2022版人教A版高中数学必修第二册--平面与平面垂直

范围
∠AOB的范围是④ 0°≤∠AOB≤180°
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
2 | 平面与平面垂直的定义 文字语言 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是⑤ 直二面角 ,
就说这两个平面互相垂直 图形语言
符号语言 ⑥ α⊥β
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
3 | 平面与平面垂直的判定定理
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3, PC=CD=2,PC⊥平面ABCD,在线段AB上是否存在一点E,使平面PDE⊥平面PAC? 若存在,说明E点位置;若不存在,请说明理由.
思路点拨 要使平面PDE⊥平面PAC,可在平面PDE内找一直线垂直于平面PAC,易得DE⊥ PC,则只需在线段AB上找到一点E,使得DE⊥AC即可.
2
又∠DFE=∠DBA,FD=BC=AB, 所以Rt△EFD≌Rt△DBA,故DE=DA.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
(2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MN∥EC,且MN= 1EC,CA⊥BN.
2
因为EC∥BD,所以MN∥BD, 所以B、D、M、N四点共面. 因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN. 又EC∩CA=C,所以BN⊥平面ECA. 因为BN⊂平面MNBD,所以平面MNBD⊥平面ECA, 即平面BDM⊥平面ECA. (3)易知DM∥BN, 又BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA. 又DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.
如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的 中点.求证: (1)DE=DA; (2)平面BDM⊥平面ECA; (3)平面DEA⊥平面ECA.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
思路点拨 (1)取EC的中点F,连接DF,证明Rt△EFD≌Rt△DBA,从而可得DE=DA. (2)取CA的中点N,连接MN,BN,可得MN∥BD,从而B、D、M、N四点共面,由EC⊥ 平面ABC,可得EC⊥BN,又CA⊥BN,所以可得BN⊥平面ECA,进而得平面BDM⊥平 面ECA. (3)由DM∥BN,BN⊥平面ECA可推出DM⊥平面ECA,再由面面垂直的判定定理得 平面DEA⊥平面ECA.
第1 证明平面与平面垂直的方法
1.利用平面与平面垂直的定义来证明. 基本步骤: (1)找出两相交平面的平面角; (2)证明这个平面角是直角; (3)根据定义,这两个相交平面互相垂直. 2.利用平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两 个平面垂直.
∴sin∠ACD= 5 ,cos∠ACD= 2 5 ,∠DAE=135°.
5
5
由DE⊥AC,可得∠ACD=∠ADE,
在△ADE中,可得
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
sin∠AED=sin(∠DAE+∠ADE) =sin(∠DAE+∠ACD) =sin∠DAEcos∠ACD+cos∠DAEsin∠ACD
文字语言 图形语言
如果一个平面过另一个平面的⑦ 垂线 ,那么这两个 平面垂直
符号语言
⑧ l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
4 | 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平 面的⑨ 交线 ,那么这条直线与另一个平面垂直
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
1 | 二面角
半平面的定义 平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为 半平面
二面角的定义 从一条直线出发的① 两个半平面 所组成的图形叫做 二面角
二面角的相关 这条直线叫做二面角的② 棱 ,这两个半平面叫做二面
概念
角的③ 面
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
解析 在线段AB上存在点E,使平面PDE⊥平面PAC,此时DE⊥AC.证明如下: ∵PC⊥平面ABCD,∴PC⊥DE.
∵DE⊥AC,AC∩PC=C, ∴DE⊥平面PAC,
∵DE⊂平面PDE, ∴平面PDE⊥平面PAC.
在直角梯形ABCD中,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,CD=2, ∴AC= 5 ,∠ABC=45°,
由(1)知MN⊥平面NEF,又EF,NG⊂平面NEF,所以MN⊥EF,MN⊥NG. 又MN∩NG=N,所以EF⊥平面MNG,所以EF⊥MG. 所以∠MGN为二面角M-EF-N的平面角.设该正方体
的棱长为2.在Rt△NEF中,NG= NE NF = 2 3 ,
EF
3
所以在Rt△MNG中,tan∠MGN= MN = 2 = 6 .
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
3 与垂直有关的探索性问题
1.空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是独立的, 而是相互关联的.它们之间的关系如下: 线线垂直 线面垂直 面面垂直 2.解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定 理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,求出一些所需要的条件,解 决一些较复杂的问题,要注意转化思想的应用.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
如图,已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,∠BAC=90°,点M, N分别为A'B和B'C'的中点.当A'A为何值时,CN⊥平面A'MN?试证明你的结论.
思路点拨 设A'A的长度为a,利用CN⊥平面A'MN列出方程求解.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
(4)射影面积法:若多边形的面积为S,它在一个平面内的射影图形的面积为S',且多
边形所在面与该平面所成的二面角为θ,则cos
θ=
S' S
.
例:如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,
求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小.
(2)垂面法:过棱上一点作垂直于棱的平面,该平面与二面角的两个半平面各有一 条交线,这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的 平面角. (3)垂线法:如图③,过二面角的一个半平面内不在棱上的点A向另一个平面作垂 线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角α-lβ的平面角.
符号语言
α⊥β,α∩β =l,a⊂α,⑩ a⊥l ⇒a⊥β
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.若l⊥α,则过l有无数个平面与α垂直. ( √ ) 2.两个互相垂直的平面所形成的四个二面角的大小均为90°. ( √ ) 3.若α⊥β,α∩β=l,a⊥l,则a⊥β. ( ✕ ) 提示:缺少条件a⊂α. 4.二面角α-l-β的棱l上任一点O满足AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β,则∠AOB是二面角α-lβ的平面角. ( ✕ ) 提示:“AO⊥BO”不符合二面角α-l-β的平面角的定义,应该为“AO⊥l,BO⊥l”. 5.若两个平面互相垂直,则一个平面内的一条直线与另一个平面垂直. ( ✕ ) 提示:这条直线与另一个平面可以垂直、平行或斜交.
高 中 数 学 必修第二册 人教A版
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念,会作简单的二面角的平面角.
2.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直. 3.掌握平面与平面垂直的性质定理,会用相关定义、定理解决平面与平面垂直问 题.
思路点拨 (1)将面面垂直的证明转化为线面垂直的证明来解决. (2)作出二面角M-EF-N的平面角,在三角形中求该角的正切值.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
解析 (1)证明:因为N,F分别为所在棱的中点,所以NF⊥平面A1B1C1D1. 又MN⊂平面A1B1C1D1,所以NF⊥MN.因为M,E分别为所在棱的中点, 所以△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形.所以∠MNC1=∠B1NE=45°. 所以∠MNE=90°,所以MN⊥NE.因为NF∩NE=N,所以MN⊥平面NEF. 又MN⊂平面MNF,所以平面MNF⊥平面NEF. (2)如图,在平面NEF中,过点N作NG⊥EF于点G,连接MG.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
证明 (1)如图,取EC的中点F,连接DF. 因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC. 易知DF∥BC,所以DF⊥EC. 因为BD∥EC,所以BD⊥平面ABC, 因为AB⊂平面ABC,所以BD⊥AB. 在Rt△EFD和Rt△DBA中, 因为EF= 1 EC,EC=2BD,所以EF=BD.
1 a2 2
= 2 ,∴θ=45°.
S PCD 1 a 2a 2
2
故平面PAB与平面PCD所成二面角的大小为45°.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1,B1C1的中点. (1)求证:平面MNF⊥平面NEF; (2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值.
解析 连接BN,设AA'=a, 由题意知BC=2 2 ,NC=BN, ∵三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面, ∴平面A'B'C'⊥平面BB'C'C. ∵AB=AC,∴A'B'=A'C', 又点N是B'C'的中点,∴A'N⊥B'C', 又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C', ∴A'N⊥平面BB'C'C,∴CN⊥A'N. 要使CN⊥平面A'MN,只需CN⊥BN即可. 在Rt△CC'N中,NC= 2 a2 , ∴BN=NC= 2 a2 , 由NC2+BN2=BC2,得2( 2 a2 )2 =(2 2)2 , ∴a= 2 ,∴当AA'= 2 时,CN⊥平面A'MN.
二面角的画法
二面角的记法
二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
二面角的 平面角
定义
图形
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂 足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线O A和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二 面角的平面角
NG 2 3 2
3
所以二面角M-EF-N的平面角的正切值为 6 .
2
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
方法总结 1.求二面角的关键是找出(或作出)其平面角,再把平面角放到三角形 中求解.一般采用垂线法来作平面角,即过在二面角的一个半平面内且不在棱上 的一点作另一个半平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角 的平面角. 2.充分理解二面角的意义: (1)要注意二面角与两相交平面所成的角并不一致. (2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角的半平面内的角 的联系与区别.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
解析 ∵PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD, ∴PA⊥AD, 又AD⊥AB,且PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB, ∴AD⊥平面PAB,同理BC⊥平面PAB. ∴△PCD在平面PAB上的射影为△PBA, 设平面PAB与平面PCD所成二面角为θ,
∴cos θ= S PAB =
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
2 如何求二面角的大小 1.求二面角的平面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”. 2.作二面角的平面角的常见方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于 棱的射线.如图①,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
基本步骤: (1)定思路:分析题意,根据题中已知条件,在其中一个平面内寻找一条直线与另一 个平面垂直; (2)证线面:选择恰当方法证明线面垂直; (3)证面面:根据面面垂直的判定定理证明. 3.若一个平面与另一个平面的垂面平行,则这两个平面互相垂直.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步