历届高考数学压轴题汇总及答案(上海卷2019-2020)

历届高考数学压轴题汇总及答案（上海卷2019-2020）

一．填空题

1.(上海2019.12题) 已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意

a A ∈，都有

A a

λ

∈，则t 的值是 ．

2.(上海2020.12题) 已知1a ，2a ，1b ，2b ，……，()

*

k b k N ∈是平面内两两互不相等的向

量，满足121a a -=，且{1,2}j i a b -∈（其中1,2i =，1,2,...j =，k ），则K 的最大值为______. 二．选择题

3.(上海2019.16题) 以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于

()1,0y ，()

2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点12

11

,

a a ⎛⎫

⎪⎝⎭

的轨迹是 （ ）

A ．直线

B ．圆

C ．椭圆

D ．双曲线

4.(上海2020.16题) 若存在a R ∈且a 0≠，对任意的x R ∈，均有()()()f x a f x f a ++＜恒成立，则称函数()f x 具有性质P ，已知：1q ：()f x 单调递减，且()0f x ＞恒成立；2q ：()f x 单调递增，存在00x ＜使得()00f x =，则是()f x 具有性质P 的充分条件是（ ） A .只有1q B .只有2q C .1q 和2q

D .1q 和2q 都不是

三．解答题

5.(上海2019.20题) 已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||

()||

PF d P FQ =

． （1）当81,3P ⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭时，求()d P ；

（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；

（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关

系．

6.(上海2020.20题) 双曲线1C ：

22

214x y b

-=，圆2C ：()22240x y b b +=+＞在第一象限交点为A ，(),A A A x y ，曲线22

222241,44,A x y x x b x y b x x

⎧-=⎪

Γ⎨⎪+=+⎩

＞＞。

（1

）若A x b ；

（2

）若b =2C 与x 轴交点记为1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求12F PF ∠；

（3）过点20,22b S ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭且斜率为2b

-的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，用b 的代数式表

示OM ON ，并求出OM ON 的取值范围。

7.(上海2019.21题)已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合

{}*|,n S x x b n N ==∈．

（1）若120,3

a d π

==，求集合S ； （2）若12

a π

=

，求d 使得集合S 恰好有两个元素；

（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的

值．

8.(上海2020.21题) 有限数列{}n a ，若满足12131n a a a a a a --⋯-≤≤≤，m 是项数，则称{}n a 满足性质p .

（1）判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质p ，请说明理由. （2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质p ，求q 的取值范围. （3）若n a 是1，2，…，m 的一个排列()4m ≥，()11,21k k b a k m +==⋯-，{}n a ，{}n b ，都具有性质p ，求所有满足条件的{}n a .

答案

1.【答案】1或3-

【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t a

λ

∈++，

当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t a

λ

∈+，

即当a t =时，9t a

λ

+；当9a t =+时，

t a

λ

，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，

4t a

λ

+，当4a t =+时，

1t a

λ

+，即(1)(4)t t λ=++，

(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．

当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t a

λ

∈+．

当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t a

λ

∈++，

即当a t =时，

1t a

λ

+，当1a t =+时，

t a

λ

，即(1)t t λ=+，

即当4a t =+时，

9t a

λ

+，当9a t =+时，

4t a

λ

+，即(4)(9)t t λ=++，

(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．