《运筹学线性规划》PPT课件

划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
。我们以例1－1具体给出求解的方法。
例1－5 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2x1 +3x2
3x2 15
4
x1
1
2
2
x1
2
x2
1
4
x 1 , x 2 0
解：对于上述具有两个变量的线性规划问题，图1-2中的
产品I、II的件数。该问题可用如下 数学
模型表示为：
目标函数： Max Z = 2x1 +3x2
约束条件： 3 x 2 1 5
4
x1
1
2
2
x1
2
x2
1
4
x 1 , x 2 0
例1－2 (成本问题)某炼油厂根据每季度需供应给合同单位
汽油15万吨、煤油12万吨、重油12万吨。该厂计划从A， B两处运回原油提炼，已知两处的原油成分含量见表1－ 2；又已知从A处采购的原油价格为每吨（包括运费） 200元，B处采购的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该如何从A，B两处采购原油，在满足供应
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
x1, x2 , , xn 0
(1.1)
(1.2) (1.3)
在该数学模型中，方程(1.1)称为目标函数；(1.2)称为约 束条件；(1.3)称为变量的非负约束条件。
二、线性规划问题的标准型
由前面所举的例子可知，线性规划问题可能有各种不
同的形式。目标函数有实现最大化也有实现最小化的； 约束条件可以是“”形式、“”形式的不等式，也可 以是等式。决策变量有时有非负限制，有时没有。这种
无关的。
定理1.2 线性规划问题的基本可行解对应于可行
域的顶点。
定理1.3 若可行域有界，则线性规划问题的目标
函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优解。
定理1.4 若线性规划问题在k个顶点上达到最优解 （k2），则在这些顶点的凸组合上也达到最优解。
第 三 节 单纯形算法
单纯形算法的基本思路是：根据问题的标准型，从 可行域中某个基本可行解(顶点)开始，转换到另一个基 本可行解(顶点)，并使得每次的转换，目标函数值均有 所改善，最终达到最大值时就得到最优解。
为非基变量。
为了进一步讨论线性规划问题的解，下面研究约束方程
组(1.7)的求解问题。假设该方程组系数矩阵 A 的秩为 m，因 m < n，所以它有无穷多个解。假设前 m 个变量的系数列向
量是线性无关的，这时(1.7)式可改写为：
a11
x1
am1
a1m
a1m1
xm b
xm1
amm
amm1
a1n xn
的集合称为可行解集或可行域。
2. 最优解: 满足约束条件及目标函数(1.6)的可行
解称为线性规划问题的最优解。
3. 基: 假设 A 是约束方程组的系数矩阵，其秩数 为 m ，B是矩阵 A 中由 m 列构成的非奇异子矩阵(B的 行列式的值不为0)，则称 B 是线性规划问题的一个基 。基B的第j列 Pj ( j = 1,2,···,m )称为基向量，与基向量 Pj 相对应的变量xj ( j = 1,2,···,m )称为基变量，否则称
改为 min Z =2 x1 +4 x2 ,
则可行解所在的范围虽然无界，但
有最优解 x1 = 4，x2 = 0 ，即 (4,0)点
。
通过以上各题图解法所得结论可以看出： （1）线性规划的所有可行解构成的可行域一般是凸多边
形，有些可行域可能是无界的； （2）若存在最优解，则一定在可行域的某顶点得到； （3）若在两个顶点上同时得到最优解，则在这两点的连
在讨论线性规划问题的求解之前，先要了解线性规 划问题的解的概念。由前面讨论可知线性规划问题的标 准型为 (1.6)、(1.7)、(1.8)式所示：
n
m axZ cjxj j1
(1.6)
n
aijxj
bi
j1
xj 0
(i1,2, ,m) (j1,2, ,n)
(1.7) (1.8)
1. 可行解: 满足约束条件(1.7)，(1.8)的解 X = ( x1, T x2, ···, xn) 称为线性规划问题的可行解；所有可行解
我们把满足上述三个条件的数学模型称为 线性规划的数学模型。其一般形式如下：
(min) max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn (,)b1 a2nxn (,)b2
am1x1 am2x2 amnxn (,)bm
Z=2×2+3×5=19
例1－7
maxZ=2x1+ 4x2 s.t. 2x1+x2 8
-2 x1+ x2 2 x1，x2 0
解：由于可行域无界，作目标函数
等值线，如图1－4中虚线所示，并
用箭头标出其函数值增加的方向，
由此可以看出，该问题无有限最优
解。
若目标函数由 max Z = 2x1 + 4x2
现在需要解决的问题是： (1) 为了使目标函数逐步变优，应如何从可行域的 一个顶点转移到可行域的另一个顶点？ （2）目标函数何时达到最优值？判断标准是什么 ？
1．确定初始基可行解 从中一般可以直接观察到存在一个初始可行基
合同的条件下，使购买成本最小。
表1－2
成分
产品来源
汽油
A 15%
B 50%
煤油
20％ 30％
重油
50％
15％
其它
15％
5％
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B两处采购
原油，但最优方案应是使购买成本最小的一个，即在满足供应 合同单位的前提下，使成本最小的一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万吨），建
m in Z x1 2 x2 3 x3
x1 x2 x3 7
(1)
x1
x2
x3
2
(2)
3
x1
x2
2 x3
5
(3)
x1 , x 2 0 , x3 无 限 制
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：令 x3 = x4 - x5 , x4 , x5 0 , (1)式左端加上非负松弛变 量 x6 ；(2)式左端减去非负剩余变量 x7 , 则可将上述线性规
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第一章 线性规划
线性规划是运筹学的一个重要分枝。自1947年美国数学家 丹捷格（G.B.Dantzig）提出了求解线性规划问题的方法——单纯 形法之后，线性规划在理论上趋于成熟，在实际中的应用日益 广泛与深入。特别是在能用计算机来处理成千上万个约束条件 和变量的大规模线性规划问题之后，它的适用领域更加广泛。 从解决技术问题中的最优化设计到工业、农业、商业、交通运 输业、军事、经济计划与管理、决策等各个领域均可发挥重要 作用；从范围来看，小到一个小组的日常工作和计划安排，大 至整个部门以致国民经济计划的最优方案的提出，都有用武之 地。它具有适应性强、应用广泛、计算技术比较简单的特点， 是现代管理科学的重要基础和手段之一。
立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
0.15 x1 0.50 x2 15
s
.t
0 .2 0
0
.
5
0
x1 x1
0 .3 0 0 .1 5
x2 x2
12 12
x1 0 , x 2 0
以上两个例子，从数学上来讲，我们会发 现此数学模型具有如下特点：
(1)有一组非负的决策变量(decision or control variable)； (2)有一组约束条件：含有决策变量的线性不等 式(或等式)组(linear function constraints)； (3) 有 一 个 含 有 决 策 变 量 的 线 性 目 标 函 数 (objective linear function)，按研究问题的不同， 要求目标函数实现最大化或最小化。
行解。由此可见，基本可行解的非0分量的数目不大于m，
并且都是非负的。
5. 可行基: 对应于基本可行解的基称为可行基。由此可
见，满足约束方程组(1.7)的基本解的数目至多是 Cnm 个。一
般地讲，基本可行解的数目要小于基本解的数目，至多相
等。
以上提到的几种解的概念，可用图1－4来表示：
可
行
基
解
解
基本可行解
OABCD部分描述了满足约束条件的区域；虚线为目标函数 Z=2x1+3x2的等值线。沿箭头方向移动目标函数的等值线，平 移等值线直至与可行域OABCD相切或融合为一条直线，此时 就得到最优解为B点，其坐标可通过解方程组得到：
2x1+2x2=14 3x2=15 解得：x1=2 x2=5
这就是本线性规划问题的最优解。 此时相应的目标函数的最大值为：
线上的任一点都是最优解。 （4）若可行域无界，则可能发生最优解无界的情况； （5）若可行域是空集，此时无最优解。 上述理论具有普遍意义，对于两个以上变量的线性规划
问题都是成立。 图解法虽然具有直观、简便等优点，但在变量多的情况
下，即在多维的情况下，它就无能为力了。因此，需要介绍 一种代数方法——单纯型法，为了以后介绍方便，需要研究 一下线性规划问题解的概念。
3. 顶点： 假设K是凸集，X K；X若不能用不同的两个 点X1、X2 K的线性组合表示为：
X = X1+(1-)X2 ， ( 0 < < 1) 则称X为凸集K的一个顶点（或称为极点）。 顶点不位于凸集K中的任意不同两点的连线内。
定理1.1 若线性规划问题存在可行域，则其可行
域：
D = { X | AX = b , X 0 } ，是凸集。 引理1.1 线性规划问题的可行解X为基本可行解 的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性
amn
或:
m
n
Pjxj b
Pjxj
j1
jm1
(1.9)
现若令(1.9)式中的非基变量xm+1=···=xn=0，并用高斯消 去法求出一个解TX =(x1,x2,···,xm,0, ···, 0 ) ，这个解的非0分量 的数目不大于方程的个数m，这时称X为基本解。
4. 基本可行解 : 满足非负条件(1.8)的基本解称为基本可
三、基本定理
1. 凸集：假设K是n维欧氏空间的一个点集，若对于K中 的任意两点X1、X2，其连线上的所有点X1+(1-)X2，( 0 1)都在集合K中，即：X1+(1-)X2 K ( 0 1) 则称K为
凸集。 从直观上讲，凸集无凹入部分，其内部没有洞。
2. 凸组合：设X1，X2，···，Xk是n维欧氏空间En中的k个 点，若存在1，2，···，k，且0 i 1，i = 1,2, ···, k， i = 1，使X = 1X1 + 2X2 + ···+ kXk，则称X为由X1，X2， ···，Xk所构成的凸组合。