历届高考数学压轴题汇总及答案(上海卷2019-2020)
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。
(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x =.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-； （Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷： 解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合22S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．∴④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且：()3'4f x x =-==， 因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜当0a ＜()f x 2ln 0x -≥，令1t a=，则t ≥设()22ln g t t x =，t ≥则2()2ln g t t x=-，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g x g x =，记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p x x '===∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤综上所述，所求的a 的取值范围是⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+， 则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈， 可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列， 可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =， 可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d-，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+，11111n n n a b a +++-+， 可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x ++=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则 ()?0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<， 所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点． 由()f x kx a =+得k =．设()h x =，则22ln 1()12()x a g x a h x x x +--+'==，其中()ln g x x =-． 由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立 故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+≤…,) 化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+---≤…, 因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11nb q n m n->=+-…） 所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立 当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=-，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m nn n n --+---=-==--… 设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n 单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)2(1)2111m m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭≤ 设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =-- 因为2ln 22ln 2x ≤，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。
高考数学试题上海题及答案
高考数学试题上海题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的值域为[0, +∞)，则该函数的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1，其最小值为-1，因此值域为[-1, +∞)。
由于值域为[0, +∞)，所以函数的零点个数为2。
2. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z| = √2，且z的实部与虚部的和为0，则a和b的值分别为：A. a = 1, b = -1B. a = -1, b = 1C. a = 1, b = 1D. a = -1, b = -1答案：A解析：由|z| = √2，得√(a^2 + b^2) = √2，即a^2 + b^2 = 2。
又因为z的实部与虚部的和为0，即a + b = 0。
解得a = 1, b = -1。
3. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 0B. 1D. √2答案：B解析：直线的倾斜角为45°，根据斜率的定义，斜率k = tan(45°) = 1。
4. 若向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D解析：向量a与向量b的数量积为a·b = 3*(-1) + (-2)*2 = -3 - 4 = -7。
5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象是开口向上的抛物线，且f(1) = f(3)，则该函数的对称轴为：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：由于抛物线开口向上，且f(1) = f(3)，根据抛物线的对称性，对称轴为x = (1 + 3) / 2 = 2。
6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，且S_3 = 7，S_6 = 28，则该数列的公比q为：B. 4C. 3D. 1/2答案：A解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则S_3 = a1(1 - q^3) / (1 - q) = 7，S_6 = a1(1 - q^6) / (1 - q) = 28。
高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ；（2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +>(Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤求a 的取值范围.注： 2.71828e =L 为自然对数的底数.设2*012(1),4,nnn x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。
(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b L ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x -=.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-；（Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列.(Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈.证明：当*N n ∈时，(I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤；(III )1-21122n n n x -≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷：解：（1） 等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12a π= ，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴=当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎬⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件．当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件．当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-+，函数的定义域为()0,∞+，且：()3'4f x x -+=-+，因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜≤，当204a ＜时，()f x ，等价于2ln 0x ≥，令1t a=，则t ≥，设()22ln g t t x =--，t ≥，则2()2ln g t t x=--，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g x g x =-- ，记1()ln ,7p x x x =--≥，则1()p x x '==列表讨论：x17117⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,)+∞()'p x ﹣0+()P x 17P ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减极小值()1P 单调递增∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=-，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是4⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,ab ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+，则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈，可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，，M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（），①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意；④若2d - ，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+ ，11111n n n a b a +++-+ ，可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+ ，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-，由12()()f x f x ''=1211x x -，因为12x x ≠，所以12+=．=+．因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=-+-=．设()ln g x x =-，则1()4)4g x x'=-，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-．（Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则()–0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<，所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得k =．设ln ()x x a h x x --=，则22ln 1()12()x a g x a h x x x --+--+'==，其中()ln 2x g x x =-．由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+ ≤…,)化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+--- ≤…,因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11n b q n m n ->=+- …）所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=- ，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m n n n n --+---=-==-- …设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)(1)2111m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎫=---=-- ⎪⎪-⎭ ⎪-⎝⎭ ≤设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =--因为2ln 2ln 2x ，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<- 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
上海高考数学压轴题50道(有答案-精品)
高考压轴题目选（５０题）１．（函数）设32()log (f x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的 条件。
２．（函数）设)22,22(),(y x y x y x f +-=为定义在平面上的函数，且+=2),{(x y x A }0,0,12≥≥≤y x y ，令}),(),({A y x y x f B ∈=，则B 所覆盖的面积为３．（函数）老师在黑板上写出了若干个幂函数。
他们都至少具备一下三条性质中的一条：（1）是奇函数；（2）在(,)-∞+∞上是增函数；（3）函数图像经过原点。
小明统计了一下，具有性质（1）的函数共10个，具有性质（2）的函数共6个，具有性质（3）的函数共有15个，则老师写出的幂函数共有 个。
４．（函数）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=５．（函数）已知函数()1).f x a =≠在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是６．（函数）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是７．（函数）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。
设顶点p （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 。
８．（三角函数）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________ ９．（三角函数）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>），若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图像与直线1=y 交点个数的最大值为2，则ω的取值范围为１０．（三角函数）已知方程x 2+33x+4=0的两个实根分别是x 1，x 2，则21a r c t a n a r c t a n x x += １１．（数列）设定义在*N 上的函数：(21)()()(2)2n n k f n n f n k =-⎧⎪=⎨=⎪⎩，其中*k N ∈，记(1)(2)(3)(4)(2)n n a f f f f f =+++++，则1n n a a +-=１２．（数列）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序。
2019-2020年高考数学试卷题含答案
xx 上海市学业水平考试暨春季高考数学试卷（有答案）一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.复数（为虚数单位）的实部是__________________. 2.若，则_________________. 3.直线与直线的夹角为__________________. 4. 函数的定义域为___________________.5. 三阶行列式135400121--中，元素的代数余子式的值为_____________________. 6. 函数的反函数的图像经过点，则实数______________.7. 在中，若，，，则_______________.8. 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为____________________（结果用数值表示）. 9. 无穷等比数列的首项为，公比为，则的各项的和为________________.10. 若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则__________________. 11. 函数在区间上的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是___________________. 12. 在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，则的最小值为____________________.二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13. 满足且的角属于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 14. 半径为的球的表面积为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）15. 在的二项展开式中，项的系数为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）16. 幂函数的大致图像是（ ）17. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）18. 设直线与平面平行，直线在平面上，那么（ ）（A ）直线平行于直线 （B ）直线与直线异面（C ）直线与直线没有公共点 （D ）直线与直线不垂直19. 在用数学归纳法证明等式212322n n n ++++=+ 的第步中，假设时原等式成立，那么在时需要证明的等式为（ ）（A ）2212322(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ （B ）212322(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++ （C ）221232212(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ （D ）21232212(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）（A ）焦距相等，渐近线相同 （B ）焦距相等，渐近线不相同（C ）焦距不相等，渐近线相同 （D ）焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数的定义域为，则“”是“为奇函数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件22. 下列关于实数的不等式中，不恒成立的是（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）23. 设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：○1若，则；○2若，则. 关于以上两个结论，正确的判断是（ ）（A ）○1成立，○2不成立 （B ）○1不成立，○2成立（C ）○1成立，○2成立 （D ）○1不成立，○2不成立24. 对于椭圆22(,)22: 1 (,0,)a b x y C a b a b a b+=>≠. 若点满足. 则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点构成的图形为（ ）（A ）三角形及其内部 （B ）矩形及其内部 （C ）圆及其内部 （D ）椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. （本题满分8分）如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为，求异面直线与所成的角的大小.26.（本题满分8分）已知函数，求的最小正周期及最大值，并指出取得最大值时的值.27.（本题满分8分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口直径是，灯深，求灯泡与反射镜的顶点的距离.28.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知数列是公差为的等差数列.（1）若成等比数列，求的值；（2）设，数列的前项和为. 数列满足，记，求数列的最小项（即对任意成立）.29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.对于函数，记集合.（1）设，，求；（2）设，，，如果.求实数的取值范围.2019-2020年高考数学试卷题含答案一. 选择题:(9分)1.若函数是偶函数,则的一个值是 ( )(A) (B) (C) (D)2.在复平面上,满足的复数的所对应的轨迹是( )(A) 两个点 (B)一条线段 (C)两条直线 (D) 一个圆3.已知函数的图像是折线,如图,其中(1,2),(2,1),(3,2),(4,1),(5,2)A B C D E ,若直线与的图像恰有四个不同的公共点,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)二. 填空题:(9分)4.椭圆的长半轴的长为_________________5.已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为,则该圆锥的侧面积为__________________6.小明用数列记录某地区xx12月份31天中每天是否下过雨,方法为:当第天下过雨时,记,当第天没下过雨时,记,他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第天有雨时,记,当预报第天没有雨时,记记录完毕后,小明计算出112233313125a b a b a b a b ++++=,那么该月气象台预报准确的总天数为______________________三. 解答题:(12分)对于数列与,若对数列的每一项,均有或,则称数列是与的一个“并数列”。
2019-2020年高考压轴卷理科数学含解析
2019-2020年高考压轴卷理科数学含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. 复数21i z ()i=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A ． 8 B ．7 C ．6 D ． 55．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．4 B ．8 C ．16 D ．20 6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x 的值为2014，则输出的i 的结果为（ ）A．3B．5C．6D．87.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8. ．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则A 点的横坐标为(A)10.已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x+6）+f （x ）=2f （3），y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f （2013）=（ ）A.10B.-5C.5D.0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.（3x+）6的展开式中常数项为 （用数字作答）．12. 若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足，则= ．13. 设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ） A ． 4 B ．C ．1 D ．214.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f （3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ________ ．15. 已知集合A={f （x ）|f 2（x ）﹣f 2（y ）=f （x+y ）•f （x ﹣y ），x 、y ∈R}，有下列命题： ①若f （x ）=，则f （x ）∈A ； ②若f （x ）=kx ，则f （x ）∈A ；③若f （x ）∈A ，则y=f （x ）可为奇函数； ④若f （x ）∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有成立．其中所有正确命题的序号是 ______ ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．在△ABC 中，已知A=4π，cos B =． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若D 为AB 的中点，求CD 的长．17.如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=2，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E ． （Ⅰ）求证：PC ⊥DE ；（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值．18. 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2OP ξ=． （I ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =-上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列， 求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，并求使-184055327n n n T +≤⨯成立的正整数n 的最大值. 20. 给定椭圆C ：，称圆心在坐标原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是．（1）若椭圆C 上一动点M 1满足||+||=4，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P （0，t ）（t ＜0）作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为2，求P 点的坐标；（3）已知m+n=﹣（0，π）），是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点（m ，m 2），（n ，n 2）的直线的最短距离．若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 21.已知函数f （x ）=ax 2﹣（2a+1）x+2lnx （a ＞0）． （Ⅰ） 若a ≠，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当＜a ＜1时，判断函数f （x ）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．KS5U2014山东省高考压轴卷理科数学参考答案1.【KS5U 答案】C【KS5U 解析】：由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A ∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A ∩B 中元素的个数为2． 故选C ．2. 【KS5U 答案】D【KS5U 解析】因为22211()1(1)22i i z ii i i -====----，所以1112z i +=-，所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限. 3. 【KS5U 答案】A.【KS5U 解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。
上海高考数学（函数）经典压轴题解析详解
上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1. (本小题满分12分) 已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ³ a , 证明证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] , ∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x 的减函数, ∴ 当n ³ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n £ n n– ( n + a)n. 2分 又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n– ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分 ( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分) 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v Î[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | . (1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +Î-ìí-Îî，是否满足题设条件？，是否满足题设条件？解：解： (1) 若u ,v Î [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u = 43Î[–1，1]，v = 21Î[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |，所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：）分三种情况讨论：10. 若u ,v Î [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；，满足题设条件； 20. 若u ,v Î [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；，满足题设条件； 30. 若u Î[–1，0]，v Î[0，1]，则：，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u Î[0，1]，v Î[–1，0], 同理可证满足题设条件. 综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分) 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x +(x ¹ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ¹ 0 ). (1) 求证：| ac | ³ 4; (2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ÎR, t ¹–1, ∴ ⊿ = (–c 22a)22– 16c 22 = c 44a 22– 16c 22³ 0 ， ∵ c ¹ 0, ∴c 2a 2 ³ 16 , ∴| ac | ³ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 – 1x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 , ∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ³ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) = 2)1x (1+> 0 得x ¹–1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增. （3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ³|a |4> 0 , ∴f (| c | ) ³ f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+ f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．）对称． （1） 求f (x)的表达式；的表达式；（2） 试在函数f f (x)(x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2,2éù-ëû上；上；（3） 若+212(13),(N )23nnn n n nx y n --==Î，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分（2）()20,0,2,3æö-ç÷ç÷èø或()20,0,2,.3æö-ç÷ç÷èø…………10分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分5．（本小题满分13分）分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ¹则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ì+=ïïíï+=ïî ………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ·=-………………………………6分 又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ×=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =- (10)分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=¹此即为所求的轨迹方程.………………13分6．（本小题满分12分）分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=×PB PA（1）求点P 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数l 使得0)(2=+×FP FB FA l 若存在，？若存在，求出求出l 的值，若不存在，请说明理由. 解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ¹由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==\ 4,,021-=\^\=×x x PB PA PB PA ………………………………3分直线P A 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ①同理，直线PB 的方程是：42222x xx y -=②由①②得：ïîïíìÎ-==+=),(,142212121R x x x x y x x x∴点P 的轨迹方程是).(1R x y Î-=……………………………………6分 （2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+xx P4),2,2(2121-=-+=x x xx FP 42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=× …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+×FP FB FA故存在l =1使得0)(2=+×FP FB FA l …………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线P A 、PB 与抛物线相切，且,0=×PB PA ∴直线P A 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ^ 设P A 的直线方程是)0,,(¹Î+=k R m k m kx y由îíì=+=y x m k x y 42得：0442=--m kx x016162=+=D \m k 即2k m -=…………………………3分即直线P A 的方程是：2k k x y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --= 由ïîïíì--=-=2211k x k y k k x y 得：ïîïíì-=Î-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y Î-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA )2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk k k FB FA +--=--+-=×………………………………10分)1(24)1()(2222kk k k FP ++=+-=故存在l =1使得0)(2=+×FP FB FA l …………………………………………12分 7．（本小题满分14分）分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+¥上是增函数. （1） 求正实数a 的取值范围；的取值范围；（2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bb a b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'³-=axax x f 对),1[+¥Îx 恒成立，恒成立， xa 1³\对),1[+¥Îx 恒成立恒成立又11£x1³\a 为所求.…………………………4分 （2）取b ba x +=，1,0,1>+\>>b b a b a ，一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+¥上是增函数，上是增函数，0)1()(=>+\f b b a f0ln 1>+++×+-\bb a bb a a bb a 即ba b ba +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G∴)(x G 在),1(+¥上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即b b a b ba +>+ln综上所述，.ln 1b b a b b a b a +<+<+………………………………………………14分8．(本小题满分12分) 如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C Ð= ，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC !的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．两点．(1) 求双曲线E 的方程；的方程；(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN l=，问在x 轴上是否存在定xyDO CAB点G ，使()BC GM GN l^- ？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．请说明理由．解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =． ∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ì-=ï+=-íï-=î（3分）解之得1a =，∴2,3c b ==． ∴双曲线E 的方程为2213y x -=． （5分）分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN l ^-．设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN l = ，得120y y l +=．即12y y l =-① （6分）分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y l l l l -=--+-， ∴()BC GM GN l^- 12()x t x t l Û-=-． 即12()ky m t ky m t l +-=+-． ② （8分）分）把①代入②，得把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+= ③（9分）分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -¹且0D >，即213k ¹且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--． （10xyDO CAB NBCOyxGMP(m 1C C C n n n nn a a a ++++11p p ++1211n n p p 1p +)())êú222(1)(1)2(1)2(1)k n kk k n k n kp p p p ---++×--…212(1)12(1)(1)nnkn k p p p p --+--222(1)121n nnkn k p p p p -+--+n n…。
上海市2019年高考数学压轴卷(含解析)
2
15. 已知
，函数
若关于 的方程
恰有 2 个
互异的实数解，则 的取值范围是
16. 函数 f （ x） =lg （ x≠0， x∈ R），有下列命题：
① f （ x）的图象关于 y 轴对称； ② f （ x）的最小值是 2； ③ f （ x）在（ - ∞， 0）上是减函数，在（ 0，+∞）上是增函数； ④ f （ x）没有最大值． 其中正确命题的序号是 ______ ．（请填上所有正确命题的序号） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 17. 已知抛物线 C：y2=2px（ p＞ 0）的焦点为 F，直线 y=k（ x+1）与 C相切于点 A，| AF|=2 ． （Ⅰ）求抛物线 C的方程； （Ⅱ）设直线 l 交 C于 M， N两点， T 是 MN的中点，若 | MN|=8 ，求点 T 到 y 轴距离 的最小值及此时直线 l 的方程．
18. 函数 f （ x） =2sin （ ω x+φ ）（ ω＞ 0，| φ | ＜ ）的一个零点为 ，其图象距离该零 点最近的一条对称轴为 x= ． （Ⅰ）求函数 f （ x）的解析式； （Ⅱ）若关于 x 的方程 f （ x） +log 2k=0 在 x∈ [ ， ] 上恒有实数解，求实数 k 的 取值范围．
1
上海市 2019 年高考数学压轴卷（含解析）
一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
1. 已知 A， B 是椭圆 E：
的左、右顶点， M是 E 上不同于 A，B
的任意一点，若直线 AM， BM的斜率之积为 ，则 E 的离心率为
上海市2020届高三高考压轴卷数学试题(含答案解析)
绝密★启封前2020上海市高考压轴卷数 学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．若集合{}|A x y x R==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.2．函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 3．已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012nna n S -=-，则1a =___ 5．从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.6．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________7．已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.8．计算：13(2)lim 32n nn n n +→∞--=+_________. 9．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.10．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)11．已知a v 、b v 、2c v是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v 的最小值是________12．已知数列{}n a 的通项公式为52nn a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+ ，设,(),()n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩，若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是_____;二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，1CC =线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒14．已知函数()3sin 2,6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()2F x f x =-的所有零点依次记为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，且12n x x x <<⋅⋅⋅<，则12122n n x x x x -++⋅⋅⋅++=( ) A ．2πB ．113π C ．4π D ．223π 15．若实数x ，y 满足22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．9B ．12C ．3D ．616．对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =-ðC ．()()()A B A B f x f x f x =⋅ID ．()()()A B A B f x f x f x =+U三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是在底面上的射影，6PO =，Q 是AC 上的一点，过Q 且与PA 、BD 都平行的截面为五边形EFGHL ．（1）在图中作出截面EFGHL ，并写出作图过程； （2）求该截面面积的最大值．18．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c .（1）若2,3c C π==，且ABC V 的面积S =,a b 的值；（2）若()()sin sin sin 2A B B A A ++-=，试判断ABC V 的形状.19．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）20．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>经过定点2E⎛⎝⎭，其左右集点分别为1F，2F且12EF EF+=2F且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.（1）求椭圆C的方程：（2）若O为坐标原点，在线段2OF上是否存在点(,0)M m，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.21．已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足()13a a a=≠，13nn na S+=+，设3nn nb S=-，*n∈N.（Ⅰ）求证：数列{}n b是等比数列；（Ⅱ）若1n na a+≥，*n∈N，求实数a的最小值；（Ⅲ）当4a=时，给出一个新数列{}n e，其中3,1,2nnneb n=⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n项和为n C，若nC可以写成p t（t，*p∈N且1t>，1p>）的形式，则称nC为“指数型和”.问{}n C中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.参考答案及解析1．【答案】{}1【解析】 由A中y =10x -…， 解得：1x …，即{|1}A x x =…， 由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．2．【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦U U 【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩， 解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦U U 3．【答案】1【解析】因为11zi z-=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则||1z ==. 故答案为：1.4．【答案】1-【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。
2020届上海市高三高考压轴卷数学试题(解析版)
2020上海市高考压轴卷数学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1.若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 【详解】解：由A中y =10x -，解得：1x ，即{|1}Ax x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______.【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 【解析】 【分析】根据负数不能开偶次方根和对数的真数大于零求解. 【详解】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩， 解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3.已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出z ，再求其模．【详解】因为11zi z-=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则||1z ==. 故答案为：1.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．4.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012nna n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】 【分析】利用行列式定义，得到n a 与n S 的关系，赋值1n =，即可求出结果．【详解】由01110111(2)1021212nn n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-． 【点睛】本题主要考查行列式定义的应用．5.从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.【答案】133【解析】 【分析】先算出6个样本数据的平均数，然后再利用方差公式计算即可. 【详解】6个样本的平均数456107466x +++++==，所以方差22222221[(46)(56)(66)(106)(76)(46)]6s =-+-+-+-+-+-261363==. 故答案为：133【点睛】本题主要考查方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.6.已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________【答案】22182y x -=【解析】【分析】根据双曲线的渐进线方程为12y x =±，设双曲线222214x y b b-=，计算椭圆焦点为()，根据双曲线焦点公式得到答案.【详解】221166x y +=的焦点为：()双曲线的渐进线方程为12y x =±，则设双曲线方程为：222214x y b b-=，焦点为()故2224102b b b +=∴= ，双曲线方程为22182y x -=故答案为22182y x -=【点睛】本题考查了求双曲线方程，根据渐近线设双曲线为222214x y b b-=是解题的关键.7.已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.。
2019-2020年高考压轴卷 数学 含解析
(图1) 2019-2020年高考压轴卷数学含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知复数的实部为，虚部为1，则的模等于 .2.已知集合，集合，则 .3.右图1是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的值为 .4.函数的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于．6.设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若则；②若，，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题序号为7.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是 .8.已知命题在上为减函数；命题，使得.则在命题，，，中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数，其图象如图3所示，则 .10.函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是．11.在中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，则函数在上的单调递增区间是 .12. “已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式.”给出如下的一种解法：解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为.x y12图3图2参考上述解法：若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .13.xx 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列满足，定义使为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，xx]内的所有“青奥吉祥数之和”为________14.已知，设集合，，若对同一x 的值，总有，其中，则实数的取值范围是 二、 解答题（本大题共6小题，共90分） 15.在中，角，，的对边分别为，，，向量，且 （1）求的值；（2）若，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥中，平面平面，AB ∥DC ， 是等边三角形， 已知，．（1）设是上的一点，证明：平面平面； （2）求四棱锥的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？ABCMPD图4公 路HG F E DC B A 图5OMNF 2F 1yx（图6）18. 如图6，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且． （1）求椭圆的方程； （2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．19.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调增区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数)，求实数的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n N*)．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若a=2，且，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，从圆外一点引圆的切线及割线，为切点． 求证：．21B ．已知矩阵，计算．21C ．已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数）．若直线与圆相切，求正数的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立,求实数的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．P（第21 - A 题）（第22题）22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，，，M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．xx 江苏高考压轴卷数学答案一、填空题1. 2.. 3.2 4. 5.7.2 6. ①③ 7. 8. 9.4 10. 11. 12. 13.2047 14. 提示： 1.，则，则. 2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又，所以.3. 当时，，则；当时，，；当时，，；当时，不成立，则输出.4.要使原式有意义，则，即且.5.2出现次，5出现次，8出现次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。
2020年上海市高三高考压轴卷数学试卷及解析
2020年上海市高三高考压轴卷数学试卷★祝考试顺利★一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分或5分,否则一律得零分．1．若集合{}|A x y x R ==∈,{}|1,B x x x R =≤∈,则A B I =________.2．函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 3．已知i 为虚数单位,复数z 满足11z i z-=+,则z ________. 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意正整数n ,都有01011012n n a n S -=-,则1a =___5．从总体中抽取6个样本：4,5,6,10,7,4,则总体方差的点估计值为________.6．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点,且双曲线的渐进线方程为12y x =±,则此双曲线方程为_________7．已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数,则实数a 的取值范围是______.8．计算：13(2)lim 32n nn n n +→∞--=+_________. 9．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同）,假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个,则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.10．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v ,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v 也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v 也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”.其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)11．已知a v 、b v 、2c v 是平面内三个单位向量,若a b ⊥v v ,则4232a c a b c +++-v v v v v 的最小值是________12．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=,数列{}n b 的通项公式为n b n k =+ ,设,(),()n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩,若在数列{}n c 中,5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立,则实数k 的取值范围是_____;二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分．13．在直三棱柱111ABC A B C -中,己知AB BC ⊥,2AB BC ==,1CC =则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒14．已知函数()3sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,若函数()()2F x f x =-的所有零点依次记为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ,且12n x x x <<⋅⋅⋅<,则12122n n x x x x -++⋅⋅⋅++=( )A ．2πB ．113πC ．4πD ．223π 15．若实数x ,y 满足22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =-的最大值是（ ）A ．9B ．12C ．3D ．616．对于全集U 的子集A 定义函数()()()10A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤B ．()()1R A A f x f x =-ðC ．()()()A B A B f x f x f x =⋅ID ．()()()A B A B f x f x f x =+U。
2019-2020年高考数学压轴试卷 含解析
2019-2020年高考数学压轴试卷含解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数f（x）=sin（ωx+）的周期为π，则ω=_______．2．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=_______．3．已知复数z满足：z（1﹣i）=2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_______．4．若在行列式中，元素a的代数余子式的值是_______．5．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是_______．6．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且=，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于_______．7．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f （a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=_______．8．的二项展开式中，常数项的值是_______．9．已知直线Ax+By+1=0．若A，B是从﹣3，﹣1，0，2，7这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为_______．10．从抛物线y2=4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|=5，则△MPF的面积为_______．11．满足线性约束条件的可行域中共有_______个整数点．12．已知D是△ABC边BC延长线上一点，记=λ+（1﹣λ）．若关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是_______．13．对于给定的正整数n，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤10，则S=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为_______．14．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为_______．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15．“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知函数，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（）A．当时，f（x）的最小值为B．当时，f（x）的最小值为C．当时，f（x）的最小值为D．对任意的b＞0，f（x）的最小值均为17．给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内所有的直线都不垂直C．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行D．异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3．若a＞，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，则a的取值范围为（）A．（，] B．（，1] C．[﹣，1] D．[0，]三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1=AC=BC=2，∠ACB=90°．（1）如图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；（2）若P是AA的中点，求四棱锥B﹣C A PC的体积．20．设函数f（x）=x+|2x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．21．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接xx“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A （﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．23．设数列{a n}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n，求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r i=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（3）试构造一个数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由．xx上海市高考数学压轴试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数f（x）=sin（ωx+）的周期为π，则ω=±2．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=||，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）的周期为||=π，则ω=±2，故答案为：±2．2．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：13．已知复数z满足：z（1﹣i）=2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=2+4i，得，∴．故答案为：．4．若在行列式中，元素a的代数余子式的值是﹣2．【考点】三阶矩阵．【分析】根据余子式的定义，要求a的代数余子式的值，a这个元素在三阶行列式中的位置是第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式，解出即可．【解答】解：在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：解这个余子式的值为﹣2．故元素a的代数余子式的值是﹣2．5．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图中频率和为1，求出a的值，计算模块测试成绩落在[50，70）中的频率以及频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故答案为：25．6．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且=，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据水的体积不变列出方程解出h2．【解答】解：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为．∴水的体积V=Sh﹣××（h﹣h1）=．设倒置后液面面积为S′，则=（）2，∴S′=．∴水的体积V==．∴=，解得h2=．∴=．故答案为：．7．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f （a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=﹣3．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（x）是奇函数，由此利用奇函数的性质能求出f（a）+f（b）．【解答】解：∵f（x）=x3+lg（+x），∴f（﹣x）=﹣x3﹣lg（+x）=﹣f（x），∵f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，∴2[f（a）+f（b）]=﹣6，∴f（a）+f（b）=﹣3．故答案为：﹣3．8．的二项展开式中，常数项的值是1080．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数等于0，求出常数项．【解答】解：展开式通项T r+1=（﹣2）r35﹣r C5r x10﹣5r令10﹣5r=0解得r=2故常数项为4×27C52=1080故答案为10809．已知直线Ax+By+1=0．若A，B是从﹣3，﹣1，0，2，7这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，由直线的斜率k=﹣＜0，得A，B同号，利用列举法求出A，B的可能取值的情况，由此能求出直线的斜率小于0的概率．【解答】解：∵直线Ax+By+1=0，A，B是从﹣3，﹣1，0，2，7这5个数中选取的不同的两个数，∴基本事件总数n==20，∵直线的斜率p=﹣＜0，∴A，B同号，∴A，B的可能取值为（﹣3，﹣1），（﹣1，﹣3），（2，7），（7，2），共4个，∴直线的斜率小于0的概率k=．故答案为：．10．从抛物线y2=4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|=5，则△MPF的面积为10．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出P的坐标，利用抛物线的定义可知|PF|=|PM|进而可求得y0，最后利用三角性的面积公式求得答案．【解答】解：由题意，设P（，y0），则|PF|=|PM|=+1=5，所以y0=±4，∴S△MPF=|PM||y0|=10．故答案为：10．11．满足线性约束条件的可行域中共有15个整数点．【考点】计数原理的应用．【分析】满足线性约束条件的可行域如图所示，结合图象，根据分类计数原理可得．【解答】解：满足线性约束条件的可行域如图所示：当x=0时，y=0，1，2，3，4共5个，当x=1时，y=0，1，2，3，共4个，当x=2时，y=0，1，2共3个，当x=3时，y=0，1共2个，当x=4时，y=0，共1个，根据分类计数原理，共有5+4+3+2+1=15个，故答案为：15．12．已知D是△ABC边BC延长线上一点，记=λ+（1﹣λ）．若关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是λ＜﹣4或．【考点】三点共线；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】根据题意，由D是BC延长线上一点，=（﹣λ），得到λ＜0；令sinx=t，方程2t2﹣（λ+1）t+1=0在（﹣1，1）上有唯一解，（2﹣（λ+1）+1）•（2+（λ+1）+1）＜0①，或△=（λ+1）2﹣8=0②，解出λ 范围．【解答】解：∵=λ+（1﹣λ）=+λ（﹣）=+λ=+（﹣λ）．又∵=+，∴=（﹣λ），由题意得﹣λ＞0，∴λ＜0．∵关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，令sinx=t，由正弦函数的图象知，方程2t2﹣（λ+1）t+1=0 在（﹣1，1）上有唯一解，∴[2﹣（λ+1）+1]•[2+（λ+1）+1]＜0 ①，或△=（λ+1）2﹣8=0 ②，由①得λ＜﹣4 或λ＞2（舍去）．由②得λ=﹣1﹣2，或λ=﹣1+2（舍去）．故答案为λ＜﹣4或λ=﹣1﹣2．13．对于给定的正整数n，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤10，则S=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为10n+5．【考点】数列的求和．【分析】根据等差数列的关系整理得S=（2n+1）a3n+1，由a12+a2n+12≤10得到关于d的二次方程，10n2d2﹣8da3n+1+2a3n+12﹣10≤0有解，根据判别式即可求出．【解答】解：因为数列a2n+1+a4n+1=a2n+2+a4n=…=2a3n+1是等差数列，所以a12+a2n+12=（a3n+1﹣3nd）2+（a3n+1﹣nd）2≤10，化简得：2a3n+12﹣8da3n+1+10n2d2﹣10≤0，关于d的二次方程，10n2d2﹣8da3n+1+2a3n+12﹣10≤0，有解，所以△=64a3n+12﹣4×10n2（2a3n+12﹣10）≥0，所以（64﹣80n2）a3n+12≥﹣400n2，所以a3n+12≤=10（+）≤25，所以﹣5≤a3n+1≤5，即S n≤5（2n+1）=10n+5，故答案为：10n+5．14．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简可得4033﹣2x=|x﹣1|+|x﹣a|+|x﹣b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得．【解答】解：由方程组消y可得，4033﹣2x=|x﹣1|+|x﹣a|+|x﹣b|，当x≤1时，4033﹣2x=1﹣x﹣x+a﹣x+b，故x=b+a﹣4032，故当b+a≤4033时，有一个解；即a≤4031时，有一个解；否则无解；当1＜x≤a时，4033﹣2x=x﹣1﹣x+a﹣x+b，故x=4034﹣a﹣b，故当﹣a＜4032﹣a﹣b≤1，即b＜4032且a+b≥4301时，有一个解；即xx≤a≤4030，有一个解，否则无解；当1＜x≤b时，4033﹣2x=x+a+b﹣1，故3x=4034﹣a﹣b，故当3＜4034﹣a﹣b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304时，有一个解；即≤a≤xx，方程有一个解，否则无解；当x＞b时，4033﹣2x=3x+a﹣b﹣1，故5x=4034﹣a+b，故当4034﹣a+b＞5b，即a+4b＜4304时，有一个解；否则无解；综上所述，当a取最大值4031时，方程有一个解，故答案为：4031．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15．“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立【解答】解：“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）=﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数．故选B16．已知函数，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（）A．当时，f（x）的最小值为B．当时，f（x）的最小值为C．当时，f（x）的最小值为D．对任意的b＞0，f（x）的最小值均为【考点】基本不等式．【分析】通过观察可知，已知解析式可整理成基本不等式的形式，然后根据等号能否取到分情况讨论求解．【解答】解：∵=x+，∴当时，f（x）≥，当且仅当x=，即x=时取等号；当时，y=f（x）在（0，b）上单调递减，∴f（x）＜，故f（x）不存在最小值；故选A．17．给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内所有的直线都不垂直C．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行D．异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据各命题条件，举出反例判断，使用排除法选出答案．【解答】解：对于A，若b为异面直线a，c的公垂线，则a与b，b与c都相交，但a，c异面，故A错误；对于B，若直线a⊂α，则α内有无数条直线都与直线a垂直，故B错误；对于C，若直线a⊂α，则α内有无数条直线都与直线a平行，故C错误；对于D，假设存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，则b⊥a，与条件矛盾，所以假设错误，故D正确故选：D．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3．若a＞，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，则a的取值范围为（）A．（，] B．（，1] C．[﹣，1] D．[0，]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题转化为求导函数的绝对值在x∈[1，4a]上的最大值即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6ax﹣9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．若＜a≤1，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3﹣6a﹣9a2，最大值是f′（4a）=15a2．由|f′（x）|≤12a，得﹣12a≤3x2﹣6ax﹣9a2≤12a，于是有3﹣6a﹣9a2≥﹣12a，且f′（4a）=15a2≤12a．由f′（1）≥﹣12a得﹣≤a≤1，由f′（4a）≤12a得0≤a≤．所以a∈（，1]∩[﹣，1]∩[0，]，即a∈（，]．若a＞1，则∵|f′（a）|=15a2＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立．所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是（，]，故选：A．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1=AC=BC=2，∠ACB=90°．（1）如图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；（2）若P是AA的中点，求四棱锥B﹣C A PC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图．【分析】（1）由已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图，及CC1=AC=BC=2，∠ACB=90°，我们易得该几何体的主视图和左视图是以2为边长的正方形，俯视图为直角边长为2的等腰直角三角形；（2）由已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1=AC=BC=2，∠ACB=90°，P是AA1的中点，我们计算出四棱锥B1﹣C1A1PC的底面面积及高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】解：（1）如图，该直三棱柱的左视图和俯视图，如下所示：（2）∵P是AA1的中点，CC1=AC=2故四边形C1A1PC的面积S=（A1P+C1C）•A1C1=3而四棱锥B1﹣C1A1PC的高h=B1C1=2故四棱锥B1﹣C1A1PC的V=•Sh=220．设函数f（x）=x2+|2x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据偶函数的定义可得f（﹣x）=f（x）然后代入即可求出a（2）可根据绝对值的定义可将函数f（x）=x2+|2x﹣a|（x∈R，a为实数）转化为）然后根据a＞2再结合一元二次函数的单调性可求出f（x）在各段的最小值然后比较两个最小值的大小则较小的最小值即为所求．【解答】解：（1）由已知f（﹣x）=f（x），即|2x﹣a|=|2x+a|，解得a=0（2）当时，f（x）=x2+2x﹣a=（x+1）2﹣（a+1）由，得x＞1，从而x＞﹣1故f（x）在时单调递增，f（x）的最小值为当时，f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1）故当时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减则f（x）的最小值为f（1）=a﹣1由，知f（x）的最小值为a﹣1．21．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接xx“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）22．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A （﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由OM∥l，能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），∴a=4，又，∴c=2．…又∵b2=a2﹣c2=12，∴椭圆C的标准方程为．…（2）直线l的方程为y=k（x+4），由消元得，．化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，∴x1=﹣4，．…当时，，∴．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，则．…直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为，…由OM∥l，得=…=，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．…23．设数列{a n}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n，求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r i=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（3）试构造一个数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a n=2n单调递增，可得A i=2i，B i=2i+1，即可得到r i=A i﹣B i；（2）由题意可得A i＜B i，即a i＜a i+1，又因为i=1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，可得{a n}是公差为2的等差数列，进而得到所求通项公式；（3）构造a n=n﹣（）n，其中b n=n，c n=﹣（）n，运用新定义即可得证．【解答】解：（1）因为a n=2n单调递增，所以A i=2i，B i=2i+1，所以r i=A i﹣B i=﹣2i，1≤i≤m﹣1；（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，所以A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，又因为i=1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，则A i=a i，B i=a i+1，所以r i=a i﹣a i+1=﹣2，即a i+1﹣a i=2，1≤i≤m﹣1，所以{a n}是公差为2的等差数列，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，1≤i≤m﹣1；（3）构造a n=n﹣（）n，其中b n=n，c n=﹣（）n，下证数列{a n}满足题意．证明：因为a n=n﹣（）n，所以数列{a n}单调递增，所以A i=a i=i﹣（）i，B i=a i+1=i+1﹣（）i+1，所以r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣（）i+1，1≤i≤m﹣1，因为r i+1﹣r i=[﹣1﹣（）i+2]﹣[﹣1﹣（）i+1]=（）i+2＞0，所以数列{r i}单调递增，满足题意．（说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a n}都满足题意．）xx9月8日 .。
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学第二次押题试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学第二次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.2．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C 【解析】 【分析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.3．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC V 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．钝角三角形【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由()sin sin A B C +=，化简可得sin cos sin cos B A A A =，最后分类讨论可得； 【详解】解：因为cos (2)cos c a B a b A -=-所以()sin sin cos 2sin sin cos C A B A B A -=- 所以sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=- 所以()sin sin cos 2sin cos sin cos A B A B A A B A +-=-所以sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin cos A B B A A B A A B A +-=- 所以sin cos sin cos B A A A = 当cos 0A =时2A π=，ABC ∆为直角三角形；当cos 0A ≠时sin sin A B =即A B =，ABC ∆为等腰三角形；ABC ∆∴的形状是等腰三角形或直角三角形故选：C ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．3C ．2D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【详解】椭圆的离心率：=(0,1)ce a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=--所以1r R a e +=-,()1r R ec e+=-, ()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题. 6．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，由复数相等可得,a b 的值，进而求出z ，即可得解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，即(1)ai b a b i -=++，由复数相等可得：1b a a b -=⎧⎨=+⎩，解之得：1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1122z i =-，所以1212z i =+，在复平面对应的点的坐标为11(,)22，在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.7．若i为虚数单位，则复数112izi+=+在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算，化简得到3155z i=-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i ii iz ii i i+-+-====-++-，所对应的点为31,55⎛⎫-⎪⎝⎭位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，18【答案】A【解析】【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．9．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果． 【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题10．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<.因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-，所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题. 11．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+ B ．2e - C ．1ln 22-D 12【答案】A 【解析】分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值．详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11lnln ln 2222t n t =+=-+， ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-，令11()ln ln 22t h t e t -=-+-，则11'()t h t e t -=-，121"()0t h t e t-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数，又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >， 即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，1(1)ln 22h =+，∴m n -的最小值是1ln 22+．故选A ．点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．12．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A 【解析】 【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【详解】∵复数1z i =+，∴||z =()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高考压轴卷 数学 含答案
2019-2020年高考压轴卷 数学 含答案注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2．已知(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝ ▲ ．3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ▲ ．4．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ▲ ．5．执行右边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ ． 7．已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ▲ ．8．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题： ①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m β，则α∥β．S ←1 I ←3While S ≤200 S ←S ×II ←I ＋2 End While Print I（第5题图）其中所有真命题的序号是 ▲ ．9．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ▲ ．10．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ▲ ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0， ，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲ ．12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60，则圆M 的方程为 ． 14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c2的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2ca． （1）求B ；（2）若cos(C ＋π6)＝13，求sin A 的值．如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB 平面P AD ，△P AD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱P A 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AEPE的值； （2）求证：平面PBC 平面PDC.17．(本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A a ＋bt n ，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍； （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．PAB CDOE （第16题图）已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ）．（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程； （2）求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．20．(本小题满分16分)已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列． （1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求ba的值；（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 (k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A (2，0)，B (0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值．D ．选修4—5：不等式选讲（第21题A 图）已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段P A 和BD 上，BN ＝13BD ．（1）若PM ＝13P A ，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度．23．（本小题满分10分）已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，……，集合S k 中所有元素的平均值记为b k ．将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，……，数组T 中所有数的平均值记为m (T )．（1）若S={1，2}，求m (T )；（2）若S ＝{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *，n ≥2），求m (T )．C··PM ABDN (第22题图)参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(－2，1) 2．－7 3．30 4．310 5．11 6．52 7．558．② 9．－22 10．1 11．(－∞，－3)∪(1，3) 12．[32，2] 13．(x －1)2＋y 2＝1 14．22－2 二、解答题：15．(本小题满分14分)解：(1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理，得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin Csin A，…………………………2分所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin C sin A ，即sin(A ＋B )cos B sin A ＝2sin C sin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A ．因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0，所以cos B ＝12． ………………………5分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3． ……………………………7分（2）因为0＜C ＜2π3，所以π6＜C ＋π6＜5π6．因为cos(C ＋π6)＝13，所以sin(C ＋π6)＝223． ……………………10分所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(C ＋π3)＝sin[(C ＋π6)＋π6] ……………………12分＝sin(C ＋π6)cos π6＋cos(C ＋π6)sin π6＝26＋16． ……………………14分16．(本小题满分14分)证 （1）因为OE ∥平面PBC ，OE Ì平面P AC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，所以OE ∥PC ，所以AO ∶OC ＝AE ∶EP ． ……………………………3分 因为DC //AB ，DC ＝2AB ，所以AO ∶OC ＝AB ∶DC ＝1∶2.所以AE PE ＝12． ………………………6分（2）法一：取PC 的中点F ，连结FB ，FD ． 因为△P AD 是正三角形，DA ＝DC ，所以DP ＝DC ．因为F 为PC 的中点，所以DF ⊥PC . …………………………8分 因为AB 平面P AD ，所以AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，AB ⊥PD ． 因为DC //AB ，所以DC ⊥DP ，DC ⊥DA ．设AB ＝a ，在等腰直角三角形PCD 中，DF ＝PF ＝2a ．在Rt △P AB 中，PB ＝5a ．在直角梯形ABCD 中，BD ＝BC ＝5a ．因为BC ＝PB ＝5a ，点F 为PC 的中点，所以PC ⊥FB ．在Rt △PFB 中，FB ＝3a ．在△FDB 中，由DF ＝2a ，FB ＝3a ，BD ＝5a ，可知DF 2＋FB 2＝BD 2，所以FB ⊥DF ．…………………………12分由DF ⊥PC ，DF ⊥FB ，PC ∩FB ＝F ，PC 、FB Ì平面PBC ，所以DF ⊥平面PBC ． 又DF 平面PCD ，所以平面PBC 平面PDC ． ……………………………14分 法二：取PD ，PC 的中点，分别为M ，F ，连结AM ，FB ，MF ， 所以MF ∥DC ，MF ＝12DC ．因为DC //AB ，AB ＝12DC ，所以MF ∥AB ，MF ＝AB ，即四边形ABFM 为平行四边形，所以AM ∥BF ． ………………………8分 在正三角形P AD 中，M 为PD 中点，所以AM ⊥PD ． 因为AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥AM ． 又因为DC //AB ，所以DC ⊥AM ． 因为BF //AM ，所以BF ⊥PD ，BF ⊥CD ．又因为PD∩DC＝D，PD、DCÌ平面PCD，所以BF⊥平面PCD．………………12分因为BF Ì平面PBC ，所以平面PBC ^平面PDC . …………………14分 17．(本小题满分14分)解：（1）由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A ．所以⎩⎪⎨⎪⎧9Aa ＋b ＝A ，9A a ＋14b ＝3A ，解得a ＝1，b ＝8． ………………4分所以f (n )＝9A 1＋8×tn ，其中t ＝2-23． 令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×t n＝8A ，解得t n ＝164，即2-2n 3＝164，所以n ＝9．所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍． ……………………6分（2）由（1）知f (n )＝9A1＋8×t n．第n 年的增长高度为△＝f (n )－f (n －1)＝9A 1＋8×t n －9A1＋8×t n －1． (9)分所以△＝72At n －1(1－t )(1＋8t n )(1＋8t n －1)＝72At n －1(1－t )1＋8t n －1(t ＋1)＋64t 2n －1＝72A (1－t )1t n －1 ＋64t n＋8(t ＋1) …………………12分≤72A (1－t )264t n ×1tn －1＋8(t ＋1)＝72A (1－t ) 8(1＋t )2＝9A (1－t )1＋t． 当且仅当64t n＝1tn －1，即2-2(2n -1)3＝164时取等号，此时n ＝5． 所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． ………………14分 18．(本小题满分16分)解：（1）由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4．所以椭圆方程为：x 24＋3y 24＝1． ……………………3分（2）设l 1方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0． 因为P 为（－1，1），解得M （－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2）．……………………5分当k ≠0时，用－1k 代替k ，得N （k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3）． ………………………7分将k ＝－1代入，得M （－2，0），N （1，1）． 因为P （－1，－1），所以PM ＝2，PN ＝22，所以△PMN 的面积为12×2×22＝2． ……………………9分（3）解法一：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 12＋3y 12＝4，x 22＋3y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0，从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0．…………………12分若x 1＋x 2＝0，则N (－x １，－y １)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 12＋y 12＝2．又因为x 12＋3y 12＝4，所以解得x 1＝±1，所以M (－1，1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1， 1)．所以直线MN 的方程为y ＝－x ． …………14分 若x 1－x 2＝0，则N （x 1，－y 1）， 因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 12＝(x 1＋1)2＋1． 又因为x 12＋3y 12＝4，所以解得x 1＝－12或－1，经检验：x ＝－12满足条件，x ＝－1不满足条件．综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12． ………………16分解法二：由（2）知，当k ≠0时，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以3k 2＋2k －11＋3k 2＝－－k 2－2k ＋3k 2＋3，化简得4k (k 2－4k －1)＝0，解得k ＝2±5． ………………12分若k ＝2＋5，则M （－12，52），N （－12，－52），此时直线MN 的方程为x ＝－12．若k ＝2－5，则M （－12，－52），N （－12，52），此时直线MN 的方程为x ＝－12．………………………………14分 当k ＝0时，M （1，－1），N （－1，1），满足题意，此时直线MN 的方程为x ＋y ＝0． 综上，直线MN 的方程为x ＝－12或x ＋y ＝0． …………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为点P (1，－1)在曲线y ＝f (x )上，所以－m ＝－1，解得m ＝1．因为f ′(x )＝1x －1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y ＝－1．………………3分（2）因为f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x．①当m ≤0时， x ∈(1，e)， f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，e )上单调递增，则f (x ) max ＝f (e )＝1－me ．②当1m ≥e ，即0＜m ≤1e 时，x ∈(1，e)，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，e )上单调递增，则f (x )max ＝f (e )＝1－me ． ……………………5分③当1＜1m ＜e ，即1e ＜m ＜1时，函数f (x )在 (1，1m )上单调递增，在(1m ，e )上单调递减，则f (x ) max ＝f (1m )＝－ln m －1． ……………………7分④当1m ≤1，即m ≥1时，x ∈(1，e)， f ′(x )＜0，函数f (x )在(1，e )上单调递减，则f (x ) max＝f (1)＝－m ．………………………………………9分综上，①当m ≤1e时，f (x )max ＝1－me ；②当1e＜m ＜1时，f (x )max ＝－ln m －1；③当m ≥1时，f (x )max ＝－m ． …………………10分（3）不妨设x 1＞x 2＞0．因为f (x 1)＝f (x 2)＝0，所以ln x 1－mx 1＝0，ln x 2－mx 2＝0， 可得ln x 1＋ln x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝m (x 1－x 2)．要证明x 1x 2＞e 2，即证明ln x 1＋ln x 2＞2，也就是m (x 1＋x 2)＞2．因为m ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以即证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)x 1＋x 2．……12分令x 1x 2＝t ，则t ＞1，于是ln t ＞2(t －1)t ＋1． 令(t )＝ln t －2(t －1)t ＋1（t ＞1），则 ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0．故函数(t )在（1，＋∞）上是增函数，所以(t )＞(1)＝0，即ln t ＞2(t －1)t ＋1成立．所以原不等式成立． ………………………16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝b －a6，q ＝6b a． a 3＝a ＋3d ＝a ＋b2，b 3＝aq 3＝ab ． ……………………2分因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或14． ………………………4分（2）因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1m ＋1a ×n ．因为λa ＝a ×qm ＋1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λnm ＋1．因为a n －5＝b n ，所以a ＋(λ－1)(n －5)m ＋1×a ＝a ×λnm ＋1．因为a ＞0，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1＝λnm ＋1（*）． …………………………6分因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1为有理数．要使（*）成立，则λn m ＋1必须为有理数．因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1． 若λ＝2，则λn m ＋1为无理数，不满足条件．同理，λ＝3不满足条件． ……………………8分 当λ＝4时，4n m ＋1＝22n m ＋1．要使22n m ＋1为有理数，则2nm ＋1必须为整数．又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件． 所以1＋3(n －5)m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29．综上，λ最小值为4，此时m 为29． …………………………10分 (3)证法一：设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和． 先证：若{c n }为递增数列，则{S nn }为递增数列．证明：当n ∈N *时，S n n ＜nb n ＋1n＝b n ＋1．因为S n ＋1＝S n ＋b n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列{S nn }为递增数列．同理可证，若{c n }为递减数列，则{S nn }为递减数列． ……………………12分①当b ＞a 时，q ＞1．当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S nn． 即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＞aq (q n －1)q －1n ，即aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n ．因为b ＝aq m ＋1，b n ＝aq n ，d ＝b －a m ＋1，所以d ＞b n －an ，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n ．②当b ＜a 时，0＜q ＜1，当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S nn ．即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＜aq (q n －1)q －1n ．因为0＜q ＜1，所以aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －an ．以下同①．综上， a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． ……………16分证法二：设等差数列a ，a 1，a 2，…，a m ，b 的公差为d ，等比数列a ，b 1，b 2，…，b m ，b 的公比为q ，b ＝λa (λ＞0，λ≠1)．由题意，得d ＝λ－1m ＋1a ，q ＝aλ1m ＋1，所以a n ＝a ＋nd ＝a ＋λ－1m ＋1an ，b n ＝a λnm ＋1．要证a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )，只要证1＋λ－1m ＋1n －λnm ＋1＞0(λ＞0，λ≠1，n ∈N *，n ≤m )．…………………12分构造函数f (x )＝1＋λ－1m ＋1x －λxm ＋1(λ＞0，λ≠1，0＜x ＜m ＋1)，则f′(x )＝λ－1m ＋1－1m ＋1λxm ＋1ln λ．令f′(x )＝0，解得x 0＝(m ＋1)log λλ－1ln λ．以下证明0＜log λλ－1ln λ＜1．不妨设λ＞1，即证明1＜λ－1ln λ＜λ，即证明ln λ－λ＋1＜0，λln λ－λ＋1＞0．设g (λ)＝ln λ－λ＋1，h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)，则g′(λ)＝1λ－1＜0，h′(λ)＝ln λ＞0，所以函数g (λ)＝ln λ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)为增函数． 所以g (λ)＜g (1)＝0，h (λ)＞h (1)＝0．所以1＜λ－1ln λ＜λ，从而0＜log λλ－1ln λ＜1，所以0＜x 0＜m ＋1．……………14分因为在(0，x 0)上f′(x )＞0，函数f (x )在(0，x 0)上是增函数；因为在(x 0，m ＋1)上f′(x )＜0，函数f (x )在(x 0，m ＋1)上是减函数． 所以f (x )＞min{f (0)，f (m ＋1)}＝0． 所以a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．同理，当0＜λ＜1时，a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． ……………16分数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD ＝∠CAE ． ………………2分因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC ＝∠ACD ，所以∠ADB ＝∠ECA ，所以△ABD ∽△EAC ． ……………6分 所以AD BD ＝ECCA，即AD ·CA ＝BD ·EC ． ………………8分因为△ACD 为等边三角形，所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD ·EC . ……………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：设特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ k －1对应的特征值为λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 ⎣⎡⎦⎤ k －1＝λ⎣⎡⎦⎤ k －1，即⎩⎨⎧ak －k ＝λk ， λ＝1.因为k ≠0，所以a ＝2． …………………5分因为A －1⎣⎡⎦⎤31＝⎣⎡⎦⎤11，所以A ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤31，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1 ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤31，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：设M (2cos θ，23sin θ)，θ∈(0，π2)．由题知OA ＝2，OB ＝23， …………………………2分 所以四边形OAMB 的面积S ＝12×OA ×23sin θ＋12×OB ×2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin(θ＋π4)． ……………………8分所以当θ＝π4时，四边形OAMB 的面积的最大值为26． ……………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[a 2＋(2b )2＋(3c )2][12＋(12)2＋(13)2]≥(a ＋b ＋c )2．…………8分 因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以(a ＋b ＋c )2≤11， 所以－11≤a ＋b ＋c ≤11． 所以a ＋b ＋c 的最大值为11，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝61111． ………………………………10分 22．（本小题满分10分）证明：连接AC ，BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因为P A ＝AB ＝2，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，－1，0)，P (0，0，1)． （1）由BN →＝13BD →，得N (0，13，0)，由PM →＝13PA →，得M (13，0，23)，所以MN →＝(－13，13，－23)，AD →＝(－1，－1，0)．因为MN →·AD →＝0．所以MN ⊥AD ． ………………………………………4分（2）因为M 在P A 上，可设PM →＝λPA →，得M (λ，0，1－λ)． 所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →＝(0，－2，0)． 设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎨⎧－2y ＝0，λx －y ＋(1－λ)z ＝0，其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n ＝(λ－1，0，λ)．…………………8分 因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0，0，1)，所以cos π4＝|n ·OP →|n ||OP →||，即22＝λ(λ－1)2＋λ2，解得λ＝12， 从而M (12，0，12)，N (0，13，0)，所以MN ＝(12－0)2＋(0－13)2＋(12－0)2＝226． ………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）S ＝{1,2}的所有非空子集为：{1}，{2}，{1,2}，所以数组T 为：1，2，32．因此m (T )＝1＋2＋323＝32． ………………………………………3分（2）因为S ＝{a 1,a 2,…, a n }，n ∈N *，n ≥2，所以m (T )＝∑i ＝1na i ＋(12C 1n －1)∑i ＝1n a i ＋(13C 2n －1)∑i ＝1n a i ＋…＋(1n C n －1n －1)∑i ＝1n a i C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn＝1＋12C 1n －1＋13C 2n －1＋…＋1n C n －1n －1 C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn∑i ＝1na i ． ………………………………………6分 又因为1k C k －1n －1＝1k ·(n －1)!(k －1) ! (n －k ) !＝(n －1)!k ! (n －k ) !＝1n ·n !(n －k ) ! k !＝1n C kn ，……………8分所以m (T )＝1n C 1n ＋1n C 2n ＋1n C 3n ＋…＋1n C n n C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn∑i ＝1n a i ＝1n ∑i ＝1na i ．…………………………………10分可编辑修改 .精选文档。
2019届上海市高考压轴卷数学试题
2019届上海市高考压轴卷数学试题一、单选题1．已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为()A.3B.3C.23D.3【答案】D【解析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ，利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49-列式并化简得:2022049y x a =-- ，①,再根据M 在椭圆上可得2202220y b x a a=-- ，②,联立①②可解得. 【详解】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -， 设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得3e =． 故选D ． 【点睛】本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题. 2．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】“a ＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ． 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3．已知三棱锥S ABC -，ABC △是直角三角形，其斜边8AB =，SC ⊥平面ABC ,6SC =,则三棱锥的外接球的表面积为( )A ．100πB ．68πC ．72πD ．64π【答案】A【解析】如图所示，直角三角形ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点D ，过D 作面ABC 的垂线，球心O 在该垂线上，过O 作球的弦SC 的垂线，垂足为E ，则E 为SC 的中点，球半径2222R OS OE SE CD SE ==+=+114,3,522CD AB SE SC R ====∴=，棱锥的外接球的表面积为24100R ππ=，故选A.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 4．定义：若整数m 满足：1122m x m -<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭； ②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1； ③函数()f x 在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ④函数()f x 的图象关于直线()2kx k Z =∈对称. 其中所有的正确命题的序号为（） A.①③ B.②③C.①②④D.①②③【答案】B【解析】①中,根据题意易得11(){}(,]22f x x x =-∈-,故①错误; ②中,由(1)()f x f x +=可知小正周期为1，故②正确, ③中，()f x 在11(,]22-和13(,)22上是增函数, 故命题③正确, ④中,()()f k x f x -≠, 故命题④错误. 【详解】∵①中，显然(){}f x x x =- 的定义域为R,由题意知，11{}{}22x x x -<≤+，则得到(){}f x x x =-11(,]22∈-，故①错误；②中，由题意知:(1)(1){1}1{}1f x x x x x +=+-+=+--={}()x x f x -=,所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，，故②正确；③中，由于11{}{}22x x x -<≤+,则得(){}f x x x =-为分段函数，且在1113,,,2222⎛⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭上是增函数，，故命题③正确；④中，由题意得，()(){}(){}()f k x k x k x x x f x -=---=---=-()f x ≠ 所以函数y =f （x ）的图象关于直线x =2k（k ∈Z ）不对称，故命题④错误； 由此可选择②③， 故选B . 【点睛】本题考查了函数的值域,周期性,对称轴,属难题.二、填空题5．若42021xx=，则x =___ 【答案】1 【解析】4221x x=422022,1x x x x -⋅=∴==6．已知双曲线22121x y m m -=++的离心率为2，则m = ______. 【答案】2或5-【解析】双曲线22121x y m m -=++，当焦点在x 轴时，a 2=m+2，b 2=m+1，可得c 2=a 2+b 2=3+2m ，双曲线22121x y m m -=++，所以327224m m m +=∴=+当焦点在y 轴时，a 2=-m-1，b 2=-m-2，可得c 2=a 2+b 2=-3-2m ，所以327514m m m --=∴=---故答案为2或-5．点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，因为没有指出焦点在哪个轴上，所以讨论两种情况，要抓住双曲线方程的特征得出22,a b ，2c 即可得解7．62(x的展开式中常数项为______ ． 【答案】60【解析】先求出展开式的通项公式,再令x 的指数为0,解出r ,进而可求出常数项. 【详解】62(x 的展开式中的通项公式：366621662()((1)2r r r r r r r r T C C xx---+==-. 令32r-6=0，解得r =4．∴62(x的展开式中常数项为:4246(1)2C -⨯=60．故答案为60． 【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.8．函数2()42x x f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ． 【答案】-4【解析】换元,令2x t =,则1[,4]2t ∈,24y t t =-,再利用二次函数的单调性可求最小值.【详解】2()(2)42x x f x =-⋅ ,令2x t =,因为12x -≤≤ ,所以1[,4]2t ∈, 则224(2)4y t t t =-=--,y 在1[,2]2t ∈上递减，在[2,4]t ∈上递增，所以当t =2时函数取得最小值-4． 故答案为-4． 【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题.9．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |==． 【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭复数为a bi -．10．若数列{a n }满足a 11=152，11n a +-1na =5（n ∈N ），则a 1=______ ．【答案】12【解析】根据111n n a a +-5=,可得1{}na 是以5为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得. 【详解】因为111n na a +-5=,所以1{}n a 是以5为公差的等差数列, 所以1115(1)n n a a =+-, 所以111115(111)a a =+-, 所以111115052502a a =-=-=, 所以112a =. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,属基础题. 11．已知()()()()2211a a x a x f x log x x ⎧+-⎪=⎨≥⎪⎩，＜，是R 上的增函数，则a 的取值范围是______ ．【答案】[2，+∞）【解析】因为分段函数为R 上的增函数,所以分段函数在两段上也是增函数,且1x < 时的函数值恒小于等于1x ≥ 时的函数值. 【详解】首先，y =log a x 在区间[1，+∞）上是增函数且函数(2)2y a x a =+-在区间（-∞，1）上也是增函数∴a ＞1 ①其次在x =1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即 （a +2）-2a ≤log a 1⇒a ≥2 ② 联解（1）、（2）得a ≥2． 故答案为[2，+∞）． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属中档题.12．已知圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，P （2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______ ．【答案】【解析】因为经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦,根据垂径定理可求得最短弦长,由此可求得四边形的面积. 【详解】∵圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9， ∴圆心坐标为M （1，1），半径r =3． ∵P （2，2）是该圆内一点，∴经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦． 结合题意，得AC 是经过P 点的直径，BD 是与AC 垂直的弦．∵|PM =，∴由垂径定理，得|BD ．因此，四边形ABCD 的面积是S =12|AC |•|BD |=12×6×．故答案为 【点睛】本题考查了圆中的垂径定理,属中档题.13．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________． 【答案】23【解析】从袋中一次随机摸出2个球,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 6种基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4的事件为 (1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，四种基本事件数，因此概率为4263= 14．已知各项为正数的等比数列{}n a 中，2316a a =，则数列{}2log n a 的前四项和等于_____． 【答案】8.【解析】各项为正的等比数列{a n }中，a 2a 3=16， 可得a 1a 4=a 2a 3=16，即有log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4 =log 2（a 1a 2a 3a 4）=log 2256=8． 故答案为：8．点睛：这个题目考查的是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。
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历届高考数学压轴题汇总及答案（上海卷2019-2020）一．填空题1.(上海2019.12题) 已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．2.(上海2020.12题) 已知1a ，2a ，1b ，2b ，……，()*k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足121a a -=，且{1,2}j i a b -∈（其中1,2i =，1,2,...j =，k ），则K 的最大值为______. 二．选择题3.(上海2019.16题) 以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是 （ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4.(上海2020.16题) 若存在a R ∈且a 0≠，对任意的x R ∈，均有()()()f x a f x f a ++＜恒成立，则称函数()f x 具有性质P ，已知：1q ：()f x 单调递减，且()0f x ＞恒成立；2q ：()f x 单调递增，存在00x ＜使得()00f x =，则是()f x 具有性质P 的充分条件是（ ） A .只有1q B .只有2q C .1q 和2qD .1q 和2q 都不是三．解答题5.(上海2019.20题) 已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．6.(上海2020.20题) 双曲线1C ：22214x y b-=，圆2C ：()22240x y b b +=+＞在第一象限交点为A ，(),A A A x y ，曲线22222241,44,A x y x x b x y b x x⎧-=⎪Γ⎨⎪+=+⎩＞＞。
（1）若A x b ；（2）若b =2C 与x 轴交点记为1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且斜率为2b-的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，用b 的代数式表示OM ON ，并求出OM ON 的取值范围。
7.(上海2019.21题)已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．8.(上海2020.21题) 有限数列{}n a ，若满足12131n a a a a a a --⋯-≤≤≤，m 是项数，则称{}n a 满足性质p .（1）判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质p ，请说明理由. （2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质p ，求q 的取值范围. （3）若n a 是1，2，…，m 的一个排列()4m ≥，()11,21k k b a k m +==⋯-，{}n a ，{}n b ，都具有性质p ，求所有满足条件的{}n a .答案1.【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-．2.【答案】6【解析】根据向量减法的运算规律，{1,2}i j a b -∈可转化为以向量1a 和2a 终点为圆心，作半径11r =和22r =的圆，两圆交点即为满足题意的b ，由图知，k 的最大值为6。
3.【答案】A【解析】解：因为111r a =-=，则21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a--=，t即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A4.【答案】C【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P 的条件是，存在a R ∈且a 0≠， 则对于1q ，0a ＞时，易得函数()f x 具有性质P ；对于2q ，只需取0a x =，则0x a x x x +=+＜，()()00f a f x ==，所以()()()()()0f x a f x x f x f x f a +=+=+＜，所以此时函数()f x 具有性质P 。
5. 【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =， 抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF =， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，422Q m y m ==+2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则 ()()()132132242d Pd p d P PF P F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦由()2213131628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y yy y y y y y ++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P +>．6. 【答案】 （1）2； （2）1116；（3）()6++∞；【解析】（1）若A x A 为曲线1C 与曲线2C 的交点，2222221144A x y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩∵，解得2y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2b =∴（2）由题意易得1F 、2F 为曲线的两焦点， 由双曲线定义知：212PF PF a =-，18PF =，24a =，24PF =∴又b =∵126F F =∴ 在12PF F △中由余弦定理可得：2221212121211cos 216PF PF F F F PF PF PF +-==∠ （3）设直线24:22bb l y x +=-+可得原点O 到直线l 的距离d ==所以直线l 是圆的切线，切点为M ， 所以2QM k b=，并设2:OM l y x b =，与圆2224y b x +=+联立可得222244x x b b +=+，所以得x b =，2y =，即(),2M b ，注意到直线l 与双曲线得斜率为负得渐近线平行， 所以只有当2A y ＞时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由222222144Ax y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，得422Ab y a b =+， 所以有4244b b +＜，解得22b +＞22b -＜（舍） 又因为OM ON 由ON在OM 上的投影可知：24OM ON b =+246OM ON b =++＞()6OM ON ∈++∞7. 【答案】 解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sinn n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：∴根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．8. 【答案】（1）对于第一个数列有231-=，532-=，132-=， 满足题意，该数列满足性质p对于第二个数列有341-=，242-=，541-=不满足题意，该数列不满足性质。