河南省淇县高一数学下学期 2.4《平面向量的数量积》导学案 沪教版
平面向量的数量积-沪教版教案
平面向量的数量积一，填空题1设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则2a b -＝_______2.已知A (－1, －1), B (1,3)，则与AB →共线的单位向量为3.已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标是________4.已知()()a 3,4,b=5,12=-，则a b 与夹角的余弦值为5.已知()()2,4,,3,a b λ=-=且//a b ，则λ＝______6.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -平行，则实数λ的值为7.设、为不共线向量，如果k +与+k 共线，那么k=8.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是9.已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°若b a λ-与a 垂直，则λ＝10.设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 的值为11.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅12.已知1,6,()2==⋅-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是13.若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；14.平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=15.已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =16.若|a |=|b |=|a b -|,则b 与a b +的夹角为17.若平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ⊥()2a b -，则|2a b +|的值是______，18.在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，若 →BC =3a , →DC =2b , 则→AO 等于19.在平行四边形ABCD 中，(1,2),(3,2)AC BD ==-，则AD AC ⋅=20.若ABCD 的中心为O ，P 为该平面上一点，=，则PA PB PC PD +++=21.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC ⋅等于22.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC ⋅=23.已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ,若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =24.已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是_____25.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，则用a ，b 表示c 为______26.在△ABC,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是27.若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为28.已知非零向量AB 与AC 满足0A B A C BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=, 则ABC △为29．a=(2,1) ,b=(1,),a b λ若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为________30.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是31.边长为2的正∆ABC 中，设,,AB c CA b BC a ===,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=32.设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量,则下列真命题的序号是①(a b )c －(ca )b =0 ②|a | －|b |< |a －b |③(bc )a －(ca )b 不与c 垂直 ④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |233.过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11x y+的值为34.如果向量a ＝(3，1)，向量b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，那么向量b =35.设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b .若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________36.向量a ＝(－1,1)，且a 与2a b +方向相同，则a b ⋅的取值范围是37.在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则(OA OB OC ⋅+)的最小值是______38.设,,a b c 是单位向量，且a b ⋅＝0，则()()a cbc -⋅-的最小值为39.直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴同向的单位向量．在Rt △ABC 中，若AB →＝2i ＋j ，AC →＝3i ＋k j ，则k 的可能值个数是______40.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →，则m n＝ 二．解答题41．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λ·AC → (λ∈R )，试问：(1)λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上；(2)λ为何值时，点P 在第三象限．42.已知==-(1,2),(3,2)a b ,当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？43.如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |.(1)试用OA ，OB 表示OP ；(2)若| OA |＝3，| OB |＝2，且∠AOB ＝60°，求OP ·AB 的值．44.如果向量AB =i -2j ,BC =i +m j ,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线。
2.4.1平面向量的数量积 导学案
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义。
2.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。
3. 利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。
【考纲要求】1.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。
2.利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。
【学习目标续写】1.由向量的数量积体会向量和数量之间的联系。
2.总结用向量的数量积解决有关长度、角度和垂直问题的方法。
3.让我们充满激情的进入充满神秘色彩的数学世界。
【使用说明与学法指导】1.精读教材103-105页,用红笔勾画重点，理解和掌握定义，作答预习案、探究案。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，整理在导学案上，准备讨论质疑。
【预习案】(5分钟处理疑难）1.在等边三角形ABC中,求：(1)AB AC与的夹角；(2)AB BC与的夹角。
2.一些特殊角的余弦值：3.在两向量的夹角定义中，两向量夹角的范围是。
4.b在a上的投影是。
5.数量积a b⋅的几何意义是。
6.零向量与任一向量的数量积等于。
7.a b⋅是一个实数，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？8.总结数量积的性质和运算律，判断下列各题是否正确（1）00a⋅=（）（2）00a⋅=（）（3）a b a b⋅=（）（4）若0a≠，则对于任一非零向量b有0a b⋅≠（）（5）若a与b是两个单位向量，则22a b=（）（6）对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅（）【我的质疑】【探究案】（25分钟讨论、展示、点评、质疑）一、向量数量积的概念（口展，命题真假说明原因）例1.已知,,a b c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是（）①a b a b a⋅=⇔∥b；②,a b a b a b⇔⋅=-反向；③a⊥b a b a b⇔+=-；④a b a c b c=⇔⋅=⋅。
A.1B.2C.3D.4二、平面向量数量积的运算（板展）（做第（2）问可用第（1）问结论，不必重做一次a b⋅）例2.05,4,60,1(2)(2)a b a b a b a a bθ===⋅⋅-已知与的夹角求（）例3.向量a b 与夹角为3π，2,1ab ==，求2a b -的值。
高一数学必修4示范教案：第二章第四节平面向量的数量积(第三课时)Word版含解析
(2)a＝ (3,0)， b＝ (－ 5,5)，求 a 与 b 的夹角．
活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量
a＝ (x1，y1 )与 b＝ (x2，y2)的数量积 a·b
＝x1x2＋ y1y2 和模 |a|＝ x21＋ y21，|b|＝ x22＋ y22的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即
解： 在平面直角坐标系中标出 A(1,2) ，B(2,3)，C(－ 2,5)三点， 我们发现△ ABC 是直角三 角形．下面给出证明．
∵ A→B＝ (2－ 1,3－ 2)＝ (1,1)， A→C＝ (－ 2－ 1,5－ 2)＝ (－ 3,3)，
∴ A→B·A→C ＝1× (－ 3)＋ 1×3＝ 0.∴ A→B⊥ A→C.∴△ ABC 是直角三角形．
1°平面向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，
即 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 a·b＝ x1x2＋y1y2.
2°向量模的坐标表示 若 a＝ (x，y)，则 |a|2＝ x2＋ y2，或 |a|＝ x2 ＋y2 .
如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 a＝ (x2－ x1， y2－ y1 )， |a|＝ x2－ x1 2＋ y2－ y1 2.
可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，而且我们也知道了向量的加、减以及实数与 向量积的线性运算都可以用坐标来表示．两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，
那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系，这种运算关系能否用向量的坐 标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的 坐标表示．教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充．推导过 程如下：
【小初高学习】高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积导学案
2.4 向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知|a |=4，|b |=3，若：（1）a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60°，分别求a ·b .思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a |与|b |，a 与b 的夹角，由定义可求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ=0°,a ·b =|a ||b |cos0°=4×3×1=12;若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ=180°,a ·b =|a ||b |cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当a ⊥b 时,a 与b 的夹角为90°,a ·b =|a |·|b |cos90°=0,(3)当a 与b 的夹角θ=60°时，a ·b =|a ||b |cos60°=4×3×21=6. 温馨提示利用定义计算a 与b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a ∥b 时，a 与b 的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a |=2,|b |=3，a 与b 的夹角为45°,求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a +λb 与λa +b 的夹角为θ.则cos θ=||||)()(b a b a b a b a +++∙+λλλλ＞0, 即(a +λb )·(λa +b )＞0,展开得，λa 2+(λ2+1)a ·b +λb 2＞0.∵|a |=2,|b |=3,a ·b =|a ||b |cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即3λ2+11λ+3＞0.λ＜68511--或λ＞68511+-. 另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.∴λ∈(-∞,68511--)∪(68511+-,1)∪(1,+∞). 温馨提示求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例3】 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b =a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120°=5×4×(-21)=-10; (2)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21;(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9;(4)(2a -b )·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2，（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2，（a +b +c ）=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .因此，有的同学会相当然的用（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）,这是错误的.各个击破类题演练1已知|a |=2，|b |=5，且<a ,b >=45°,求a ·b .解：由数量积的定义，a 、b =|a ||b |cos<a ,b > =2×5×cos45°=25.变式提升1已知△ABC 中，a =5,b =8，∠C=60°,求BC ·CA .解：因为||=a =5,||=b =8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°, 所以·=||||·cos<,>=5×8cos120°=-20.类题演练2已知a =(m+1,3),b =(1,m-1)，且a 与b 的夹角为钝角.若（2a +b ）与(a -3b )垂直，求a 与b 夹角的余弦.解析：∵(2a +b )⊥(a -3b ),∴2a 2-5a ·b -3b 2=0.即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,整理得m 2+10m-24=0,m=2或m=-12.∵a 与b 的夹角为钝角，∴m=2舍去.设a 与b 夹角为θ,则cos θ=2212215||||-=∙b a b a . 变式提升2(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且a ·b =2，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 解析：cos<a ·b >=21412||||=⨯-=∙b a b a . ∴a 与b 的夹角为3π，故选C. 答案：C类题演练3 已知|a |=|b |=5，<a ,b >=3π,求|a +b |，|a -b |. 解：因为a 2=|a |2=25，b 2=|b |2=25，a ·b =|a ||b |cos<a ,b >=5×5cos3π=225. 所以|a +b |=（a +b ）2=.352525252)(222=++=∙-+=+b a b a b a 同样可求|a -b |=.52525252)(222=-+=∙-+=-b a b a b a变式提升3 （1）若向量a 与b 夹角为30°，且|a |=3，|b |=1，则向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦为______________.思路分析：本题可利用cos θ=||||b a b a ∙，由两向量的数量积和模求夹角余弦值. 解：∵p ·q =（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2=3-1=2，又∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+∙+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+-b ab a ∴cos θ=77272||||==∙q p q p . 答案：772（2）若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|，求α与β所成的角.思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手，结合模的几何意义解答.解：∵|α+β|=|α-β|,∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2，即4α·β=0，∴α·β=0，∴α⊥β.∴α与β所成的角为90°.。
河南省淇县2020学年高一数学下学期 2.4《平面向量的数量积》导学案 沪教版
河南省淇县2020学年高一数学下学期 2.4《平面向量的数量积》导学案沪教版2.4【温馨寄语】快乐源自心灵的选择。
【学习目标】1.理解平面向量数量积的概念。
2.能用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。
3平面向量数量的性质的应用。
【学习过程】问题提出1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.探究（一）:平面向量数量积的背景与含义思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F 与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结果是向量还是数量？思考4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？思考5：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？思考6：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？思考8：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何探究（二）：平面向量数量积的运算性质思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？思考3：︱a ·b ︱与︱a ︱︱b ︱的大小关系如何？为什么？思考4：a ·b 与b ·a 是什么关系？为什么？思考5：对于实数λ，(λa )·b 有意义吗？它可以转化为哪些运算？思考6：对于向量a ，b ，c ，(a ＋b )·c 有意义吗？它与a ·c ＋b ·c 相等吗？为什么思考7：对于非零向量a ，b ，c ，(a ·b )·c 有意义吗？(a ·b )·c 与a ·(b ·c )相等吗？为什么？思考8：对于非零向量a ，b ，c ，若a ·b ＝a ·c ，那么 b ＝c 吗？思考9：对于向量a ，b ，等式(a ＋b )2＝ a 2＋2a ·b ＋b 2和(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2是否成立？为什么？思考10：对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？理论迁移例1 已知︱a ︱＝5，︱b ︱＝4，a 与b 的夹角为120°，求a ·b .例2 已知︱a ︱＝6，︱b ︱＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b ).例3 已知︱a ︱＝3，︱b ︱＝4，且a 与b 不共线.求当k 为何值时，向量a ＋k b 与 a －k b 互相垂直？小结作业P108 习题2.4A 组：1，2，3，6，7，8。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积第2课时课堂探究学案
2.4 平面向量的数量积 2课堂探究探究一数量积的坐标运算1．进行向量的数量积运算，前提是牢记有关数量积的运算法则和运算性质；2．对于运用数量积求向量坐标的问题，通常是运用待定系数法，建立方程(组)求解．【典型例题1】已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．(1)求a·(a－b)；(2)求(a＋b)·(2a－b)；(3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．解：(1)解法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－4,0)．∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.解法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.(2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.(3)(a·b)c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1)＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)．a(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)]＝(－1,2)(3×2＋2×1)＝8(－1,2)＝(－8,16)．【典型例题2】已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求向量a的坐标．解：∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．探究二向量垂直的问题有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量为0来解决，如果是几何中用向量研究垂直，可先建立直角坐标系，将相关的向量用坐标表示，利用向量垂直时数量积为0，建立关系求解，再回到要解决的几何问题中．【典型例题3】 (1)已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( ) A．9 B．4 C．0 D．－4(2)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F分别在AB，AD上，且AE＝1，则当DE⊥CF时，AF ＝________.解析：(1)由已知得a －b ＝(1－x,4)．∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0.∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.(2)建立如图所示的直角坐标系，则点C 的坐标为(3,2)，D (0,2)，E (1,0)．设F (0，y )，则DE ＝(1，－2)，CF ＝(－3，y －2)．∵DE ⊥CF ，∴DE ⊥CF ，∴－3－2y ＋4＝0，得y ＝12， ∴F 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AF ＝12. 答案：(1)A (2) 12探究三 运用向量坐标求模、夹角1．运用坐标求向量的模一般有两种解决方法：一是先求出向量的坐标再求模，二是先平方转化为数量积再求模．2．用坐标求两个向量夹角的四个步骤：(1)求a ·b 的值；(2)求|a ||b |的值；(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；(4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．【典型例题4】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，求2a ＋b 与a －b 的夹角．解：∵a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)．∴(2a ＋b )·(a －b )＝3×0＋3×3＝9，|2a ＋b |＝2233+＝32，|a －b |＝3.设所求角为θ，则cos θ＝2|2|||(+)⋅(-)+⋅-a b a b a b a b ＝9323⨯＝22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝4π. ∴2a ＋b 与a －b 的夹角为4π. 探究四易错辨析易错点：a 与b 的夹角θ为钝角不仅需要a ·b <0，还应保证两向量不反向共线，易忽略夹角的范围，事实上，－1<cos θ＝·||||a b a b <0，而a ·b <0包含了cos θ＝－1，即反向共线的情况 【典型例题5】 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，且a 与b 的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．错解：∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，∴(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－12. 错因分析：忽略了a ，b 反向共线的情况．正解：∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，且a ，b 不可反向共线．由a ·b <0得(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－12. 当a 与b 反向共线，即夹角为180°时，a ·b ＝－|a ||b |，∴2λ＋1＝5·21λ+，解得λ＝2，∴实数λ的取值范围为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∪(2，＋∞)． 点评对于非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cos θ>0，且cos θ≠1⇔a ·b >0，且a ≠m b (m >0)；θ为钝角⇔cos θ<0，且cos θ≠－1⇔a ·b <0，且a ≠m b (m <0)；θ为直角⇔cos θ＝0⇔a ·b ＝0.。
高中数学 2.4《平面向量的数量积》导学案 新人教A版必修4
2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a . 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ， 是F 与s 的夹角. 新授课阶段1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.C（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b ca =c如右图：a b = |a ||b |cos = |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但a c显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. 3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0；当 = 0 时投影为 |b |；当 = 180 时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a||4 cos =||||b a ba5 |a b | ≤ |a ||b |例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o求(a+2b)·(a -3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例5 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.课堂小结 （略） 作业 （略） 拓展提升1.已知向量(3,1)a r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b r r ，则b r （ ）A ．（31,22） B ．（13,22） C ．（133,44） D ．（1,0） 2. 设B A ,两点的坐标分别为)0,1(),0,1( .条件甲：0AC BC u u u r u u u r；条件乙：点C 的坐标是方程122y x 的解.则甲是乙的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知||22,||3,p q p u r r u r 与q r 的夹角为4，则以52,3a p q b p q r u r r r u r r 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为 （ ）A.15B.15C.14D.164.把点(2,2)A 按向量(2,2) 平移到点B ，此时点B 在OC 的延长线上，且||2||OB BC u u u r u u u r，则点C 的坐标为 .5.把函数5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象,且a b r r ,)1,1( c，4 c b ,则 b.6.不共线向量a r ，b r 的夹角为小于120o的角，且||1,||2a b r r ，已知向量2c a b r r r ，求||c r的取值范围.7. 已知向量,a b r r 满足||||1a b r r ，且||3|a kb ka b r r r r，其中0k .（1）试用k 表示a b r r ，并求出a b r r 的最大值及此时a r 与b r的夹角 的值；（2）当a b r r 取得最大值时，求实数 ，使||a b r r的值最小，并对这一结果作出几何解释.8. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]222264x x x x a b xr r .（1）求a b r r 及；||a b r r；（2）求函数()()(||a b f x R a b r r r r 且0) 的最小值.参考答案例1 （略） 例2 （略） 例3 （略） 例4解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例5解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.拓展提升1 提示：设(,)(0)b x y y r 33x y 221(0)x y y .2 提示：设点C 的坐标为(,)x y . 0AC BC u u u r u u u r 2(1)(1)0x x y ,∴0AC BC u u u r u u u r 122 y x ，∴甲是乙的充要条件.3 提示：经验证，知以a b r r 为对角线时，其长度较短，6a b p q r r u r r.4 (0,2)提示：点B 的坐标为(0,4)，设点C 的坐标为(,)x y ，则2OB BC u u u r u u u r，可求得点C的坐标为(0,2).5 )1,3( 提示：由函数 5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象，可得(1,3)a r；设(,)b m n r ，由a b r r 和4 c b得：304m n m n ，解之得3,1m n .6 解：2222|||2|||44||178cos c a b a a b b r r r r r r r （其中 为a r 与b r 的夹角）.∵0120 o, ∴1cos 12, 13||5c r , ∴||c r 的取值范围为13,5).7解：（1）2221||3|()3()(0)4k a kb ka b a kb ka b a b k kr r r r r r r r r r . ∴111()42a b k k r r ,此时1cos 2 ，23 .∴21(0)4k a b k k r r ，a b r r 的最大值为12 ，此时a r 与b r 的夹角 的值为23. （2）由题意，12a b r r ，故22213||1()24a b r r ，∴当12 时，||a b r r 的值最小，此时1||02a b b r r r ，这表明当1()2a b b r r r .8解：（1）333cos cos sin sin cos()cos 2222222x x x x x xa b x r r ； 223333|||(cos cos ,sin sin )|(cos cos )(sin sin )22222222x x x x x x x xa b r r 3322(coscos sin sin )22cos 22cos 2222x x x xx x .（2）cos 21()(cos )2cos 2cos xf x x xx, ∵[,]64x , ∴1cos 2cos x x是减函数，①当0 时，()f x 的最小值为()04f；②当0 时，()f x 的最小值为()6f.综上，当0 时，()f x 的最小值为0；当0 时，()f x .。
河南省淇县2020学年高一数学下学期 2.3.1《平面向量基本定理》导学案 沪教版
河南省淇县2020学年高一数学下学期 2.3.1《平面向量基本定理》导学案沪教版一、学习目标：1、理解平面向量基本定理；2、能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量能够用基底来表达。
二、学前准备1、点C 在线段AB 上，且35AC AB --→--→= ，AC BC λ--→--→=,则λ等于（ ）A 、23B 、32C 、-23D 、-322、设两非零向量12,e e →→不共线，且12k e e →→+与12e k e →→+共线，则k 的值为（ ）。
.1.1.1.0A B C D -±3、已知向量12,e e →→，作出向量1223OA e e →→=+u u u r与122(3)OB e e →→=+-u u u r。
两个向量相加与物理学中的两个力合成相似，如果与力的分解类比，上述所作的OA uu u r分解成两个向量：在1e →方向上的____与在2e →方向上的______，OB uuu r则分解成_____与_____。
4、阅读课本P93—94，了解平面向量基本定理：如果12,e e →→是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的______向量a →，有且只有一对实数12,λλ，使_____________，其中不共线的向量12,e e →→叫做表示这一平面内所有向量的一组__________。
5、已知两个非零向量,a b →→，作,OA a OB b →→→→==，则()0180AOB θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a →与b →的__________，若0θ=︒,则a →与b →_______；若180θ=︒,则a →与b →__________；若90θ=︒,则a →与b →_______，记作______。
三、典型例题如图所示，在平等四边形ABCD 中，AH=HD ，MC=14BC ，设,AB a AD b →→→→==，以,a b →→为基底表示,,AM MH MD →→u u u u r 。
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河南省淇县2011-2012学年高一数学下学期 2.4《平面向量的数量
积》导学案沪教版
2.4
【温馨寄语】快乐源自心灵的选择。
【学习目标】1.理解平面向量数量积的概念。
2.能用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。
3平面向量数量的性质的应用。
【学习过程】
问题提出
1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？
2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.
探究（一）:平面向量数量积的背景与含义
思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？
思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？
思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结果是向量还是数量？
思考4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
思考5：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？
思考6：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？
思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b 方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？思考8：根据投影的概念，数量积
a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？
思考4：a·b与b·a是什么关系？为什么？
思考5：对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？
思考6：对于向量a，b，c，(a＋b)·c有意义吗？它与a·c＋b·c相等吗？为什么
思考7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？
思考8：对于非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么b＝c吗？
思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2
＝a
2
＋2a·b＋b
2
和(a＋b)(a－b)＝
a 2
－b
2
是否成立？为什么？
思考10：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的夹角为120°，求a·b.
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b). 例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋k b与a－k b互相垂直？
小结作业
P108 习题2.4A组：
1，2，3，6，7，8
内容总结
（1）河南省淇县2011-2012学年高一数学下学期 2.4《平面向量的数量积》导学案沪教版
【温馨寄语】快乐源自心灵的选择
（2）思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么
（3）思考4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少
（4）当a与b反向时，a·b等于什么
（5）特别地，a·a等于什么。