线性代数基本复习题

1.1计算行列式 行列式的求法法一利用定义展开计算:1122111nnni i i i ni ni i i i A a A a A a A =======∑∑∑法二化为三角型行列式:11221122***0**0*0nn nnb b A b b b b ==2323342141344324241332131020102010201020143604560609010330253025301030150311015001523102001033311(5)(3)450053003r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↔+↔+-----===+-----=+=⋅⋅⋅-⋅-=---1.2求逆矩阵 逆矩阵的求法法一行变换:()()1A I I A -−−−→ 行变换 法二行列式的方法:*1A A A-=利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵: (1)122212221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999r r r r r r r r r r r r r r ------+⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→---→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1122999122212,212999221221999-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦利用行列式的方法求下列矩阵的逆矩阵:*1A A A-=(1)套用公式()10ab d b ad bc cd c a ad bc -⎡⎤⎡⎤=-≠⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 得12525212521211522--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⋅-⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(2)套用上述公式, 得22cos sin cos sin cos sin 1sin cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1.3利用逆矩阵定义证明 逆矩阵的定义1,AB BA I AB-==⇒=1.6设方阵A 满足矩阵方程220I --=AA , 证明A 及2I +A 都可逆, 并求1-A 及()12I -+A .由220I --=A A 得()12I I -=A A , 故A 可逆, 且()112I -=-AA . 由220I --=A A 也可得(2)(3)I I I+-=-A A 或1(2)(3)4I I I⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦A A , 故2I+A 可逆, 且()12I -+A 1(3)4I =--A . 1.4行列式与逆矩阵的关系 行列式,逆矩阵的关系**AA A A A I==*1*1A A A A AA--=⇔=*111,n A A A A--==1.21设3阶方阵A 的转置伴随矩阵为adj A 且1det 2=A , 求()1det 32(adj )A A -⎡⎤-⎣⎦.()()()()1*11*1*11133111111323232321222116323212333272A A A A I A A A I A E A A IAA A A --------------=-=-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 或 ()321****1243222...333A A A A A A A -⎛⎫⎛⎫-=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.5矩阵的运算和运算律 矩阵的运算包括1*,,,,,,T B kA AB A A A A -+A注意特殊的运算律()()111TT Tn AB B A AB B A AB A B kA k A---====以下运算率不成立:00AB BAAB A ==⇒=或B=0所以,下面的公式也不成立:()()222222222()()AB A B A B A AB B A B A B A B =+=++-=+-(2)[]123321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝35649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(3)213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]12-＝241236-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1.4讨论下列命题是否正确: (1)若2=A , 则0=A ; (2)若2=AA, 则0=A 或=A E ;(3)若=AB AC 且0≠A , 则=B C .(1)不对. 反例:01000000⎛⎫⎛⎫=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ,但20000⎛⎫= ⎪⎝⎭A.(2)不对. 反例: 设1000⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 则0≠A 且≠A E , 但2=AA.(3)不对. 反例: 设1000⎛⎫=⎪⎝⎭A ,0002⎛⎫= ⎪⎝⎭B ,0003⎛⎫= ⎪⎝⎭C , 则有=AB AC 且0≠A , 但=B C(1)1101n⎛⎫⎪⎝⎭, (2)100100nλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2311111112,0101010111111213,010101011111111.01010101n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分块对角矩阵计算AB,1,A A-11112222A O B O A B O OA OB OA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122A OA A OA =1111122A O A O O A OA ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.1判断线性无关或相关方法1:利用线性无关和线性相关的定义 方法2:利用秩和行列式判断 方法3:利用定理证明(1) 123(2,1,0),(1,1,3),(1,0,3)=-=-=ααα(2) 12(1,3,4),(2,0,1)=-=αα (1)()12123131212333211011110,,110110011033000000r r r r T T Tr r r r +↔----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→-→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα 可见{}123,,23R m =<=ααα, 故向量组线性相关.总结：计算秩来判断线性关系，证明题的时候才考虑用定义和定理 (2)()21312321312412020010,3010100141010100r r r T Tr r r r -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αα可见{}12,22R m ===αα, 故向量组线性无关.当A 是方阵的时候用行列式来判断线性关系(1) 12123131212333*********,,1101100110033000000r r r r T T Tr r r r A +↔----==-=-=-=ααα可见0A =, 故向量组线性相关(1)设向量组123,,ααα线性无关, 则下列向量组线性相关的是 C . (A)11213,,++ααααα (B)112123,,+++αααααα (C)123123,,+++αααααα (D)121331,,++-αααααα(B)不是线性相关的, 因为()()()()11212312312312323300k k k k k k k k k +++++=+++++=ααααααααα123123233000000k k k k k k k k k ++==⎧⎧⎪⎪⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩(C)是线性相关的, 因为()()()112233123131232233()0()0k k k k k k k k k +++++=+++++=ααααααααα131232323010110k k k k k k k k k +==⎧⎧⎪⎪⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎩(B)112123,,+++αααααα []112323111,,011001αβββαα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()3R =A(C)123123,,+++αααααα[]112323101101,,011011011000αβββαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2R =A2.2求秩定义法和行阶梯形阵方法 2.3方程组有解的条件1111221211222211220(1)0(2)0()n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x m ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 线性方程组齐次方程组有唯一零解()R n ⇔=A当A 是方阵时，0A A ⇔≠⇔可逆A ⇔行向量或者列向量线性无关有无穷多解()R n ⇔<A当A 是方阵时，0A A ⇔=⇔不可逆A ⇔行向量或者列向量线性相关 非齐次方程组有唯一解()()R R B n ⇔==A当A 是方阵时，0()()A R R B n ⇔≠==且A有无穷多解()R(B)R n ⇔<＝A 当A 是方阵时，0()()A R R B n ⇔===且A无解()R(B)R ⇔≠A2.4**求最大无关组与线性表示----找出最大无关组，包括利用最大无关组进行线性表示方法：利用列向量组成矩阵进行行变换，目标是行最简形矩阵 例题2.7求下列向量组的最大无关组，并把其他向量用此无关组线性表示。

12345(2,1,4,3),(1,1,6,6)(1,2,2,9),(1,1,7,7),(2,4,4,9)T TT T Tααααα==--=---=-=把它们按列排列成矩阵A213223313241421()2122533211121121411214211124622423112369793697911214112140222001110055360002603343000r r r r r r r r r r r r r r A ↔⎛⎫ ⎪-⎝⎭-+-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪⎪=−−−→ ⎪⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪--⎪−−−→−−−→ ⎪---- ⎪--⎝⎭34124323213112141010401110011030001300013000000r r r r r r r r B ↔---⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪⎪−−−→−−−→= ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()3r A ∴=可见124,,ααα是最大无关组。

31245124110,433αααααααα=--+=+-2.5证明题线性关系2.6若向量组123,,ααα线性无关,124,,ααα线性相关.试证4α可由123,,ααα线性表示.123,,ααα线性无关⇒12,αα线性无关.124,,ααα线性相关⇒4α可由12,αα线性表示.从而4α可由123,,ααα线性表示.证法二:124,,ααα线性相关⇒1234,,,αααα线性相关.123,,ααα线性无关⇒4α可由123,,ααα线性表示.注意: “ 123,,ααα线性无关, ∴存在全为0的123,,k k k ,使得122330k k k ++=ααα.”这个说法是有问题的, 因为不管是否相关,这些123,,k k k 总是存在的!2.6**解线性方程组(通解)方程组和非齐次方程组的一般解和通解 2.3 求解下列齐次线性方程组 (1)1234123412342202020x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+++=⎩;(1) 对方程组的系数矩阵作行初等变换3221313121232121212121010112103330111211103330000r r r r r r r r r -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得简化行阶梯形. 对应的同解方程组为1323400x x x x x +=⎧⎨-+=⎩,方程组的一般解为132343344x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩方程组的通解为()1121212121011,1001k k k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ¡.非齐次2.5 求下列非齐次线性方程组的通解 (1)1234123412342212223x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-+=⎨⎪+++=⎩对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形2233113321213241010212110303511113312122030350303550101311113111130000000000r r r r r r r r r r r+↔-+-⎛⎫⎪-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭立刻得到方程组的解()12124103015,3100010k k k k ⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭x ¡2.4求一个齐次线性方程组使他的基础解系为12(1,1,2,0),(0,2,2,3)T T αα=-=-由题意, 齐次线性方程组的通解（方法一）为()121212341012,2203x x k k k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭¡,或11212312422223x k x k k x k k x k =⎧⎪=-+⎪⎨=-⎪⎪=⎩.从中消去12,k k ,得1241342032203x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩即为所求.由题意, 齐次线性方程组的通解为()121212341012/3,22/301x x k k k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭¡,或一般解：112143144423223x x x x x x x xx x =⎧⎪⎪=-+⎪⎨⎪=-⎪⎪=⎩.得1241342032203x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2.7设线性方程组()()()12312321231011x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=-⎩λλλλλ当λ等于何值时, (1)方程组有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解. 并求此时方程组的通解.方法一：利用行列式111311311111311011131100A +++=+=++=+++λλλλλλλλλλλ()23=+λλ.方法二：利用秩[]2222232111011111111111111101110(1)02(1)(1)1110(1)003(1)2B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤++-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-⎢⎥→-+⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦⎡⎤+-⎢⎥→-+⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦(1)0,3≠-λ时R （A ）＝R （B ）＝3方程组有唯一解.(2) 3=-λ时,12323122110121311290336033612131213033600012r r r r r r A +-+-⎛⎫⎪=--→⎪ ⎪--⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.R （A ）＝2，R （B ）＝3无解 (2) 0=λ时,1110111011100000,()()1311100000A R A R A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→==< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,有无穷多解.（一般解和通解）12322233311221121232(,)1110(,)01x x x x x x x x xx k k x x k k k k k x k =--⎧⎪=∈⎨⎪=⎩----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭¡¡3.1特征值和特征向量的性质计算包括证明3.2, 3.1−−−−−→←−−−−−定理推论特征向量的相互关系线性无关 1212(),n n tr A A λλλλλλ−−−→=+++=←−−−定理3.3特征值的作用1142*2102210x ,,,,,,,,,,m m m m m A B m A kA A A B k A k A k A k A A Ak k k k k λλλλλλλλλλ--−−−→←−−−⇒++++++++++ 定理3.特征值的求解的特征值为，特征向量为的特征值是3.3已知5432=-+-B AA A E, 其中2112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A , 试求B 的特征值及B .()()2214313012A E λλλλλλλ---==-+=--=--得A 的特征值1,3λ=.()5432B A A A A Eϕ==-+-的特征值()54321ϕλλλλ=-+-:()()11,3 5.ϕϕ=-=-故()155B =-⋅=-.3.5试证:若2320-+=AA E , 则A 的特征值只能是1或2.设λ是A 的特征值, 则()232f λλλ=-+是()232f =-+A AA E的特征值. 现()0f =A , 而零矩阵的特征值都是0. 于是A 的特征值λ必须满足()()()232120f λλλλλ=-+=--=, 即1λ=或2λ=.(4)设21032212a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ,01253110b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 有相同的特征值 , 则a =75-,b =275-.21010322825333212110a b a b==-===---A Btr 32tr 5a b =+-==+A B 解得727,55a b =-=-(1) 设三阶方阵A 的三个特征值为1232,1,3λλλ==-=, 则A 的伴随矩阵对应的行列式*A 为36.()()21*21336n -==⋅-⋅=A A11*6--==-A A A A 的特征值为()1163,616,6223-⋅=--⋅-=-⋅=- 4.1内积，模，夹角，距离1122[,]T n na b a b a b αβαβ==+++4.2正交向量，向量组的正交化，正交矩阵的性质，正交变换[,]0T αβαβαβ⇔==与正交Schmidt 正交规范化利用定义和定理判别和证明正交矩阵正交矩阵的定义：矩阵()A m n =是正交的, 即T A A E =或TAA E =定理4.4()A m n =是正交的⇔ A 的列向量组是标准正交向量组,即1,,,0,.i j i j i j αα=⎧⎡⎤=⎨⎣⎦≠⎩⇔ A 的行向量组是标准正交向量组, 即1,,,0,.i j i j i j ββ=⎧⎡⎤=⎨⎣⎦≠⎩正交变换的定义：X=PY,其中A 是正交矩阵性质正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模，夹角，距离4.6已知[][]121,1,1,1,2,1TT==-αα正交,试求一个非零向量3α,使123,,ααα两两正交.解 设1323x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭α. 因为3α与12,αα都正交: [][]1323,0,,0,==αααα所以123123020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩.由11111101121010T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αα, 得1231001x k x k k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 不妨取3101⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭α4.7设,A B 都是n 阶正交矩阵, 证明AB 也是正交矩阵.()()()TT T T T AB AB A BB A AEA AA E ====若干联系向量组{}12,,n= A ααα构成矩阵()12,,n= A ααα线性组合()12112212,,n n n n x x x x x x ⎛⎫⎪ ⎪+++== ⎪⎪ ⎪⎝⎭ααααααAx 向量b 能由向量组A 线性表示⇔=Ax b 有解⇔()(),R R =A b A向量组A 线性相关⇔=Ax b 有非零解⇔()R n <A (n =向量个数=未知数个数)基础解系含n r -个解向量.部分定理定理2.1 若12,,mααα 线性无关, 而12,,,mαααβ线性相关. 则β可以由12,,mααα 线性表示.定理 2.2 12,,mααα (2≥m )线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合.定理2.3 m 个行向量线性相关的充要条件是()A m <R定理2.4 矩阵A 的秩等于r 的充要条件是A 中有r 个行向量线性无关，但任意r+１个行向量（如果存在）都线性相关。