab b ac c ab ac b c W W∴()+≠+a b c a b a c W WW ，故④错误； 故选：D ．【点睛】本题考查了整式的混合运算和定义新运算，理解定义新运算并根据运算法则进行计算是解题的关键．6．如图，长方形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是1-，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是（ ）A ．45B 52C 51D ．35【答案】C【解析】【分析】 首先根据勾股定理算出AC 的长度，进而得到AE 的长度，再根据A 点表示的数是-1，可得E 点表示的数．【详解】∵2,1AD BC AB === ∴22521AC =+=∴AE =5 ∵A 点表示的数是1- ∴E 点表示的数是51-【点睛】掌握勾股定理；熟悉圆弧中半径不变性．7．4的算术平方根为（ ）A ．2±B ．2C ．2±D ．2【答案】B【解析】分析：先求得4的值，再继续求所求数的算术平方根即可．详解：∵4=2，而2的算术平方根是2，∴4的算术平方根是2，故选B ．点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A 的错误．8．16的算术平方根是（ ）A ．±4B ．－4C ．4D ．±8【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案.【详解】 24=16Q ,16∴的算术平方根是4.所以C 选项是正确的.【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义,解决本题的关键是明确一个正数的算术平方根就是其正的平方根.9．已知直角三角形两边长x 、y 满足224(2)10x y -+--=，则第三边长为 （ ） A ． B ．13 C ．5或13 D ．513【答案】D【解析】【详解】解：∵|x 2-4|≥0，2(2)1y --≥0，∴x 2-4=0，2(2)1y --=0，∴x=2或-2（舍去），y=2或3，分3种情况解答：①当两直角边是2时，三角形是直角三角形， 则斜边的长为：222222+=；②当2，3均为直角边时，斜边为222313+=；③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，长是22325-=．故选D ．考点：1．非负数的性质；2．勾股定理．10．如图所示，数轴上表示3、13的对应点分别为C 、B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是 （ ）A ．13B ．13C ．13D 13 【答案】C【解析】点C 是AB 的中点，设A 表示的数是c 1333c =-，解得：13C ． 点睛：本题考查了实数与数轴的对应关系，注意利用“数形结合”的数学思想解决问题．11．下列命题中，真命题的个数有（ ）①带根号的数都是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根； ④有且只有一条直线与已知直线垂直A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；12．2在哪两个整数之间( )A ．4和5B ．5和6C ．6和7D ．7和8【答案】C【解析】【分析】222== 1.414≈，即可解答．【详解】222== 1.414≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．13．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数， 进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B ．本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．14．1的值在( )A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】C【解析】【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．【详解】∵34，∴41＜5．故选C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出34是解题的关键，又利用了不等式的性质．15．下列说法：①“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨；②无理数是开方开不尽的数；a<是不可能事件；③若a为实数，则0④16的平方根是4±4=±；其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】①根据概率的定义即可判断；②根据无理数的概念即可判断；③根据不可能事件的概念即可判断；④根据平方根的表示方法即可判断．【详解】①“明天降雨的概率是50%”表示明天有50%的可能会降雨，而不是半天都在降雨，故错误；②无理数是无限不循环小数，不只包含开方开不尽的数，故错误；③若根据绝对值的非负性可知0a ≥，所以0a <是不可能事件，故正确；④16的平方根是4±，用式子表示是164±=±，故错误；综上，正确的只有③，故选：A ．【点睛】本题主要考查概率，无理数的概念，绝对值的非负性，平方根的形式，掌握概率，无理数的概念，绝对值的非负性，平方根的形式是解题的关键．16．下列说法：①36的平方根是6； ②±9的平方根是3； 164±； ④ 0.01是0.1的平方根； ⑤24的平方根是4； ⑥ 81的算术平方根是±9.其中正确的说法是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5 【答案】A【解析】【分析】依据平方根、算术平方根的定义解答即可．【详解】①36的平方根是±6；故此说法错误；②-9没有平方根，故此说法错误；16=4164±说法错误；④ 0. 1是0. 01的平方根，故原说法错误；⑤24的平方根是±4，故原说法错误；⑥ 81的算术平方根是9，故原说法错误.故选A.17．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中的较大的数，如：max {2，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为（ ）A ．2或12B ．1或﹣1C ．12或1D ．2或﹣1【答案】D【解析】【分析】根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x 的分式方程求解，结合x 的取值范围确定方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解即可．【详解】解：①当x ≥﹣x ，即x ≥0时，∵max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1，∴x＝x2﹣x﹣1，解得：x＝（1<0，不符合舍去）；②当﹣x＞x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣x﹣1，解得：x＝﹣1（1>0，不符合舍去），即方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为或﹣1，故选：D．【点睛】本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．18．实数）A3<<B．3<C3<<<<D3【答案】D【解析】【分析】先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3做比较即可得到答案.【详解】解：∵3==∴3=<3=><<，3故D为答案.【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较.19．估计值应在（）2A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式乘法法则进行计算，得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估算即可得解．【详解】解：2=∵91216<<<<∴34<<∴估计2值应在3到4之间．故选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．20．在实数范围内，下列判断正确的是（）A．若2t ，则m=n B．若22a b>，则a＞bC2=，则a=b D=a=b【答案】D【解析】【分析】根据实数的基本性质，逐个分析即可.【详解】A、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；B、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；C、两个数可能互为相反数，如a=-3，b=3，故选项错误；D、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．故选:D．【点睛】考核知识点：实数的性质.理解算术平方根和立方根性质是关键.。
第二章 实数
第二章 实数 2．1 认识无理数基础题知识点1 无理数的认识及其概念1．两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长是( )A ．整数B ．分数C ．有理数D ．无理数 2．(呼和浩特中考)下列各数是无理数的是( )A ．－1B ．0C ．π D.133．下列说法中正确的是( )A ．有理数是有限小数B ．有理数是无限小数C ．无理数是无限循环小数D ．无限不循环小数是无理数4．把两个长均为1的正方形纸片重新剪拼成一个大的正方形，则大正方形的面积是2，其边长 有理数． 知识点2 用“夹逼法”估算无理数5．(教材P25习题T2变式)设面积为5π的圆的半径为a.(1)a 是有理数吗？说说你的理由； (2)估计a 的值(结果精确到0.1，)，并利用计算器验证你的估计； (3)如果结果精确到0.01呢？中档题6．若方程x 2＝m 的解是有理数，则m 不能取下列四个数中的( ) A ．1 B ．4 C.14 D.127．将下列各数填在相应的括号内．－2，(π－7)0，0.2，3.73··，π4，5，3.141 592 6，227，－1.2，20%，3.14－π，0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个数逐次加1)．(1)有理数{ …}； (2)无理数{ …}．8．小明买了一箱苹果，装苹果的纸箱尺寸为50×40×30(单位：cm)，现在小明要将这箱苹果分装在两个大小一样的正方体纸箱内，这两个正方体纸箱的棱长至少有多长？(结果精确到1 cm)综合题9．在下列4×4的网格中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．2.2 平方根 第1课时 算术平方根基础题知识点1 算术平方根的概念1．(桂林中考)4的算术平方根是( )A ．4B ．2C ．－2D ．±22．“1625的算术平方根是45”用式子表示为( )A ．±1625＝±45B.1625＝±45 C.1625＝45D ．±1625＝453．计算：(1)9＝ ；(2)19＝ . 4．求下列各数的算术平方根： (1)0；(2)7；(3)0.49；(4)104.知识点2 算术平方根在实际生活中的应用5．小亮家有一个高3 m 、宽2 m 的大门框(如图)，为了防止其变形，他在对角线(图中虚线)的两端点间加固两根木条，则其中一根木条的长度为 m.6．(青岛名校联考)某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10 m 的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．易错点1 误将a 的算术平方根当成a 的算术平方根造成错误 7.81的算术平方根是易错点2 错将带分数的整数部分和分数部分分别求算术平方根 8.179的值是 中档题9．一个数的算术平方根是它本身，则这个数是( ) A ．－1，0或1 B ．1 C ．－1或1 D ．0或110．(凉山中考改编)有一个数值转换器，原理如下．当输入的x 为4时，输出的y 是( )A ．4B ．2 C. 2 D ．－ 2 11．一个数的算术平方根是a ，则比这个数大5的数是 12．(济南中考)计算：2－1＋（－2）2＝ ．13．求下列各式的值：(1)|－121| (2)－（－17）2.综合题14．某地气象资料表明此地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t 2＝d 2900来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．(1)如果雷雨区域的直径为8 km ，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果一场雷雨持续了2 h ，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？第2课时 平方根基础题知识点1 平方根的概念与开平方运算1．下列各数没有平方根的是( )A ．34B ．(－4)2C ．5－2 D ．－9 2．9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是( )A.9＝3 B ．±9＝3 C.9＝±3 D ．±9＝±3 3．(绵阳中考)±2是4的( )A ．平方根B ．相反数C ．绝对值D ．算术平方根 4．计算：－49＝ ；±925＝ ； 1.69＝ . 5．若x 2＝5，则x ＝ ；若x 2＝1625，则x ＝ ．6．求下列各数的平方根：(1)36 (2)0.81 (3)4916 (4)10－2知识点2a 2与(a )27.（－6）2的值等于( ) A ．6 B ．±6 C ．－6 D. 6 8．求下列各式的值： (1)32 (2)（－12）2 (3)(0.01)2.易错点 忽视一个正数的平方根有两个而致错9．若a 2＝4，b 2＝9，且ab ＞0，则a －b 的值为( ) A ．±5 B ．±1 C ．5 D ．－1中档题10．|－9|的平方根是( )A ．81B ．±3C ．3D ．－3 11．下列各式中，正确的是( )A.16＝±4 B ．±16＝4 C.（－4）2＝－4 D.（－4）2＝4 12．(易错题)625的平方根是 .13．计算：（3.14－π）2 ＝14．(西安雁塔区月考)已知一个正数的两个平方根分别是3x －2和5x ＋6，则这个数是 15．求下列各式中的x ：(1)9x 2－25＝0； (2)4(2x －1)2＝36.综合题16．已知2m ＋2的平方根是±4，3m ＋n ＋1的平方根是±5，求m ＋3n 的平方根．2.3 立方根基础题知识点1 立方根的概念与开立方运算1．(聊城中考)64的立方根是( )A ．4B ．8C ．±4D ．±82．化简：38＝( )A ．±2B ．－2C ．2 D. 2 3．若一个数的立方根是－15，则该数为( )A ．－315B ．－1125C ．±315D ．±11254．下列说法中，不正确的是( )A ．0.027的立方根是0.3B ．－8的立方根是－2C ．0的立方根是0D ．125的立方根是±55．0.001的立方根是 ，－13是 的立方根．6．若3a ＝－7，则a ＝ . 7．求下列各数的立方根：(1)0.216 (2)0 (3)－21027(4)－13知识点2(3a)3与3a38．求下列各式的值：(1)363(2)30.008 (3)(3－9)3(4)3－343125.易错点混淆算术平方根与立方根的性质，误认为任何数的立方根都为正数9．计算：3（－3）3＝.中档题10．如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是( )A．±1 B．0 C．1 D．0或1 11．在(k＋8)3＝－27中，k的值是( )A．－9 B．13 C．－12 D．－1112．若a是(－3)2的平方根，则3a等于( )A．－3 B.33 C.33或－33D．3或－313．求下列各式的值：(1)－31－1927；(2)－3729＋3512.14．请根据如图所示的对话内容回答下列问题．(1)求该魔方的棱长；(2)求该长方体纸盒的长．综合题15．我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；(2)若31－2x与33x－5互为相反数，求1－x的值．2.4估算基础题知识点1估算一个无理数的近似值1．与无理数37最接近的整数是( )A．4 B．5 C．6 D．72．(安徽中考)设n为正整数，且n＜65＜n＋1，则n的值为( )A．5 B．6 C．7 D．83．(六盘水中考)如图，表示7的点在数轴上表示时，它在哪两个字母之间( )A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C4．大于2且小于5的整数是．知识点2用估算法比较两个数的大小5．(西安莲湖区期中)下列比3大的数是( )A．－5 B．3 C．0 D. 26．(陕西中考)在实数－5，－3，0，π，6中，最大的一个数是.7．通过估算，比较下面各组数的大小：(1)7和2.6；(2)(西安新城区期中)10－22和12.中档题8．估计58的立方根的大小在( )A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间9．(河北中考)如图，在数轴上标注了四段范围，则表示8的点落在( )A．段①B．段②C．段③D．段④10．(常州中考)已知a＝22，b＝33，c＝55，则下列大小关系正确的是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b11．水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有5×105个水龙头和3×105个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水0.6 m3，一个漏水的抽水马桶一个月漏水0.8 m3，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到1 m，π取3.0)综合题12．规定一种新运算：a△b＝a·b－a＋1，如3△4＝3×4－3＋1，请比较－3△2与2△(－3)的大小．2.5用计算器开方基础题知识点1利用计算器进行开方运算1．计算0.052 9的值，正确按键顺序为( )A.0·0529B.0·0529C.0·0529＝D.0·0529＝2．用计算器计算0.8约等于( )A．0.923 1 B．0.894 4 C．0.854 1 D．0.735 2 3．利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)：(1)867；(2)0.462 54；(3)－3825；(4)±32 402.知识点2利用计算器比较数的大小4．利用计算器比较下列各数的大小：5．比较6＋5与24的大小．知识点3利用计算器探索数的规律6．(1)用计算器计算，将结果填入表中，你发现了什么规律？规律是：一个正数的小数点每向右(或向左)移动两位，则这个数的算术平方根的小数点就向右(或向左)移动一位；(2)用计算器计算：5≈2.236， 5 000≈70.711;__(精确到0.001)(3)利用上述规律直接写出结果：0.05≈0.223__6,__500 ≈22.36，50≈7.071__1．中档题7．用计算器计算4÷23，结果精确到0.01是( )A．1.15 B．3.46 C．4.62 D．13.868．用计算器解方程(结果精确到0.01)：(1)(x－2)2＝17；(2)(x＋3)3＝300.9．小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得铁块排出水的体积为40 cm3，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.6 cm，请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？(用计算器计算，结果精确到0.01 cm)综合题10．用计算器计算：1__000；＝10__000；观察上面的结果，你能发现什么规律？请根据规律直接写出下题的结果．＝10n.2.6实数基础题知识点1实数的概念及分类1．实数－2是( )A．无理数B．分数C．整数D．正数2．(上海中考)下列实数中，是有理数的为( )A. 2B.34 C．π D．03．下列说法正确的是( )A．实数包括有理数、无理数和零B．有理数包括正有理数和负有理数C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D．无论是有理数还是无理数都是实数4．把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内：0，－7.5，15，4，917，23，3－27，0.31，－π3，4.21··，(35－2)0，－|－4|.(1)有理数集合{ …}；(2)无理数集合{ …}；(3)正实数集合{ …}；(4)负实数集合{ …}．知识点2实数的相反数、倒数和绝对值5.1π是π的( )A．绝对值B．倒数C．相反数D．平方根6．(青岛中考)－5的绝对值是( )A．－15B．－ 5 C. 5 D．57．(西安雁塔区期中)1－3的相反数是，绝对值是.知识点3实数与数轴上点的关系8．(北京中考)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A．a＞－2 B．a＜－3 C．a＞－b D．a＜－b9．到原点的距离等于3的实数为．10．如图，以数轴上的单位线段长为宽，以2个单位线段长为长，作一个长方形，以数轴原点为圆心，以长方形的对角线为半径画弧，交数轴的正半轴于A点，则点A表示的数是．11．如何在数轴上画出表示13的点？知识点4实数的运算12．计算：(1)(3＋2)－2；(2)333＋233.中档题13．(天水中考改编)关于8的叙述不正确的是( )A ．与8最接近的整数是3B ．面积是8的正方形的边长是8 C.8是有理数 D ．在数轴上可以找到表示8的点 14．下列说法正确的是( )A ．(π2)0是无理数 B.33是有理数 C.4是无理数 D.3－8是有理数15．下列说法错误的是( )A ．a 2与(－a)2相等 B.a 与－a 互为相反数 C.3a 与3－a 是互为相反数 D ．|a|与－|a|互为相反数16．(宁夏中考)实数a 在数轴上的位置如图，则|a －3|＝ .17．计算：(1)23＋32－53－32； (2)|3－2|＋|3－1|.18．画一条数轴，把－12，3，3各数和它们的相反数在数轴上表示出来，并比大小，用“＜”号连接．19．已知x ，y 互为到数，c ，d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5，求4(c ＋d)＋xy ＋za的值．综合题20．如图，已知A ，B ，C 三点分别对应数轴上的实数a ，b ，c.(1)化简：|a －b|＋|c －b|＋|c －a|；(2)若a ＝x ＋y2 018，b ＝－z 2，c ＝－4mn ，且满足x 与y 互为相反数，z 是绝对值最小的负整数，m ，n 互为倒数，试求98a ＋99b ＋100c 的值；(3)在(2)的条件下，在数轴上找一点D ，满足D 点表示的整数d 到点A ，C 的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．2.7二次根式第1课时二次根式的概念及性质基础题知识点1二次根式的概念1．下列式子一定是二次根式的是( )A.－2B.xC.x2＋0.1D.x2－12．(成都中考)二次根式x－1中，x的取值范围是( )A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜13．(梅州中考)使式子m－2有意义的最小整数m是知识点2二次根式的化简：ab＝a·b(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)4．(益阳中考)下列各式化简后的结果是32的是( )A. 6B.12C.18D.36 5．实数0.5的算术平方根等于( )A．2 B. 2 C.22 D.126．化简（－2）2×8×3的结果是( )A．224 B．－224 C．－4 6 D．4 6 7．下列式子成立的是( )A.（－4）×（－3）＝－4×－3B.（－3）（－4）＝－3－4C.（－3）2＝－3D.（－4）×（－3）＝4× 3 8．化简：(1)25×49；(2)2764；(3)54；(4)123.知识点3最简二次根式9．(临夏中考)下列是最简二次根式的是( )A.23 B. 3 C.9 D.1210．把下列二次根式化为最简二次根式：(1) 2.5；(2)85；(3)273；(4)2340.中档题11．下列二次根式化简正确的是( ) A.32＝4×8＝28B. 3.2＝16×0.2＝40.2C.23＝63D.23＝2612．若50a 的值是一个整数，则正整数a 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．513．(西安雁塔区期中)已知xy ＜0，化简二次根式x －y x2的正确结果为 . 14．已知实数x ，y 满足2x －1＋(y ＋2)2＝0，那么x y 的值为 .15．化简：(1)16×2581； (2)（－144）×（－169）； (3)1452－242； (4)200a 5b 4c 3(a>0，c>0)．16．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v ＝16df ，其中v 表示车速(单位：km/h)，d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f 表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得d ＝20 m ，f ＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(结果保留根号)综合题17．(教材P51复习题T22变式)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c.记：p ＝a ＋b ＋c 2，那么三角形的面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），此公式称为“海伦公式”．思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB ＝7 m ，AC ＝5 m ，BC ＝8 m ，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看，结果保留根号.第2课时二次根式的四则运算基础题知识点1二次根式的乘除法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0，b>0)1．(安徽中考)计算8×2的结果是( )A.10 B．4 C. 6 D．2 2．(南平中考)计算：10÷2＝( )A. 5 B．5 C.52 D.1023．(南京中考)计算5×153的结果是．4．计算：(1)23×12；(2)45÷215；(3)48×63÷12.知识点2二次根式的运算与运算律、乘法公式5．(安徽期末)下列各等式成立的是( )A．45×25＝8 5 B．53×42＝20 5 C．43×32＝7 5 D．53×42＝20 6 6．计算：(1)(2－3)(2＋3)；(2)(2＋3)2；(3)(青岛中考)32－82.知识点3二次根式的加减法7．(凉山中考)下列根式中，不能与3合并的是( )A.13 B.13C.23 D.128．(桂林中考)计算35－25的结果是( )A. 5 B．2 5 C．3 5 D．69．(山西中考)计算：418－92＝. 10．计算：(1)75＋48；(2)(黄冈中考)27－61 3.易错点误用乘法结合律而致错11．计算：3÷3×13＝．中档题12．若最简二次根式2x ＋1和4x －3能合并，则x 的值为( )A ．－12 B.34C ．2D ．5 13．下列说法正确的个数是( )①(210－5)÷5＝22－1；②5＋2与5－2互为倒数；③22－3与22＋3互为负倒数；④若a ＋b 与a －b 互为倒数，则一定有a ＝b ＋1.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．(太原期末)某小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A ，B 为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是270 m 2和120 m 2，则A ，B 两个活动区域的总面积为 m 2.15．计算： (1)24－18×13； (2)12－613＋248；(3)(48＋1232)÷27； (4)(6－215)×3－612.16．长方形的两条边长分别是23＋2和23－2，试求长方形的面积和对角线的长．综合题17．(西安期中)小明在解决问题：已知a ＝12＋3，求2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a ＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－3， 所以a －2＝－ 3. 所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3.所以a 2－4a ＝－1. 所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)计算：12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋1100＋99； (2)若a ＝12－1，求4a 2－8a ＋1的值．第3课时 二次根式的混合运算基础题知识点 二次根式的混合运算1．计算24×13＋18的结果是( ) A. 2 B ．5 2 C ．5 3 D ．6 2 2．计算212－613＋8的结果是( ) A ．32－2 3 B ．5－ 2 C ．5－ 3 D ．2 23．(宁夏中考)下列计算正确的是( )A.3＋2＝ 5B.12÷3＝2C ．(5)－1＝5D ．(3－1)2＝24．下列计算错误的是( )A.2×3＝ 6 B ．3＋23＝5 3 C.12÷3＝2 D.8＝2 25．在算式(－22)□(－22)的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是( ) A ．加号 B ．减号 C ．乘号 D ．除号 6．小马虎做了下列四道题：①3＋2＝5；②27＝±33；③52－32＝52－32＝5－3＝2；④3－12＝－ 3.他拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了( )A ．1道B ．2道C ．3道D ．4道7．(包头中考)计算：(27－13)÷3＝ ．8．(聊城中考)计算：(2＋3)2－24＝ ． 9．(盘锦中考)计算（1－2）2＋18的值是 ．10．计算：(1)348＋418－327； (2)(1－22)(22＋1)； (3)12÷(34＋233)．中档题11．按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是( )A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 212．计算：(1)18－22＋|1－2|； (2)(1327＋223－24)×23； (3)27×3－18＋82；13．先化简，再求值：(a－3)(a＋3)－a(a－6)，其中a＝5＋1 2.14．小华家楼房前有一块直角三角形空地，小华的爸爸想把它开垦出来，经测量，一直角边为45 m，斜边长为320 m．现要用篱笆把这块地围起来，小华的爸爸至少要买多少米篱笆？(15≈3.873，5≈2.236，结果精确到0.01 m)综合题15．(山西中考)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用15[(1＋52)n－(1－52)n]表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．。
七年级实数知识点和易错题
七年级实数知识点和易错题实数是数的分类之一，包括有理数和无理数。
在七年级的数学学习中，学习实数的知识点是十分重要的，同时也是容易错解的一块内容。
本文将持续更新七年级实数知识点和易错题，帮助同学们更好地掌握此部分知识。
一、实数的概念和分类实数是指可以表示成小数形式或无限循环小数形式的数。
可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是指可以用整数除以非零的整数得到的数，它们在数轴上是有限或重复的分数。
无理数是指不能表示成有理数形式的数，例如圆周率π、自然数e等。
二、实数的运算实数的运算主要包括加、减、乘、除四种运算。
加法：两个实数相加，其和仍为实数。
减法：两个实数相减，其差仍为实数。
乘法：两个实数相乘，其积仍为实数。
除法：两个实数相除，其商可能是实数也可能是无理数。
需要注意分母不能为0。
三、实数的性质实数具有许多重要的性质，其中一些常见的性质包括：对于任意实数a、b和c，有交换律、结合律和分配律等基本性质。
对于任意实数a和b，有加法逆元和乘法逆元的概念，使得减法和除法成立。
实数还具有相反数和倒数的概念。
实数之间还存在大小关系，可以用大小符号（≤、≥、<、>）表示。
四、容易错解的实数知识点和练习题1. 问：以下哪个数是无理数？A. 3B. 4/3C. √2D. 0.5答案：C解析：√2是一个不能表示成有理数的数，因此是无理数。
2. 问：以下哪个数是有理数？A. 0.333…B. πC. eD. √9答案：D解析：√9可以表示为3，是一个能够用整数表示的数，因此是有理数。
3. 问：以下哪组数可以成为一组有理数？A. 2和√2B. 3和3.14C. 4/3和-5/4D. π和e答案：C解析：4/3和-5/4都是能够用有理数表示的数，因此可以成为一组有理数。
4. 问：求下列式子的值：2+√5+（-3）+3/2答案：0.5+√5解析：将2和（-3）相加得-1，再加上3/2得0.5；2和（-3）可以看成常数项，√5可以看成系数为1的一项，因此可以合并得到0.5+√5。
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《实数》复习与回顾
一、知识梳理
1.平方根
（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的的算术平方根是_____。
（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于，即_____，那么这个数x就叫做的_______。
（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。
（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。
2.立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于，即_____，那么这个数x就叫做的立方根。
（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。
正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。
（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。
3.实数
（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。
（2）实数的定义： _____和_____统称实数。
（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。
（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。
（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有
理数范围内的意义_____。
4.实数的运算：
（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。
（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为
__________；__________。
二、考点例析
考点1 平方根、立方根的定义与性质
例1 （1）下列各数是否有平方根若有，求出其平方根；若没有，说明理由。
①625 ②（－2）2③（－1）3
（2）下列各数是否有立方根若有，求出其立方根。
① ②－343 ③－22
分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。
（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方
根。
解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±=±25；②因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±=±2；③因为（－1）
3=－1<0, 故其不存在平方根。
（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。
①；② ；
③－22的立方根。
说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。
考点2 实数的分类与性质
例2 下列各数中：
－，，, －π,,－,0,0.,,,2.…
其中有理数有__________________________；
无理数有__________________________。
分析：对于、等应先化简再判断。
解：有理数：－，,0,,,
无理数有：,－π,,－,2.……
说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。
例3 的相反数是；的绝对值是；－的倒数是。
分析：如果表示一个正实数，那么－就表示一个负实数，与－互为相反数；0的相反数依然是0。
一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
非零实
数a的倒数是。
解：的相反数是1－；的绝对值是；－=－，所以－的倒数是－。
说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。
考点3 实数的运算
例4 （1）计算：
（2）化简得（）
（A）－2 （B）（C）2 （D）
分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。
（1）=×=；
（2）=－2。
故选（A）。
说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。
值得注意的是，在进行开方运算时，正
实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。
考点4 非负数
例5 已知，为实数，且，则的值为（）.
（A）3 （B）－3 （C）1 （D）－1分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实
数的算术平方根、实数的偶次方。
它有一个非常重要的性质：
若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。
利用这个性质
可解本题，
解：由题意，得，，即，，所以。
故选（D）。
说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。
考点5 数形结合题
例6 已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a－b｜－｜a＋b｜
分析：要化简｜a－b｜－｜a＋b｜，需根据数轴上a、b的位置判断a－b和a+b的符号。
解：因为a>0，b<0，且∣a∣<∣b∣，所以a－b>0，a+b<0，所以原式=（a－b）+（a+b）=a－b+a+b=2a
说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。
考点6 探究题
例7 阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
（1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：
（2）、利用上面所提供的解法，请化简：
分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。
解：（1）。
==。
说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。
三、易错点例析
1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透
理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根
时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“”成了平方根等等。
例1 （1）求6的平方根（2）求的算术平方根
错解：（1）；（2）的算术平方根是9
错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中=9，的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。
正确解法：（1）；（2）的算术平方根是3。
例2 求64与－27的立方根。
错解：64的立方根是±4，－27没有立方根。
错解分析：64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；－27的立方根
是－3，错误地认为－27没有立方根是与负数没有平方根
相混淆。
正确解法：因为43=64，所以64的立方根是4。
因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3。
2、忽略平方根成立的条件
只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。
例3 当m取何值时，有意义
错解：不论m取何值时，都无意义。
错解分析：考虑不全，漏掉了m=0时的情况。
正确解法：当m=0时，－m2=0，此时有意义。
3、实数分类时只看表面形式
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。
例4 下列各数－2、、、－、、（－）2、、中无理数有
．
错解：无理数有、－、、（－）2、。
错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。
其实能化简的应先化简，－=－3，（－）2=7，=2，所以它们是有理数。
正确解法：无理数有、。
4、运算错误
在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。
例5 化简（1）5 （2）
错解：（1）5=5=2；
（2）==（－3）×（－5）=15
错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了从而出错；（2）中忽略了公式的应用条件，即a≥0，b≥0，因为负数没有平方根，
虽然最后结果正确，但解法是错误的。
（2）===3×5=15。
正确解法：（1）5=5=2；。