人教A高中数学必修二2.3.4 平面与平面垂直的性质[张国兴]【市一等奖】优质课

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教学目标

1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角;

2.掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角;

3.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直.

2学情分析

(1)基础知识的掌握不牢固,特别是来自基层的学生,基础知识、基本技能和基本方法的掌握不到位、不得法。

(2)学习态度不明确。通过对作业及听课等方面的观察,有六分之一的学生仍有抄袭他人作业的情况;反映出这些学生在学习上有很强的依赖心理,表现了学习上是在被动的学习、被动的在接受知识,课前不预习、课堂不积极、课后不反思的现象普遍存在。

(3)方法不得当、学不得法。这主要表现在:一、听课不得法,既没有课前进行充分的预习,不知知识的内涵;也没有专心听课,对要点或重点没听或听不全,有的是在忙于记笔记。

3重点难点

两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直.

4教学过程

4.1 第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】平面与平面垂直的判定

思考1 观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形

成的角的大小和形状.数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的

平面所形成的角?

答案二面角.

思考2 平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?

答案二面角的平面角.

1.定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.

2.相关概念:

①这条直线叫二面角的棱,②两个半平面叫二面角的面.

3.画法:

活动2【讲授】平面与平面垂直的判定

类型一定义法判定两平面垂直

例1 如图,在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD⊥平面

BCD.

解因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形,所以取BD的中点E,连接AE,CE,

则AE⊥BD,BD⊥CE.

在△ABD中,AB=a,BE=BD=a,

所以AE==a.

同理CE=a,在△AEC中,AE=CE=a,AC=a.由于AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,所以AE⊥

面BCD.

又AE⊂面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD.

反思与感悟1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直,其判

定的方法是:

(1)找出两相交平面的平面角;

(2)证明这个平面角是直角;

(3)根据定义,这两个相交平面互相垂直.

2.此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理,解答时要特别注意.

跟踪训练1 如图,过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且

∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°.求证:平面ABC⊥平面BSC.

证明取BC中点D,连接SD、AD,由SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°,得AB=AC=SA.∴AD⊥BC,SD⊥BC,

∴∠ADS是二面角A-BC-S的平面角.

又∠BSC=90°,令SA=1,

则SD=,AD=,

∴SD2+AD2=SA2.

∴∠ADS=90°,∴平面ABC⊥平面BSC

类型二面面垂直的判定定理判定两平面垂直

例2 如图,在四棱锥PABCD中,若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形.求证:平面PAC⊥平面PBD.

证明∵PA⊥平面ABCD,

BD⊂平面ABCD,

∴BD⊥PA.

∵ABCD是菱形,∴BD⊥AC.

又PA∩AC=A,

∴BD⊥平面PAC.

又∵BD⊂平面PBD,

∴平面PBD⊥平面PAC.

活动3【练习】平面与平面垂直的判定

跟踪训练2 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=AA1,D是

棱AA1的中点.

证明:平面BDC1⊥平面BDC.

活动4【作业】平面与平面垂直的判定

1.直线l⊥平面α,l⊂平面β,则α与β的位置关系是( )

A.平行

B.可能重合

C.相交且垂直

D.相交不垂直

答案C

解析由面面垂直的判定定理,得α与β垂直,故选C.

2.下列命题:

①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a、b分别和一个二面角

的两个面垂直,则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角

的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面

角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.

其中正确的是( )

A.①③

B.②④

C.③④

D.①②

答案B

解析①不符合二面角定义,③从运动的角度演示可知,二面角的平面角不是

最小角.故选B.

3.如图,已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A∉α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,则二面角A-BC-O的大小为________.

答案60°

解析如图所示,在平面α内,过O作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.

∵AO⊥α,BC⊂α,∴AO⊥BC.

又∵AO∩OD=O,

∴BC⊥平面AOD.

而AD⊂平面AOD,∴AD⊥BC.

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