【课时讲义】6.2.4 向量的数量积 第1课时导学案及课时讲义必修第二册第六章平面向量及其应用

6．2.4 向量的数量积 导学案及课时讲义

第1课时 向量数量积的定义及性质

知识点一 向量夹角的概念

1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．

2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →

的夹角θ＝________.

知识点二 平面向量数量积的定义

3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋3

2

D ．2 4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )

A ．－52 B.52 C ．2 D.532

知识点三 投影向量

5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →

在向量CA →

方向上的投影向量为( )

A ．－12CA →

B.12CA → C ．2AC →

D ．2CA →

6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

7．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为

2π

3

，则e 在a 方向上的投

影向量的模为________．

知识点四 平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：

①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .

其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

9．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.1

2

C ．2

D ．3

10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →

，求PA →

·(PB →＋PC →

)的值．

知识点五 平面向量数量积的应用

11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3

12．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.

π6 B.2π3 C.3π4 D.5π6

13．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．

14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．

易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．

一、选择题

1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π

3

时，a ·b ＝( )

A ．4 3

B ．4

C ．8 3

D ．8

2．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )

A ．－5 3

B ．5

C ．－5

D ．5 3

3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →

＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形

D ．等腰梯形

4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与

b 的夹角的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π6

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π3

，2π3

D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π6，π 5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )

A.AC →·BC →＝0

B.AB →·AC →

＝2 C.AB →

·BC →

＝2 D ．|AB →

|cos B ＝|BC →

| 二、填空题

6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________.

7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.

8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →

·AB →

＋OB →·BC →＋OC →·CA →

＝________.

三、解答题

9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，

分别求a ·b ；

(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →

. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →

.

(1)若AP →＝PB →

，求x ，y 的值；

(2)若AP →

＝3PB →

，|OA →

|＝4，|OB →

|＝2，且OA →

与OB →

的夹角为60°，求OP →

·AB →

的值．

6．2.4 向量的数量积

第1课时 向量数量积的定义及性质 解析版

知识点一 向量夹角的概念

1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．

答案 90°

解析 如图，作向量OA →＝a ，OB →

＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则四边形OACB 为菱形．∵OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，OC →⊥BA →

，

∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.