新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 检测A(1)

第一章检测(A)
(时间:90分钟满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()
A.a=1,b=1
B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1
D.a=-1,b=-1
解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.
答案A
2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()
A.-1
B.-2
C.2
D.0
解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,
∴f'(-1)=f'(1)=2.
答案C
3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()
A.1
2B.-1 C.0 D.-1
2
解析f'(x)=a
x
+1,令f'(x)=0,得x=-a, 易知函数f(x)在x=-a处取得极值.
所以a=-1.
答案B
4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
答案B
5设f(x)={x2,x∈[0,1],
1
x
,x∈(1,e],
则∫e
f(x)d x等于()
A.4
3B.5
4
C.6
5
D.7
6
解析∫e
0f(x)d x=∫1
x2d x+∫e
1
1
x
d x=1
3
x3|
1+ln x|e1=43.故选A.
答案A
6已知点P在曲线y=4
e x+1
上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()
A.[0,π
4) B.[π
4
,π
2
)
C.(π
2,3π
4
] D.[3π
4
,π)
解析因为0>y'=-4e x
(e x+1)2=-4
e x+2+1
e x
≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以3π
4
≤α<π.
答案D
7∫1
(e x+2x)d x等于() A.1 B.e-1
C.e
D.e+1
解析∵(e x+x2)'=e x+2x,
∴∫1
0(e x+2x)d x=(e x+x2)|
1=(e1+12)-(e0+0)=e.
答案C
8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则() A.a>-3 B.a<-3
C.a>-1
3D.a<-1
3
解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-3
a
.
设x=x0为大于0的极值点,∴e ax0=-3
a
.
∴a<0,ax0<0.∴0<e ax0<1,
即0<-3
a
<1.∴a<-3.
答案B
9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()
解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=a+2b
3
.
∵a<b ,∴a<
a+2b
3
. ∴当x=a 时,y 取极大值0;
当x=a+2b
3时,y 取极小值,且极小值小于零.故选C . 答案C
10若函数f (x ),g (x )满足∫ 1
-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:
①f (x )=sin 1
2x ,g (x )=cos 1
2x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0
B.1
C.2
D.3
解析对于①,∫ 1
-1sin 12
x ·cos 12
x d x
=∫ 1-11
2sin x d x=12∫ 1
-1sin x d x
=1
2(-cos x )
|
-1
1
=1
2{-cos 1-[-cos(-1)]}
=1
2(-cos 1+cos 1) =0.
故①为一组正交函数;
对于②,∫ 1
-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1
-1(x 2-1)d x
=(1
3x 3-x)
|
-1
1
=13-1-(-1
3+1)
=23-2=-4
3≠0,
故②不是一组正交函数;
对于③,∫1
-1x·x2d x=∫1
-1
x3d x=(1
4
x4)|-11=0.
故③为一组正交函数,故选C.
答案C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11∫-1
-2
1
(11+5x)3
d x=.
解析取F(x)=-1
10(5x+11)2
,
从而F'(x)=1
(11+5x)3
.
则∫-1
-2
1
(11+5x)3
d x=F(-1)-F(-2)
=-1
10×62+1
10×12
=1
10
−1
360
=7
72
.
答案7
72
12若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,
又F'(x)=f'(x)-2A2x,
且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.
∵aA≠0,∴A=1
2a
.
答案1
2a
13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,
∴f'(t )=1
t +1,∴f'(1)=2.
答案2
14设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x
(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .
解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x
,可得y'=-1x
2,因为曲线y=1x
(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-1x P
2=-1,解得x P =1,由y=1x
,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 答案(1,1)
15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫ 10
f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .
解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).
∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.
∴∫ 1
0f (x )d x=∫
10
(ax+4-3a )d x =[12
ax 2+(4-3a )x]|0
1=12
a+4-3a=1, ∴a=6
5.∴b=2
5.∴f (x )=6
5x+2
5.
答案f (x )=6
5x+2
5
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)求定积分∫0
-1
x2
x2+2x
d x的值.
解∫0
-1
x2
x2+2x
d x=∫0
-1
x2+2x-2x
x2+2x
d x
=∫0
-1(1-2
x+2
)d x
=∫0
-11d x-∫0
-1
2
x+2
d x
=1-2∫0
-1
1
x+2
d x=1-2ln(x+2)|
-1
0=1-2ln 2.
17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2x03-3x0),
由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,
所以切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3.
所以切线方程为y=(6x02-3)x+32.
又点N在切线上,所以2x03-3x0=(6x02-3)x0+32,解得x0=-2.
故切线方程为y=21x+32.
18(9分)求函数y=1
3
x3+3-ln x的单调区间.
解函数的定义域为(0,+∞),
y'=x2-1
x =(x-1)(x2+x+1)
x
.
令y'>0,则{(x-1)(x2+x+1)
x
>0,
x>0,
解得x>1;
令y'<0,则{(x-1)(x2+x+1)
x
<0, x>0,
解得0<x<1.
故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,
故f'(x)=2a(x-5)+6
x
.
令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-
16a=8a-6,故a=1
2
.
(2)由(1)知,f(x)=1
2
(x-5)2+6ln x(x>0),
f'(x)=x-5+6
x =(x-2)(x-3)
x
.
令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).
由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=9
2
+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.
20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1
x2
,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+3
2
对于任意的x∈[1,2]成立.
解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x )=a-a x −2x 2+2
x 3=
(ax 2-2)(x -1)
x 3
. 当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=a (x -1)
x 3(x -√2
a )(x +√2
a ).
①0<a<2时,√2
a >1,
当x ∈(0,1)或x ∈(√2
a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,
当x ∈(1,√2
a
)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.
②a=2时,√2
a =1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.
③a>2时,0<√2
a <1,
当x ∈(0,√2
a )或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,
当x ∈(√2a ,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.
综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;
当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,√2a
)内单调递减,在(√2a
,+∞)内单调递增;
当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;
当a>2时,f (x )在(0,√2
a )内单调递增,在(√2
a ,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,
f (x )-f'(x )=x-ln x+2x -1
x 2−(1-1
x −2
x 2+2
x 3)=x-ln x+3
x +1
x 2−2
x 3-1,x ∈[1,2].
设g (x )=x-ln x ,h (x )=3
x +1
x 2−2
x 3-1,x ∈[1,2].
则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).
由g'(x )=
x -1
x
≥0, 可得g (x )≥g (1)=1, 当且仅当x=1时取得等号.
又h'(x )=
-3x 2-2x+6
x 4
, 设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,
所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.
由h (1)=1,h (2)=1
2,可得h (x )≥h (2)=1
2, 当且仅当x=2时取得等号.
所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=3
2,
即f (x )>f'(x )+3
2对于任意的x ∈[1,2]成立.。