2009年考研数学三真题及完整解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数3
()sin x x
f x x
π-=
的可去间断点的个数为：（ ）
()A .
1
()B . 2 ()C .
3
()D .无穷多个
（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）
()A .1a
=，16
b =-
()B . 1a =，16
b = ()C .1a =-，16
b =-
()D .1a =-，16
b =
（3）使不等式1
sin ln x
t dt x t
>⎰
成立的x 的范围是（ ）
()A .
(0,1)
()B .(1,
)2
π ()C .(
,)2
ππ
()D .(,)π+∞
（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：
则函数()()0
x
F x f t dt =
⎰
的图形为（ ）
()A .
()B .
()
f x 0
2 3
x
1 -2
-1
1
()f x 0 2 3
x
1 -
2 -1
1 1
()
f x -2 0 2 3
x
-1
O
()C .
()D .
（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==则分块矩阵 00A B
⎛⎫
⎪⎝⎭
的伴随矩阵为（ ） ()A .**
0320B A ⎛⎫
⎪⎝⎭
()B . **
230B A
⎛⎫
⎪⎝⎭ ()C .**
0320A B
⎛⎫
⎪⎝⎭
()D .**
0230A B
⎛⎫
⎪⎝⎭
（6）设,A P 均为3
阶矩阵，T
P 为P 的转置矩阵，且1000
1000
2T
P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
，若123122
(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T
Q A Q 为（ ） ()A .2
101
10002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
()B . 1
101
20002⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ()C .2000
1000
2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
()D .1000
2000
2⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（ ）
()A .()0P A B =
()B . ()()()P AB P A P B = ()C .()1()P A P B =-
()D .()1P A B ⋃=
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2
P Y P Y ====，
记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（ ）
()A .
()B . 1 ()C .
2
()D . 3
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
()
f x 0 2 3
x
1 -2
-1
1
()f x 0
2 3
x
1 -1 1
（9）cos 3
2
0lim
11
x x e e
x →-=+- .
（10）设()y x z x e =+，则(1,0)
z x
∂=∂
（11）幂级数2
1
(1)
n n
n
n e x n
∞
=--∑
的收敛半径为
（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元
（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于3000
0000
0⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
，则k = (14)设1X ，2X ,…n X 是来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2
S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2
T X S =-，则E T =
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。

（16）（本题满分10 分） 计算不定积分1ln(1)x dx x
++⎰ (0)x >
（17）（本题满分10 分）
计算二重积分()D
x y dxdy -⎰⎰，其中22
(,)(1)(1)2,D x y x y y x ⎡⎤=-+-≤≥⎣⎦
.
（18）（本题满分11 分）
①证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证
()'
()()()f b f a f b a ξ-=
-.
②证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'
li m ()x f x A +
→=，则'
(0)f +存在，且'(0)f
A +
=.
（19）（本题满分10 分）
设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。

（20）（本题满分11 分）
设111A=1
1104
2--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝
⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
①求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ. ②对①中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关。

（21）（本题满分11 分）
设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+- ①求二次型f 的矩阵的所有特征值。

②若二次型123(,,)f x x x 的规范型为2211y y +，求a 的值。

（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0
x
e y x
f x y -⎧<<=⎨
⎩其他
①求条件概率密度()Y
X
f y x
②求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦ （23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。

①求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦.
②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2
ln 1g x x bx =-等价无穷小，则
()
A 11,6
a b ==-
. ()B 11,6
a b ==
.
()C 11,6
a
b =-=-.
()D 11,6
a b =-=
.
【答案】 A
【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则
2
2
2
2
0()sin sin 1cos sin lim
lim
lim
lim
lim
()
ln(1)
()
36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx
bx
→→→→→---==-⋅---洛洛2
3
sin lim
166x a ax a
b b
ax
a →==-
=-⋅
3
6a b ∴=- 故排除,B C 。

另外2
1cos lim
3x a ax bx
→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.
a =排D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为 四个区域()1,2,3,4k D k =，cos k
k D I y xdxdy =⎰⎰，
则{}14
m ax k k I ≤≤=
()
A 1I .
()
B 2I .
()
C 3I .
()
D 4I .
【答案】A
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;
13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所
以{}
1(,),012
cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰
；
-1
-1
1
1
x
y 1D
2D
3D
4D
{}
3(,),012
cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰
.所以正确答案为A.
（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：
则函数()()0
x
F x f t dt =
⎰
的图形为
()A ()
B
()
C ()
D
【答案】D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的
代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增。

③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数。

④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增。

⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为D 。

（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞
=，则
()A 当1
n n b ∞=∑收敛时，1
n n n a b ∞
=∑收敛.
()B 当1
n
n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞
=∑发散.
()C 当1
n n b ∞=∑收敛时，221
n
n
n a b ∞
=∑收敛.
()D 当1
n n b ∞
=∑
发散时，22
1
n n n a b ∞
=∑发散.
【答案】C 【解析】 方法一：
举反例 A 取1(1)n n n a b n
==-
B 取1n n a b n ==
D 取1n n a b n
==
故答案为（C ） 方法二：
因为lim 0,n n a →∞
=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <
又因为1
n n b ∞
=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞
=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <
从而，当12n N N >+时，有2
2n n
n a b b <，则由正项级数的比较判别法可知22
1
n n n a b ∞
=∑收敛。

（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基1231
1
,,2
3ααα到基
122331,,αααααα+++的过渡矩阵为 ()A 1012
2003
3⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
. ()B 1
2
00
23103⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭.
()C 1112461112461112
4
6⎛⎫-
⎪
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
.
()D 11122
21
114441116
6
6⎛⎫-
⎪ ⎪
⎪- ⎪
⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
. 【答案】A
【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα= ，则A 称为基12,,,n ααα 到12,,,n ηηη 的过渡矩阵。

则由基1231
1
,,2
3ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足
()12233112311,,,,2
3
M ααααααααα⎛⎫
+++= ⎪⎝
⎭
1231
0111,,2
20230
3
3ααα⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
所以此题选()A 。

（6）设,A B 均为2阶矩阵，*
*
,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O
A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
的伴随矩阵为 ()A **
32O B A O ⎛⎫
⎪⎝⎭.
()B **
23O B A O ⎛⎫
⎪⎝⎭. ()C **
32O A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
()D **
23O A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【答案】B
【解析】根据CC C E *
=，若1
1
1,C C C C
C C
*
--*
==
分块矩阵0
0A B ⎛⎫
⎪⎝⎭的行列式22
012360
A A
B B
⨯=-=⨯=（）
，即分块矩阵可逆
1
1
1
1
000
066
000100B B
A A A
B B B
B A
A A
**
---*⎛⎫
⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎪
⎝⎭
1
0023
613002
B B A A ***
*⎛⎫ ⎪
⎛⎫
==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
故答案为B 。

（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫
=Φ+Φ
⎪⎝⎭
，
其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX = ()A 0.
()B 0.3. ()C 0.7.
()D 1.
【答案】()C
【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫
=Φ+Φ
⎪⎝⎭
， 所以()()0.7
10.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+
Φ ⎪⎝⎭
， 所以()()10.30.352x E X xF x dx x x dx +∞+∞-∞
-∞
⎡-⎤
⎛⎫'''=
=
Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦⎰
⎰
()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞
-∞
-⎛⎫
''=Φ+Φ ⎪⎝⎭
⎰
⎰
而()0x x dx +∞-∞
'Φ=⎰
，()()11221222
x x x dx
u u u du
+∞+∞-∞
-∞
--⎛⎫
''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭
⎰
⎰
所以00.3520.7E X =+⨯=。

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为
{}{}1012
P Y P Y ====
，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为
()A 0.
()B 1. ()C 2.
()D 3.
【答案】 B
【解析】
()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]
2
Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=
,X Y 独立
1()[(0)()]2
Z F z P X z P X z ∴=
⋅≤+≤
（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ （2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =
+Φ
0z ∴=为间断点，故选（B ）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则
2
z x y
∂=∂∂ 。

【答案】12
222xf f xyf '''''++ 【解析】
12z f f y x
∂''=+⋅∂，
2
12
22212222z xf f yx f xf f xyf x y
∂''''''''''=++⋅=++∂∂
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x
y C C x e =+，则非齐次方程
y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = 。

【答案】2x y xe x =-++
【解析】由常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x
y C C x e =+可知
1x y e =，2x
y xe =为其线性无关解。

代入齐次方程，有
1112
22(1)010[2(1)]020x
x
y ay by a b e a b y ay by a a b x e a '''++=++=⇒++='''++=++++=⇒+=
从而可见2,1a b =-=。

微分方程为''2'y y y x -+=
设特解*
y Ax B =+代入，',1y A A ==
220,2
A A x
B x
B B -++
=
-+==
∴ 特解 *
2y x =+
∴ 12()2x
y c c x e x =+++
把 (0)2y = ， '(0)0y =代入，得120,1c c ==-
∴ 所求2x
y xe x =-++
（11）已知曲线(
)
2:02L y x x =≤≤，则L
xds =⎰ 。

【答案】
136
【解析】由题意可知，2,,02x x y x x ==≤≤，则
()
()2
2
2
14ds x y dx x dx ''=
+=
+，
所以()222
2
2
1
1414148
L
xds x x dx x d x
=+=
++⎰⎰
⎰
()
2
3
2012
131483
6
x =⋅+=
（12）设(){}2
2
2
,,1x y z x y z Ω=++≤，则2
z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰ 。

【答案】
415
π
【解析】
方法一：21
2
222
sin cos z dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρ=
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
()21
2
4
cos cos d d d π
πθϕϕρρ=
-⎰
⎰⎰
3
cos 1423
515
d π
ϕπϕπ=⋅-
⋅=⎰
方法二：由轮换对称性可知2
z dxdydz Ω
=
⎰⎰⎰2
x dxdydz Ω
=
⎰⎰⎰
2
y dxdydz Ω⎰⎰⎰
所以，()21
2
2
22
4
1
1
sin 3
3z dxdydz x
y z
dxdydz d d r dr π
π
ϕθϕΩ
Ω
=
++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
1
4
2214sin sin 3
3
5
15
d r dr d ππ
πππϕϕϕϕ=
=
⋅
⋅=
⎰
⎰⎰
（13）若3维列向量,αβ满足2T
αβ=，其中T
α为α的转置，则矩阵T
βα的非零特征值为 。

【答案】2
【解析】2T
αβ=
()2T
T
βαββαββ∴==⋅, T
βα∴的非零特征值为2.
(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差。

若
2
X kS +为2
np 的无偏估计量，则k =
【答案】1-
【解析】2X kS + 为2np 的无偏估计 22()E X kX np -
∴+=
2
(1)1(1)(1)11
n p k n p p n p
k p p k p p k ∴+-
=
∴+-=∴-=-∴=-
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。

【解析】
2
(,)2(2)0x f x y x y '=+=
2
(,)2ln 10y f x y x y y '=++=
故10,x y e
= =
2212(2),2,4xx
yy xy
f y f x f xy y
''''''=+ =+ = 则 1
2
(0,)
1(0,)
1(0,)
12(2)
0xx e xy e yy
e f e
f f e
''=+''=''=
0xx
f ''> 而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e
=-
（16）（本题满分9分）设n a 为曲线n
y x =与()1
1,2,.....n y x
n +==所围成区域的面积，记
1221
1
1
,n
n n n S a
S a
∞∞
-===
=
∑∑，求1S 与2S 的值。

【解析】由题意，n y x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交， 所以1
1
2
1
11111a ()(
)
1
2
1
2
n
n n n n x x dx x
x
n n n n +++=
-=-
=
-
++++⎰，
从而11
1
111
1
111S lim
lim (
-
)lim (
)2
3
122
+22
N
n
n
N N N n n a
a
N N N ∞
→∞
→∞
→∞
===
==-
++
=-
=
++∑∑
2211
1
11111111111=)22+1
2
3
2N
2N +1
2
3
4
5
6
n n n S a n
n ∞
∞
-===
=
-
-
++-=
-
+
-+
+∑
∑
（）（
由2(1)
1(1)
2
n
n x
x n
-++-+ ln(1+x)=x- 取1x =得
22111ln(2)1()11ln 22
3
4
S S =--+
=-⇒=-
（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆2
2
14
3
x
y
+
=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆
2
2
14
3
x
y
+
=相切的直线绕x 轴旋转而成。

（Ⅰ）求1S 及2S 的方程
（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积。

【解析】（I ）1S 的方程为
2
22
14
3
x
y z ++
=，
过点()4,0与
2
2
14
3x
y
+
=的切线为122y x ⎛⎫
=±- ⎪⎝⎭
， 所以2S 的方程为2
22122y z x ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭。

（II ）记1122
y x =
-，由
2
2
14
3
x
y
+
=，记2
2314x y ⎛⎫=
- ⎪⎝
⎭，
则4
2
4
2
2
2
22121
1
1
1
1324344V y dx y dx x x dx x dx πππ
π⎛⎫
⎛
⎫=
-
=-+-- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
⎰
⎰
⎰
⎰
4
2
32
311
1143124x x x x x ππ
π⎡⎤⎡
⎤=-+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得
()()()()f b f a f b a ξ'-=-
（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δ
δ
>内可导，且()0
lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且
()0f A +'=。

【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b a
ϕ-=--
--，易验证()x ϕ满足：
()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''
()()()()f b f a x f x b a
ϕ-=-
-。

根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即
'
()f ξ'
()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b a
ξ--
=∴-=--
（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；
在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0
'
00()(0)
x f x f f
x ξ-=
-……()*
又由于()'
lim x f
x A +→=
，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：
()()00000
0'
''
0()00lim lim ()lim ()0
x x x x x f x f f f f A x ξξξ+
+++→→→-====-
故'(0)f +存在，且'
(0)f A +=。

（19）（本题满分10分）计算曲面积分()
32
22
2
xdydz ydzdx zdxdy
I x
y z
++=
∑
++⎰⎰
，其中∑
是曲面
2
2
2
224x y z ++=的外侧。

【解析】2
2
2
3/2
()
xdydz ydxdz zdxdy
I x y z ∑
++=
++⎰⎰
，其中222
224x y z ++=
2
222
2
2
3/2
2
2
2
5/2
2(
),()
()x
y z x x x y z x y z ∂
+-=
∂++++
①
2
2
2
2223/22225/22(),()()
y
x z y
y x y z x y z ∂
+-=∂++++②
2222
2
2
3/2
2
2
2
5/2
2(
),()
()
z
x y z z x y z x y z ∂
+-=
∂++++③
∴①+②+③=
2
2
2
3/2
2
2
2
3/2
2
2
2
3/2
(
)(
)(
)0()
()
()
x
y
z
x x y z y x y z z x y z ∂
∂
∂
++=∂++∂++∂++
由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）
2
2
2
2
11:.016
x y z R R ∑++=<<
有
1
1
2
2
2
3/2
3
3
3
3
()
134343
xdydz ydxdz zdxdy
xdydz ydxdz zdxdy
x y z R
R dV R
R
ππ
∑
∑∑Ω
++++=
=
++=
=
⋅
=⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
（20）（本题满分11分） 设1
111
1104
2A --⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪--⎝
⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪-⎝⎭
（Ⅰ）求满足2
2131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ，
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关。

【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=
()
11
1111
1111
111,11110
0000
21104
2202
1100
00A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
=-→→ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0A x =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =
故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中1k 为任意常数
解方程2
31A ξξ=
2
2202
2044
0A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝
⎭
()
2
11110
22012,22010
00044
0200
00A
ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫
⎪ ⎪
=--→ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
-⎝
⎭ ⎪⎝
⎭
故有两个自由变量，令231,0x x =-=，由20A x =得11x =
令230,1x x ==，由20A x =得10x =
求特解2120
0η⎛⎫-
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ 故 3231
102
100010k k ξ⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪⎝
⎭
，其中23,k k 为任意常数 （Ⅱ）证明：由于 121213121212211313
112
1112(21)()2()(21)2
2
2
21
k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----=+++-
--
-+--+
102
=-≠
故123,,ξξξ 线性无关.
（21）（本题满分11分）设二次型()()2
2
2
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-
（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22
12y y +，求a 的值。

【解析】（Ⅰ） 010
111
1a A a a ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪--⎝
⎭
011
0||01
()
1
1
1
1
1
1
1
a
a a E A a a a a λλλλλλλλ-----=
-=--
-+---+
2
2
2
()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}
2
4
()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+
--
=--+--
123,2,1a a a λλλ∴==-=+
（Ⅱ） 若规范形为22
12y y +，说明有两个特征值为正，一个为0。

则
1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合
3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =
（22）（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

（Ⅰ）求{}10P X Z ==；
（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 的概率分布。

【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 1
21
133
24(10)9
C P X Z C C ⨯∴===
=
⋅
（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故 ()()()()()()()()()1
111
33
2311
1
1
66
66
1
1
1223
1
1
11
6666
1
12211
66
11
2211
66
110,0,1,046
1
1
12,0,0,1363
11,1,2,10
9
10,29
1,20,2,20
C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅====
===
=
⋅⋅⋅⋅====
===
=
⋅⋅⋅====
===⋅⋅===
=
⋅======
X
Y
0 1 2
0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2
1/9
（23）（本题满分11 分）
设总体X 的概率密度为2,0
()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他
，其中参数(0)λλ>未知，1X ，2X ,…n X 是来自总体X
的简单随机样本 (Ⅰ)求参数λ的矩估计量；
（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量
【解析】 （1）由EX X -
而220
2
2ˆx
E X x e
dx X X
λλλ
λ+∞-=
=
=⇒=⎰
为总体的矩估计量
（2）构造似然函数
()()1
211
1
L ,.....,;;n
i
i n n
x n
n i i i i x x f x x e
λ
λλλ
=-==∑==⋅⋅∏∏
取对数1
1
ln 2ln ln n n
i i i i L n x x λλ===+-∑∑
令
1
1
1
ln 222001
n
i n
n
i i
i
i i d L n
n
x d x
x n
λλ
λ
====⇒
-=⇒=
=
∑∑∑
故其最大似然估计量为2X
λ''=。