人教版初中数学第十四章整式的乘法与因式分解知识点

第十四章 整式乘除与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +⋅=（n m ,都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.
例1．在横线上填入适当的代数式：614_____x x ⋅=，2
6_____x x =÷.
【答案】8x ，4x
【解析】
试题分析：根据同底数幂的乘除法法则即可得到结果.
6814x x x ⋅=，.246x x x =÷ 考点：本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法
点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例2．计算：743a a a ⋅⋅；
【答案】14a
【解析】
试题分析：根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.
743a a a ⋅⋅=.14a
考点：本题考查的是同底数幂的乘法
点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 14.1.2 幂的乘方
幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==
例1．对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）
A ．9
23)(m m = B ．623m m m =⋅ C ．532m m m =+ D ．426m m m =÷
【答案】D
【解析】
试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则依次分析各项即可得到结果.
A ．()632m m =，
B ．523m m m =⋅，
C ．32m m 与无法合并，故错误；
D ．426m m m =÷，本选项正确.
考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法
点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例2
【答案】12a -
【解析】
试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可. 32236612()()().a a a a a -⋅-=⋅-=-
考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法
点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例3．计算：9543()a a a ⋅÷；
【答案】2a
【解析】
试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则即可得到结果.
954314122().a a a a a a ⋅÷=÷=
考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法
点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例4．计算： n
m a a ⋅3)(；
【答案】n m a +3
【解析】
试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可. n m a a ⋅3)(=⋅=n m a a 3.3n m a +
考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法
点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
14.1.3 积的乘方
积的乘方法则： n n n b a ab =)(（n 是正整数）.积的乘方，等于各因数乘方的积.
例1．计算的结果是
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，求解即可
（a 2b ）3=（a 2）3×b 3=a 6×b 3=a 6b 3．
故选B
例2．计算（－2a)3的结果是【 】
A .6a 3 B.－6a 3 C.8a 3 D.－8a 3
【答案】D.
【解析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算后作出判断：()33332a)=2a =8a --⋅-（.故选D.
例3．计算：=3
32)(y x .
【答案】69x y
【解析】
试题分析：积的乘方法则：积的乘方等于它的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. =332)(y x 69x y .
考点：本题考查的是积的乘方
点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握积的乘方法则，即可完成.
例4．计算：[]4
2
3)1(a ⋅-； 【答案】8a
【解析】
试题分析：先计算3)1(-，再计算幂的乘方即可. []=⋅-423)1(a []42a -.8a =
考点：本题考查的是幂的乘方
点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
23
()a b 33a b 63a b 36a b 66a b
14.1.4 整式的乘法
1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
例1．单项式4x 5y 与2x 2（-y ）3z 的积是（ ）
A ．8x 10y 3z
B ．8x 7（-y ）4z
C ．-8x 7y 4z
D ．-8x 10y 3z
【答案】C
【解析】
试题分析：直接根据单项式乘以单项式的法则计算即可得到结果.
由题意得z y x z y y x x z y x y x 4
73253258)(24)(24-=⋅-⋅⋅⋅⋅⨯=-⋅，
故选C.
考点：本题考查的是单项式乘单项式
点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.
例2． ·c b a c ab 532243—=.
【答案】328b a -
【解析】
试题分析：根据单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则即可得到结果. 328b a -·c b a c ab 532243—=.
考点：本题考查的是单项式乘单项式，同底数幂的乘法
点评：解答此题需熟知以下概念：（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；（2）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
例3．计算：25x 2y 3·516
xyz=_________； 【答案】18
x 3y 4z
【解析】
试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可. 25x 2y 3·516xyz=25×516·x 2·x·y 3·y·z=18
x 3y 4z. 考点：本题考查的是单项式乘单项式
点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母
的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.
例4．计算：2ab 2·2
3
a 3=________； 【答案】
43
a 4
b 2 【解析】 试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.
2ab 2·2
3a 3=2×23·a·a 3·b 2=43
a 4
b 2. 考点：本题考查的是单项式乘单项式
点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.
例5．22x xy ⋅= .
【答案】y x 2
4
【解析】
试题分析：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
22x xy ⋅=y x 24. 考点：本题考查的是单项式乘单项式
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握单项式乘单项式法则，即可完成.
2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).
例1．计算：)()(a b b b a a ---；
【答案】22b a -
【解析】
试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.
)()(a b b b a a ---=+--=ab b ab a 22.22b a -
考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项
点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
例2
【答案】2
3442y x y x +-
【解析】
试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.
.42234y x y x +- 考点：本题考查的是单项式乘多项式
点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例3．计算：23(4)(31)a ab a b -⋅+-；
【答案】a b a b a 4124422+--
【解析】
试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.
)13()4(32-+∙-b a ab a .4124422a b a b a +--=
考点：本题考查的是单项式乘多项式
点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例4．计算：_____________)(32
=+y x xy x .
【答案】y x y x 3233+
【解析】
试题分析：根据单项式乘多项式的法则即可得到结果. =+)(32y x xy x y x y x 3233+.
考点：本题考查的是单项式乘多项式
点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
例5．计算：)1(2)12(32
2--+-x x x x x .
【答案】x x x 3423+-
【解析】
试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可. )1(2)12(322--+-x x x x x =+-+-=232322363x x x x x .3423x x x +-
考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项
点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加.
例1．计算：（a+2b ）（a-b ）=_________；
【答案】a 2+ab-2b 2
【解析】
试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn ，计算即可．
（a+2b ）（a-b ）= a 2-ab+2ab -2b 2 =a 2+ab-2b 2．
考点：本题考查的是多项式乘以多项式
点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
例2．计算：（3x-y ）（x+2y ）=________．
【答案】3x 2+5xy-2y
【解析】
试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn ，计算即可．
（3x-y ）（x+2y ）=3x 2+6xy- xy-2y=3x 2+5xy-2y ．
考点：本题考查的是多项式乘以多项式
点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
例3．计算：（x+1）（x 2-x+1）=____ _ ____．
【答案】13+x
【解析】
试题分析：根据多项式乘多项式法则化简即可.
（x+1）（x 2-x+1）==+-++-1223x x x x x 13+x ．
考点：本题考查的是多项式乘多项式
点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)m n >
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
例1．计算：26a a ÷= ，2
5)()(a a -÷-= . 【答案】4a ，3
a -
【解析】
试题分析：根据同底数幂的除法法则即可得到结果. =÷26a a 4a ，25)()(a a -÷-.)(33a a -=-=
考点：本题考查的是同底数幂的除法
点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
例2．计算： m 3÷m 2＝ .
【答案】m
【解析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可：原式=32m m =－
5、零指数：10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1.
例1．0
12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
= A ．﹣2 B ．2 C ．1 D ．﹣1
【答案】D. 【解析】零指数幂.根据任何非0数的0次幂等于1解答即可：0
1=12⎛⎫--- ⎪⎝⎭
.故选D. 例2．计算：|﹣2|+（﹣3）0
﹣= ． 【答案】1
【解析】此题考查绝对值的运算、幂的运算性质和二次根式的化简，即0,(0),(0)||,1(||,(0),(0)
a a a a a a a a a a a a ≥≥⎧⎧==≠==⎨⎨-<-<⎩⎩； 解：原式2121=+-=；
例3．计算：（-0.5）0÷（-12
）-3． 【答案】-18
【解析】
试题分析：根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，即可得到结果.
原式.81)8(1-=-÷=
考点：本题考查了零指数幂，负整数指数幂
点评：解答本题的关键是熟练掌握任意非0数的0次幂均为0，负整数指数幂的运算法则：p p a
a
1=-（a≠0，p 是正整数）．
6、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数
作为商的一个因式.
7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)(
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
平方差公式：2
2))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方.
例1．下列能用平方差公式计算的是（ ）
A 、)y x )(y x (-+-
B 、)x 1)(1x (---
C 、)x y 2)(y x 2(-+
D 、)1x )(2x (+-
【答案】B
【解析】A 、应为（-x+y ）（x-y ）=-（x-y ）（x-y ）=-（x-y ）2，故本选项错误；
B 、（x-1）（-1-x ）=-（x-1）（x+1）=-（x 2-1），正确；
C 、应为（2x+y ）（2y-x ）=-（2x+y ）（x-2y ），故本选项错误；
D 、应为（x-2）（x+1）=x 2-x-2，故本选项错误．
故选B ．
例2．计算()()x y x y +-22的结果是（ ）
A 、x y -4
B 、x y +4
C 、224x y -
D 、222x y -
【答案】C
【解析】平方差公式的应用，原式=224x y -，故选C
例3．若a ＋b=2011，a －b=1，则a 2－b 2=_________________.
【答案】2011
【解析】
考点：平方差公式．
分析：先根据平方差公式分解因式，再整体代入即可．
解：∵a+b=2011，a-b=1，
∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）=2011×1=2011．
故答案为：2011．
例4．(a ＋3)(3－a)＝__________．
【答案】9－a 2
【解析】根据平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2填空．
解：∵（a+3）（3-a ）=（3+a ）（3-a ）=32-a 2=9-a 2．
故答案是：9-a 2．
14.2.2 完全平方公式
完全平方公式：2
222)(b ab a b a +±=±
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样. 公式的变形使用：
（1）ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+；22()()4a b a b ab -=+-
222)()]([)(b a b a b a +=+-=--；222)()]([)(b a b a b a -=--=+- （2）三项式的完全平方公式： bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 例1．若3ab ,5b a -==+，则2)b a (-的值是（ ）
A. 25
B. 19
C. 31
D. 37
【答案】D
【解析】解：37)3(454)()(222=-⨯-=-+=-ab b a b a ，故选D. 例2．计算： =⎪⎭
⎫ ⎝⎛23229 . 【答案】.91880
【解析】 试题分析：化3
1303229-=，再根据完全平方公式计算即可. =+-=-=9120900)3130()3229(22.9
1880 考点：题考查的是完全平方公式
点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.2)(222b ab a b a +±=± 例3．计算：
（1）199.92=_______；（2）512=________；（3）1-2×51+512=_______．
【答案】（1）39960.01；（2）2601；（3）2500
【解析】
试题分析：根据完全平方公式依次分析各小题即可.
（1）199.92=（200-0.1）2=2002-2×200×0.1+0.12=40000-40+0.01=39960.01；
（2）512=（50+1）2=502+2×50×1+12=2500+100+1=2601；
（3）1-2×51+512=（1-51）2=（-50）2=2500．
考点：本题考查的是完全平方公式
点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2．
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
1、会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
2、提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
3、注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
14.3.2 公式法
运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：
1、平方差公式： a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）
2、完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2
a 2－2a
b ＋b 2＝（a －b ）2
例1．已知2226a ab b -+=，则a b -＝ ．
【答案】【解析】由题意得（a-b ）2=6， 则＝ 例2．因式分解：244x x ++= ．
a b -
【答案】2)2(+x
【解析】
试题分析：根据完全平方公式即可得到结果. 244x x ++=2)2(+x ．
考点：本题考查的是完全平方公式
点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.)(2222b a b ab a ±=+±。