离散数学-第2章 习题课

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谓词的概念与表示
解：a) a:小张 W(x): x是工人。 W(a)
b)S(x):x是田径运动员, B(x):x是球类运动员, h:他 S(h)B(h) c) C(x):x是聪明的，B(x):x是美丽的，a:小莉 C(a) B(a) d) O(x):x是奇数。 O(m) O(2m)
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变元的约束
例15 如果论域是集合{a,b,c}，试消去下面公式 中的量词。 a) (x) P( x) P(a) P(b) P(c) b) (x) R( x) (x) S ( x)
R(a) R(b) R(c)S (a)S (b)S (c)
c) (x)( P( x) Q( x))
(x)( I ( x) ( R( x) N ( x)))
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命题函数与量词
例5 令P(x)，L(x)，R(x,y,z)和E(x,y)分别表示 “x是一个点”，“x是一条直线”，“z通过x和 ”和“x=y”。符号化下面得句子。 对每两个点有且仅有一条直线通过该两点。 解：
(x)(y)(( P( x) P( y ) E ( x, y)) (! z )( L( z ) R( x, y, z )))
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命题函数与量词
e) J(x): x是教练员, L(x): x是运动员。
(x)(L(x) J(x)) f) L(x): x是运动员, S(x): x是大学生,C(x):x是国家 选手。 (x)(S(x)L(x)C(x)) g) C(x):x是国家选手,V(x)：x是健壮的。 ( x)(C(x) V(x)) h) (x)(O(x) C(x) L(x))
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谓词公式与翻译
例6 利用谓词公式翻译下列命题 a)如果有限个数的乘积等于零，那么至少有一个因 子等于零。 b)对于每一个实数x,存在一个更大的实数y。 c)存在实数x,y和z,使得x与y之和大于x与z之积。
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谓词公式与翻译
解：a) N(x):x是有限个数的乘积，Z(x):x等于零， F(x):x是乘积中的一个因子。 (x)(N(x) Z(x)(y)(F(y) Z(y))) b) R(x):x是实数，G(x,y):x大于y。 (x)(R(x) (y)(R(y) G(y,x)) c) R(x):x是实数，G(x,y):x大于y。 (x) (y) (z)(R(x)R(y)R(z) G(x+y,xy))
谓词的概念与表示
例1 符号化下列命题： （1）没有不犯错误的人； （2）发光的不都是金子； （3）在上海高校学习的学生，未必都是上海籍的 学生。
分析：用一阶谓词表达式符号化命题，首先要注意到带有量词的各 种情况。本题中都是具有全称量词命题,例如（1）中“没有不犯错 误”，（2）中“不都是”，（3）中的“都是”等。全称量词的否 定与存在量词之间存在着联系，例如，（1）中“没有不犯错误的人” 可以解释为“只要是人，必然会犯错误”。
故不是所有人今天来上课与存在一些人今天没有来上课在意义上相同即又不是存在一些人今天来上课与所有人今天都没来上课的意义相同即为此我得到公式
离散数学
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学软件学院专用课件
2010.03
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谓词逻辑习题课
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 谓词的概念和表示法 命题函数与量词 谓词公式与翻译 变元的约束 谓词演算的等价式与蕴含式
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谓词公式与翻译
例7 用谓词公式写出下式。 若x<y和z>0,则xz>yz
解：设G(x,y):x大于y。则有
(x)(y)(z)(G( y, x)G(0, z) G( xz, yz))
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谓词公式与翻译
例8 自然数共有三个公理： a)每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 b)没有一个数，使数1是它的后继。 c)每个不等于1的数，都有唯一的一个数是它的直接 先行者。 用两个谓词表达上述三条公理
3)解法1：设F(x,y):x摆满了y。 R(x):x是大红书柜。 Q(y):y是古书。 a:这只，b:那些
R(a) Q(b) F (a, b)
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谓词公式与翻译
解法2： 设A(x):x是书柜，B(x):x是大的。 C(x):x是红的，D(y):y是古老的。 E(y):y是图书，F(x,y):x摆满了y。 a:这只，b:那些。
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谓词公式与翻译
例11 用谓词公式表达下列命题。
1)并非每个实数都是有理数。 2)没有不犯错误的人。 4：1)R(x):x是实数，Q():x是有理数。
(x)( R( x) Q( x)) 2)P(x):x是人，M(x):x犯错误。 (x(M ( x) F ( x)))
( P(a) Q(a)) ( P(b) Q(b)) ( P(c) Q(c)) d) (x)P( x) (x) P( x)
(P(a) P(a) P(a)) ( P(a) P(a) P(a))
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变元的约束
c)
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谓词公式与翻译
例9 用谓词公式刻划下述命题： 那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚的巨著
解：设S(x):x是大学生。E(x):x是戴眼镜的。 F(x):x是用功的。R(x,y):x在看y。 G(y):y是大的。K(y):y是厚的。J(y):y是巨著。 a：这本。b：那位。则有
E(b) F (b) S (b) R(b, a) G(a) K (a) J (a)
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命题函数与量词
解：a) J(x): x是教练员, L(x): x是运动员
(x)(J(x)L(x)) b) L(x): x是运动员, S(x): x是大学生 (x)(L(x) S(x)) c) O(x):x是年老的,V(x)：x是健壮的。 (x)(J(x)O(x)V(x)) d) j:金教练 O(j) V(j)
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谓词公式与翻译
解：设N(x):x是一个数。S(x,y)：y是x的后继数(即x 是y 的直接先行者，这里2的直接先行者是1)。则 a) (x)( N ( x) (! y)( N ( y) S ( x, y))) b)
(x)( N ( x) S ( x,1))
(x)( N ( x) S ( x, 2) (! y)( N ( y) S ( y, x)))
例3 找出以下12个句子所对应的谓词表达式
a) 所有教练员是运动员。 b) 某些运动员是大学生。 c) 某些教练员是年老的, 但是健壮的。 d) 金教练既不年老但也不是健壮的。 e) 不是所有运动员都是教练。 f) 某些大学生运动员是国家选手。 g) 没有一个国家选手不是健壮的。 h) 所有老的国家选手都是运动员。 i)没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。 j)有些女同志既是教练员又是国家选手。 k)所有运动员都钦佩某些教练。 l)有些大学生不钦佩运动员。
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命题函数与量词
例4 (a)所有人都是要呼吸的。 (b)每个学生都要参加考试。 (c)任何整数或是正的或是负的。 分析：这三个例子都需要表示“对所有的x”这样 的概念，为此，引入符号 (x)或( x) ，表示“对 所有x”。
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命题函数与量词
解：设M(x):x是人，H(x)：x要呼吸。 P(x)：x是学生，Q(x)：x要参加考试。 I(x)：x是整数，R(x)：x是正数，N()：x是负数 则a) (x)(M ( x) H ( x)) b) (x)( P( x) Q( x)) c)
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谓词的概念与表示
例2 用谓词表达式写出下列命题。 a) 小张不是工人。 b) 他是田径或球类运动员。 c) 小莉是非常聪明和美丽的。 d) 若m是奇数，则2m不是奇数。 e) 每一个有理数是实数。 f) 某些实数是有理数。 g) 并非每一个实数都是有理数。 h) 直线A与直线B平行当且仅当A与B不相交。
(x)( P( x) (y) R( x, y))
c)
(x)(y)( P( x, y) Q( x, z)) (x) P( x, y)
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变元的约束
解：a) (x)的作用域是 P( x) Q( x) ，x为约束变元 ( b) (y ) 的作用域是 ( P( x) (y) R( x, y)) ， x)的作用 域是 R( x, y)，x、y都是约束变元。 c) (x) 和 (y ) 的作用域是 P( x, y) Q( x, y)，其中x、y 是约束变元，z是自由变元。(x)的作用域是P(x,y) ，其中x是约束变元，y是自由变元。在整个公式中 ，x是约束出现，y既是约束出现又是自由出现，z是 自由出现。
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谓词的概念与表示
e) R(x): x是实数，Q(x):x是有理数。
(x)(R(x)Q(x))
f)
g)
(x)(R(x) Q(x))
(x)(R(x)Q(x))
h) P(x,y):直线x平行与直线y, G(x,y):直线x与直线y 相交。 P(A,B) G(A,B)
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命题函数与量词
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谓词公式与翻译
例10 取个体域为实数集R，函数f在a点连续的定义 是：f在点a连续当且仅当对每个s>0，存在一个b>0, 使得对所有x，若|x-a|<b，则|f(x)-f(a)|<s,把上述定 义用符号化形式表达。 解：设P(x,y):x在y连续。Q(x,y)：x>y。则
P( f , a) ((s)(b)(x)(Q( s, 0) (Q(b, 0) Q(b,| x a |) Q( s,| f ( x) f (a) |))))
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谓词的概念与表示
解：（1）设M(x)：x是人。Q(x)：x犯错误 本题符号化为：(x)(M ( x) Q( x)) (x)(M ( x) Q( x)) 或者 （2）设L(x)：x是发光的东西。G(x)：x是金子 (x)( L( x) G( x)) (x)( L( x) G( x)) 或 （3）设S(x):x是上海高校的学生。 F(x):x是上海籍学生。 (x)(S ( x) F ( x)) 则
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命题函数与量词
i) W(x):x是女同志,H(x):x是家庭妇女。 ( x)(W(x)C(x)L(x)) j) W(x) ):x是女同志,J(x):x是教练,C(X):x是国家选 手。 (x)(W(x)J(x)C(x))
k) A(x,y):x钦佩y。 (x)(L(x) (y)(J(y) A(x,y))) l) L(x): x是运动员, S(x): x是大学生 (x)(S(x) (y)(L(y) A(x,y)))
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变元的约束
例14 对 (x)( P( x) R( x, y)) Q( x, y) 换名
( 解：可以换名为： z)( P( z) R( z, y)) Q( x, y) ， 但可以改名为： (y)( P( y) R( y, y)) Q( x, y)以 及 (z)( P( z) R( y, y)) Q( x, y)。因为后两种更改 都将使公式中量词的约束范围有所变动。
x
(s)(z )(x)((( P(s,0) P( z,0) Q(| x a |, z ) P(| x a |,0)) Q(| f ( x) b |, s))
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变元的约束
例13 说明以下各式的作用域与变元约束的情况 a) b)
(x)( P( x) Q( x))
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
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谓词公式与翻译
例12 从数学分析中极限定义为：任给小正数s，则 存在一个正数z，使得当0<|x-a|<z时有|f(x)-b|<s。 此时称 lim f ( x ) b
x
解： P(x,y)表示“x大于y”，Q(x,y)表示“x小于y”， 故 lim f ( x ) b 可以表示为：