第六讲 用树状图或表格求概率-【2021年新九年级数学(北师大版)(解析版)

第六讲用树状图或表格求概率

【学习目标】

1、进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率.

2、会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.

【基础知识】

1.古典概型

（1）古典概型的定义

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

（2）古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中

m

结果，那么事件A发生的概率为P（A）=

n

2.列表法求概率

（1）列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

（2）列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

3.树状图法求概率

（1）树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

（2）运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

【考点剖析】

考点一：利用概率公式进行计算

的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．

例1．一个33

（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为__________；

（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．

【答案】（1）1

7

；（2）

2

5

【详解】

解：（1）棋盘内已有两枚棋子，剩余的方格数为9-2=7个，则在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚

棋子恰好能在一条直线上的概率为1

7

，

故答案为：1

7

；

（2）解：如图，棋盘中剩余的方格分别记为1，2，3，4，5，

在这五个方格中随机放入2枚棋子，所有可能出现的结果有：

，，，，，，，，，，共有10种，他们出现的可能性相同，

所有的结果中，满足“仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上”（记为事件A）的结果有4种，即，，，，

所以

42 ()

105

P A==．

考点二：列表法或树状图法求概率

例2．某校准备从八年级（1）班、（2）班的团员中选取两名同学作为十四运的志愿者，已知（1）班有5名团员（其中男生3人，女生2人），（2）班有4名团员（其中男生1人，女生3人）．

（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为

______；

（2）如果分别从（1）班、（2）班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．

【答案】（1）4

9

；（2）

【详解】

解：（1）这两个班的全体团员共有9名，其中男生有4名，

∴随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为：4

9

；

（2）列表如下：

女女，男女，男女，男女，女女，女

女女，男女，男女，男女，女女，女

由表格可知共有20种情况，其中一男一女的共有11种，

∴这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为．

考点三：游戏公平性问题

例3．相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为抽卡片一次．

（1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，求这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率；

（2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加．请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理由．

【答案】（1）3

5

；（2）不公平，理由见解析

【详解】

解：（1）这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率为：；（2）根据题意，画出树状图如下：

，

P（字母相同），P（字母不相同）

82 123 ==，

∵P（字母相同）≠P（字母不相同），

∴不公平．

考点四：几何概率问题

例4．如图，在3×3的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．

（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？

（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．

【答案】（1）5

9

；（2）

1

3

．

【详解】

解：（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率5

9

；

（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，其中新图案是中心对称图形的结果有4个，分别是：AD、BC、CB、DA；

∴新图案是中心对称图形的概率为

4

12

＝

1

3

．

考点五：统计与概率综合问题

例5．某校九（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，将“垃圾分类”的知晓情况分为A，B，C，D四类，其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息解决下列问题：

（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数．

（2）类别A的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．

【答案】（1）见解析；144°；（2）1 2

【详解】

解：（1）九（1）班参加这次调查的学生有4÷10%=40（人），

扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×=144°；

∴B类学生人数为40-（4+16+2）=18（人），可以补全条形图如下：

（2）所有可能结果可列举如下：（男1，男2）；（男1，男3）；（男2，男3）：（男1，女）；（男2，