历年高中自主招生数学考试试卷及答案

高中自主招生考试数学试卷
1、试卷分试题卷和答题卷两部分。

满分为100分，考试时间为70分钟。

2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。

3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。

一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30︒+︒-︒的结果是（ ）
A ．2
B ．2
C ．1
D ．3
2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）
A ．313
-
B ．
33
C ．314
-
D ．
12
3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++=
b b a a M ，1
1
11++
+=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ）
A ．N M >
B ．N M =
C ．N M <
D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的
4
1
，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( )
A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟
5.二次函数1422
++-=x x y 的图象如何移动就得到2
2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。

B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。

C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。

D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。

6．下列名人中：①比尔•盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）
A ．①④⑦
B ．②④⑧
C ．②⑥⑧
D ．②⑤⑥
7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方
式如下表所示：
欲购买的 商品
原价（元）
优惠方式
一件衣服 420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券 一双鞋 280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券 一套化妆品
300
付款时可以使用购物券，但不返购物券
A
B
C D
B '
D '
C '
请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案. 此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）
A ． 500元
B ． 600元
C ． 700元
D ． 800元 8．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（ ）
二、填空题：（每题6分，共30分）
9. 若关于x 的分式方程3
131+=
-+x a
x 在实数范围内无解，则实数=a _____. 10．三角形的两边长为4cm 和7cm ，则这个三角形面积的最大值为_____________cm 2. 11．对正实数b a ,作定义b a ab b a +-=
*，若444=*x ，则x 的值是________．
12．已知方程()0332
=+-+x a x 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围是 ．
13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ．
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤。

14．（本小题满分8分）【田忌赛马】
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马. 田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下： （1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况； （2）田忌能赢得比赛的概率是___________.
15．（本题满分10分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：
{}3,2,1、{}19,8,7,2-，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素。

如果一个集合满足：当实数a 是集合的元
素时，实数a -8也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合。

(1)请你判断集合{
}2,1，{}7,4,1是不是好的集合？ (2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子。

16．（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 是AB 边上的高线，且有2CD=3AB ，又E ，F 为CD 的三等分点，
求证：∠ACB+∠AEB 十∠AFB=1800。

田忌上马 齐王中马 田忌中马 齐王下马 田忌下马 齐王上马
田忌上马 齐王上马 田忌中马 齐王中马 田忌下马 齐王下马
图1
图2
17．（本小题满分10分）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线2
14
y x =上的一个动点．（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的相切； （2）设直线PM 与抛物线2
14
y x =
的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．
四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分）
18．有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了。

根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法。

自主招生考试
数学答题卷
（满分100分，时间70分钟）
二、填空题：（每题6分，共30分）
9、10、
11、12、
13、
三、三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤。

14、(本小题满分8分)
解
(15、（本小题满分10分）
解：
16、（本小题满分10分）
17、（本小题满分10分）
附加题：(可以在反面作答) 18、
自主招生考试 数学参考答案
一、选择题：（每题4分，共32分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案
B
A
B
C
C
D
B
B
二、填空题：（每题6分，共30分）
9、 1 10、 14
11、 36 12、2
1
1-<<-a 或323-=a
13、 3
三、三、解答题：（本题有4个小题，共38分） 解答应写出文字说明, 证明过程或推演步 步骤。

171414、(本小题满分8分)
解：（1）其他可能的对阵形式有：
田忌上马 齐王上马 齐王中马 齐王下马 齐王下马 田忌中马 对 齐王下马 齐王上马 齐王上马 齐王中马 田忌下马 齐王中马 齐王下马 齐王中马 齐王上马
（每写出一个得1分）
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为
6
1
（得4分） 解(115、（本小题满分10分）
解： 解：（1）集合{}2,1不是好的集合，{}7,4,1是好的集合。

（每个判断正确得2分） （2）集合{}4、{}5,4,3、{}6,2、{}7,6,4,2,1等都可以举。

（每举出一个得3分）
16、（本小题满分10分）
证明： AB CD 32= ，且F E ,为CD 三等分点，D 为AB 中点 AB CD 2
1
31
=
∴，即DF AD =
45=∠∴AFD （得4分）
FC FE DF DF AD AF •==+=∴22222
CFA AFE ∆∆∴∽
AEF CAF ∠=∠∴ （得3分）
即
45=∠=∠+∠∴AFD AED ACD
90=∠+∠+∠∴AFD AED ACD 所以得证 （得3分） 17、（本小题满分10分）
解：（1）设点P 的坐标为2
001(,
)4
x x ，则 PM ＝2
22
2220000111(1)(1)14
44
x x x x +-=+=+; 又因为点P
到直线1y =-的距离为
22
0011(1)144
x x --=+，
所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切． （得4分） （2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM ＝QR ．
因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH ∥MN ∥QR ，于是
QM MP RN NH =
， 所以 QR PH
RN HN
=
， 因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．
于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠ （得6分）
附加题：(可以在反面作答)
18、可以从数学的基础性，应用的广泛性，培养严密的逻辑思维能力，人文素养，科学精神等各方面价值作简单说明。