【课时讲义】6.2.4 向量的数量积 第1课时导学案及课时讲义必修第二册第六章平面向量及其应用
高中数学必修二课件：向量的数量积(第1课时)
题型三 投影向量
例3 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： (1)向量a在向量b上的投影向量； (2)向量b在向量a上的投影向量．
【解析】 (1)∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×－12b＝－32b. (2)∵|a|＝3，∴|aa|＝13a， ∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°|aa|＝1·－12·13a＝－16a.
解析 如图，连接AD.
因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点， 所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝ 3. 由图可知B→A与C→D的夹角为∠ABC的补角， 所以B→A与C→D的夹角为150°.
(1)向量B→A在向量C→D上的投影向量为|B→A|cos 150°|CC→ →DD|＝2×cos 150°×C→D3 ＝－C→D.
【思路】 根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.
【解析】 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. ③当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30°＝2×5× 23＝5 3.
4．若a·b＝0，则a⊥b对吗？ 答：不对，也可能a＝0或b＝0.
5．在等边△ABC中，向量A→B与向量B→C夹角为π3 ，对吗？ 答：不对，向量A→B与向量B→C夹角为2π 3 .
课时学案
题型一 数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°， 分别求a·b.
向量的数量积ppt课件
。
依据教学的直观性原则和启发性原则，
结合学生的学习策略的特点
向量的数量积（1）
1.向量的夹角
例1.
2.数量积的定义
例2.
3.投影向量
4.数量积的性质
目 录
23
教材分析
学情分析
教学目标设定
教学策略分析
教学过程设计
板书设计
感谢倾听
敬请指正
，求a b.
3
例2 设a 12，
b 9, a b 54 2，求a与b的夹角.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
1.创设数学情境，发现投影向量
问题5：
学生独立思考，
主动探究
设计意图
三组数量
积相等，引发
学生思考，发
现投影向量.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
2.借助几何直观，探究投影向量表达
b
N
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
3.结合几何意义，体会投影作用
椭圆具有什么对称性
设计意图
结合物理中力做功
的实例，让学生更为深
刻地体会投影作用。在
投影向量的背景下，数
量积有更灵活的处理方
法，几何意义也更丰富。
引入投影向量将不共线
的向量的数量积转化为
共线向量的数量积，体
会一般和特殊的转化.
环节四 设置开放问题，探究几何性质
补充和提示，学生在推导过程中理解并记
忆这些性质.
a, b 反向 a b | a | | b |
（4）| a b || a | | b |
杜威主张的“在做中学”的教育
理念；艾宾浩斯的遗忘曲线
6.2.4向量的数量积教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容分析
本节课的主要教学内容为人教A版(2019)必修第二册6.2.4节的向量数量积。内容包括向量数量积的定义、性质以及计算方法。这部分内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中已经掌握了向量的基本概念、线性运算以及坐标表示，这些知识为理解向量数量积提供了基础。向量数量积是向量乘法的一种特殊形式，它将两个向量的长度与它们夹角的余弦值联系起来，有助于学生深化对向量几何意义的理解，并为后续学习向量叉乘等更复杂概念打下基础。
解答：
由正方形性质知，向量OA与向量OC相等，向量OB与向量OD相等。
设向量OC = (x, y)，则有：
OA + OC = OB
(3, 4) + (x, y) = (5, 0)
解得：
x = 2, y = -4
所以向量OC的坐标为(2, -4)。
八、教学反思
在本次向量数量积的教学中，我发现学生们对向量概念的理解较为扎实，能够较好地跟上课堂节奏。但在讲解向量数量积的性质和计算方法时，部分学生显得有些吃力。为此，我做了以下几点反思：
1. 教学方法的选择：在讲解向量数量积的定义和性质时，我应该更多地采用直观的图形演示，帮助学生形象地理解向量数量积的几何意义。此外，通过实际案例引入，让学生感受向量数量积在解决实际问题中的作用，以提高他们的学习兴趣。
2. 课堂互动的加强：在讲解典型例题时，我应该鼓励学生积极参与，大胆提出自己的疑问。在解答问题时，可以让学生先尝试解答，然后我再进行点评和讲解，以培养学生的独立思考能力。
6.2.4向量的数量积 导学案-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
《6.2.4向量的数量积》导学案使用日期：一、自主学习1、理解平面向量的数量积的概念及物理意义会计算平面向量的数量积；2、通过几何直观，了解平面向量投影概念及投影向量的意义。
1.了解向量数量积的物理背景，培养数学抽象的核心素养；2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。
重点：平面向量的数量积的运算掌握平面向量数量积的性质及其运算律难点：投影向量的概念探究数量积的性质及其应用1.本节所处教材的第页.2.复习——向量的加法、减法：向量的数乘运算：3.预习——数量积：数量积的性质：创设情境，生成问题：物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量数量积的定义呢？1.向量的夹角【探究】如图,一个物体在力F的作用下产生了位移S,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么？【做一做1】若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( ) 定义已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角范围特殊情况a与b同向a与b反向a与b垂直，记作a bA．60° B．120°C．30° D．150°2.向量的数量积【探究】力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?特别提醒：数量积的结果为数量,不再是向量。
【做一做2】已知向量a，b满足|a|=2,|b3,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于( )A.1B.3C.3D.333.投影向量【探究1】如图，已知向量AB=a和向量b，过两个端点A，B，分别作向量b所在直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到向量11BA，我们称上述变换为向量a向向量b投影，11BA叫做向量a在向量b上的投影向量。
向量的数量积学案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
OA=a，OB=b，。
，，过AB的起点CD所在a bAB CD==|a b≤__________【知识点五】向量数量积的运算律；。
5,4,a b==当a与b的夹角θa b⋅为（B.-10C.20D.-2012,9,a b==542a b⋅=-，则a与b的夹角θ为（B.34π- C.4πD.4π-2a=，4b=，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C.32D.32-若向量a为单位向量，向量4b=，a b⋅=8，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C. 2D. -2ABC中，AB a=，BC b=，当0a b⋅>时，则ABC的形状为（）．直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.二、合作探究深度学习学习目标一：向量数量积概念的形成如上图，物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功||||cos W F S F S θ=⋅=.其中，力是向量，位移是向量，功是数量，θ 是F S 与的夹角.1.2类比物理背景，形成概念①两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．注意：①当θ＝0时，向量a 与b ；②当θ＝π2时，向量a 与b ，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b ．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．②向量的数量积已知两个 向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的 (或 )，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为 .注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．③归纳总结：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把||||cos a b θ称为a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos a b θ规定：0⋅a =0，对比向量的线性运算发现，线性运算的结果是向量，而数量积的运算结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b 模的大小有关，还和它们的夹角有关．学习目标二：向量的投影若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为|a|cos θ e. 当θ＝0时，投影向量为 ；当θ＝π2时，投影向量为 ； 当θ＝π时，投影向量为 .小结：对于任意的[0π]θ∈，，都有||cos a b a e θ=向量在向量上的投影向量.学习目标三：向量数量积的性质小组合作探究：从上面的探究我们看到，两个非零向量a 与b 相互平行或垂直时，向量a 在向量b 上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积小结：由向量数量积的定义，可以得到如下重要性质：a b ，是非零向量，它们的夹角是e 是与b 方向相同的单位向量，则1）||cos a e e a a θ==.2）（2）0a b a b ⊥⇔=. 3）当a 与b 同向时，||||a b a b =；当a 与b 反向时，||||a b a b =-.）特别地，2||a a a =或||a a a =.注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的|cos |1θ≤还可以得到||||||a b a b ≤.32π，求b a ⋅。
6.2.4向量的数量积运算(第一课时)高一数学下学期课件(人教A版必修第二册)
a
b
N M1
投影向量的表示
如图，设与 b 方向相同的单位向量为 e ，a 与 e 的夹角
为 ，思考: OM1与 a ，e ， 的之间的关系．
OM1 与 e 共线 OM1 e
M
为直角时，
|
OM1
||
a
|
cos
2
OM1 | OM1 | e | a | cos e
a
O
b
N
M1
投影向量的表示
如图，设与 b 方向相同的单位向量为 e ，a 与 e 的夹角
a b | a || b | cos
两个向量的数量积运算结果为数量
向量数量积的定义
向量的数量积
思考3：数量积运算结果的正负与什么量有关？
a b | a || b | cos
当
0
＜
2
时，向量夹角为锐角或零角，cos＞0，a b＞0；
当 ＜ 时，向量夹角为钝角或平角，cos＜0，a b＜0；
A C
A1
投影向量的定义
向量 a 在 b 上的投影向量。
B
a
b
D B1
a
O
M
b
N M1
投影向量的表示
如图，设与 b 方向相同的单位向量为 e ，a 与 e 的夹角 为 ，思考: OM1与 a ，e ， 的之间的关系．
OM1 与 e 共线 OM1 e
M
为锐角时， | OM1 || a | cos OM1 | OM1 | e | a | cos e O
part 3
向量数量积的性质
设 a,b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与 b 方向相同的单 位向量。 探究：通过向量数量积的定义分析数量积运算具有哪些性质？
6.2.4 向量的数量积(课件)-高一数学(人教A版2019必修第二册)
M
a
O
b M1 N
当为锐角时, OM1与e方向相同, OM1 a cos ,所以
OM1 OM1 e a cos e
当为直角时,
0, 所以OM1
0
a
cos 2
e
当为钝角时, OM1与e方向相反,
OM1 a cos MOM1 a cos( ) a cos ,即OM1 a cos e
因为a 2
32
2
9, b
42
16, 所以9 16k 2
0.
解得k
3.
4
也就是说,当k 3 时, a kb与a kb互相垂直. 4
补充练习1: 若 a b 1, a b且2a 3b与ka 4b也互相垂直, 求k的值.
解：因为2a 3b与ka 4b互相垂直,
所以 2a 3b
所以当a b 0时, cos A 0, A为钝角, △ABC为钝角三角形; 当a b 0时, cos A 0, A为直角, △ABC为直角三角形.
3.已知 a 6, e为单位向量, 当向量a, e的夹角分别等于45, 90, 135
时, 求向量a在向量e上的投影向量. 当 45时, 向量a在向量e上的投影向量为 a cos 45e 6 2 e 3 2e;
探究 从上面的探究我们看到, 两个非零向量a与b相互平行或垂直时, 向量a在 向量b上的投影向量具有特殊性. 这时, 它们的数量积又有怎样的特殊性 ?
由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质．
设a, b是非零向量, 它们的夹角是 , e是与b方向相同的单位向量, 则
(1) a e e a a cos
6
2
(2) b c b c cos 2 3 2 3 2, a(b c) 3 2a
6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积课件-人教A版高中数学必修第二册
课堂小结：
1、向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为θ，我们 把数量 a b cos 叫做 a与 b 的数量（或内积,点 乘），即 a • b a b cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
0．
课堂小结：
4、向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,则 1)a b a b 0 2）当a, b同向时a b | a || b |；
说明：
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定.
（2） a ·b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写
成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）．
（3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向 量夹角的范围是 [ 0°，180°]．
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
M
a
O
b M1 N
OM1叫做向量a 在向量 b 上的投影向量
探究：如图，设与 b 方向相同的单位向量为 e ， a 与 b 的夹角为 ， 那么OM1 与 e, a, 之间有怎样的关系？
M
a
设OM1 e
O
当 为锐角时， | OM1 || a | cos
b M1
N
所以，OM1 | OM1 | e | a | cose
人教202XA版必修 第二册
第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的物 理背景和数量积
复习回顾
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长 度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
6.2.4 向量的数量积的物理背景和数量积 导学案(2)-人教A版高中数学必修第二册
【新教材】 6.2.4 向量的数量积（人教A版）第1课时向量的数量积的物理背景和数量积1．了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义;2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算;3．体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
1.数学抽象:数量积相关概念的理解;2.逻辑推理:有关数量积的运算;3.数学运算:求数量积或投影;4.数学建模:从物理问题抽象出数学模型,数形结合,运用数量积解决实际问题.重点:平面向量数量积的含义与物理意义;难点:平面向量数量积的概念.一、预习导入阅读课本17-21页,填写。
1、向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b,∠AOB= θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角。
当θ=______时,a与b同向;当θ=______时,a与b反向;当θ=______时,a与b垂直,记作a⊥b。
规定:零向量可与任一向量垂直。
2、射影的概念|b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影。
注意:射影也是一个数量,不是向量。
3、数量积的定义:已知两个向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________叫做a与b的数量积（或内积）,记作:a·b,即:a·b=____________.注意a∙b不能写成a×b或ab的形式数量积的几何意义:____________________________________________________________________.数量积的物理意义:力F与其作用下物体位移s的数量积F s•4、向量数量积的性质(1)e是单位向量,a∙e=e∙a=|a|cosθ;(2)θ=90°⟺a⊥b⟺a∙b=0;(3)a//b⟺a∙b=±|a||b|;特别地:a∙a=|a|2或|a|=√a2;(4)cosθ=____________,(|a||b|≠0)(5)|a∙b|≤|a||b|(当且仅当a//b时等号成立)5、运算定律:已知向量a、b、c和实数λ,则:(1).交换律:a·b=______λ）·b=______= ______.(2).数乘结合律:（a(3).分配律: （a + b）·c=____________.1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．()(2)若a·b＝0,则a＝0或b＝0.()(3)若a,b共线⇔a·b＝|a||b|.()(4)若a·b＝b·c,则一定有a＝c.()2．若|m|＝4,|n|＝6,m与n的夹角为45°,则m·n＝()A．12 B．12 2C ．－12 2D ．－12 3．已知a ·b ＝－122,|a |＝4,a 和b 的夹角为135°,则|b |＝( )A ．12B ．3C ．6D ．3 34．已知|a |＝5,向量a 与b 的夹角θ＝60°,则向量a 在b 方向上的射影为________．题型一 数量积的基本运算例1 已知|a |＝2,|b |＝5,若:①a ∥b ;②a ⊥b ;③a 与b 的夹角为30°,分别求a ·b .跟踪训练一1、已知点A,B,C 满足|AB →|＝3,|BC →|＝4,|CA →|＝5,则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________．题型二 数量积的几何意义例2 已知|a |＝6,e 为单位向量,当它们之间的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,求出a 在e 方向上的投影,并画图说明．跟踪训练二1、已知|a |＝3,|b |＝4,a ·b ＝－6.(1)向量a 在向量b 方向上的投影为________．(1)向量b 在向量a 方向上的投影为________．2、在边长为2的正三角形ABC 中,AB →在BC →方向上的投影为______． 题型三 向量的混合运算例3 (1)已知|a |＝6,|b |＝4,a 与b 的夹角为60°,求(a ＋2b )·(a -3b )=_____________．(2)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE →·BD →＝________．跟踪训练三1.已知两个单位向量e 1,e 2的夹角为π3,若向量b 1＝e 1－2e 2,b 2＝3e 1＋4e 2,则b 1·b 2＝________． 2．已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0,则t ＝________.1．下列命题:(1)若a ≠0,a ·b ＝a ·c ,则b ＝c ;(2)(a ·b )·c ＝a·(b ·c )对任意向量a ,b ,c 都成立;(3)对任一向量a ,有a 2＝|a |2.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知|b |＝3,a 在b 方向上的投影是32,则a ·b 为( ) A.92 B ．3 C ．2 D.123．若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0,(AB →－AD →)·AC →＝0,则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 4．已知向量a ,b 的夹角为45°,且|a |＝4,⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12,则|b |＝________;b 在a 方向上的投影等于________．5．已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0,则t ＝________.6．已知|a |＝2|b |＝2,且向量a 在向量b 方向上的投影为－1.(1)求a 与b 的夹角θ;(2)求(a －2b )·b ;答案小试牛刀1. (1)×(2) ×(3)×(4)×2．B.3．C.4. 52. 自主探究例1 【答案】①a ·b=－10. ②a ·b ＝0. ③a ·b ＝5 3.【详细解析】①当a ∥b 时,若a 与b 同向,则它们的夹角为0°.∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝2×5×1＝10.若a 与b 反向,则它们的夹角为180°.∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a ⊥b 时,它们的夹角为90°.∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝2×5×0＝0.③当a 与b 的夹角为30°时,a ·b ＝|a ||b |cos30°＝2×5×32＝5 3. 跟踪训练一1、【答案】－25．【详细解析】如图,根据题意可得△ABC 为直角三角形,且B ＝π2,cosA ＝35,cosC ＝45,∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC －15cosA＝－20×45－15×35＝－25. 例2 【答案】 见详细解析【详细解析】如下图所示,当θ＝45°时,a 在e 方向上的正投影的数量为32; 当θ＝90°时,a 在e 方向上的投影的数量为0;当θ＝135°时,a 在e 方向上的投影的数量为－3 2.∴|a |·cos45°＝32,|a |·cos90°＝0,|a |·cos135°＝－3 2. 跟踪训练二【答案】1、(1)－ 32 (2)－2. 2、－1.【详细解析】1、（ 1）a∙b |b |=−32, (2) a∙b|a |=−2.2、|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=2×(−12)=−1. 例3 【答案】（ 1）-72. （ 2）2.【详细解析】(1)(a ＋2b )·(a -3b )＝a·a -a·b -6b·b＝|a |2-a·b -6|b |2＝|a |2-|a ||b |cos 60°-6|b |2＝62-6×4×cos 60°-6×42＝-72.（ 2） AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2＝22－12×22＝2.跟踪训练三【答案】1、-6. 2、2．【详细解析】1、由题设知|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12, 所以b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×12－8＝－6. 2、因为b ·c ＝0,所以b ·[ta ＋(1－t )b ]＝0, 即t a ·b ＋(1－t )·b 2＝0,又因为|a |＝|b |＝1,a ,b 的夹角为60°,所以12t ＋1－t ＝0,所以t ＝2. 当堂检测1-3.BAC 4.2 15. 26. 【答案】(1)2π3. (2)－3. 【详细解析】(1)∵|a |＝2|b |＝2,∴|a |＝2,|b |＝1.又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1,∴cos θ＝－12,∴θ＝2π3. (2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.。
新教材适用高中数学第6章向量的数量积第1课时向量的数量积一pptx课件新人教A版必修第二册
＋C→A·A→B的值是___－__2_5___.
[解析] (1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1) ＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝2×5× 23＝5 3.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
[归纳提升] 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
对点练习❷ 在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝12AB，则A→B与B→C的
夹角是( C )
A．30°
B．60°
C．120°
[解析] m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×cos 135°＝－12 2.
2．在等腰直角三角形 ABC 中，若∠C＝90°，AC＝ 2，则B→A·B→C的
值等于( B )
A．－2
B．2
C．－2 2
D．2 2
[解析] B→A·B→C＝|B→A||B→C|cos ∠ABC＝2× 2×cos 45°＝2.
(2)如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且 B＝π2，cos A＝35， cos C＝45，
∴A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B ＝B→C·C→A＋C→A·A→B ＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.
(3)向量垂直：如果a与b的夹角是____2___，我们说a与b垂直，记作 ___a_⊥__b____.
6.2.4 向量的数量积 教案-2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.4 平面向量的数量积教案一、内容和内容解析1．内容平面向量的数量积．建议用2课时．第1课时：平面向量数量积的物理背景及其含义；第2课时：平面向量数量积的运算律．2．内容解析本单元是在学生已经学习了平面向量线性运算的基础上，以物理中功的概念，引入向量“数量积”的概念．向量的数量积运算结果是实数，它不仅满足交换律，而且对加法满足分配律．向量数量积可以刻画两个向量的夹角和向量的长度（可以看成两点间的距离），而距离和角又是刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量．因此，向量数量积在解决平面几何问题中发挥着独到的作用．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．本单元在研究平面向量的数量积时，借助物理中的有关模型或借助与数的运算的类比，如借助物理中功的概念引出数量积的概念；借助与数的运算的类比，发现数量积的运算律．本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体．基于以上分析，可以确定本单元的教学重点是：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算．二、目标和目标解析1．目标（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．2．目标解析达成目标（1）的标志是，学生能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．达成目标（2）的标志是，学生能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．达成目标（3）的标志是，学生知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．三、教学问题诊断分析两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．教学时，教师要强调：两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定，并且规定，零向量与任一非零向量的数量积为0．由于向量的数量积是学生没有遇到的一种新的运算，与数的乘法有联系，但也有很大的区别．教学中，让学生思考向量运算与实数运算的一个不同之处，可以让学生先独立思考，并从数量积的定义中想清楚：当a≠0时，由a·b=0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0．对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．为此，教科书安排了一个思考栏目，教学时，要引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．下面的解释供参考：对于实数a，b，c有(a·b)c=a(b·c)，但对于向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c 表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)未必成立．学生对向量数量积的认识是逐步加深的，必要时，教师可以提醒学生画图或列表对比实数的乘法与向量的数量积运算的不同之处，或者再举一些反例强化学生的认识．如已知实数a，b，c（b≠0），则．但对向量的数量积，该推理不正确，即．基于上述分析，本单元的教学难点是：①两个向量夹角的定义；②平面向量数量积的定义及其运算律的理解；③平面向量数量积的应用．四、教学支持条件分析为了加强学生对向量数量积、向量投影的直观感受，可以利用信息技术工具，变化a，b大小或方向，体会向量数量积、向量投影的变化规律定义；在数量积的运算律教学中，可以通过信息技术工具，验证向量数量积分配律．五、课时教学设计第1课时：向量的数量积（1）（一）课时教学内容平面向量数量积的物理背景及其含义．（二）课时教学目标（1）通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．（三）教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念．难点：平面向量数量积的概念的形成过程．（四）教学过程设计引言：前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？设计意图：用具有较大的开放性和统摄性的问题开场，有利于帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始，要到哪里去．1．创设问题情境，引入数量积概念问题1 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s（如图所示），那么力F所做的功为，其中θ是F与s的夹角．功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？师生活动：（1）学生回忆物理中功的有关知识，通过观察、操作、思考．（2）教师可借机启发：因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念．显然，当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向．（3）教师给出数量积的概念．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积（inner product）），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．教师指出，对比向量的线性运算，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关．（4）在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意：①两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；②零向量与任一向量的数量积为0，即a·0=0；③符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（5）教师追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=，求a·b．例2 设|a|=12，|b|=9，a·b=-54，求a与b的夹角θ．设计意图：启发学生由物理中功的概念引入向量的数量积的概念，通过例题巩固数量积的概念．2．引入投影概念，体会投影意义问题2定义：设a，b是两个非零向量，如图，在平面内任取一点O，作，过点A作直线OB的垂线，垂足为，我们把叫做向量a 在b上的投影（projection）．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，请你探究与e，a，θ之间的关系．师生活动：（1）教师与学生一起探究：由与e共线，于是=λe．下面探究λ与a，θ的关系，进而给出的明确表达式．我们分θ为锐角、直角、钝角以及θ=0，θ=π等情况进行讨论．当θ为锐角时，与e方向相同，；当θ为直角时，λ=0，所以；当θ为钝角时，与e方向相反，所以即．当θ=0时，λ=|a|，所以；当θ=π时，λ=-|a|，所以．从上面的讨论可知，对于任意的θ∈[0，π]，都有．（2）教师追问1：从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，a在b上的投影具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？（3）教师追问2：依据数量积的概念以及投影向量的概念，数量积的几何意义是什么？教师与学生一起总结：从向量数量积的定义a·b=|a||b|cosθ中可以看出，数量积的几何意义主要表现在两个向量的模和它们的夹角，在投影向量的背景下，数量积有更灵活的处理方法，几何意义也更丰富．如果向量a在向量b上的投影向量为c，当0°＜θ＜90°时，a·b=|a|·|b|cosθ＞0，c·b=|c|·|b|cos0°=|c|·|b|，而|a|·cos θ=|c|，所以a·b=c·b．当90°＜θ＜180°时，a·b=|a|·|b|cosθ＜0，c·b=|c|·|b|cos180°=-|c|·|b|，而|a|·cos=-|c|，所以a·b=c·b．当θ=0°或180°时，a=c，a·b=c·b．综上可知：如果向量a在向量b上的投影向量为c，a·b=c·b；当然，如果向量b在向量a上的投影向量为c，a·b=c·a．设计意图：通过具体实例引入向量投影与投影向量的概念，并揭示了投影向量与向量数量积的联系．3．研究数量积的性质问题3根据数量积的概念，数量积有哪些性质？师生活动：教师与学生一起总结：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则（1）a·e= e·a =|a|cosθ．（2）．（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|．特别地，．此外，由|cosθ|≤1还可以得到（4）|a·b|≤|a||b|．学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.设计意图：结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积的性质，培养学生独立思考的能力．4．课堂练习教科书第20页练习．设计意图：学生独立尝试，巩固向量数量积的性质．5．小结提炼问题4 通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．师生活动：教师提出问题，学生相互讨论，最后让学生陈述其观点．设计意图：对本节课作小结提炼，进一步理解平面向量数量积的概念．6．作业习题6.2第11，20题．（五）目标检测设计1．下列各式中正确的是（）．A．0·a=0 B．0·a=0 C．0·a=0 D．0·a=0设计意图：数量积的概念．2．已知e为单位向量，|a|=4，a与e夹角为，则a在e方向上的投影向量为设计意图：平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3．已知|a|=3，|b|=8，则：（1）当a·b=0时，a与b的关系为（2）当a·b=24时，a与b的关系为（3）当a·b=-12时，a与b的夹角为设计意图：根据数量积判断两个向量的的关系．第2课时：向量的数量积（2）（一）课时教学内容平面向量数量积的运算律．（二）课时教学目标理解平面向量数量积运算律，会运用向量数量积的几何意义证明数量积的分配律，并能运用向量数量积运算律进行数量积运算．（三）教学重点与难点重点：平面向量数量积的运算律．难点：平面向量数量积的分配律的证明．（四）教学过程设计1．复习引入问题1向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？师生活动：学生独立思考并回答：a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角．设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a·e= e·a =|a|cosθ．②．③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|．特别地，．④|a·b|≤|a||b|．与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律．设计意图：引导学生复习数量积的概念，为后续学习运算律打基础．2．创设问题情境，引入数量积运算律问题2类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量a，b，c和实数λ，有①a·b= b·a；②(λa)·b=λ（a·b）= a·(λb)；③(a+b)·c=a·c + b·c．师生活动：（1）学生独立证明①、②；（2）教师与学生一起利用向量数量积的几何意义证明分配律③．证明：如图，任取一点O，作．设a，b，a+b与c的夹角分别为它们在c上的投影分别为，与c方向相同的单位向量为e，则因为a=，即整理，得所以．所以．因此(a+b)·c=a·c+b·c．所以向量的数量积运算满足分配律．（3）教师追问：设a，b，c是向量，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？师生活动：学生思考后回答，教师总结：对于实数a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)；但对于向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)不一定成立．这是因为(a·b)c表示一个与c 共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立．设计意图：有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．2．例题分析与知识巩固例1我们知道，对任意a，b∈R，恒有对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？（1）；（2）.解：（1）；（2）．因此，上述结论是成立的．例2已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o，求(a+2b)·(a-3b)．解：(a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b====-72．例3已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)=0，即．因为．也就是说，当时，a+kb与a-kb互相垂直．设计意图：通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．3．课堂练习教科书第22页练习．设计意图：学生独立尝试，巩固向量数量积的运算的运算法则．4．小结提炼问题3通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．师生活动：教师提出问题，学生相互讨论，最后让学生陈述其观点．设计意图：对本节课作小结提炼，让学生进一步理解平面向量数量积的运算律．5．作业习题6.2第12，18，19，24题．（五）目标检测设计1．设向量a，b满足，则a·b=（）．A．1 B．2 C．3D．5设计意图：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况．2．设向量a，b满足设计意图：考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力．3．若平面向量a与b满足：，则a与b的夹角为设计意图：考查学生通过平面向量数量积运算求向量的夹角的能力．（六）单元小结问题：（1）向量的夹角的范围是什么？判断向量夹角需要注意什么？（2）一个向量在另一个向量上的投影是数还是向量？怎么用投影向量转化向量数量积的运算？（3）说说向量的数量积是如何定义的．（4）你能通过实例，说明向量的数量积有哪些运算律吗？这些运算律的几何意义是什么？这些运算律与数的运算律的联系与区别是什么？师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，师生辨析完善．在这个过程中，教师不仅要关注学生对基本知识的表达，更要关注学生是否善于借助举例表达对相关知识的理解，是否能察觉知识发生发展的过程中重要的数学思想方法，是否善于概括总结自己的学习收获．设计意图：（1）回顾向量夹角的定义．（2）回顾投影向量与向量投影的定义，以及向量投影在数量积运算中的意义．（3）回顾类比物理中功的定义引入向量的数量积，体会向量数量积的定义以及引入向量数量积的必要性．（4）让学生体会运算律对于运算的意义，同时体会向量的运算律与数的运算律的联系与区别．。
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6．2.4 向量的数量积 导学案及课时讲义第1课时 向量数量积的定义及性质知识点一 向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.知识点二 平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532知识点三 投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA → C ．2AC →D ．2CA →6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．17．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．知识点四 平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12C ．2D ．310．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．知识点五 平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 312．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π613．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．82．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 33．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．6．2.4 向量的数量积第1课时 向量数量积的定义及性质 解析版知识点一 向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．答案 90°解析 如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则四边形OACB 为菱形．∵OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，OC →⊥BA →，∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.答案 120°解析 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，CB ＝1，所以tan ∠ACB ＝ABCB ＝3，所以∠ACB ＝60°，即CB →与CA →的夹角为60°，所以AC →与CB →的夹角为120°.知识点二 平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32 D ．2 答案 A解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1×1×12＝12.4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532答案 A解析 因为AB ＝5，所以三角形ABC 为等边三角形，所以AC →·CB →＝|AC →||CB →|cos120°＝5×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52.知识点三 投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA →C ．2AC →D ．2CA →答案 A解析 在等边三角形ABC 中，∵∠A ＝60°，∴向量AB →在向量AC →方向上的投影向量为12AC →，∴向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为－12CA →.故选A.6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 设向量a 与向量b 的夹角为θ，与b 方向相同的单位向量为e ，则a 在b 方向上的投影向量γ＝|a |cos θ·e ，则|γ|＝||a |cos θ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.7．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．答案12解析 ∵a 与e 的夹角θ＝2π3，∴e 在a 方向上的投影向量的模为||e |cos θ|＝12. 知识点四 平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③显然正确；(a ·b )c 与c 共线，而a (b ·c )与a 共线，故④错误；|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，a·b ＝|a ||b |cos θ，有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．9．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12 C ．2 D ．3答案 D解析 由向量内积性质知|a ·b |≤|a ||b |＝2.故选D.10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．解 如图，由AM ＝3，且AP →＝2PM →，可知|AP →|＝2. ∵M 为BC 的中点， ∴PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·AP → ＝－PA →2＝－|PA →|2＝－4.知识点五 平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3 答案 C解析 a ·b ＝|a ||b |cos135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 12．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π6 答案 D解析 因为|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝－32.又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝5π6. 13．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．解 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝6. 又|a |＝3，|b |＝4，∴|cos 〈a ，b 〉|＝6|a ||b |＝63×4＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.课时易错点易错点 求夹角时忽略向量的方向致误14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．答案 150°正解 由题意画出图形，如图，因为a ，b 的夹角为120°， 所以∠CAB ＝60°，又|b |＝2|a |，所以∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝30°，则b 与c 的夹角为150°.一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．8 答案 B解析 根据向量数量积的定义得a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×2×cos π3＝4.2．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 3 答案 D解析 a 在b 方向上的投影向量的模为||a |cos150°|＝5 3.3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形答案 B解析 由AB →＝DC →得四边形ABCD 中一组对边平行且相等，由AC →·BD →＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD 为菱形．4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由题意可得，Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∵|a |＝2|b |，∴cos θ≤12，又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0 B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 答案 ABD解析 在等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，面积为1，则12AC 2＝1，得AC ＝2，得AB ＝2，所以AC →·BC →＝0，A 正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos45°＝2，B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos135°＝－2，C 不正确；向量BA →在BC →上投影的数量为|BC →|，即|AB →|·cos B ＝|BC →|，D 正确．故选ABD.二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________. 答案 －8解析 |b |＝2|a |＝4，且b 与a 反向，∴〈a ，b 〉＝180°. ∴a ·b ＝|a |·|b |cos180°＝2×4×(－1)＝－8.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.答案 4解析 因为||a |cos 120°|＝2，所以12|a |＝2，所以|a |＝4.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.答案 －1492解析 OA →·AB →＝|OA →||AB →|cos(180°－∠BAO )，∵|OA →|cos(180°－∠BAO )＝－|OA →|cos ∠BAO ＝－12|AB →|，∴OA →·AB →＝－12·|AB →|2，同理，OB →·BC →＝－12|BC →|2，OC →·CA →＝－12|CA →|2，∴OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝－12×(62＋72＋82)＝－1492. 三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →.解 (1)①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝3×6×1＝18.若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝3×6×(－1)＝－18.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝0.③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3×6×12＝9. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，故BC ＝3，且cos ∠ABC ＝35， AB →与BC →的夹角θ＝180°－∠ABC ，∴AB →·BC →＝－|AB →||BC →|cos ∠ABC ＝－5×3×35＝－9. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．解 (1)若AP →＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝12. (2)因为|OA →|＝4，|OB →|＝2，∠BOA ＝60°，所以∠OBA ＝90°，所以|AB →|＝2 3.又因为AP →＝3PB →，所以|PB →|＝32. 所以|OP →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝192，cos ∠OPB ＝5719， 所以OP →与AB →的夹角θ的余弦值为－5719. 所以OP →·AB →＝|OP →||AB →|cos θ＝－3.。